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1: Introducción y Notación

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    La sabiduría es la cualidad que te evita meterte en situaciones donde la necesites.

    — Doug Larson

    • 1.1: Conjuntos Básicos
      Se ha dicho que “Dios inventó los enteros, todo lo demás es obra del Hombre”. Esto es una traducción errada. El término “enteros” debería ser en realidad “números enteros”. Los conceptos de valores cero y negativos parecen (para muchas personas) ser construcciones antinaturales. En efecto, por lo demás todavía se sabe que las personas inteligentes se oponen al concepto de una cantidad negativa — “¿Cómo puedes tener tres manzanas negativas?” El concepto de cero también es algo profundo.
    • 1.2: Definiciones - Números Primos
      Habrás notado que en la Sección 1.1 se puso muchísimo énfasis en si teníamos definiciones buenas y precisas para las cosas. En efecto, más de una vez se hicieron disculpas por dar definiciones imprecisas o intuitivas. Esto se debe a que, en Matemáticas, las definiciones son nuestro alma. Más que en cualquier otro esfuerzo humano, los matemáticos se esfuerzan por lograr la precisión. Esta precisión viene con un costo — Las matemáticas pueden lidiar solo con el más simple de los fenómenos.
    • 1.3: Notación más aterradora
      A menudo ocurre que queremos probar afirmaciones que afirman que algo es cierto para cada elemento de un conjunto. Por ejemplo, “Cada número tiene una inversa aditiva”. Una declaración que comienza con las palabras inglesas “every” o “all” se llama universalmente cuantificada. Se afirma que la afirmación sostiene para todo dentro de algún universo. Declaraciones que dicen algo sobre algunos (o incluso solo uno) de los elementos de nuestro universo se denominan existencialmente cuantificadas.
    • 1.4: Definiciones de la Teoría de Números Elementales
      En esta sección, se discuten algunas definiciones básicas de términos relacionados con la teoría de números elementales, incluyendo pares e impares, notación decimal y base-N, divisibilidad, piso y techos, div y mod, y coeficientes binomiales.
    • 1.5: Algunos algoritmos de la teoría elemental de números
      Un algoritmo es simplemente un conjunto de instrucciones claras para lograr alguna tarea. El matemático y astrónomo persa Al-Khwarizmi1 fue un erudito de la Casa de la Sabiduría en Bagdad que vivió en los siglos VIII y IX d.C. Es recordado por su tratado de álgebra Hisab al-jabr w'al-muqabala del que derivamos la misma palabra “álgebra”, y un texto sobre la numeración hindu-árabe esquema.
    • 1.6: Números racionales e irracionales
      En esta sección, “corregiremos” la definición de números racionales dada en la Sección 1.1. El problema es que hay muchas expresiones formadas con un entero escrito sobre otro (es decir, barras de fracción) que representan exactamente el mismo número racional (por ejemplo, 3/6 y 14/28 se consideran distintos por la definición dada a pesar de que ambas representan 1/2). Para eliminar este problema con nuestra definición de los racionales necesitamos agregar una condición adicional que asegure que tales duplicados no surjan.
    • 1.7: Relaciones
      Una de las principales formas en que la escritura matemática difiere de la escritura ordinaria es en su increíble brevedad. Si uno puede demostrar un resultado verdaderamente interesante y novedoso en una sola página, probablemente entreguen la piel de oveja. ¿Cómo se logra esta gran brevedad? ¡Insertando símbolos únicos en lugar de palabras de todo un párrafo! Una clase de símbolos en particular tiene un poder inmenso, los llamados símbolos relacionales.


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