Por qué este libro es

Hoy en día más estudiantes que nunca toman cálculo en la preparatoria. Esto tiene un costo, sin embargo: cada vez menos toman un curso riguroso en geometría euclidiana. Además, el curso de cálculo que toman casi todos los estudiantes, ya sea en la preparatoria o en la universidad, evita pruebas, y muchas veces ni siquiera da una definición formal de límite. En efecto, algunos estudiantes ingresan a la universidad nunca habiendo leído o escrito una prueba por inducción, ni se encontraron con una prueba matemática de ningún tipo.

Como consecuencia, los profesores de los cursos de matemáticas de grado superior en álgebra lineal, álgebra abstracta, análisis y topología tienen que trabajar extremadamente duro inculcando el concepto de prueba mientras simultáneamente tratan de cubrir el plan de estudios. Este problema se ha abordado en muchas universidades introduciendo un curso puente, con un título como “Fundamentos para las Matemáticas Superiores”, tomado por estudiantes que han completado la secuencia regular de cálculo. Algunos de estos estudiantes planean convertirse en carreras de matemáticas. Otros solo quieren aprender algunas matemáticas más; pero si a lo que están expuestos es interesante y satisfactorio, muchos optarán por especializarse o doblarse en matemáticas.

Este libro está escrito para estudiantes que han tomado cálculo y quieren aprender qué es la “matemática real”. Esperamos que encuentre el material atractivo e interesante, y que se le anime a aprender matemáticas más avanzadas.

Qué es este libro

El propósito de este libro es introducirte en la cultura, el lenguaje y el pensamiento de los matemáticos. Decimos “matemáticos”, no “matemáticas”, para enfatizar que las matemáticas son, en el fondo, un esfuerzo humano. Si hay vida inteligente en Erewhemos, entonces los erewhemosianos seguramente estarán de acuerdo en eso\(2+2=4\). Si han pensado detenidamente en la pregunta, no creerán que la raíz cuadrada de dos pueda estar exactamente dada por la proporción de dos números enteros, o que haya finitamente muchos números primos. Sin embargo, sólo podemos especular sobre si encontrarían estas últimas preguntas remotamente interesantes o qué podrían considerar satisfactorias respuestas a preguntas de este tipo.

Los matemáticos, después de milenios de luchas y argumentos, han llegado a un acuerdo generalizado (si no del todo universal) sobre lo que constituye un argumento matemático aceptable. A esto lo llaman “prueba”, y constituye un argumento cuidadosamente razonado basado en premisas pactadas. La metodología de las matemáticas ha sido espectacularmente exitosa, y ha generado muchos otros campos. En el siglo XX, la programación informática y la estadística aplicada se desarrollaron a partir de ramificaciones de las matemáticas a disciplinas propias. En el siglo XIX, también lo hicieron la astronomía y la física. La creciente disponibilidad de datos hace que el tratamiento de los datos de una manera matemática sofisticada sea uno de los grandes retos científicos del siglo XXI.

En este libro, trataremos de enseñarte qué es una prueba: qué nivel de argumento se considera convincente, qué se considera exagerado y qué nivel de detalle se considera demasiado. Intentaremos enseñarte cómo piensan los matemáticos, qué estructuras utilizan para organizar sus pensamientos. Una estructura es como un esqueleto - si quitas los detalles inesenciales puedes concentrarte en el problema real. Un gran ejemplo de ello es la idea del número, la estructura matemática humana más temprana. Si aprendes a contar manzanas, y que dos manzanas más dos manzanas hacen cuatro manzanas, y si piensas que se trata de manzanas en lugar de contar, entonces todavía no sabes qué hacen dos ovejas más dos ovejas. Pero una vez que te das cuenta de que hay una estructura subyacente de número, y que dos más dos son cuatro en abstracto, entonces agregar lana o piernas a los objetos no cambia la aritmética.

Lo que este libro no es

Existe un enfoque para impartir un curso de transición que muchos instructores favorecen. Es tener un curso de resolución de problemas, en el que los alumnos aprendan a escribir pruebas en un contexto donde su intuición pueda ayudar, como en combinatoria o teoría de números. Esto ayuda a que el curso sea interesante, y puede evitar que los estudiantes se pierdan por completo.

No hemos adoptado este enfoque. Nuestra razón es que además de enseñar la habilidad de escribir una prueba lógica, también queremos enseñar la habilidad de analizar cuidadosamente las definiciones. Gran parte del trabajo del instructor en un curso de álgebra o análisis de división superior consiste en obligar a los estudiantes a leer atentamente las definiciones de objetos nuevos y desconocidos, decidir qué objetos matemáticos satisfacen la definición y cuáles no, y entender qué sigue “inmediatamente” de la definiciones. En efecto, la principal razón por la que la definición épsilon-delta de límite ha desaparecido de la mayoría de los cursos introductorios de cálculo es la dificultad de explicar cómo los cuantificadores\(\forall \varepsilon \exists \delta\), precisamente en este orden, dan la noción exacta de límite por la que nos estamos esforzando. Así, si bien los estudiantes deben trabajar más duro en este curso para aprender más matemáticas abstractas, estarán mejor preparados para cursos avanzados.

Tampoco se trata de un texto en la lógica aplicada. Los primeros capítulos del libro introducen al estudiante a las estructuras matemáticas básicas a través de definiciones formales. Aunque brindamos un tratamiento bastante formal de la lógica de primer orden y la inducción matemática, nuestro objetivo es pasar a estructuras y argumentos matemáticos clásicos más avanzados tan pronto como el estudiante tenga una comprensión adecuada de la lógica subyacente a las pruebas matemáticas.

Asesoría al Alumno

¡Bienvenido a las matemáticas superiores! Si tu exposición a las matemáticas universitarias se limita al cálculo, este libro probablemente parecerá muy diferente de tus textos anteriores. Muchos estudiantes aprenden cálculo escaneando rápidamente el texto y procediendo directamente a los problemas. Al luchar con un problema, buscan problemas similares en el texto, e intentan emular la solución que encuentran. Por último, revisan la solución, que generalmente se encuentra al dorso del texto, para “validar” la metodología.

Este libro, como muchos textos que abordan temas más avanzados, no está escrito pensando en problemas computacionales. Nuestro objetivo es introducirte en los diversos elementos de las matemáticas de pregrado superior: la cultura, el lenguaje, los métodos, los temas, los estándares y los resultados. Los problemas en estos cursos son probar verdaderas afirmaciones matemáticas, o refutar afirmaciones falsas. En el contexto del cálculo, el matemático debe probar los resultados que utilizó libremente. Para la mayoría de la gente, esta actividad parece muy diferente a la computación. Por ejemplo, probablemente te resulte necesario pensar en un problema durante algún tiempo antes de comenzar a escribir. A diferencia del cálculo, en el que la dirección general de los métodos suele ser obvia, tratar de probar afirmaciones matemáticas puede parecer sin dirección o accidental. Sin embargo, es más estratégico que aleatorio. Este es uno de los grandes retos de las matemáticas en los niveles superiores, es creativo, no de memoria. Con la práctica y el pensamiento disciplinado, aprenderás a ver tu manera de probar afirmaciones matemáticas.

Comenzaremos nuestro tratamiento de las matemáticas superiores con un gran número de definiciones. Esto es habitual en un curso de matemáticas, y es necesario porque las matemáticas requieren una expresión precisa. Trataremos de motivar estas definiciones para que su utilidad sea obvia lo antes posible. Después de presentar y discutir algunas definiciones, presentaremos argumentos para algunas afirmaciones elementales relativas a estas definiciones. Esto nos dará algo de práctica en la lectura, escritura y discusión de las matemáticas. En los primeros capítulos del libro incluimos numerosas discusiones y comentarios para ayudarle a comprender la dirección básica de los argumentos. En los capítulos posteriores del libro, leerás argumentos más difíciles para algunos resultados clásicos profundos. Te recomendamos que leas estos argumentos deliberadamente para asegurar tu comprensión profunda del argumento y nutrir tu sentido del nivel de detalle y rigor que se espera en una prueba matemática de pregrado.

Al final de cada capítulo hay ejercicios diseñados para dirigir tu atención a la lectura y obligarte a pensar en los detalles de las pruebas. Algunos de estos ejercicios son sencillos, pero muchos de ellos son muy duros. No esperamos que cada alumno sea capaz de resolver todos los problemas. No obstante, pasar una hora (o más) pensando en un problema difícil es tiempo bien empleado aunque no resuelvas el problema: fortalece tus músculos matemáticos, y te permite apreciar, y entender más profundamente, la solución si finalmente se te muestra. En última instancia, podrás resolver algunos de los problemas difíciles tú mismo después de pensarlos profundamente. ¡Entonces serás un verdadero matemático!

Las matemáticas son, desde un punto de vista, un ejercicio lógico. Definimos objetos que no existen físicamente, y utilizamos la lógica para sacar las conclusiones más profundas que podamos sobre estos objetos. Si este fuera el final de la historia, las matemáticas no serían más que un juego, y serían de poco interés perdurable. Ocurre, sin embargo, que interpretar objetos físicos, procesos, comportamientos y otros sujetos de interés intelectual, como objetos matemáticos, y aplicar las conclusiones y técnicas del estudio de estos objetos matemáticos, nos permite extraer conclusiones confiables y poderosas sobre prácticas problemas. Este método de usar las matemáticas para entender el mundo se llama modelización matemática. El mundo en el que vives, la forma en que entiendes este mundo, y cómo se diferencia del mundo y la comprensión de tus ancestros lejanos, es en gran medida el resultado de la investigación matemática. En este libro, tratamos de explicar cómo sacar conclusiones matemáticas con certeza. Cuando estudiaste cálculo, utilizaste numerosos teoremas profundos para sacar conclusiones que de otra manera podrían haber tomado meses en lugar de minutos. Ahora vamos a desarrollar una comprensión de cómo se derivan los resultados de esta profundidad y poder.

Asesoría al Instructor

Aprender terminología - qué significan “contrapositivo” y “conversar” - llega fácilmente a la mayoría de los estudiantes. Tu reto en el curso es enseñarles a leer las definiciones de cerca, y luego cómo manipularlas. Esto es mucho más difícil cuando no hay una imagen concreta que los estudiantes puedan tener en cuenta. Los vectores en\(\mathbb{R}^{n}\), por ejemplo, son más intimidantes que en\(\mathbb{R}^{3}\), no por ningún gran aumento inherente en la complejidad, sino porque son más difíciles de pensar geométricamente, por lo que los estudiantes deben confiar solo en el álgebra. Esta confianza lleva tiempo para construir.

El capítulo 1 consiste principalmente en establecer la notación y discutir conceptos necesarios que algunos pueden haber visto ya (como inyecciones y suryecciones). Desafortunadamente esta puede ser la primera exposición a algunas de estas ideas para muchos estudiantes, por lo que el tratamiento es bastante largo. La velocidad a la que se cubra el material de forma natural dependerá de la fuerza y los antecedentes de los alumnos. Tómate un tiempo explicando por qué una secuencia puede pensarse como una función con dominio\(\mathbb{N}\); las variaciones de esta idea volverán a repetirse.

El capítulo 2 introduce las relaciones. Éstas son difíciles de entender, debido a la naturaleza abstracta de la definición. Las equivalencias y ordenamientos lineales se repiten a lo largo del libro, y la comodidad de los estudiantes con estos aumentará.

Ni el Capítulo 1 ni el Capítulo 2 habitan en las pruebas. De hecho, las pruebas matemáticas y la lógica elemental de primer orden no se introducen hasta el Capítulo 3. Nuestro objetivo es hacer que el estudiante piense en las estructuras y definiciones matemáticas sin el peso psíquico adicional de las pruebas de lectura y escritura. Usamos ejemplos para ilustrar las definiciones. Los primeros Capítulos proporcionan fundamentos conceptuales básicos para capítulos posteriores, y encontramos que la mayoría de los estudiantes tienen las manos ocupadas solo tratando de leer y entender las definiciones y ejemplos. En los ejercicios pedimos a los alumnos que “muestren” la verdad de algunas afirmaciones matemáticas. Nuestra intención es hacer que el estudiante piense en la tarea de probar afirmaciones matemáticas. No se espera que escriban argumentos exitosos antes del Capítulo 3. Animamos a los estudiantes a intentar los problemas aunque probablemente no estén seguros sobre los requisitos para una prueba matemática. Si cree firmemente que las pruebas matemáticas deben discutirse antes de lanzarse a definiciones matemáticas, puede cubrir primero el Capítulo 3.

El capítulo 3 es bastante formal, y debe ir rápido. El capítulo 4 introduce a los estudiantes a la primera técnica de prueba importante: la inducción. Con la práctica, se puede esperar que dominen esta técnica. También introducimos como tema continuo el estudio de polinomios, y demostramos por ejemplo que un polinomio no tiene más raíces que su grado.

Los capítulos 5,6 y 7 son completamente independientes entre sí. El capítulo 5 trata los límites y la continuidad, hasta demostrar que el límite uniforme de una secuencia de funciones continuas es continuo. El capítulo 6 es sobre conjuntos infinitos, demostrando los teoremas de Cantor y el teorema de Schröder-Bernstein. Al final del capítulo, los alumnos habrán llegado a apreciar que generalmente es mucho más fácil construir dos inyecciones que ¡una biyección!

El capítulo 7 contiene una pequeña teoría de números, hasta la prueba del pequeño teorema de Fermat. Luego muestra cuánto de la estructura se transfiere al álgebra de polinomios reales.

El capítulo 8 construye los números reales, usando cortes Dedekind, y demuestra que tienen la menor propiedad de límite superior. Esto se utiliza entonces para probar los teoremas básicos del análisis real: el teorema del Valor Intermedio y el Teorema del Valor Extremo. Las secciones\(8.1\) a través\(8.4\) requieren únicamente Capítulos\(1-4\) y Sección 6.1. Las secciones\(8.5-8.8\) requieren Secciones\(5.1\) y 5.2. Sección\(8.9\) requiere Capítulo 6.

En el Capítulo 9, introducimos los números complejos. Secciones\(9.1\)\(9.3\) prueban la fórmula Tartaglia-Cardano para encontrar las raíces de un cúbico, y señalan cómo es necesario usar números complejos incluso para encontrar raíces reales de cubiceros reales. Estas secciones requieren únicamente los Capítulos 1 - 4. En Sección\(9.4\) probamos el Teorema Fundamental del Álgebra. Esto requiere el Capítulo 5 y el teorema de Bolzano-Weierstrass de la Sección 8.6.

¿Qué es un curso razonable basado en este libro? Los capítulos 1 a 4 son esenciales para cualquier curso. En un curso de un cuarto, también se podría abarcar el Capítulo 6 y bien el Capítulo 5 o el 7. En un curso de un semestre, uno podría abarcar Capítulos\(1-6\) y uno de los tres capítulos restantes. El Capítulo 9 puede cubrirse sin el Capítulo 8 si uno está dispuesto a afirmar la propiedad del Límite Mínimo Superior como axioma de los números reales, y entonces la Sección\(8.6\) puede cubrirse antes de la Sección\(9.4\) sin ningún otro material del Capítulo 8.

Te sugerimos que estés de acuerdo con tus compañeros en un plan de estudios común para este curso, para que los temas que cubras a fondo (por ejemplo, cardinalidad) no tengan que repetirse en cursos sucesivos.

Este curso de transición se está convirtiendo en uno de los cursos más importantes del plan de estudios de matemáticas, y el primer curso importante para la especialidad de matemáticas. Para el estudiante talentoso e intelectualmente discriminante de primer o segundo año los cursos iniciales estándar en el plan de estudios de matemáticas -cálculo, ecuaciones diferenciales, álgebra matricial- proporcionan poco incentivo para estudiar matemáticas. En efecto, hay pocas matemáticas en estos cursos, y menos aún con la evolución de los planes de estudios de pregrado inferior hacia el servicio de las ciencias y la ingeniería. Esto es particularmente inquietante ya que se refiere al talentoso estudiante que aún no se ha decidido por una especialización y puede que nunca haya considerado las matemáticas. Creemos que se debe alentar a los mejores estudiantes a tomar este curso lo antes posible, incluso concurrente con el cálculo del segundo semestre o tercer trimestre del primer año. No es solo para ayudar a futuros estudiantes de matemáticas, sino que también puede servir un valioso papel en reclutarlos, al permitir que los estudiantes inteligentes vean que las matemáticas son desafiantes y, más al grano, interesantes y profundas. La matemática es su mejor apologista. Exponga a los estudiantes temprano al pensamiento y resultados matemáticos auténticos y déjelos tomar una decisión informada. Puede ser una sorpresa para algunos, pero los buenos estudiantes aún buscan lo que los matemáticos buscaban como estudiantes: la satisfacción de dominar una disciplina difícil, interesante y útil.

Agradecimientos

Hemos recibido mucha ayuda en la redacción de este libro. Además del apoyo de nuestras familias, hemos recibido valiosos consejos y comentarios de nuestros estudiantes y colegas, y de los revisores del manuscrito. En particular nos gustaría agradecer a Matthew Valeriote por muchas discusiones útiles, y a Alexander Méndez por dibujar todas las figuras del libro. CAPÍTULO 1

Sets

Intuitivamente, un conjunto matemático es una colección de objetos matemáticos. Desafortunadamente esta sencilla caracterización de conjuntos, manejados descuidadamente, da lugar a contradicciones. Algunas colecciones resultarán no tener las propiedades que exigimos de conjuntos matemáticos. Un ejemplo de cómo esto puede ocurrir se presenta en la Sección 1.7. Aquí no vamos a desarrollar la teoría formal de conjuntos desde cero. En cambio, asumiremos que ciertos conjuntos de bloques de construcción son conocidos, y describir formas de construir nuevos conjuntos a partir de estos bloques de construcción.

Nuestros bloques de construcción iniciales serán los conjuntos de números naturales, enteros, números racionales y números reales. En el Capítulo 8, mostraremos cómo construir todos estos a partir de los números naturales. Sin embargo, no se puede ir mucho más allá de esto: para hacer matemáticas, hay que comenzar con axiomas que aseveran que existe el conjunto de números naturales.

Definición. Elemento,\(\in\) Si\(X\) es un conjunto y\(x\) es un objeto en\(X\), decimos que\(x\) es un elemento, o miembro, de\(X\). Esto está escrito\[x \in X .\] Escribimos\(x \notin X\) si no\(x\) es miembro de\(X\).

Existen numerosas formas de definir conjuntos. Si un conjunto tiene pocos elementos, puede definirse listando. Por ejemplo,\[X=\{2,3,5,7\}\] es el conjunto de los primeros cuatro números primos. A falta de cualquier otra indicación, se supone que un conjunto definido por una lista tiene como elementos solo los objetos de la lista. Para conjuntos con demasiados elementos para enumerar, debemos proporcionar al lector un medio para determinar la pertenencia al conjunto. El autor puede informar al lector que no se han enumerado todos los elementos del conjunto, sino que se ha proporcionado suficiente información para que el lector identifique un patrón para determinar la pertenencia al conjunto. Por ejemplo, let\[X=\{2,4,6,8, \ldots, 96,98\} .\] Entonces\(X\) es el conjunto de enteros pares positivos menores a 100. Sin embargo, el uso de puntos suspensivos para definir un conjunto puede no funcionar siempre: asume que el lector identificará el patrón que desea caracterizar. Aunque esto suele funcionar, conlleva el riesgo de que el lector no pueda identificar correctamente el patrón pretendido por el autor.

Algunos conjuntos son tan importantes que tienen nombres estándar y anotaciones que necesitarás conocer.

Notación. Números naturales,\(\mathbb{N}\) Los números naturales son los elementos del conjunto\[\{0,1,2,3, \ldots\} .\] Este conjunto se denota por\(\mathbb{N}\).

Cuidado: Muchos autores llaman\(\{1,2,3, \ldots\}\) al conjunto de números naturales. Esto es una cuestión de definición, y no hay convención universal; los logísticos tienden a favorecer nuestra convención, y los algebraistas el otro. En este libro, utilizaremos\(\mathbb{N}^{+}\) para denotar\(\{1,2,3, \ldots\}\).

NOTACIÓN. \(\mathbb{N}^{+} \mathbb{N}^{+}\)es el conjunto de enteros positivos,\[\{1,2,3, \ldots\} \text {. }\] NOTACIÓN. Enteros,\(\mathbb{Z} \mathbb{Z}\) es el conjunto de enteros,\[\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\} \text {. }\] NOTACIÓN. Números racionales,\(\mathbb{Q} \mathbb{Q}\) es el conjunto de números racionales,\[\left\{\frac{p}{q} \text { where } p, q \in \mathbb{Z} \text { and } q \neq 0\right\} \text {. }\] NOTACIÓN. Números reales,\(\mathbb{R} \mathbb{R}\) es el conjunto de números reales. Una buena comprensión de los números reales requiere un poco de desarrollo matemático. De hecho, fue sólo en el siglo XIX cuando realmente llegamos a una comprensión moderna de\(\mathbb{R}\). Tendremos mucho que decir sobre los números reales del Capítulo 8.

DEFINICIÓN. Un número\(x\) es positivo si\(x>0\). Un número no\(x\) es negativo si\(x \geq 0\).

NOTACIÓN. \(X^{+}\)Si\(X\) es un conjunto de números reales, usamos\(X^{+}\) para los números positivos en el conjunto\(X\).

La notación que hemos presentado para estos conjuntos es ampliamente utilizada. Presentamos una convención final para los nombres de conjuntos que no es tan ampliamente reconocida, pero que es útil para la teoría de conjuntos.

NOTACIÓN. \(\ulcorner n\urcorner\)es el conjunto de todos los números naturales menores que\(n\):\[\ulcorner n\urcorner=\{0,1,2, \ldots, n-1\} .\] Un propósito de esta notación es asociar canónicamente cualquier número natural\(n\) con un conjunto que tenga exactamente\(n\) elementos.

El lector debe tener en cuenta que no hemos definido los conjuntos anteriores. Estamos asumiendo que estás familiarizado con ellos, y algunas de sus propiedades, en virtud de tu experiencia previa en matemáticas. Eventualmente definiremos los conjuntos sistemáticamente en el Capítulo\(8 .\)

Un método más preciso para definir un conjunto es utilizar condiciones inequívocas que caractericen la pertenencia al conjunto.

Notación. \(\{x \in X \mid P(x)\}\)Dejar\(X\) ser un conjunto (previamente definido), y dejar\(P(x)\) ser una condición o propiedad. Entonces el conjunto\[Y=\{x \in X \mid P(x)\}\] es el conjunto de elementos en los\(X\) que cumplen condición\(P\). El conjunto\(X\) se llama el dominio de la variable.

En palabras, (1.1) se lee: "\(Y\)equivale al conjunto de todos (poco)\(x\) en (capital)\(X\) tal que\(P\) es cierto de\(x\)”. El símbolo "\(\mid\)" en (1.1) a menudo se escribe en su lugar con dos puntos, a saber\(\{x \in X: P(x)\}\). En matemáticas,\(P(x)\) es una fórmula a menudo matemática. Por ejemplo, supongamos que\(P(x)\) es la fórmula "\(x^{2}=4\)”. Por\(P(2)\) nos referimos a la fórmula con 2 sustituido por\(x\), es decir\[" 2^{2}=4 "\] Si la sustitución da como resultado una afirmación verdadera, decimos que se\(P(x)\) mantiene en 2, o\(P(2)\) es verdad. Si la afirmación que resulta de la sustitución es falsa, por ejemplo\(P(1)\), decimos que\(P(x)\) no se sostiene en 1, o que\(P(1)\) es falsa.

EJEMPLO 1.2. Considera el conjunto\[X=\{0,1,4,9, \ldots\} .\] Una definición precisa del mismo conjunto es la siguiente:\[X=\left\{x \in \mathbb{N} \mid \text { for some } y \in \mathbb{N}, x=y^{2}\right\} .\] EJEMPLO 1.3. Dejar\(Y\) ser el conjunto de enteros pares positivos menores a 100. Entonces se\(Y\) puede escribir:\[\left\{x \in \mathbb{N} \mid x<100 \text { and there is } n \in \mathbb{N}^{+} \text {such that } x=2 \cdot n\right\}\] EJEMPLO 1.4. Un intervalo\(I\) es un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) con la propiedad que siempre\(a, b \in I\) y\(a<c<b\), entonces\(c\) está en\(I\). Un intervalo delimitado debe tener una de las cuatro formas\ [\ begin {aligned} (a, b) &=\ {x\ in\ mathbb {R}\ mid a<x<b\}\\ {[a, b)} &=\ {x\ in\ mathbb {R}\ mid a\ leq x<b\}\\ (a, b] &=\ {x\ en math\ in\ mathbb {R}\ mediados a<x\ leq b\}\\ {[a, b]} &=\ {x\ in\ mathbb {R}\ mediados de a\ leq x \ leq b\} \ end {alineado}\] donde en los tres primeros casos\(a\) y\(b\) son números reales con\(a<b\) y en el cuarto caso solo requerimos\(a \leq b\). Los intervalos no acotados tienen cinco formas:\ [\ begin {aligned} (-\ infty, b) &=\ {x\ in\ mathbb {R}\ mid x<b\}\ (-\ infty, b] &=\ {x\ in\ mathbb {R}\ mid x\ leq b\}\\ (b,\ infty) &=\ {x\ in\ mathbb {R}\ mediados x>b\}\\ {[b,\ infty)} &=\ {x\ in\ mathbb {R}\ mediados x\ geq b\}\\ \ mathbb {R} & \ end {aligned}\] donde\(b\) hay algún número real. Un intervalo se llama cerrado si contiene todos sus extremos (ambos\(a\) y\(b\) en el primer grupo de ejemplos, solo\(b\) en los primeros cuatro ejemplos del segundo grupo), y abierto si no contiene ninguno de ellos. Observe que esto hace que\(\mathbb{R}\) el único intervalo que sea a la vez cerrado y abierto.

En aras de la brevedad, un autor no puede identificar explícitamente el dominio de la variable. Tenga cuidado con esto, ya que el autor está confiando en el lector para hacer las suposiciones necesarias. Por ejemplo, considere el conjunto\[X=\left\{x \mid\left(x^{2}-2\right)(x-1)\left(x^{2}+1\right)=0\right\} .\] Si se supone que el dominio de la variable es\(\mathbb{N}\), entonces\[X=\{1\} .\] Si se supone que el dominio de la variable es\(\mathbb{R}\), entonces\[X=\{1, \sqrt{2},-\sqrt{2}\} .\] Si se asume que el dominio de la variable es el números complejos, entonces,\[X=\{1, \sqrt{2},-\sqrt{2}, i,-i\}\] dónde\(i\) está el número complejo\(\sqrt{-1}\). Recuerde, la carga de la comunicación clara recae en el autor, no en el lector.

Otra alternativa es incluir el dominio de la variable en la condición que define la pertenencia al conjunto. Entonces, si\(X\) es el dominio pretendido del conjunto y\(P(x)\) es la condición para la pertenencia al conjunto,\[\{x \in X \mid P(x)\}=\{x \mid x \in X \text { and } P(x)\} .\] siempre y cuando la definición sea clara, el autor tiene cierta flexibilidad con respecto a la notación.

1.2.1. Establecer Identidad. ¿Cuándo son iguales dos conjuntos? Podría inclinarse a decir que dos conjuntos son iguales siempre que sean la misma colección de objetos. Por supuesto que esto es cierto, pero la igualdad como relación entre objetos no es muy interesante. Sin embargo, probablemente hayas pasado mucho tiempo investigando ecuaciones (que son solo declaraciones de igualdad), y dudamos de que la igualdad pareciera trivial. Esto se debe a que en general la igualdad debe entenderse como una relación entre descripciones o nombres de objetos, más que entre los propios objetos. El enunciado\[a=b\] es una afirmación de que el objeto representado por\(a\) es el mismo objeto que el representado por\(b\). Por ejemplo, la sentencia\[5-3=2\] es la afirmación de que el número representado por la expresión aritmética\(5-3\) es el mismo número que el representado por el numeral 2.

En el caso de los conjuntos, esta noción de igualdad se llama extensionalidad.

DEFINICIÓN. Extensionalidad Let\(X\) and\(Y\) be sets. Entonces\(X=Y\) siempre que cada elemento de también\(X\) sea un elemento de\(Y\) y cada elemento de también\(Y\) sea un elemento de\(X\).

Hay flexibilidad en cómo se caracteriza un conjunto siempre y cuando tengamos claro qué objetos constituyen el conjunto. Por ejemplo, consideremos la ecuación establecida\[\{\text { Mark Twain, Samuel Clemens }\}=\{\text { Mark Twain }\} .\] Si por “Mark Twain” y “Samuel Clemens”, nos referimos al autor estadounidense fallecido, estos conjuntos son iguales, por extensión, y la afirmación es verdadera. El conjunto en el lado izquierdo de la ecuación tiene un solo elemento ya que ambos nombres se refieren a la misma persona. Si, sin embargo, consideramos a “Mark Twain” y “Samuel Clemens” como nombres, la afirmación es falsa, ya que “Samuel Clemens” es miembro del conjunto en el lado izquierdo de la ecuación, pero no del lado derecho. Se puede ver que las definiciones de conjuntos pueden depender del dominio implícito de la variable aunque los conjuntos se definan listando.

Ejemplo 1.5. Considere los siguientes seis conjuntos:\ [\ begin {aligned} &X_ {1} =\ {1,2\}\\ &X_ {2} =\ {2,1\}\\ &X_ {3} =\ {1,2,1\}\\ &X_ {4} =\ {n\ in\ mathbb {N}\ mediados 0<n<3\}\\ &X_ {5} = izquierda\\ {n\ in\ mathbb {N}\ mid\ text {existen} x, y, z\ in\ mathbb {N} ^ {+}\ texto {tal que} x^ {n} +y^ {n} =z^ {n}\ derecha\}\\ &X_ {6} =\ {0,1,2\}. \ end {aligned}\] Los cinco primeros conjuntos son todos iguales, y el sexto es diferente. No obstante, si bien es obvio que\(X_{1}=X_{2}=X_{3}=X_{4}\), el hecho que\(X_{5}=X_{1}\) es el célebre teorema de Andrew Wiles (su prueba del último teorema de Fermat).

1.2.2. Conjuntos Relativos. Para decir algo interesante sobre los conjuntos, necesitamos formas de relacionarlos, y vamos a querer formas de crear nuevos conjuntos a partir de conjuntos existentes.

Definición. Subconjunto,\(\subseteq\) Let\(X\) y\(Y\) ser conjuntos. \(X\)es un subconjunto de\(Y\) si cada elemento de\(X\) es también un elemento de\(Y\). Esto se escribe\[X \subseteq Y .\] Superconjunto,\(\supseteq\) Si\(X \subseteq Y\), entonces\(Y\) se llama un superconjunto de\(X\), escrito Con el\[Y \supseteq X .\] fin de mostrar dos conjuntos son iguales (o que dos descripciones de conjuntos se refieren a la misma set), se debe demostrar que tienen precisamente los mismos elementos. A menudo es más fácil si el argumento se rompe en dos argumentos más simples en los que se muestra contención mutua de los conjuntos. En otras palabras, decir\(X=Y\) es lo mismo que decir\[X \subseteq Y \text { and } Y \subseteq X,\] y verificar las dos afirmaciones separadas en (1.6) suele ser más fácil (o al menos más claro) que mostrar\(X=Y\) eso de una vez.

Agreguemos algunas nociones más elementales a nuestra discusión de conjuntos.

DEFINICIÓN. Subconjunto adecuado,\(\subsetneq, \supsetneq\) Let\(X\) y\(Y\) ser conjuntos. \(X\)es un subconjunto propio de\(Y\) si\[X \subseteq Y \text { and } X \neq Y \text {. }\] Escribimos esto como\[X \subsetneq Y\] o\[Y \supsetneq X .\] DEFINICIÓN. Conjunto vacío,\(\emptyset\) El conjunto vacío es el conjunto sin elementos. Se denota por\(\emptyset\).

Entonces para cualquier conjunto,\(X\),\[\emptyset \subseteq X \text {. }\] (Piensa en por qué esto es cierto). \(\emptyset\)El hecho de que esté vacío no quiere decir que no tenga importancia. En efecto, muchas preguntas matemáticas se reducen a preguntar si un conjunto en particular está vacío o no. Además, como verá en el Capítulo 8, podemos construir toda la línea real a partir del conjunto vacío usando operaciones de conjunto.

EJERCICIO. (Ver Ejercicios 1.1). Demostrar que\[\{n \in \mathbb{N} \mid n \text { is odd and } n=k(k+1) \text { for some } k \in \mathbb{N}\}\] está vacío.

Discutamos algunas formas de definir nuevos conjuntos a partir de conjuntos existentes. DEFINICIÓN. Unión,\(\cup\) Let\(X\) and\(Y\) be sets. La unión de\(X\) y\(Y\), escrito\(X \cup Y\), es el conjunto\[X \cup Y=\{x \mid x \in X \text { or } x \in Y\} .\] (Recordemos nuestra discusión en la Sección 1.1 sobre el significado matemático de la palabra “o”.)

DEFINICIÓN. Intersección,\(\cap\) Let\(X\) and\(Y\) be sets. La intersección de\(X\) y\(Y\), escrito\(X \cap Y\), es el conjunto\[X \cap Y=\{x \mid x \in X \text { and } x \in Y\} .\] DEFINICIÓN. Establecer diferencia,\(\backslash\) Let\(X\) and\(Y\) be sets. La diferencia establecida de\(X\) y\(Y\), escrita\(X \backslash Y\), es la\[X \backslash Y=\{x \in X \mid x \notin Y\} .\] definición de conjunto. Disjoint Let\(X\) and\(Y\) be sets. \(X\)y\(Y\) son disjuntos si\[X \cap Y=\emptyset .\] A menudo uno trata con conjuntos que son subconjuntos de algún conjunto fijo dado\(U\). Por ejemplo, cuando se trata de conjuntos de números naturales, el conjunto\(U\) sería\(\mathbb{N}\).

DEFINICIÓN. Complemento Let\(X \subseteq U\). El complemento de\(X\) in\(U\) es el conjunto\(U \backslash X\). Cuando\(U\) se entiende desde el contexto,\(X\) se escribe el complemento de\(X^{c}\).

¿Qué pasa con las operaciones de conjuntos que involucran más de dos conjuntos? A diferencia de la aritmética, en la que existe un orden de operaciones por defecto (potencias, productos, sumas), no existe una convención universal para el orden en que se realizan las operaciones de conjunto. Si las intersecciones y uniones aparecen en la misma expresión, entonces el orden en que se realizan las operaciones puede importar. Por ejemplo, supongamos\(X\) y\(Y\) son conjuntos disjuntos, no vacíos, y consideramos la expresión\[X \cap X \cup Y \text {. }\] Si queremos decir que la intersección se ejecute antes de la unión, entonces\[(X \cap X) \cup Y=X \cup Y .\] If, sin embargo pretendemos que la unión se compute antes de la intersección, entonces\[X \cap(X \cup Y)=X .\] Since no\(Y\) está vacía y disjunta de\(X\),\[(X \cap X) \cup Y \neq X \cap(X \cup Y) .\] En consecuencia, el orden en que se ejecutan las operaciones de conjunto necesita prescribirse explícitamente con paréntesis.

EJEMPLO 1.7. Dejar\(X=\mathbb{N}\) y\(Y=\mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}\). Entonces\[(X \cap X) \cup Y=\mathbb{N} \cup Y=\mathbb{Z} .\] Sin embargo\[X \cap(X \cup Y)=\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}=\mathbb{N} .\] DEFINICIÓN Producto cartesiano, Producto directo,\(X \times Y\) Let\(X\) and\(Y\) be sets. El producto cartesiano de\(X\) y\(Y\), escrito\(X \times Y\), es el conjunto de pares ordenados\[\{(x, y) \mid x \in X \text { and } y \in Y\} .\] El producto cartesiano también se llama el producto directo.

EJEMPLO 1.8. Vamos\[X=\{1,2,3\}\] y\[Y=\{1,2\} .\] Entonces\[X \times Y=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\} .\] Tenga en cuenta que el orden importa - es decir\[(1,2) \neq(2,1) .\] Así\(X \times Y\) es un conjunto con seis elementos. Dado que los productos directos son en sí mismos conjuntos, podemos definir fácilmente el producto directo de más de dos factores. Por ejemplo, dejar\(X, Y\) y\(Z\) ser conjuntos, luego\[(X \times Y) \times Z=\{((x, y), z) \mid x \in X, y \in Y, z \in Z\} .\] Formalmente,\[(X \times Y) \times Z \neq X \times(Y \times Z),\] porque\(((x, y), z)\) y no\((x,(y, z))\) son lo mismo. Sin embargo en casi todas las aplicaciones, esta distinción no es importante, y los matemáticos generalmente consideran el producto directo de más de dos conjuntos sin tener en cuenta este detalle. Por lo tanto, generalmente verá el producto cartesiano de tres conjuntos escritos sin paréntesis,\[X \times Y \times Z \text {. }\] en este caso podrá interpretar el producto directo como cualquiera de los lados de la declaración 1.8.

Con un poco de pensamiento, se puede concluir que hemos descrito esencialmente el producto cartesiano de una colección finita arbitraria de conjuntos. Los elementos del producto cartesiano\(X \times Y\) son pares ordenados. Nuestra caracterización del producto cartesiano de tres conjuntos,\(X, Y\) y\(Z\), indica que sus elementos podrían considerarse como pares ordenados de elementos de\(X \times Y\) y\(Z\), respectivamente. Desde un punto de vista práctico, es más sencillo pensar en elementos\(X \times Y \times Z\) de triples ordenados. Esto lo generalizamos de la siguiente manera.

DEFINICIÓN. Producto cartesiano, producto directo,\(\prod_{i=1}^{n} X_{i}\) Let\(n \in\)\(\mathbb{N}^{+}\), y\(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) ser conjuntos. El producto cartesiano de\(X_{1}, \ldots, X_{n}\), escrito\(X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{n}\), es el conjunto\[\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \mid x_{i} \in X_{i}, 1 \leq i \leq n\right\} .\] Esto también puede escribirse\[\prod_{i=1}^{n} X_{i} .\] Cuando tomamos el producto cartesiano de un conjunto\(X\) consigo mismo\(n\) tiempos, lo escribimos como \(X^{n}\):\[X^{n}:=\overbrace{X \times X \times \cdots \times X}^{n \text { times }} .\]

Funciones

Al igual que los conjuntos, las funciones son omnipresentes en las matemáticas.

Definición. Función,\(f: X \rightarrow Y\) Let\(X\) and\(Y\) be sets. Una función\(f\) de\(X\) a\(Y\), denotada por\(f: X \rightarrow Y\), es una asignación de exactamente un elemento de\(Y\) a cada elemento de\(X\).

Para cada elemento\(x \in X\), la función\(f\) asocia o selecciona un elemento único\(y \in Y\). La condición de singularidad no permite\(x\) ser asignada a distintos elementos de\(Y\). Permite que diferentes elementos de\(X\) sean asignados al mismo elemento de\(Y\) sin embargo. Es importante para tu comprensión de las funciones que consideres este punto cuidadosamente. Los siguientes ejemplos pueden ayudar a ilustrar esto.

EJEMPLO 1.9. Let\(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}\) be given by\[f(x)=x^{2} .\] Then\(f\) es una función en la que el elemento de\(\mathbb{R}\) asignado al elemento\(x\) de\(\mathbb{Z}\) es especificado por la expresión\(x^{2}\). Por ejemplo,\(f\) asigna 9 al entero 3. Esto lo expresamos por escrito\[f(3)=9 \text {. }\] Observe que no todos los números reales están asignados a un número de\(\mathbb{Z}\). Además, observe que 4 se asigna tanto a 2 como a\(-2\). Comprobar que\(f\) sí satisface la definición de una función.

EJEMPLO 1.10. Dejar\(g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ser definido por\(g(x)=\tan (x)\). Entonces no\(g\) es una función, porque no se define cuando\(x=\pi / 2\) (o siempre\(x-\pi / 2\) es un múltiplo entero de\(\pi\)). Esto se puede arreglar definiendo\[X=\mathbb{R} \backslash\{\pi / 2+k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\} .\] Entonces\(\tan : X \rightarrow \mathbb{R}\) es una función de\(X\) a\(\mathbb{R}\). EJEMPLO 1.11. Considera dos reglas\(f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\),, definidas por\ [\ begin {array} {ll} f (x) =y &\ text {if} 3 x=2-y\\ g (x) =y &\ text {if} x=y^ {4}. \ end {array}\] Entonces\(f\) es una función, y se puede dar explícitamente como\(f(x)=2-3 x\). Pero\(g\) no define una función, porque\(e . g\). cuando\(x=16\), entonces\(g(x)\) podría ser o bien 2 o\(-2\).

DEFINICIÓN. Imagen Let\(f: X \rightarrow Y\). Si\(a \in X\), entonces el elemento de\(Y\) que se\(f\) asigna a\(a\) se denota por\(f(a)\), y se llama la imagen de\(a\) debajo\(f\).

La notación\(f: X \rightarrow Y\) es una declaración que\(f\) es una función de\(X\) a\(Y\). Esta afirmación tiene como consecuencia que para cada\(a \in X\),\(f(a)\) es un elemento específico de\(Y\). Damos una caracterización alternativa de funciones basada en productos cartesianos.

DEFINICIÓN. Gráfica de una función Let\(f: X \rightarrow Y\). La gráfica de\(f, \operatorname{graph}(f)\), es\[\{(x, y) \mid x \in X \text { and } f(x)=y\} .\] EJEMPLO 1.12. Dejar\(X \subseteq \mathbb{R}\) y\(f: X \rightarrow \mathbb{R}\) ser definido por\(f(x)=\)\(-x\). Entonces la gráfica de\(f\) es\[\{(x,-x) \mid x \in X\} .\] EJEMPLO 1.13. La función vacía\(f\) es la función con gráfico vacío (esa es la gráfica de\(f\) es el conjunto vacío). Esto significa\(f: \emptyset \rightarrow Y\) para algún conjunto\(Y\).

Si\(f: X \rightarrow Y\), entonces,\[\operatorname{graph}(f) \subseteq X \times Y \text {. }\] Vamos\(Z \subseteq X \times Y\). Entonces\(Z\) es la gráfica de una función de\(X\) a\(Y\) si

(i) para cualquiera\(x \in X\), hay algunos\(y\) en\(Y\) tal que\((x, y) \in Z\)

(ii) si\((x, y)\) está adentro\(Z\) y\((x, z)\) está adentro\(Z\), entonces\(y=z\). Supongamos\(X\) y\(Y\) son subconjuntos de\(\mathbb{R}\). Entonces Condición (i) es la condición de que cada línea vertical a través de un punto de\(X\) corta la gráfica al menos una vez. La condición (ii) es la condición de que cada línea vertical a través de un punto de\(X\) corta la gráfica como máximo una vez.

DEFINICIÓN. Dominio, Codominio Let\(f: X \rightarrow Y\). El conjunto\(X\) se llama el dominio de\(f\), y está escrito\(\operatorname{Dom}(f)\). El conjunto\(Y\) se llama el codominio de\(f\).

El dominio de una función es un componente necesario de la definición de una función. El codominio es un poco más sutil. Si piensas en las funciones como conjuntos de pares ordenados, es decir, si identificaste la función con su gráfica, entonces cada función tendría muchos codominios posibles (tomar cualquier superconjunto del codominio original). Los teóricos de conjuntos piensan en las funciones de esta manera, y si las funciones se consideran como conjuntos, la extensionalidad requiere que las funciones con la misma gráfica sean idénticas. No obstante, esta convención haría torpe una discusión de las suryecciones (véase más adelante), por lo que no la adoptaremos.

Cuando escribes\[f: X \rightarrow Y\] estás nombrando explícitamente el codominio previsto, y esto hace que el codominio sea una parte crucial de la definición de la función. Estás indicando al lector que tu definición incluye algo más que la gráfica de la función. La definición de una función incluye tres partes: el dominio, el codominio y la gráfica.

EJEMPLO 1.14. Dejar\(f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) ser definido por\[f(n)=n^{2} .\] Let\(g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\) be defined by\[g(x)=x^{2} .\] Then\(\operatorname{graph}(f)=\operatorname{graph}(g)\). Si\(h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) se define para\[h(x)=x^{2}\] entonces\(\operatorname{graph}(f) \subsetneq \operatorname{graph}(h)\), así\(f \neq h\) y\(g \neq h\). Si bien\(\operatorname{graph}(f)=\)\(\operatorname{graph}(g)\), consideramos\(f\) y\(g\) ser diferentes funciones porque tienen diferentes codominios.

DEFINICIÓN. Rango Let\(f: X \rightarrow Y\). El rango de\(f, \operatorname{Ran}(f)\), es\[\{y \in Y \mid \text { for some } x \in X, f(x)=y\} \text {. }\] So si\(f: X \rightarrow Y\), entonces\(\operatorname{Ran}(f) \subseteq Y\), y es precisamente el conjunto de imágenes bajo\(f\) de elementos en\(X\). Eso es\[\operatorname{Ran}(f)=\{f(x) \mid x \in X\} .\] Ningún subconjunto adecuado de\(\operatorname{Ran}(f)\) puede servir como codominio para una función que tiene la misma gráfica que\(f\).

EJEMPLO 1.15. Con la misma notación que en el Ejemplo 1.14, tenemos\(\operatorname{Ran}(f)=\operatorname{Ran}(g)=\left\{n \in \mathbb{N} \mid n=k^{2}\right.\) para algunos\(\left.k \in \mathbb{N}\right\}\). El rango de\(h\) es\([0, \infty)\).

DEFINICIÓN. Función de valor real, función real Let\(f: X \rightarrow Y\). Si\(\operatorname{Ran}(f) \subseteq \mathbb{R}\), decimos que\(f\) es de valor real. Si\(X \subseteq \mathbb{R}\) y\(f\) es una función de valor real, entonces llamamos\(f\) una función real.

A veces se dice que una función es una regla que asigna, a cada elemento de un conjunto dado, algún elemento de otro conjunto. Si por una regla se entiende una instrucción de algún tipo, verá en el Capítulo 6 que hay “más” funciones que no pueden caracterizarse por reglas que funciones que las que pueden haber. En la práctica, sin embargo, la mayoría de las funciones que utilizamos están definidas por reglas.

Si una función viene dada por una regla, es común escribirla en la forma\ [\ begin {aligned} f: X &\ fila derecha Y\\ x &\ mapsto f (x). \ end {aligned}\] El símbolo\(\mapsto\) se lee “se asigna a”. Por ejemplo, la función\(g\) del ejemplo anterior podría definirse por\ [\ begin {aligned} g:\ mathbb {N} &\ rightarrow\ mathbb {R}\\ n &\ mapsto n^ {2}. \ end {alineado}\] Ejemplo 1.16. La función\ [\ begin {aligned} f:\ mathbb {R} &\ rightarrow\ mathbb {R}\\ x &\ mapsto\ begin {cases} 0 & x<0\\ x+1 & x\ geq 0\ end {cases} \ end {aligned}\] está definida por una regla, aunque para aplicar la regla a un dado primero\(x\) debes verificar dónde en el dominio\(x\) se encuentra.

Cuando una función real es definida por una regla y el dominio no se establece explícitamente, se toma como el conjunto más grande para el que se define la regla. Esta es la convención habitual en el cálculo: las funciones reales se definen por expresiones matemáticas y se entiende que el dominio implícito de una función es el subconjunto más grande\(\mathbb{R}\) para el que la expresión tiene sentido. Se supone que el codominio de una función real es a\(\mathbb{R}\) menos que se indique explícitamente lo contrario.

EJEMPLO 1.17. Que\(f(x)=\sqrt{x}\) sea una función real. Se supone que el dominio de la función es\[\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\} .\] DEFINICIÓN. Operación Dejar\(X\) ser un conjunto, y\(n \in \mathbb{N}^{+}\). Una operación\(X\) encendida es una función de\(X^{n}\) a\(X\).

Las operaciones pueden considerarse como medios para combinar elementos de un conjunto para producir nuevos elementos del conjunto. Las operaciones más comunes son las operaciones binarias (cuando\(n=2\)).

Ejemplo\(1.18 .+\) y\(\cdot\) son operaciones binarias en\(\mathbb{N}\).

• y no\(\div\) son operaciones en\(\mathbb{N}\).

EJEMPLO 1.19. Let\(X=\mathbb{R}^{3}\), pensado como el conjunto de 3 -vectores. La función\(x \mapsto-x\) es una operación unaria\(X\) encendida, la función\((x, y) \mapsto x+y\) es una operación binaria y la función\((x, y, z) \mapsto x \times y \times z\) es una operación ternaria. Si\(f: X \rightarrow Y, g: X \rightarrow Y\), y\(\star\) es una operación binaria\(Y\) encendida, entonces hay una manera natural de definir una nueva función al\(X\) usar\(\star\). Definir\(f \star g\) por\ [\ comenzar {alineado} f\ estrella g: X &\ fila derecha Y\\ (f\ estrella g) (x) &=f (x)\ estrella g (x). \ end {alineado}\] Ejemplo 1.20. Supongamos que\(f\) es la función real\(f(x)=x^{3}\), y\(g\) es la función real\(g(x)=3 x^{2}-1\). Entonces\(f+g\) es la función real\(x \mapsto x^{3}+3 x^{2}-1\), y\(f \cdot g\) es la función real\(x \mapsto x^{3}\left(3 x^{2}-1\right)\).

Otra forma de construir nuevas funciones es por composición.

DEFINICIÓN. Composición,\(\circ\) Let\(f: X \rightarrow Y\) y\(g: Y \rightarrow Z\). Entonces la composición de\(g\) con\(f\) es la función,\ [\ begin {aligned} g\ circ f: X &\ rightarrow Z\\ x &\ mapsto g (f (x)). \ end {alineado}\] Ejemplo 1.21. Dejar\(f\) ser la función real\[f(x)=x^{2} .\] Dejar\(g\) ser la función real\[g(x)=\sqrt{x} .\] Entonces\[(g \circ f)(x)=|x| .\] ¿qué es\(f \circ g\)? (Tenga cuidado con el dominio).

EJEMPLO 1.22. Vamos\ [\ comenzar {alineado} f:\ mathbb {R} &\ rightarrow\ mathbb {R}\\ x &\ mapsto 2 x+1 \ end {alineado}\] y dejar\ [\ comenzar {alineado} g:\ mathbb {R} ^ {2} &\ rightarrow\ mathbb {R}\\ (x, y) &\ mapsto x^ {2} +3 y^ {2}. \ end {alineado}\] Entonces\ [\ begin {alineado} f\ circ g:\ mathbb {R} ^ {2} &\ fila derecha\ mathbb {R}\\ (x, y) &\ mapsto 2 x^ {2} +6 y^ {2} +1. \ end {aligned}\] La función no\(g \circ f\) está definida (¿por qué?).

Inyecciones, Suryecciones, Biyecciones

Las más básicas entre las características que puede tener una función son las propiedades de inyectividad, surjectividad y bijectividad.

DEFINICIÓN. Inyección, Let Uno a Uno\(f: X \rightarrow Y\). La función\(f\) se llama inyección si, siempre que\(x\) y\(y\) son elementos distintos de\(X\), tenemos\(f(x) \neq f(y)\). Las inyecciones también se llaman funciones uno-a-uno.

Otra forma de afirmar la definición (el contrapositivo) es que si\(f(x)=f(y)\) entonces\(x=y\).

EJEMPLO 1.23. La función real\(f(x)=x^{3}\) es una inyección. Para ver esto, dejemos\(x\) y\(y\) sean números reales, y supongamos que\[f(x)=x^{3}=y^{3}=f(y) .\]\[x=\left(x^{3}\right)^{1 / 3}=\left(y^{3}\right)^{1 / 3}=y .\] Entonces Así, por\(x, y \in X\),\[f(x)=f(y) \text { only if } x=y .\] Ejemplo 1.24. La función real no\(f(x)=x^{2}\) es una inyección, ya que\[f(2)=4=f(-2) .\] Observe que un solo ejemplo es suficiente para demostrar que\(f\) no es una inyección.

EJEMPLO 1.25. Supongamos\(f: X \rightarrow Y\) y\(g: Y \rightarrow Z\). Demostrar que si\(f\) y\(g\) son inyectables, así es\(g \circ f\).

Prueba. Supongamos que\(g \circ f(x)=g \circ f(y)\). Ya que\(g\) es inyectivo, esto quiere decir que\(f(x)=f(y)\). Ya que\(f\) es inyectable, esto a su vez significa eso\(x=y\). Por lo tanto,\(g \circ f\) es inyectivo, según se desee. (Ver Ejercicio\(1.20\) a continuación).

Definición. Surjección, Onto Let\(f: X \rightarrow Y\). Decimos que\(f\) es una sobrejección de\(X\) a\(Y\) si\(\operatorname{Ran}(f)=Y\). También describimos esto diciendo que\(f\) está sobre\(Y\).

EJEMPLO 1.26. La función\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por no\(f(x)=x^{2}\) es una sobreyección. Por ejemplo,\(-1\) está en el codominio de\(f\), pero\(-1 \notin \operatorname{Ran}(f)\). Por lo tanto,\(\operatorname{Ran}(f) \subsetneq \mathbb{R}\).

EJEMPLO 1.27. Dejar\(Y=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}\), y\(f: \mathbb{R} \rightarrow Y\) ser dado por\(f(x)=x^{2}\). Entonces\(f\) es una sobrejección. Para probarlo, tenemos que demostrarlo\(Y=\operatorname{Ran}(f)\). Eso lo sabemos\(\operatorname{Ran}(f) \subseteq Y\), así que debemos mostrar\(Y \subseteq \operatorname{Ran}(f)\). Vamos\(y \in Y\), así\(y\) es un número real no negativo. Entonces\(\sqrt{y} \in \mathbb{R}\), y\(f(\sqrt{y})=y\). Entonces\(y \in \operatorname{Ran}(f)\). Ya que\(y\) fue un elemento arbitrario de\(Y, Y \subseteq \operatorname{Ran}(f)\). De ahí\(Y=\operatorname{Ran}(f)\) y\(f\) es una sobrejección.

El hecho de que una función sea una sobreyección depende de la elección del codominio. Una función está siempre en su rango. Quizás te preguntes por qué uno no definiría simplemente el codominio como el rango de la función (garantizando que la función es una suryección). Una razón es que podemos estar más interesados en relacionar dos conjuntos usando funciones que en cualquier función particular entre los conjuntos. Estudiamos una importante aplicación de funciones para relacionar conjuntos en el Capítulo 6, donde utilizamos funciones para comparar el tamaño de los conjuntos. Esto es de particular interés a la hora de comparar conjuntos infinitos, y ha llevado a profundizar en los fundamentos de las matemáticas.

Si juntamos las ideas de una inyección y una suryección, llegamos a la idea clave de una biyección.

Definición. Bijección,\(\mapsto\) Vamos\(f: X \rightarrow Y\). Si\(f\) es una inyección y una sobreyección, entonces\(f\) es una biyección. Esto está escrito como\(f: X \mapsto Y\).

¿Por qué son tan importantes las bijecciones? Desde un punto de vista teórico, las funciones pueden ser utilizadas para relacionar el dominio y el codominio de la función. Si está familiarizado con un conjunto, es posible que pueda desarrollar conocimientos en un conjunto diferente al encontrar una función entre los conjuntos que conserve algunas de las características clave de los conjuntos. Por ejemplo, una inyección puede “interpretar” un conjunto en un conjunto diferente. Si la inyección conserva la información crítica del dominio, podemos comportarnos como si el dominio de la función fuera prácticamente un subconjunto del codominio mediante el uso de la función para “renombrar” los elementos del dominio. Si la función es una biyección, y conserva las características estructurales clave del dominio, podemos tratar el dominio y el codominio como prácticamente el mismo conjunto. Cuáles son las características estructurales clave depende del área de matemáticas que estés estudiando. Por ejemplo, si estás estudiando estructuras algebraicas, probablemente estés más interesado en preservar las operaciones de la estructura. Si estás estudiando geometría, te interesan las funciones que preserven la forma. La preservación de las características estructurales clave del dominio o codominio a menudo nos permite traducir el conocimiento de un conjunto en conocimiento equivalente de otro conjunto.

DEFINICIÓN. Permutación Let\(X\) Ser un conjunto. Una permutación de\(X\) es una biyección\(f: X \mapsto X\).

EJEMPLO 1.28. Dejar\(f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\) ser definido por\[f(x)=x+1 .\] Entonces\(f\) es una permutación de\(\mathbb{Z}\).

Ejemplo 1.29. Vamos\(X=\{0,1,-1\}\). Entonces\(f: X \rightarrow X\) dada por\(f(x)=-x\) es una permutación de\(X\).

Imágenes e inversos

Las funciones se pueden utilizar para definir subconjuntos de conjuntos dados.

DEFINICIÓN. Imagen,\(f[]\) Let\(f: X \rightarrow Y\) y\(W \subseteq X\). La imagen de\(W\) debajo\(f\), escrita\(f[W]\), es el conjunto\[\{f(x) \mid x \in W\} .\] Así que si\(f: X \rightarrow Y\), entonces\[\operatorname{Ran}(f)=f[X] .\] EJEMPLO 1.30. Supongamos que\(f\) es la función real\(f(x)=x^{2}+3\). Vamos\(W=\{-2,2,3\}\), y\(Z=(-1,2)\). Entonces\(f[W]=\{7,12\}\), y\(f[Z]=[3,7)\).

En aplicaciones de las matemáticas, las funciones suelen describir relaciones numéricas entre observaciones medibles. Entonces si\(f: X \rightarrow Y\) y\(a \in X\), entonces\(f(a)\) es la medida predicha o real asociada con\(a\). En este contexto, a menudo uno está interesado en determinar qué elementos de\(X\) están asociados a un valor,\(b\), en el codominio de\(f\).

Definición 1.31. Imagen inversa, Pre-imagen,\(f^{-1}(\)) Let\(f: X \rightarrow Y\) y\(b \in Y\). Entonces la imagen inversa de\(b\) under\(f, f^{-1}(b)\), es el conjunto\[\{x \in X \mid f(x)=b\} .\] Este conjunto también se llama la pre-imagen de\(b\) under\(f\).

Tenga en cuenta que si\(b \notin \operatorname{Ran}(f)\), entonces\(f^{-1}(b)=\emptyset\). Si\(f\) es una inyección, entonces para cualquiera\(b \in \operatorname{Ran}(f), f^{-1}(b)\) tiene un solo elemento.

Definición. Imagen inversa, Pre-imagen,\(f^{-1}[]\) Let\(f: X \rightarrow Y\) y\(Z \subseteq Y\). La imagen inversa de\(Z\) under\(f\), o la pre-imagen de\(Z\) under\(f\), es el conjunto\[f^{-1}[Z]=\{x \in X \quad \mid f(x) \in Z\}\] que usamos\(f^{-1}[]\) para significar la imagen inversa de un subconjunto del codominio, y\(f^{-1}\) () para la imagen inversa de un elemento del codominio - ambos son subconjuntos del dominio de\(f\). Si\(Z \cap \operatorname{Ran}(f)=\emptyset\), entonces\[f^{-1}[Z]=\emptyset .\] EJEMPLO 1.32. \(f\)Sea como en Figura\(1.33\) Entonces\(f[\{b, c\}]=\{1,3\}\), y\(f^{-1}[\{1,3\}]=\{a, b, c, d\}\).

FIGURA 1.33. Imagen de\(f\)

EJEMPLO 1.34. \(g\)Déjese ser la verdadera función\(g(x)=x^{2}+3\). Si\(b \in \mathbb{R}\) y\(b>3\), entonces\[g^{-1}(b)=\{\sqrt{b-3},-\sqrt{b-3}\} .\] Si\(b=3\), entonces\(g^{-1}(3)=\{0\}\). Si\(b<3\), entonces\(g^{-1}(b)\) está vacío.

EJEMPLO 1.35. \(h\)Déjese ser la verdadera función\(h(x)=e^{x}\). Si\(b \in \mathbb{R}\) y\(b>0\), entonces\[h^{-1}(b)=\left\{\log _{e}(b)\right\} .\] Por ejemplo,\[h^{-1}(1)=\{0\} .\] Porque\(h\) es estrictamente creciente, la imagen inversa de cualquier elemento del codominio\((\mathbb{R})\) es o bien un conjunto con un solo elemento o el conjunto vacío.

Let\(I=(a, b)\), donde\(a, b \in \mathbb{R}\) y\(0<a<b\) (\(I\)es decir, el intervalo abierto con puntos finales\(a\) y\(b\)). Luego\[h^{-1}[I]=\left(\log _{e}(a), \log _{e}(b)\right) .\] hemos discutido la construcción de nuevas funciones a partir de funciones existentes utilizando operaciones algebraicas y composición de funciones. Otra herramienta para construir nuevas funciones a partir de funciones conocidas es la función inversa.

Definición 1.36. Función inversa Let\(f: X \mapsto Y\) Ser una biyección. Entonces la función inversa de\(f, f^{-1}: Y \rightarrow X\), es la función con gráfica\[\{(b, a) \in Y \times X \mid(a, b) \in \operatorname{graph}(f)\} .\] La función\(f^{-1}\) se define por “revertir las flechas”. Para que esto tenga sentido,\(f: X \rightarrow Y\) debe ser biyectiva. En efecto, si no\(f\) fueran suryectivas, entonces habría un elemento\(y\) de\(Y\) que no está en el rango de\(f\), por lo que no se puede mapear de nuevo a nada en\(X\). Si no\(f\) fueran inyectables, habría elementos\(z\) de\(Y\) que fueran la imagen de elementos distintos\(x_{1}\) y\(x_{2}\) en\(X\). No se podría definir\(f^{-1}(z)\) sin especificar cómo elegir una preimagen en particular. Ambos problemas se pueden solucionar. Si\(f\) es inyectable pero no suryectiva, se puede definir\(g: X \mapsto \operatorname{Ran}(f)\) por\[g(x)=f(x)\] para todos\(x \in X\). Entonces\(g^{-1}: \operatorname{Ran}(f) \mapsto X\). Si no\(f\) es inyectable, el problema es más complicado; pero si podemos encontrar algún subconjunto\(X\) sobre el cual\(f\) es inyectable, podríamos restringir nuestra atención a ese conjunto.

EJEMPLO 1.37. \(f\)Déjese ser la verdadera función\(f(x)=x^{2}\). La función no\(f\) es una biyección, por lo que no tiene una función inversa. Sin embargo la función\ [\ begin {aligned} g: [0,\ infty) &\ rightarrow [0,\ infty)\\ x &\ mapsto x^ {2} \ end {alineado}\] es una biyección. En este caso,\[g^{-1}(y)=\sqrt{y} .\]

FIGURA 1.38. Imagen de\(g\)

EJEMPLO 1.39. Que\(f\) sea la verdadera función,\(f(x)=e^{x}\). Sabes por cálculo que\(f\) es una inyección, y eso\(\operatorname{Ran}(f)=\mathbb{R}^{+}\). De ahí\(f\) que no sea una sobreyección, ya que el codominio implícito de una función real lo es\(\mathbb{R}\). La función\ [\ begin {aligned} g:\ mathbb {R} &\ rightarrow\ mathbb {R} ^ {+}\\ x &\ mapsto e^ {x} \ end {aligned}\] es una biyección y\[g^{-1}(x)=\log _{e}(x)\] Advertencia: Para\(f: X \mapsto Y\) una biyección hemos asignado dos significados diferentes a\(f^{-1}(b)\). En la Definición 1.31, significa el conjunto de puntos en los\(X\) que se mapean\(b\). En la Definición 1.36, significa la función inversa\(f^{-1}\),, de la biyección\(f\) aplicada al punto\(b \in Y\). Sin embargo, si\(f\) es una biyección, para que la segunda definición tenga sentido, entonces estas definiciones están estrechamente relacionadas. Supongamos\(a \in \operatorname{Dom}(f)\) y\(f(a)=b\). De acuerdo con la Definición 1.31,\(f^{-1}(b)=\{a\}\) y por Definición\(1.36\)\(f^{-1}(b)=a\). En la práctica el contexto dejará claro qué definición se pretende. DEFINICIÓN. Función de identidad, id\(\left.\right|_{X}\) Let\(X\) be a set. La función de identidad on\(X\), id\(\left.\right|_{X}: X \mapsto X\), es la función definida por\[\left.\operatorname{id}\right|_{X}(x)=x .\] If\(f: X \rightarrow Y\) es una biyección, entonces\(f^{-1}\) es la función única tal que\[f^{-1} \circ f=\left.\operatorname{id}\right|_{X}\] y\[f \circ f^{-1}=\left.\mathrm{id}\right|_{Y} .\] Porque \(f(x)=x^{2}\)no es una inyección, no tiene inversa, incluso después de restringir el codominio para que sea el rango. Por lo tanto, para “invertir”\(f\), consideramos una función diferente\(g(x)\), que era igual a\(f\) sobre un subconjunto del dominio de\(f\), y era una inyección. En el Ejemplo 1.37, logramos esto definiendo la función\(g(x)=x^{2}\) con dominio\(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\}\). Muchas de las funciones que necesitamos invertir por razones prácticas y teóricas pasan por no ser inyecciones, y por lo tanto no tienen funciones inversas. Una forma de abordar este obstáculo es considerar la función en un dominio más pequeño.

Dada una función, es posible\(f: X \rightarrow Y\) que deseemos definir una “inversa” de\(f\) en algún subconjunto\(W \subseteq X\) para el cual la restricción de\(f\) a\(W\) es una inyección.

DEFINICIÓN. Dominio restringido,\(\left.f\right|_{W}\) Let\(f: X \rightarrow Y\) y\(W \subseteq X\). La restricción de\(f\) a\(W\), escrita\(\left.f\right|_{W}\), es la función\ [\ begin {aligned} \ left.f\ right|_ {W}: W &\ rightarrow Y\\ x &\ mapsto f (x). \ end {aligned}\] Así que si\(f: X \rightarrow Y\) y\(W \subseteq X\), entonces\[\operatorname{graph}\left(\left.f\right|_{W}\right)=[W \times Y] \cap[\operatorname{graph}(f)] .\] EJEMPLO 1.40. Vamos\(f(x)=(x-2)^{4}\). Vamos\(W=[2, \infty)\). Entonces\[\left.f\right|_{W}: W \rightarrow[0, \infty)\] es una biyección. EJEMPLO 1.41. Que\(f\) sea la verdadera función,\(f(x)=\tan (x)\). Entonces\[\operatorname{Dom}(f)=\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi / 2+k \pi, k \in \mathbb{Z}\},\] y\[\operatorname{Ran}(f)=\mathbb{R} .\] La función\(f\) es periódica con periodo\(\pi\), y por lo tanto no es una inyección. No obstante, es importante responder a la pregunta,

“En qué ángulo (s),\(x\), hace\(\tan (x)\) igual a un valor particular,\(a \in \mathbb{R}\) “”.

Esto es matemáticamente equivalente a preguntar,\[\text { "What is } \arctan (a) \text { ?". }\] En cálculo esta necesidad se satisfizo restringiendo el dominio a un intervalo mayor,\(I\) tal que\[\left.f\right|_{I}: I \mapsto \mathbb{R}\] Para cualquiera\(k \in \mathbb{Z}\),\[\left(\frac{(2 k+1) \pi}{2}, \frac{(2 k+3) \pi}{2}\right)\] es tal intervalo. Para definir una función específica, se selecciona el más simple de estos intervalos, y definimos\[\operatorname{Tan}:=\left.\tan \right|_{(-\pi / 2, \pi / 2)} .\] Observar que\[\text { Tan : }(-\pi / 2, \pi / 2) \mapsto \mathbb{R} .\] Así la función es invertible, es decir, Tan tiene una función inversa,\[\operatorname{Arctan}=\operatorname{Tan}^{-1} \text {. }\]

Secuencias

En el cálculo pensamos en una secuencia como una lista (posiblemente infinita) de objetos. Ampliaremos un poco esa idea, y la expresaremos en el lenguaje de las funciones.

DEFINICIÓN. Secuencia finita,\(\left\langle a_{n} \mid n<N\right\rangle\) Una secuencia finita es una función\(f\) con dominio\(\ulcorner N\urcorner\), donde\(N \in \mathbb{N}\). A menudo identificamos la secuencia con el conjunto finito ordenado\(\left\langle a_{n} \mid n<N\right\rangle\), donde\(a_{n}=f(n)\), para\(0 \leq n<N\).

Esta interpretación de una secuencia como un tipo de función se extiende fácilmente a secuencias infinitas.

DEFINICIÓN. Secuencia infinita,\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) Una secuencia infinita es una función\(f\) con dominio\(\mathbb{N}\). A menudo identificamos la secuencia con el conjunto infinito ordenado\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\), donde\(a_{n}=f(n)\), para\(n \in \mathbb{N}\).

OBSERVACIÓN. Intervalo en\(\mathbb{Z}\) Realmente, la secuencia de palabras se usa normalmente para significar cualquier función cuyo dominio sea un intervalo in\(\mathbb{Z}\), donde un intervalo in\(\mathbb{Z}\) es la intersección de algún intervalo real con\(\mathbb{Z}\). Por conveniencia en este libro, solemos suponer que el primer elemento de cualquier secuencia está indexado por 0 o 1.

EJEMPLO 1.42. La secuencia\(\langle 0,1,4,9, \ldots\rangle\) viene dada por la función\(f(n)=n^{2} .\)

La secuencia\(\langle 1,-1,2,-2,3,-3, \ldots\rangle\) viene dada por la función\[f(n)= \begin{cases}\frac{n}{2}+1, & n \text { even } \\ -\frac{n+1}{2}, & n \text { odd. }\end{cases}\] Secuencias puede tomar valores en cualquier conjunto (el codominio de la función\(f\) que define la secuencia). Hablamos de una secuencia real si los valores son números reales, una secuencia entera si todos son enteros, etc. resultará más tarde que las secuencias con valores en el conjunto de dos elementos\(\{0,1\}\) ocurren con bastante frecuencia, así que tenemos un nombre especial para ellos: los llamamos secuencias binarias.

DEFINICIÓN. Secuencia binaria Una secuencia binaria finita es una función\(f:\ulcorner N\urcorner \rightarrow\ulcorner 2\urcorner\),, para algunos\(N \in \mathbb{N}\). Una secuencia binaria infinita es una función,\(f: \mathbb{N} \rightarrow\ulcorner 2\urcorner\).

A menudo usamos la expresión\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) para la secuencia\(\left\langle a_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\).

Las funciones también se utilizan para “indexar” conjuntos con el fin de construir conjuntos más complicados con operaciones de conjunto generalizadas. Se discutió la unión (o intersección) de más de dos conjuntos. Podría preguntarse si es posible formar uniones o intersecciones de una gran colección (infinita) de conjuntos. Hay dos preocupaciones que deben abordarse al responder a esta pregunta. Debemos estar seguros de que la definición de la unión de infinitamente muchos conjuntos es precisa; es decir, caracteriza de manera única a un objeto en el universo matemático. También necesitamos notación para manejar esta idea - ¿cómo especificamos los conjuntos sobre los que estamos tomando el sindicato?

DEFINICIÓN. Unión infinita, Index set,\(\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n} \quad\) For\(n \in \mathbb{N}^{+}\), let\(X_{n}\) be a set. Entonces\[\bigcup_{n=1}^{\infty} X_{n}=\left\{x \mid \text { for some } n \in \mathbb{N}^{+}, x \in X_{n}\right\} \text {. }\] El conjunto\(\mathbb{N}^{+}\) se llama el conjunto de índices para la unión.

Esto puede escribirse de algunas maneras diferentes.

Notación. \(\bigcup_{n \in \mathbb{N}^{+}} X_{n}\)Las siguientes tres expresiones son todas iguales:

Podemos usar conjuntos de índices distintos a\(\mathbb{N}^{+}\).

DEFINICIÓN. Familia de conjuntos, Unión indexada,\(\bigcup_{\alpha \in A} X_{\alpha} \quad\) Let\(A\) be a set, y para\(\alpha \in A\), let\(X_{\alpha}\) be a set. El conjunto\[\mathcal{F}=\left\{X_{\alpha} \mid \alpha \in A\right\}\] se llama familia de conjuntos indexados por\(A\). Entonces\(\bigcup_{\alpha \in A} X_{\alpha}\) Se lee\[\bigcup_{\alpha \in A} X_{\alpha}=\left\{x \mid x \in X_{\alpha} \text { for some } \alpha \in A\right\} \text {. }\] la notación “la unión sobre alfa en A de los conjuntos X sub alfa”. Entonces las intersecciones\[x \in \bigcup_{\alpha \in A} X_{\alpha} \text { if } x \in X_{\alpha} \text { for some } \alpha \in A \text {. }\] generales sobre una familia de conjuntos se definen análogamente:\[\bigcap_{\alpha \in A} X_{\alpha}=\left\{x \mid x \in X_{\alpha} \text { for all } \alpha \in A\right\} .\] EJEMPLO 1.43. Dejar\(X_{n}=\{n+1, n+2, \ldots, 2 n\}\) para cada uno\(n \in \mathbb{N}^{+}\). Entonces\ [\ begin {alineado} &\ bigcup_ {n=1} ^ {\ infty} X_ {n} =\ {k\ in\ mathbb {N}\ mid k\ geq 2\}\\ &\ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty} X_ {n} =\ emptyset. \ end {alineado}\] Ejemplo 1.44. Por cada número real positivo\(t\), vamos\(Y_{t}=[11 / t, t]\). Entonces\ [\ begin {aligned} \ bigcup_ {t\ in (\ sqrt {11},\ infty)} Y_ {t} &=\ mathbb {R} ^ {+}\\ \ bigcap_ {t\ in [\ sqrt {11},\ infty)} Y_ {t} &=\ {\ sqrt {11}\}. \ end {alineado}\] Ejemplo 1.45. Dejar\(f: X \rightarrow Y, A \subseteq X\) y\(B \subseteq Y\). Entonces\[\bigcup_{a \in A}\{f(a)\}=f[A] .\] y\[\bigcup_{b \in B} f^{-1}(b)=f^{-1}[B] .\]

Paradoja de Russell

A medida que se exploraron las ideas para la teoría de conjuntos, hubo intentos de definir conjuntos de la manera más amplia posible. Se esperaba que cualquier colección de objetos matemáticos que pudiera definirse por una fórmula calificaría como un conjunto. Esta creencia fue conocida como el Principio de Comprensión General (GCP). Desafortunadamente, el GCP dio lugar a conclusiones que eran inaceptables para las matemáticas. Considera la colección definida por la siguiente fórmula simple:\[V=\{x \mid x \text { is a set and } x=x\} .\] Si\(V\) se considera como un conjunto, entonces ya que\(V=V\),\[V \in V \text {. }\] Si esto no es una inconsistencia, es al menos inquietante. Desafortunadamente, se pone peor. Considera la colección\[X=\{x \mid x \notin x\} .\] Entonces\[X \in X \text { if and only if } X \notin X \text {. }\] Este último ejemplo se llama paradoja de Russell, y demostró que el GCP es falso. Claramente tendría que haber algún control sobre qué definiciones dan lugar a conjuntos. La teoría de conjuntos axiomática fue desarrollada para proporcionar reglas para definir rigurosamente conjuntos. Damos una breve discusión en el Apéndice B.

Ejercicios

EJERCICIO 1.1. Demostrar que

\(\{n \in \mathbb{N} \mid n\)es impar y\(n=k(k+1)\) para algunos\(k \in \mathbb{N}\}\)

está vacío.

EJERCICIO 1.2. Dejar\(X\) y\(Y\) ser subconjuntos de algún conjunto\(U\). Demostrar las leyes de Morgan:\ [\ begin {aligned} & (X\ copa Y) ^ {c} =X^ {c}\ cap Y^ {c}\\ & (X\ cap Y) ^ {c} =X^ {c}\ copa Y^ {c} \ end {alineado}\] EJERCICIO 1.3. Dejar\(X, Y\) y\(Z\) ser conjuntos. Demostrar\ [\ begin {alineado} &X\ cap (Y\ copa Z) =( X\ cap Y)\ copa (X\ cap Z)\\ &X\ copa (Y\ cap Z) =( X\ copa Y)\ cap (X\ copa Z). \ end {alineado}\] EJERCICIO 1.4. Vamos\(X=\ulcorner 2\urcorner, Y=\ulcorner 3\urcorner\), y\(Z=\ulcorner 1\urcorner\). Cuáles son los siguientes conjuntos:

(i)\(X \times Y\).

ii)\(X \times Y \times Z\).

iii)\(X \times Y \times Z \times \emptyset\).

iv)\(X \times X\).

(v)\(X^{n}\).

EJERCICIO 1.5. Supongamos que\(X\) es un conjunto con\(m\) elementos, y\(Y\) es un conjunto con\(n\) elementos. ¿Cuántos elementos\(X \times Y\) tiene? ¿La respuesta es la misma si uno o ambos conjuntos están vacíos?

EJERCICIO 1.6. ¿Cuántos elementos\(\emptyset \times \mathbb{N}\) tiene?

EJERCICIO 1.7. Describir todos los intervalos posibles en\(\mathbb{Z}\).

EJERCICIO 1.8. Dejar\(X\) y\(Y\) ser conjuntos finitos no vacíos, con\(m\) y\(n\) elementos, respectivamente. ¿Cuántas funciones hay de\(X\) a\(Y\)? ¿Cuántas inyecciones? ¿Cuántas sobrejecciones? ¿Cuántas bijecciones?

EJERCICIO 1.9. ¿Qué sucede en el Ejercicio\(1.8\) si\(m\) o\(n\) es cero?

EJERCICIO 1.10. Para cada uno de los siguientes conjuntos, cuáles de las operaciones suma, resta, multiplicación, división y exponenciación son operaciones en el conjunto:

(i)\(\mathbb{N}\)

ii)\(\mathbb{Z}\)

iii)\(\mathbb{Q}\)

iv)\(\mathbb{R}\)

v)\(\mathbb{R}^{+}\).

EJERCICIO 1.11. Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones reales,\(f(x)=3 x+8\),\(g(x)=x^{2}-5 x\). ¿Qué son\(f \circ g\) y\(g \circ f\)? ¿Es\((f \circ g) \circ f=f \circ(g \circ f)\)?

EJERCICIO 1.12. Anote todas las permutaciones de\(\{a, b, c\}\).

EJERCICIO 1.13. ¿Cuál es la generalización natural del Ejercicio\(1.2\) a un número arbitrario de conjuntos? Verifica tus leyes generalizadas. EJERCICIO 1.14. ¿Cuál es la generalización natural del Ejercicio\(1.3\) a un número arbitrario de conjuntos? Verifica tus leyes generalizadas.

EJERCICIO 1.15. \(X\)Sea el conjunto de todos los triángulos en el plano,\(Y\) el conjunto de todos los triángulos en ángulo recto, y\(Z\) el conjunto de todos los triángulos no isósceles. Para cualquier triángulo\(T\), deja\(f(T)\) ser el lado más largo de\(T\), y\(g(T)\) ser el máximo de las longitudes de los lados de\(T\). ¿En cuál de los conjuntos\(X, Y, Z\) es\(f\) una función? ¿Sobre cuál es\(g\) una función?

¿Cuál es el complemento de\(Z\) in\(X\)? ¿Qué es\(Y \cap Z^{c}\)?

EJERCICIO 1.16. Por cada real positivo\(t\), vamos\(X_{t}=(-t, t)\) y\(Y_{t}=\)\([-t, t]\). Describir

(i)\(\bigcup_{t>0} X_{t}\) y\(\bigcup_{t>0} Y_{t}\).

ii)\(\bigcup_{0<t<10} X_{t}\) y\(\bigcup_{0<t<10} Y_{t}\).

iii)\(\bigcup_{0<t \leq 10}^{0<t<10} X_{t}\) y\(\bigcup_{0<t \leq 10}^{0<t<10} Y_{t}\).

iv)\(\bigcap_{t>10}^{0<t \leq 10} X_{t}\) y\(\bigcap_{t>10}^{0<t \leq 10} Y_{t}\).

\((\mathrm{v}) \bigcap_{t>10}^{t \geq 10} X_{t}\)y\(\bigcap_{t>10}^{t \geq 10} Y_{t}\)

vi)\(\bigcap_{t>0}^{t>10} X_{t}\) y\(\bigcap_{t>0}^{t>10} Y_{t}\).

EJERCICIO 1.17. Dejar\(f\) ser la función real coseno, y dejar que\(g\) sea la función real\(g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\).

(i) ¿Qué son\(f \circ g, g \circ f, f \circ f, g \circ g\) y\(g \circ g \circ f\)?

(ii) ¿Cuáles son los dominios y rangos de las funciones reales\(f, g, f \circ g\) y\(g \circ f\)?

EJERCICIO 1.18. Dejar\(X\) ser el conjunto de vértices de un cuadrado en el plano. ¿Cuántas permutaciones\(X\) hay? ¿Cuántos de estos provienen de rotaciones? ¿Cuántos vienen de reflexiones en líneas? ¿Cuántos provienen de la composición de una rotación y una reflexión?

EJERCICIO 1.19. Cuáles de las siguientes funciones reales son inyectoras y cuáles son suryectivas:

i)\(f_{1}(x)=x^{3}-x+2\).

ii)\(f_{2}(x)=x^{3}+x+2\). iii)\(f_{3}(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\).

iv)\(f_{4}(x)= \begin{cases}-x^{2} & x \leq 0 \\ 2 x+3 & x>0\end{cases}\)

EJERCICIO 1.20. Supongamos\(f: X \rightarrow Y\) y\(g: Y \rightarrow Z\). Demostrar que si\(g \circ f\) es inyectable, entonces\(f\) es inyectable.

Dé un ejemplo para mostrar que no es\(g\) necesario que sea inyectivo.

EJERCICIO 1.21. Supongamos\(f: X \rightarrow Y\) y\(g: Y \rightarrow Z\).

(i) Demostrar que si\(f\) y\(g\) son suryectivas, así es\(g \circ f\).

(ii) Demostrar que si\(g \circ f\) es suryectiva, entonces una de las dos funciones\(f, g\) debe ser suryectiva (¿cuál?). Dé un ejemplo para mostrar que la otra función no necesita ser suryectiva.

EJERCICIO 1.22. Para cuál\(n \in \mathbb{N}\) es la función\(f(x)=x^{n}\) una inyección.

EJERCICIO 1.23. Dejar\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ser un polinomio de grado\(n \in \mathbb{N}\). ¿Para qué valores de\(n\) debe\(f\) ser una sobreyección, y para qué valores no es una suryección?

EJERCICIO 1.24. Anote una bijección de\((X \times Y)\) vez\(Z\) en\(X \times(Y\) cuando\(Z)\). Demostrar que es uno a uno y sobre.

EJERCICIO 1.25. Dejar\(X\) ser un conjunto con\(n\) elementos. ¿Cuántas permutaciones\(X\) hay?

EJERCICIO 1.26. Dejar\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ser una función construida usando solo números naturales y suma, multiplicación y exponenciación (por ejemplo\(f\) podría definirse como\(\left.x \mapsto(x+3)^{x^{2}}\right)\). ¿Qué puedes decir sobre\(f[\mathbb{N}] ?\) ¿Qué puedes decir si incluimos la resta o división?

EJERCICIO 1.27. Vamos\(f(x)=x^{3}-x .\) Encuentra conjuntos\(X\) y\(Y\) tal que\(f: X \rightarrow Y\) es una bijección. ¿Hay una elección máxima de\(X ?\) Si la hay, es única? ¿Hay una elección máxima de\(y\)? Si la hay, ¿es única?

EJERCICIO 1.28. Vamos\(f(x)=\tan (x)\). Utilice la notación de conjunto para definir el dominio y el rango de\(f\). ¿Qué es\(f^{-1}(1)\)? Qué es\(f^{-1}\left[\mathbb{R}^{+}\right] ?\) EJERCICIO 1.29. Para cada una de las siguientes funciones reales, encuentra un intervalo\(X\) que contenga más de un punto y tal que la función sea una biyección de\(X\) a\(f[X]\). Encuentra una fórmula para la función inversa.

i)\(f_{1}(x)=x^{2}+5 x+6\).

ii)\(f_{2}(x)=x^{3}-x+2\).

iii)\(f_{3}(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\).

iv)\(f_{4}(x)= \begin{cases}-x^{2} & x \leq 0 \\ 2 x+3 & x>0\end{cases}\)

EJERCICIO 1.30. Encuentre fórmulas para las siguientes secuencias:

i)\(\langle 1,2,9,28,65,126, \ldots\rangle\).

ii)\(\langle 1,-1,1,-1,1,-1, \ldots\rangle\).

iii)\(\langle 2,1,10,27,66,125,218, \ldots\rangle\).

iv)\(\langle 1,1,2,3,5,8,13,21, \ldots\rangle\).

EJERCICIO 1.31. Que la función real\(f\) sea estrictamente creciente. Demostrar que para cualquiera\(b \in \mathbb{R}, f^{-1}(b)\) está vacío o consiste en un solo elemento, y eso por lo tanto\(f\) es una inyección. Si también\(f\) es una biyección, ¿es la función inversa de\(f\) también aumentar estrictamente?

EJERCICIO 1.32. \(f\)Sea una función real que sea una biyección. Mostrar que la gráfica de\(f^{-1}\) es el reflejo de la gráfica de\(f\) en la línea\(y=x\).

EJERCICIO 1.33. Dejar\(X_{n}=\{n+1, n+2, \ldots, 2 n\}\) para cada uno\(n \in \mathbb{N}^{+}\) como en el Ejemplo 1.43. ¿Qué son

i)\(\cup_{n=1}^{5} X_{n}\).

ii)\(\cap_{n=4}^{6} X_{n}\).

iii)\(\cap_{k=1}^{5}\left[\cup_{n=1}^{k} X_{n}\right]\).

iv)\(\cap_{k=5}^{\infty}\left[\cup_{n=3}^{k} X_{n}\right]\).

EJERCICIO 1.34. Verificar las aseveraciones del Ejemplo 1.44.

EJERCICIO 1.35. Dejemos\(f: X \rightarrow Y\), y asumamos eso\(U_{\alpha} \subseteq X\) para cada\(\alpha \in A\), y\(V_{\beta} \subseteq Y\) para cada uno\(\beta \in B\). Demostrar:\ [\ begin {alineado} &\ text {(i)} f\ left (\ bigcup_ {\ alpha\ in A} U_ {\ alpha}\ right) =\ bigcup_ {\ alpha\ in A} f\ left (U_ {\ alpha}\ right)\\ &\ text {(ii)} f\ left (\ bigcap_ {\ alpha\ in A} U_ {\ alfa}\ derecha)\ subseteq\ bigcap_ {\ alpha\ in A} f\ izquierda (U_ {\ alpha}\ derecha)\\ &\ text {( iii)} f^ {-1}\ izquierda (\ bigcup_ {\ beta\ en B} V_ {\ beta}\ derecha) =\ bigcup_ {\ beta\ en B} f^ {-1}\ izquierda (V_ {\ beta}\ derecha)\\\\ texto {(iv)} f^ {-1}\ izquierda (\ bigcap_ {\ beta\ en B} V_ {beta\}\ derecha) =\ bigcap_ {\ beta\ in B} f^ {-1}\ izquierda (V_ {\ beta}\ derecha)\ text {.}\ end {alineado} \] Tenga en cuenta que (ii) tiene contención en su lugar de igualdad. Dar un ejemplo de contención adecuada en la parte (ii). Encontrar una condición\(f\) que garantice la igualdad en el (ii).

Consejos para comenzar con algunos ejercicios

Ejercicio 1.2. Esto se podría hacer con un diagrama de Venn. No obstante, una vez que haya más de tres conjuntos (ver Ejercicio 1.13), este enfoque será difícil. Una prueba algebraica se generalizará más fácilmente, así que trata de encontrar una aquí. Argumentan por las dos inclusiones\ [\ begin {alineadas} (X\ copa Y) ^ {c} &\ subseteq X^ {c}\ cap Y^ {c}\ X^ {c}\ cap Y^ {c} &\ subseteq (X\ copa Y) ^ {c} \ end {alineado}\] por separado. En el primero, por ejemplo, asumir eso\(x \in(X \cup Y)^{c}\) y demostrar que debe ser en ambos\(X^{c}\) y\(Y^{c}\).

Ejercicio 1.13. Parte del problema aquí es la notación - ¿y si tienes más conjuntos que letras? Comience con un número finito de conjuntos contenidos en\(U\), y llámalos\(X_{1}, \ldots, X_{n}\). ¿Cuál crees que es el complemento de su unión? Demuéstralo como lo hiciste cuando\(n=2\) en el Ejercicio 1.2. (¿Ve la ventaja de tener una prueba en Ejercicio\(1.2\) que no utilizó diagramas de Venn? Una de las razones por las que a los matemáticos les gusta tener múltiples pruebas del mismo teorema es que es probable que cada prueba se generalice de una manera diferente). ¿Puedes hacer que funcione el mismo argumento si tus conjuntos están indexados por algún conjunto de índices infinito?

Ahora haz lo mismo con el complemento de la intersección.

Ejercicio 1.14. Nuevamente hay un problema notacional, pero mientras\(Y\) y\(Z\) juega el mismo papel en el Ejercicio 1.3,\(X\) juega un papel diferente. Así que reescribe las ecuaciones como\ [\ begin {aligned} &X\ cap\ left (Y_ {1}\ cup Y_ {2}\ right) =\ left (X\ cap Y_ {1}\ right)\ cup\ left (X\ cap Y_ {2}\ right)\\ &X\ cup\ left (Y_ {1}\ cap Y_ {2}\ right) =\ left (X\ copa Y_ {1}\ derecha)\ tapa\ izquierda (X\ copa Y_ {2}\ derecha), \ end {alineado}\] y mira si puedes generalizar estos.

Ejercicio 1.35. (i) Nuevamente, esto reduce a probar dos contenciones. Si\(y\) está en el lado izquierdo, entonces debe haber algunos\(x_{0}\) en algunos\(U_{\alpha_{0}}\) tales que\(f(x)=y\). Pero luego\(y\) está adentro\(f\left(U_{\alpha_{0}}\right)\), así\(y\) está en el lado derecho.

Por el contrario, si\(y\) está en el lado derecho, entonces debe estar en\(f\left(U_{\alpha_{0}}\right)\) para algunos\(\alpha_{0} \in A\). Pero luego\(y\) está adentro\(f\left(\cup_{\alpha \in A} U_{\alpha}\right)\), y también lo está en el lado izquierdo.
(1)

\(5-2 \sqrt{-2}\)

\(\sqrt{5}-\sqrt{-2}\)

\(4=\sqrt{2}+\frac{}{}\)

\(4+\frac{2}{4}\)

\(\sqrt{4-2}+\frac{12}{}\)

4

\(\operatorname{sins}^{-2}+\frac{2}{}\)

(\(2.7\)

\(\sqrt{2-25}+\)

(2)

(\(2.7\)

(2

\(4=\sqrt{2}+\)

\(\mathrm{~ ㄱ ㅏ ㄱ ㅏ ㄱ ㅏ}\)

(\(2.7\)

4

(2020

(2

• 2

2

(

r.

a\(2+2\)

\(\sqrt{2-2 \cdot 2 \cdot\)

(

(

\((\sqrt{2}+2\)

(

4

(200

(\(2-2\)

(

\(\mathrm{~ r e s ~ a ~}\)

(\(2-2=\)

(2)

4

\((2+2)\)

4

4

(1)

• CAPÍTULO 2

Definiciones

DEFINICIÓN. Relación Let\(X\) and\(Y\) be sets. Una relación de\(X\) a\(Y\) es un subconjunto de\(X \times Y\).

Alternativamente, cualquier conjunto de pares ordenados es una relación. Si\(Y=X\), decimos que\(R\) es una relación sobre\(X\).

Notación. \(x\)\(X\)Ry Let and\(Y\) be sets y\(R\) ser una relación sobre\(X \times Y\). Si\(x \in X\) y\(y \in Y\), entonces podemos expresar que\(x\) lleva\(R\) relación con\(y\) (es decir\((x, y) \in R\)) por escrito\(x R y\).

Entonces para\(X\) y\(Y\) establece,\(x \in X, y \in Y\), y\(R\) una relación sobre\(X \times Y\),\(x R y\) si y solo si\((x, y) \in R\).

EJEMPLO 2.1. Deje\(\leq\) ser el pedido habitual en\(\mathbb{Q}\). Entonces\(\leq\) es una relación sobre\(\mathbb{Q}\). Escribimos\[1 / 2 \leq 2\] para expresar que\(1 / 2\) lleva la relación\(\leq\) con 2.

EJEMPLO 2.2. Definir una relación\(R\) de\(\mathbb{Z}\) a\(\mathbb{R}\) por\(x R y\) si\(x>y+3\). Entonces podríamos escribir\(7 R \sqrt{2}\) o\((7, \sqrt{2}) \in R\) decir que\((7, \sqrt{2})\) está en la relación.

EJEMPLO 2.3. Vamos\(X=\{2,7,17,27,35,72\}\). Definir una relación\(R\) por\(x R y\) si\(x \neq y\) y\(x\) y\(y\) tener un dígito en común. Entonces

\(R=\{(2,27),(2,72),(7,17),(7,27),(7,72),(17,7),(17,27),(17,72),\),\((27,2),(27,7),(27,17),(27,72),(72,2),(72,7),(72,17),(72,27)\}\). EJEMPLO 2.4. Dejar\(P\) ser el conjunto de todos los polígonos en el plano. Definir una relación\(E\) diciendo\((x, y) \in E\) si\(x\) y\(y\) tener el mismo número de lados.

¿Cómo usan las relaciones los matemáticos? Una relación en un conjunto se puede utilizar para imponer la estructura. En el Ejemplo 2.1, la relación de orden habitual\(\leq\) sobre nos\(\mathbb{Q}\) permite pensar que los números racionales se encuentran en una línea numérica, lo que proporciona una visión adicional de los números racionales. En el Ejemplo 2.4, podemos usar la relación para romper polígonos en los conjuntos de triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc.

Una función\(f: X \rightarrow Y\) puede pensarse como un tipo muy especial de relación de\(X\) a\(Y\). En efecto, la gráfica de la función es un conjunto de pares ordenados en\(X \times Y\), pero tiene la propiedad adicional de que cada\(x\) in\(X\) ocurre exactamente una vez como primer elemento de un par en la relación. Como discutimos en la Sección 1.3, las funciones son una forma útil de relacionar conjuntos.

\(X\)Sea un conjunto, y\(R\) una relación sobre\(X\). Aquí hay algunas propiedades importantes que la relación puede tener o no.

DEFINICIÓN. \(R\)Reflejo es reflexivo si para cada\(x \in X\),\[x R x .\] Simétrico\(R\) es simétrico si para alguno\(x, y \in X\),\[x R y \text { implies } y R x \text {. }\] Antisimétrico\(R\) es antisimétrico si para alguno\(x, y \in X\), \[[(x, y) \in R \text { and }(y, x) \in R] \text { implies } x=y \text {. }\]Transitivo\(R\) es transitivo si para alguno\(x, y, z \in X\),\[[x R y \text { and } y R z] \text { implies }[x R z] \text {. }\] ¿Cuál de estas cuatro propiedades se aplica a las relaciones dadas en los Ejemplos 2.1-2.4 (Ejercicio 2.1)?

Pedidos

Una relación en un conjunto puede pensarse como parte de la estructura impuesta al conjunto. Entre las relaciones más importantes en un conjunto están las relaciones de orden.

DEFINICIÓN. Ordenamiento parcial Dejar\(X\) ser un conjunto y\(R\) una relación sobre\(X\). Decimos que\(R\) es un ordenamiento parcial si:
(1)\(R\) es reflexivo
(2)\(R\) es antisimétrico
(3)\(R\) es transitivo.

EJEMPLO 2.5. \(X\)Déjese ser una familia de conjuntos. La relación\(\subseteq\) es un ordenamiento parcial sobre\(X\). Cada conjunto es un subconjunto de sí mismo, por lo que la relación es reflexiva. Si\(Y \subseteq Z\) y\(Z \subseteq Y\), entonces\(Y=Z\), entonces la relación es antisimétrica. Por último, si\(Y \subseteq Z\) y\(Z \subseteq W\) entonces\(Y \subseteq W\), entonces la relación es transitiva.

EJEMPLO 2.6. \(R\)Sea la relación sobre\(\mathbb{N}^{+}\) definida por\(x R y\) si y sólo si hay\(z \in \mathbb{N}^{+}\) tal que\[x z=y .\] Entonces\(R\) es un ordenamiento parcial de\(\mathbb{N}^{+}\). (Demostrar esto: Ejercicio 2.2).

DEFINICIÓN. Ordenación lineal Let\(X\) Ser un conjunto y\(R\) ser un orden parcial de\(X\). Decimos que\(R\) es un ordenamiento lineal, también llamado ordenamiento total, siempre que, para cualquiera\(x, y \in X\), ya sea\(x R y\) o\(y R x\).

Tenga en cuenta que dado que un orden lineal es antisimétrico, para cualquier distinto\(x\) y\(y\), exactamente uno de\(x R y\) y\(y R x\) mantiene.

Ejemplo 2.7. El orden\(\leq\) en\(\mathbb{N}\) (o\(\mathbb{R}\)) es un orden lineal. Así es la relación\(\geq\). La relación no\(<\) es (¿por qué?).

EJEMPLO 2.8. Vamos\(X=\mathbb{R}^{n}\). Podemos definir una relación reflexiva de la\(X\) siguiente manera. Dejar\(x=\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\) y\(y=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)\) ser miembros distintos de\(X\). Que\(k \in \mathbb{N}^{+}\) sea el menor número tal que\(a_{k} \neq b_{k}\). Entonces definimos\[x R y \text { if and only if } a_{k}<b_{k} .\] Entonces\(R\) es un ordenamiento lineal de\(X\). Se llama el orden del diccionario.

La noción de un ordenamiento lineal es probablemente natural para ti, y la has usado intuitivamente desde que empezaste a estudiar aritmética. La relación\(\leq\) ayuda a visualizar el conjunto como una línea en la que la ubicación relativa de dos elementos del conjunto está determinada por el orden lineal. Si está considerando un conjunto con operaciones, esto a su vez puede ayudar a visualizar cómo se comportan las operaciones. Por ejemplo, piense en usar una recta numérica para visualizar suma, resta y multiplicación de enteros.

Los ordenamientos parciales son generalizaciones de ordenamientos lineales, y\(\leq\) es el ejemplo más obvio de un ordenamiento lineal. Debido a esto, el símbolo normal para un ordenamiento parcial es\(\preceq\) (también recuerda al símbolo\(\subseteq\), que es el ejemplo que la mayoría de los matemáticos tienen en cuenta al pensar en un ordenamiento parcial).

EJEMPLO 2.9. Deja\(X\) ser el conjunto de todas las colecciones de manzanas y naranjas. Si\(x, y\) están en\(X\), entonces diga\(x \preceq y\) si el número de manzanas en\(x\) es menor o igual que el número de manzanas en\(y\), y el número de naranjas en\(x\) es menor o igual que el número de naranjas en\(y\). Se trata de un ordenamiento parcial. Puede que no puedas comparar manzanas con naranjas, pero puedes decir que ¡2 manzanas y 5 naranjas es inferior a 4 manzanas y 6 naranjas!

Una forma de visualizar un orden parcial\(\preceq\) en un conjunto finito\(X\) es imaginar flechas que conectan elementos distintos de\(X, x\) y\(y\), si\(x \preceq y\) y no hay un tercer punto distinto que\(z\) satisfaga \(x \preceq z \preceq y\). Entonces dos elementos\(a\) y\(b\) en\(X\) satisfarán\(a \preceq b\) si y sólo si se puede llegar de\(a\) a\(b\) siguiendo un camino de flechas.

EJEMPLO 2.10. Considera la gráfica en el conjunto\(X=\{a, b, c, d, e, f\}\) dan en la Figura 2.11.

FIGURA 2.11. Imagen de un pedido parcial

Ilustra el orden parcial que podría describirse como la relación reflexiva, transitiva más pequeña\(\preceq\) sobre la\(X\) que satisface\(a \preceq b, a \preceq c, b \preceq\)\(d, b \preceq e, c \preceq e, e \preceq f .\)

Relaciones de equivalencia

DEFINICIÓN. Relación de equivalencia Let\(X\) be a set and\(R\) a relation on\(X\). Decimos que\(R\) es una relación de equivalencia si

(1)\(R\) es reflexivo

(2)\(R\) es simétrico

(3)\(R\) es transitivo.

EJEMPLO 2.12. Definir una relación\(R\) sobre\(\mathbb{R}\) por\(x R y\) si y solo si\(x^{2}=\)\(y^{2}\). Entonces\(R\) es una relación de equivalencia.

EJEMPLO 2.13. \(R\)Sea una relación definida de la\(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) siguiente manera. Si\(a, b, c, d \in \mathbb{Z}\),\[(a, b) R(c, d) \text { if and only if } a+d=b+c \text {. }\] Entonces\(R\) es una relación de equivalencia. En efecto, vamos a revisar las tres propiedades.

Reflexivo: Por (2.14), tenemos\((a, b) R(a, b)\) si\(a+b=a+b\), que claramente sostiene. Simétrico: Supongamos\((a, b) R(c, d)\), entonces\(a+d=b+c\). Para ver si\((c, d) R(a, b)\), debemos comprobar si\(c+b=d+a\); pero esto se sostiene por la conmutatividad de la adición.

Transitivo: Supongamos\((a, b) R(c, d)\) y\((c, d) R(e, f)\). Debemos comprobar que\((a, b) R(e, f)\), en otras palabras que\[a+f=b+e .\] tenemos\(a+d=b+c\) y\(c+f=d+e\), y sumando estas dos ecuaciones obtenemos\[a+d+c+f=b+c+d+e .\] Cancelando\(c+d\) de cada lado de (2.16), obtenemos (2.15) como se desee.

EJEMPLO 2.17. Dejar\(R\) ser una relación sobre\(X=\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{+}\) definida por\[(a, b) R(c, d) \text { if and only if } a d=b c \text {. }\] Entonces\(R\) es una relación de equivalencia sobre\(X\). (Demostrar esto; Ejercicio 2.4).

EJEMPLO 2.18. Vamos\(f: X \rightarrow Y\). Definir una relación\(R_{f}\) on\(X\) por\[x R_{f} y \text { if and only if } f(x)=f(y) .\] Entonces\(R_{f}\) es una relación de equivalencia. Comprobamos las condiciones para una relación de equivalencia:

\(R_{f}\)es claramente reflexivo, ya que, para cualquier\(x \in X\),\[f(x)=f(x) .\]\(R_{f}\) es simétrico ya que, para cualquiera\(x \in X\) y\(y \in X\),\[f(x)=f(y) \text { if and only if } f(y)=f(x) .\] Mostrar\(R_{f}\) es transitivo, vamos \(x, y, z \in X\). Si\(f(x)=f(y)\) y\(f(y)=\)\(f(z)\) entonces\(f(x)=f(z)\).

Las relaciones de equivalencia tienen tres de las propiedades clave de la identidad. Permiten relacionar objetos en un conjunto que deseamos considerar como “los mismos” en un contexto dado. Esto nos permite enfocarnos en qué diferencias entre objetos matemáticos son relevantes para la discusión en cuestión, y cuáles no. Por ello, es un símbolo común para una relación de equivalencia\(\sim\).

DEFINICIÓN. Clase de equivalencia,\([x]_{R}\) Let\(R\) Ser una relación de equivalencia en un conjunto\(X\). Si\(x \in X\) entonces la clase de equivalencia de\(x\) módulo\(R\), denotada por\([x]_{R}\), es\[[x]_{R}=\{y \in X \mid x R y\} .\] Si\(y \in[x]_{R}\) llamamos a\(y\) un elemento representativo de\([x]_{R}\). Se escribe el conjunto de todas las clases\(\left\{[x]_{R} \mid x \in X\right\}\) de equivalencia\(X / R\). Se le llama el cociente espacio de\(X\) por\(R\).

Podemos utilizar\([x]\) para la clase de equivalencia de\(x\), siempre que la relación de equivalencia sea clara.

Notación. Equivalencia mod\(R, \equiv_{R}, \sim\) Let\(R\) Ser una relación de equivalencia en un conjunto\(X\). Podemos expresarlo\(x R y\) por escrito\[x \equiv y \bmod R\]\[x \equiv_{R} y\] o por la\[x \sim y .\] Proposición 2.19. Supongamos que\(\sim\) es una relación de equivalencia sobre\(X\). Vamos\(x, y \in X\). Si\(x \sim y\), entonces\[[x]=[y] .\] Si no\(x\) es equivalente a\(y(x \nsim y)\), entonces\[[x] \cap[y]=\emptyset .\] Prueba. (i) Asumir\(x \sim y\). Demostremos eso\([x] \subseteq[y]\). Vamos\(z \in[x]\). Esto significa que\(x \sim z\). Ya que\(\sim\) es simétrico\(x \sim y\), y, tenemos\(y \sim x\). Como\(y \sim x\) y\(x \sim z\), por transitividad de\(\sim\) lo conseguimos\(y \sim z\). Por lo tanto\(z \in[y]\). Ya que\(z\) es un elemento arbitrario de\([x]\), lo hemos demostrado\([x] \subseteq[y]\). Como\(y \sim x\), el mismo argumento con\(x\) e\(y\) intercambiado da\([y] \subseteq[x]\), y por lo tanto\([x]=[y]\).

(ii) Ahora asuma eso\(x\) y no\(y\) son equivalentes. Debemos demostrar que no existe\(z\) tal que\(z \in[x]\) y\(z \in[y]\). Vamos a argumentar por contradicción. Supongamos que hubiera tal\(z\). Entonces tendríamos\[x \sim z \quad \text { and } \quad y \sim z .\] Por simetría, tenemos también eso\(z \sim y\), y por transitividad, entonces tenemos eso\(x \sim y\). Esto contradice la suposición que no\(x\) equivale a\(y\). Entonces si\(x\) y no\(y\) son equivalentes, no\(z\) pueden existir que sea simultáneamente en ambos\([x]\) y\([y]\). Por lo tanto\([x]\) y\([y]\) son conjuntos disjuntos, según se requiera.

Entonces, ¿qué hemos mostrado? No hemos demostrado que ninguna relación en particular sea una relación de equivalencia. Más bien hemos demostrado que cualquier relación de equivalencia en un conjunto divide el conjunto en clases de equivalencia disjuntas.

Como veremos a lo largo de este libro, y verás a lo largo de tus estudios matemáticos, esta es una herramienta sorprendentemente poderosa.

Definición. Pares disjuntos Let\(\left\{X_{\alpha} \mid \alpha \in A\right\}\) be a family of sets. La familia es disjunta por parejas si es por alguna\(\alpha, \beta \in A, \alpha \neq \beta\),\[X_{\alpha} \cap X_{\beta}=\emptyset .\] DEFINICIÓN. Partition Let\(Y\) Ser un conjunto y\(\mathcal{F}=\left\{X_{\alpha} \mid \alpha \in A\right\}\) ser una familia de conjuntos no vacíos. La colección\(\mathcal{F}\) es una partición de\(Y\) si\(\mathcal{F}\) es disjunta por pares y\[Y=\bigcup_{\alpha \in A} X_{\alpha} .\] Dada una relación de equivalencia\(\sim\) en un conjunto\(X\), las clases de equivalencia con respecto a \(\sim\)dar una partición de\(X\). Por el contrario, las particiones dan lugar a relaciones de equivalencia.

TEOREMA 2.21. (i)\(X\) Sea un conjunto, y\(\sim\) una relación de equivalencia sobre\(X\). Entonces\(X / \sim\) es una partición de\(X\). (ii) Por el contrario, dejar\(\left\{X_{\alpha} \mid \alpha \in A\right\}\) ser una partición de\(X\). Dejar\(\sim\) ser la relación en\(X\) definida por\(x \sim y\) siempre\(x\) y\(y\) son miembros del mismo conjunto en la partición. Entonces\(\sim\) es una relación de equivalencia.

PRUEBA. La parte (i) del teorema es Proposición\(2.19\) replanteada, y dimos la prueba anterior. Para probar lo contrario, debemos demostrar que la relación\(\sim\) definida como en la parte (ii) del teorema es una equivalencia.

Reflexivity: Vamos\(x \in X\). Entonces\(x\) está en algunos\(X_{\alpha_{0}}\), ya que la unión de todos estos conjuntos es todo de\(X\). Por lo tanto\(x \sim x\).

Simetría: Supongamos\(x \sim y\). Entonces hay algunos\(X_{\alpha_{0}}\) tales que\(x \in X_{\alpha_{0}}\) y\(y \in X_{\alpha_{0}}\). Esto implica que\(y \sim x\).

Transitividad: Supongamos\(x \sim y\) y\(y \sim z\). Después hay conjuntos\(X_{\alpha_{0}}\) y\(X_{\alpha_{1}}\) tal que ambos\(x\) y\(y\) están en\(X_{\alpha_{0}}\), y ambos\(y\) y\(z\) están en\(X_{\alpha_{1}}\). Pero como los conjuntos\(X_{\alpha}\) forman una partición, y\(y\) está en ambos\(X_{\alpha_{0}}\) y\(X_{\alpha_{1}}\), debemos tener eso\(X_{\alpha_{0}}=X_{\alpha_{1}}\). Esto implica que\(x\) y\(z\) están en el mismo miembro de la partición, y así\(x \sim z\).

Construyendo Bijecciones

Consideremos una aplicación abstracta particularmente interesante e importante de las clases de equivalencia. Vamos\(f: X \rightarrow Y\). No\(f\) es necesario que la función sea una inyección o una sobreyección. Sin embargo, ya hemos discutido la conveniencia de encontrar una “inversa” para\(f\), aun cuando no cumpla con las condiciones necesarias para la existencia de una inversa. En la Sección\(1.3\) consideramos la función\(\left.f\right|_{D}\), dónde\(D \subseteq X\) y\(\left.f\right|_{D}\) es una inyección. Otro enfoque es utilizar la función\(f\) para crear una nueva función en un dominio distinto que conserve gran parte de la información de\(f\).

Utilizamos\(f\) para inducir una relación de equivalencia sobre\(X\). Definir una relación\(\sim\) sobre\(X\) por\[x \sim y \text { if and only if } f(x)=f(y) .\] Mostramos en Ejemplo\(2.18\) que\(\sim\) es una relación de equivalencia; es la relación de equivalencia en\(X\) inducida por\(f\). La relación de equivalencia\(\sim\) induce una partición de\(X\), es decir,\(X / \sim(\) que es el conjunto\(\{[x] \mid x \in X\}\) de todas las clases de equivalencia). Notación. \(X / f\)Dejar\(f: X \rightarrow Y\) y\(\sim\) ser la relación de equivalencia sobre\(X\) inducido por\(f\). Escribimos\(X / f\) para el conjunto de clases de equivalencia inducidas por\(\sim\) on\(X\).

Una clase de equivalencia in\(X / f\) es la imagen inversa de un elemento en\(\operatorname{Ran}(f)\). Es decir, si\(x \in X\) y\(f(x)=y\),\[[x]=f^{-1}(y) .\] Entonces\[X / f=\left\{f^{-1}(y) \mid y \in \operatorname{Ran}(f)\right\} .\] Los elementos de\(X / f\) se llaman los conjuntos de niveles de\(f\). La inspiración para esto viene de pensar en un mapa topográfico. Las curvas en un mapa topográfico correspondientes a altitudes fijas se denominan curvas de nivel. Considera la función desde un punto en un mapa hasta la altitud de la ubicación física representada por el punto en el mapa. Las curvas de nivel en el mapa son subconjuntos de los conjuntos de niveles de esta función.

Notación. \(\Pi_{f}\)Vamos\(f: X \rightarrow Y\). La función\(\Pi_{f}: X \rightarrow X / f\) se define por\(\Pi_{f}(x)=[x]_{f}\), donde\([x]_{f}\) está la clase de equivalencia de\(x\) con respecto a la relación de equivalencia inducida por\(f\).

Deja\(Z \subseteq Y\) ser el rango de\(f\). Definimos una nueva función,\(\widehat{f}: X / f \rightarrow Z\) por\[\widehat{f}([x])=f(x) .\] La función\(\widehat{f}\) está estrechamente relacionada con\(f\); de hecho, para cada\(x \in X\),\[f(x)=\widehat{f} \circ \Pi_{f}(x) .\] Esto a veces se ilustra con un diagrama, como en la Figura \(2.22\).

La función\(\hat{f}\) es una biyección. En este sentido, cada función puede asociarse canónicamente con una biyección. Consideramos la función que vimos en la Sección 1.3.

FIGURA 2.22. Hacer una función en una biyección

EJEMPLO 2.23. Vamos\(f(x)=\tan (x)\). Como comentamos anteriormente, podemos “invertir” esta función considerando la función Tan:\((-\pi / 2, \pi / 2) \rightarrow\)\(\mathbb{R}\) por\[\operatorname{Tan}=\left.\tan \right|_{(-\pi / 2, \pi / 2)}\] La función Tan es una biyección, y tiene una inversa,\[\operatorname{Arctan}: \mathbb{R} \rightarrow(-\pi / 2, \pi / 2)\] Para cualquiera\(k \in \mathbb{Z}\) hay una restricción correspondiente de tan,\[\tan \mid\left(\frac{(2 k+1) \pi}{2}, \frac{(2 k+3) \pi}{2}\right)\] que es una biyección, y por lo tanto tiene una función inversa.

Otra biyección se puede construir sobre las clases de equivalencia inducidas por\(f(x)=\tan (x)\). Un conjunto de niveles de\(f\) es\([x]_{f}=\{x+k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\). \(X\)Sea el dominio del bronceado. Entonces\[X / f=\left\{[x]_{f} \mid x \in X\right\}\] podemos interpretar una clase de equivalencia\([x]_{f}\) con respecto a los ángulos en posición estándar en el plano cartesiano. La clase de equivalencia de\(x\) es el conjunto de ángulos en posición estándar que tienen lado terminal colineal con el lado terminal del ángulo\(x\) - ver Figura 2.24.

FIGURA 2.24. Ángulos colineales

Siguiendo la construcción descrita anteriormente, la función\(\Pi_{f}: X \rightarrow\)\(X / f\) es la función\[\Pi_{f}(x)=[x]_{f}=\{x+k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\} .\] La función\(\widehat{f}: X / f \rightarrow \mathbb{R}\) dada por\[\widehat{f}\left([x]_{f}\right)=f(x)\] es una biyección. Además,\[\tan =\widehat{f} \circ \Pi_{f} .\] si\(x \in X\), entonces\(\Pi_{f}(x)\) es el conjunto de todos los ángulos que tienen lado terminal colineal con el lado terminal de ángulo\(x\) en posición estándar. Así nos\(\Pi_{f}\) dice que solo\(\tan\) se puede distinguir la pendiente del lado terminal del ángulo - no el cuadrante del ángulo o cuántas revoluciones subtendió el ángulo.

Aritmética Modular

Definimos una relación de equivalencia que nos ayudará a obtener conocimientos en la teoría de números. DEFINICIÓN. Divide,\(a \mid b\) Let\(a\) y\(b\) ser enteros. Entonces\(a\) divide\(b\), escrito\(a \mid b\), si hay\(c \in \mathbb{Z}\) tal que\[a \cdot c=b .\] DEFINICIÓN. Congruencia,\(x \equiv y \bmod n, \equiv_{n}\) Vamos\(x, y, n \in \mathbb{Z}\) y\(n>1\). Entonces\[x \equiv y \bmod n\] (o\(x \equiv_{n} y\)) si\[n \mid(x-y) .\] La relación\(\equiv_{n}\) on\(\mathbb{Z}\) se llama congruencia\(\bmod n\).

TEOROMA\(2.25\). Congruencia mod\(n\) es una relación de equivalencia en\(\mathbb{Z}\).

Ejercicio 2.5: Demostrar Teorema 2.25.

DEFINICIÓN. Clase de congruencia Las clases de equivalencia de la relación\(\equiv_{n}\) se denominan clases de congruencia, clases de residuo o clases de resto\(\bmod n\). El conjunto de clases de congruencia\(\bmod n\) puede ser escrito\(\mathbb{Z}_{n}\) o\(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}\).

Por supuesto\(\mathbb{Z}_{n}\) que es una partición de\(\mathbb{Z}\). Cuando\(n=2\), las clases de residuo se llaman los números pares e impares. Muchos de los hechos que conoces sobre números pares e impares se generalizan si piensas en ellos como clases de residuos. ¿Para qué sirven las clases de residuos\(n=3\)?

Lo dejamos como un ejercicio (Ejercicio 2.6) para probar que dos enteros están en la misma clase de resto\(\bmod n\) siempre que tengan el mismo resto cuando se dividan por\(n\).

Notación. [a] Fijar un número natural\(n \geq 2\). Deja entrar a un\(\mathbb{Z}\). Representamos la clase de equivalencia de a con respecto a la relación\(\equiv_{n}\) por\([a]\).

Proposición 2.26. Si\(a \equiv r \bmod n\) y\(b \equiv s \bmod n\), entonces\[\text { (i) } \quad a+b \equiv r+s \bmod n\] y\[\text { (ii) } a b \equiv r s \quad \bmod n .\] Prueba. (i) Supongamos que\(a \equiv r \bmod n\) y\(b \equiv s \bmod n\). Entonces\(n \mid(a-r)\) y\(n \mid(b-s)\). \[n \mid(a+b-(r+s))\]Por lo tanto\[a+b \equiv r+s \quad \bmod n\] demostrando (i).

Para probar (ii), tenga en cuenta que existen\(i, j \in \mathbb{Z}\) tales que\[a=n i+r\] y\[b=n j+s\] Entonces\[a b=n^{2} j i+r n j+s n i+r s=n(n j i+r j+s i)+r s\] Por lo tanto\[n \mid(a b-r s)\] y\[a b \equiv r s \quad \bmod n\] De ahí las operaciones algebraicas que\(\mathbb{Z}_{n}\) “hereda” de \(\mathbb{Z}\)están bien definidos. Es decir, podemos definir\(+\) y seguir\(\cdot\)\(\mathbb{Z}_{n}\) por\[[a]+[b]=[a+b]\] y\[[a] \cdot[b]=[a \cdot b]\] En matemáticas, cuando preguntas si algo está “bien definido”, te refieres a que en algún lugar de la definición se hizo una elección, y quieres saber si una elección diferente habría resultado en el mismo resultado final. Por ejemplo, vamos\(X_{1}=\{-2,2\}\) y vamos\(X_{2}=\{-1,2\}\). Definir\(y_{1}\) por: “Elige\(x\)\(X_{1}\) y deja”\(y_{1}=x^{2}\). Definir\(y_{2}\) por: “Elige\(x\)\(X_{2}\) y deja”\(y_{2}=x^{2}\). Entonces\(y_{1}\) está bien definido, y es el número 4; pero no\(y_{2}\) está bien definido, ya que diferentes elecciones de\(x\) dan lugar a diferentes números.

En (2.27) y (2.28), los lados de la derecha dependen a priori de una elección particular de elementos de las clases de equivalencia\([a]\) y\([b]\). Pero Proposición\(2.26\) asegura que la suma y el producto así definidos sean independientes de la elección de los representantes de las clases de equivalencia.

EJEMPLO 2.29. \(Z_{2}\)Además y multiplicación se definen de la siguiente manera:

(1)\([0]+[0]=[0]\)

(2)\([0]+[1]=[1]+[0]=[1]\)

(3)\([1]+[1]=[0]\)

(4)\([0] \cdot[0]=[0] \cdot[1]=[1] \cdot[0]=[0]\)

(5)\([1] \cdot[1]=[1]\).

Observe que si lee\([0]\) como “par” y [1] como “impar”, estas son reglas que aprendió hace mucho tiempo.

Al trabajar con aritmética modular podemos elegir los representantes de las clases de resto que mejor se adapten a nuestras necesidades. Por ejemplo,\[79 \cdot 23 \equiv 2 \cdot 2 \equiv 4 \bmod 7 .\] en otras palabras\[[79 \cdot 23]=[79] \cdot[23]=[2] \cdot[2]=[4] .\] EJEMPLO 2.30. Puede recordar de su exposición temprana a las tablas de multiplicación que la multiplicación por nueve resultó en un producto cuyos dígitos sumaron a nueve. Esto generaliza muy bien con la aritmética modular. Específicamente, si\(a_{n} \in\ulcorner 10\urcorner\) para\(0 \leq n \leq N\) entonces\[\sum_{n=0}^{N} a_{n} 10^{n} \equiv \sum_{n=0}^{N} a_{n} \bmod 9 .\] El resto de cualquier entero dividido por 9 es igual al resto de la suma de los dígitos de ese entero cuando se divide por 9. Prueba. La observación clave es que\[10 \equiv 1 \bmod 9 .\] Por lo tanto\ [\ begin {array} {lll} 10^ {2}\ equiv 1\ cdot 1\ equiv 1 &\ bmod 9\\ 10^ {3}\ equiv 1\ cdot 1\ cdot 1\ equiv 1 &\ bmod 9, \ end {array}\] y así sucesivamente para cualquier potencia de 10:\[10^{n} \equiv 1 \bmod 9 \text { for all } n \in \mathbb{N} \text {. }\] (Esta inducción a todos poderes de 10 es sencillo, pero para probarlo formalmente necesitaremos la noción de inducción matemática del Capítulo 4). Por lo tanto en el lado izquierdo de (2.31), trabajando mod 9, podemos sustituir todas las potencias de 10 por 1, y esto nos da el lado derecho.

EJEMPLO 2.32. La observación de que el residuo de un número mod 9 es el mismo que el de la suma de los dígitos se puede utilizar en una técnica llamada “casting out nueves” para verificar la aritmética.

Por ejemplo, considere la siguiente suma (incorrecta). El número en la penúltima columna es la suma de los dígitos, y el número en la última columna es la suma repetida de los dígitos hasta alcanzar un número entre 0 y 9.

Si la suma se hubiera realizado correctamente, el resto mod 9 de la suma equivaldría a la suma de los restos; así sabemos que se cometió un error.

\(2.33\)EJEMPLO. ¿Cuál es el último dígito de\(7^{7}\)?

Queremos saber\(7^{7} \bmod 10\). Tenga en cuenta que, módulo\(10,7^{0} \equiv 1,7^{1} \equiv\)\(7,7^{2} \equiv 9,7^{3} \equiv 3,7^{4} \equiv 1\). Entonces\(7^{7}=7^{4} 7^{3} \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3\), y así 3 es el último dígito de\(7^{7}\). EJEMPLO 2.34. ¿Cuál es el último dígito de\(7^{7^{7}}\)?

Por el Ejemplo 2.33, vemos que los residuos de\(7^{n} \bmod 10\) repetición ellos mismos cada vez\(n\) aumenta en 4. Por lo tanto si\(m \equiv n \bmod 4\), entonces\(7^{m} \equiv 7^{n} \bmod 10\).

¿Qué es\(7^{7} \bmod 4\)? Bueno\(7^{1} \equiv 3 \bmod 4,7^{2} \equiv 1 \bmod 4\), entonces\(7^{7} \equiv\)\(\left(7^{2}\right)^{3} \cdot 7 \equiv 3 \bmod 4\). Por lo tanto\[7^{7^{7}} \equiv 7^{3} \equiv 3 \quad \bmod 10 .\]

Ejercicios

EJERCICIO 2.1. ¿Cuál de las propiedades de reflexividad, simetría, antisimetría y transitividad se aplica a las relaciones dadas en los Ejemplos 2.1-2.4?

EJERCICIO 2.2. Demostrar que la relación en Ejemplo\(2.6\) es un ordenamiento parcial.

EJERCICIO 2.3. Enumere cada par en la relación dada en el Ejemplo 2.10.

EJERCICIO 2.4. Demostrar que la relación en Ejemplo\(2.17\) es una equivalencia.

EJERCICIO 2.5. Demostrar que la congruencia\(\bmod n\) es una relación de equivalencia sobre\(\mathbb{Z}\).

EJERCICIO 2.6. Demostrar que dos enteros están en la misma clase de congruencia\(\bmod n\) si y solo si tienen el mismo resto cuando se dividen por\(n\).

EJERCICIO 2.7. Supongamos que\(R\) es una relación sobre\(X\). ¿Qué significa si\(R\) es tanto un orden parcial como una equivalencia?

EJERCICIO 2.8. Considerar las relaciones sobre las personas “es hermano de”, “es hermano de”, “es padre de”, “está casado con”, “es descendiente de”. ¿Cuál de las propiedades de reflexividad, simetría, antisimetría y transitividad tiene cada una de estas relaciones? EJERCICIO 2.9. Vamos\(X=\{k \in \mathbb{N}: k \geq 2\}\). Considere las siguientes relaciones sobre\(X\):

(i)\(j R_{1} k\) si y sólo si\(\operatorname{gcd}(j, k)>1(\operatorname{gcd}\) representa el mayor divisor común).

ii)\(j R_{2} k\) si y sólo si\(j\) y\(k\) son coprimos (es decir\(\operatorname{gcd}(j, k)=1\)).

iii)\(j R_{3} k\) si y sólo si\(j \mid k\).

(iv)\(j R_{4} k\) si y sólo si\[\{p: p \text { is prime and } p \mid j\}=\{q: q \text { is prime and } q \mid k\} .\] Para cada relación, decir cuál de las propiedades de Reflexivity, Simetría, Antisimetría, Transitividad tiene.

EJERCICIO 2.10. Para\(j, k\) en\(\mathbb{N}^{+}\), definir dos relaciones\(R_{1}\) y\(R_{2}\) por\(j R_{1} k\) si\(j\) y\(k\) tener un dígito en común (pero no necesariamente en el mismo lugar) y\(j R_{2} k\) si \(j\)y\(k\) tener un dígito común en el mismo lugar (así, por ejemplo,\(108 R_{1} 82\), pero\((108,82) \notin R_{2}\)).

(i) Si\(j=\sum_{m=0}^{M} a_{m} 10^{m}\) y\(k=\sum_{n=0}^{N} b_{n} 10^{n}\), con\(a_{M} \neq 0\) y\(b_{N} \neq 0\), ¿cómo se puede definir matemáticamente\(R_{1}\) y\(R_{2}\) en términos de los coeficientes\(a_{m}\) y\(b_{n}\)?

(ii) ¿Cuál de las cuatro propiedades de reflexividad, simetría, antisimetría y transitividad tienen\(R_{1}\) y\(R_{2}\) tienen?

EJERCICIO 2.11. Vamos\(X=\{a, b\}\). Enumere todas las relaciones posibles sobre\(X\), y diga cuáles son reflexivas, cuáles son simétricas, cuáles son antisimétricas y cuáles son transitivas.

EJERCICIO 2.12. ¿Cuántas relaciones hay en un set con 3 elementos? ¿Cuántos de estos son reflexivos? ¿Cuántos son simétricos? ¿Cuántos son antisimétricos?

EJERCICIO 2.13. Repita Ejercicio\(2.12\) para un conjunto con\(N\) elementos.

EJERCICIO 2.14. La suma de dos enteros pares es par, la suma de un entero par y otro impar es impar, y la suma de dos enteros impares es par. ¿Cuál es la generalización de esta afirmación a las clases de residuos\(\bmod 3\)? EJERCICIO 2.15. ¿Cuál es el último dígito de\(3^{5^{7}}\)? De\(7^{5^{3}}\)? De\(11^{10^{6}}\)? De\(8^{5^{4}}\)?

EJERCICIO 2.16. ¿Qué es\(2^{1000000} \bmod 17\)? ¿Qué es\(17^{77} \bmod 14\)?

EJERCICIO 2.17. Mostrar que el residuo de un número\(\bmod 3\) es el mismo que la suma de sus dígitos.

EJERCICIO 2.18. Demostrar que la afirmación de Ejercicio no\(2.17\) es cierta\(\bmod n\) para ningún valor de\(n\) excepto 3 y 9.

EJERCICIO 2.19. Demostrar que hay un número infinito de números naturales que no se pueden escribir como la suma de tres cuadrados. (Pista: Mira los posibles residuos mod 8).

EJERCICIO 2.20. Dejar\(f: X \rightarrow Y\) y\(g: Y \rightarrow Z\). ¿Qué se puede decir de la relación entre\(X / f\) y\(X /(g \circ f)\)?

EJERCICIO 2.21. \(R\)Sea la relación sobre\(X=\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{+}\) definida en el Ejemplo 2.17. Definir una operación\(\star\) de la\(X / R\) siguiente manera: para\(x=(a, b)\) y\(y=(c, d)\),\[[x] \star[y]=[(a d+b c, c d)] .\] ¿Está\(\star\) bien definida?

EJERCICIO 2.22. Dejar\(X\) ser el conjunto de funciones de subconjuntos finitos de\(\mathbb{N}\) a\(\ulcorner 2\urcorner\) (es decir\(f \in X\), si hay un conjunto finito\(D \subseteq \mathbb{N}\) tal que\(f: D \rightarrow\ulcorner 2\urcorner\)). Defina una relación\(R\) de la\(X\) siguiente manera: si\(f, g \in X, f R g\) iff\(\operatorname{Dom}(g) \subseteq \operatorname{Dom}(f)\) y\(g=\left.f\right|_{\operatorname{Dom}(g)}\). ¿Es\(R\) un pedido parcial? ¿Es\(R\) una relación de equivalencia?

EJERCICIO\(2.23\). Dejar\(X\) ser el conjunto de todas las secuencias binarias infinitas. Definir una relación\(R\) de la\(X\) siguiente manera: Para cualquier\(f, g \in X, f R g\) iff\(f^{-1}(1) \subseteq\)\(g^{-1}(1)\). ¿Es\(R\) un pedido parcial? ¿Es\(R\) una relación de equivalencia?

EJERCICIO 2.24. Vamos\(X=\{\ulcorner n\urcorner \mid n \in \mathbb{N}\}\). Dejar\(R\) ser una relación sobre\(X\) definida por\(x, y \in R\) iff\(x \subseteq y\). Demostrar que\(R\) es un ordenamiento lineal. EJERCICIO 2.25. Vamos\(X=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f\) es una sobrejección\(\}\). Definir una relación\(R\) sobre\(X\) por\(f R g\) iff\(f(0)=g(0)\). Demostrar que\(R\) es una relación de equivalencia. Dejar\(F: X \rightarrow \mathbb{R}\) ser definido por\(F(f)=f(0)\). Mostrar que los conjuntos de niveles de\(F\) son las clases de equivalencia de\(X / R\). Eso es demostrar que\[X / R=X / F .\] EJERCICIO 2.26. Vamos\(f: X \rightarrow Y\). Mostrar que\(X / f\) se compone de singletons (conjuntos con exactamente un elemento) iff\(f\) es una inyección. CAPÍTULO 3

Matemáticas y Pruebas

La actividad principal de los matemáticos de investigación es probar afirmaciones matemáticas. Dependiendo de la profundidad de la reivindicación, la relación de la reivindicación con otras reivindicaciones matemáticas, y varios otros factores, una afirmación matemática que ha sido probada generalmente se denomina teorema, proposición, corolario o lema. Una afirmación matemática que no ha sido probada, pero que se espera que sea cierta, comúnmente se llama conjetura. Una afirmación que es aceptada como punto de partida para argumentos sin ser probada se llama axioma.

Algunos resultados matemáticos son tan fundamentales, profundos, difíciles, sorprendentes o de otra manera notables que se les nombra. Parte de su iniciación como miembro de la comunidad de matemáticos es familiarizarse con algunas de estas declaraciones nombradas -y probaremos algunas de ellas en este libro-.

Es probable que la mayor parte de las matemáticas que has estudiado haya sido la aplicación de teoremas para derivar soluciones de problemas relativamente concretos. Aquí comenzamos a aprender a probar teoremas. La mayoría de los estudiantes encuentran muy desafiante la transición de las matemáticas computacionales a las pruebas matemáticas.

Lógica Proposicional

La lógica proposicional estudia cómo la verdad o falsedad de los enunciados compuestos está determinada por la verdad o falsedad de los enunciados constitutivos. Nos da una manera de derivar de manera confiable conclusiones verdaderas a partir de verdaderas suposiciones.

DEFINICIÓN. Valor de verdad Si\(P\) es una declaración que es verdadera, entonces\(P\) tiene valor de verdad 1. Si\(P\) es una declaración que es falsa,\(P\) tiene valor de verdad 0. Escribimos\(T(P)\) para el valor de verdad de\(P\).

Los valores de la verdad pueden pensarse como una función\(T: S \rightarrow\ulcorner 2\urcorner\), donde\(S\) está el conjunto de todas las afirmaciones. Al investigar los principios abstractos de la lógica proposicional, consideramos posibles asignaciones de valores de verdad a variables que representan declaraciones. Nos interesan las afirmaciones que son independientes de cualquier asignación particular de valores de verdad a las variables proposicionales. Usamos los enteros 0 y 1 para representar valores de verdad porque nos permite usar operaciones aritméticas en lógica proposicional. Otros autores prefieren\(F\) y\(T\).

DEFINICIÓN. Conectivos proposicionales Los símbolos\(\wedge, \vee, \neg\) y\(\Rightarrow\) son conectivos proposicionales. Se definen de la siguiente manera para declaraciones\(P\) y\(Q\).

En la expresión "\(P \Rightarrow Q\)“, el enunciado\(P\) se denomina antecedente o hipótesis y\(Q\) se denomina la consecuencia o conclusión.

Los conectivos proposicionales son equivalentes formales de los conectivos del lenguaje natural.

Comprueba que las fórmulas que definen los conectivos proposicionales dan el significado que esperas. Por ejemplo, comprobar que la definición del valor de verdad para\(P \wedge Q\) significa que\(P \wedge Q\) es cierto si y sólo si ambos\(P\) y\(Q\) son verdaderos.

Los conectivos proposicionales se aproximan a las conectivas del lenguaje natural. Los conectivos proposicionales son formales y precisos, mientras que los conectivos del lenguaje natural son imprecisos y algo más expresivos; en consecuencia, la aproximación es imperfecta. Vimos un ejemplo de esto al contrastar el uso de los matemáticos del “o” conectivo con su uso en el lenguaje cotidiano. Para mayor precisión en matemáticas interpretamos los conectivos formalmente, incluso cuando se utilizan expresiones de lenguaje natural.

Podemos construir declaraciones compuestas muy complicadas mediante el uso de conectivos lógicos. Naturalmente, existen reglas para construir declaraciones correctas con conectivos.

DEFINICIÓN. Declaración atómica Una declaración atómica es una declaración sin conectivos proposicionales explícitos.

Una declaración atómica suele estar representada por una letra mayúscula.

DEFINICIÓN. Declaración bien formada Definimos una declaración proposicional bien formada recursivamente de la siguiente manera.

Las declaraciones atómicas están bien formadas.

Si\(P\) y\(Q\) son declaraciones bien formadas, entonces las siguientes son declaraciones bien formadas:

• \((\neg P)\)

• \((P \wedge Q)\)

• \((P \vee Q)\)

• \((P \Rightarrow Q)\). En la práctica se dejan caer los paréntesis a menos que exista la posibilidad de ambigüedad. Adicionalmente, “[” y “]” pueden sustituirse por paréntesis en aras de la legibilidad. Para cualquier asignación de valores de verdad a las declaraciones atómicas en una declaración bien formada, la declaración compuesta tendrá un valor de verdad bien definido.

DEFINICIÓN. Declaración compuesta Una declaración compuesta es una declaración bien formada compuesta de declaraciones atómicas y conectivos proposicionales.

3.2.1. Equivalencia proposicional. Un propósito de la lógica proposicional es dar herramientas para evaluar la verdad de una declaración compuesta sin necesariamente tener que entender el significado específico de las declaraciones atómicas. Es decir, algunas afirmaciones son demostrablemente verdaderas o falsas en virtud de su forma. En este entendimiento es central la idea de equivalencia proposicional.

DEFINICIÓN. Equivalencia proposicional Let\(P\) y\(Q\) ser declaraciones bien formadas construidas a partir de declaraciones atómicas. Decimos eso\(P\) y\(Q\) son proposicionalmente equivalentes siempre que\(T(P)=T(Q)\) para cualquier asignación de valores de verdad a las declaraciones atómicas constitutivas.

Si\(P\) y\(Q\) son proposicionalmente equivalentes, podemos escribir el\[P \equiv Q .\] EJEMPLO 3.1. \[[P \Rightarrow Q] \equiv[(\neg Q) \Rightarrow(\neg P)]\]Este es un ejemplo muy importante de una equivalencia proposicional. Demostraremos esto considerando todas las posibles asignaciones de valores de verdad a\(P\) y\(Q\). Vamos a poner esto en lo que popularmente se llama una tabla de la verdad. Consideramos todas las asignaciones posibles de valores de verdad a\(P\) y\(Q\), y comparamos los valores de verdad de las afirmaciones compuestas bajo consideración:

\(\begin{array}{cccc}\frac{T(P)}{0} & \frac{T(Q)}{0} & \frac{T(P \Rightarrow Q)}{1} & \frac{T((\neg Q) \Rightarrow(\neg(P)))}{1} \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\)

Cada fila de la tabla de verdad representa una asignación particular de valores de verdad a las declaraciones atómicas\(P\) y\(Q\). Las cuatro asignaciones posibles se agotan por las filas de la tabla de la verdad. Los valores de verdad de las declaraciones compuestas coinciden en cada fila de la tabla de verdad por lo que las declaraciones son equivalentes.

EJEMPLO 3.2. \ [\ begin {aligned} & {[\ neg (P\ wedge Q)]\ equiv [(\ neg P)\ vee (\ neg Q)]}\\ & {[\ neg (P\ vee Q)]\ equiv [(\ neg P)\ wedge (\ neg Q)]} \ end {alineado}\] Se conocen declaraciones (3.3) y (3.4) como las leyes de Morgan. (¿Cómo se relacionan con el Ejercicio 1.2?)

Con dos posibles excepciones, una vez que estudies cuidadosamente lo que significan estas conectivas, debes entenderlas intuitivamente. Una excepción es que el lógico y matemático “o”,\(\vee\), es inclusivo. Esto lo discutimos al inicio del Capítulo 2. La otra excepción es el conectivo lógico "\(\Rightarrow\)”.

3.2.2. Implicación. A los estudiantes a menudo les resulta confuso que la implicación\(P \Rightarrow Q\) pueda ser cierta cuando la consecuencia,\(Q\), es falsa. Esto es comprensible cuando consideramos que las implicaciones se suelen emplear en argumento en el silogismo siguiente:\ [\ begin {reunió} P\ P\ Rightarrow Q\ end {reunió} \] por lo tanto, (es decir, si\(P\) es cierto, y\(P \Rightarrow Q\), entonces\(Q\) es cierto). Este silogismo es la regla más importante de deducción lógica (llamada Modus Ponens). La implicación lógica se utiliza tan a menudo para demostrar la verdad de la consecuencia que es fácil entender por qué uno podría pensar erróneamente que la consecuencia debe seguir de la implicación, en lugar de seguir del antecedente. Considera la siguiente declaración:

Si eres el rey de Francia, entonces yo soy el tío de un mono.

¿Es cierta esta afirmación? Presumiblemente no eres el rey de Francia, y no creo que sea tío de mono. Entonces tanto el antecedente como la consecuencia son falsos. Sin embargo la afirmación es cierta. De hecho, esta afirmación es lógicamente equivalente a la afirmación:

Si no soy tío de mono, entonces tú no eres el rey de Francia.

La definición de implicación lógica dice que una implicación en la que el antecedente es falso no da información sobre la consecuencia. De ahí que cualquier implicación lógica con el antecedente “Tú eres el rey de Francia” será cierta.

Existe una preocupación adicional con implicación lógica. En el lenguaje natural (e intuitivamente en matemáticas), la afirmación\[P \Rightarrow Q\] sugiere una relación entre las afirmaciones\(P\) y\(Q\) -es decir, que la verdad de\(P\) alguna manera obliga a la verdad de\(Q\). Como conectivo proposicional, esta relación entre\(P\) y no\(Q\) es necesaria para la implicación lógica. La verdad de\(P \Rightarrow Q\) es una función de los valores de verdad de\(P\) y\(Q\), no de sus significados. En la escritura matemática, se entiende que no sólo es lógicamente cierta la implicación, sino que\(P\) y\(Q\) están relacionados y que la verdad de\(P\) hecho obliga a la verdad de\(Q\). Por ejemplo, considere la afirmación\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \Rightarrow 3>2 .\] Esta afirmación es cierta por la definición formal de\(\Rightarrow\). De hecho, como declaración proposicional, podríamos sustituir el antecedente por cualquier otra afirmación, verdadera o falsa, y la declaración condicional sería verdadera. No obstante, tal afirmación es matemáticamente inaceptable, ya que el antecedente y la consecuencia no tienen nada que ver entre sí. No nos preocupan los valores de verdad accidentales de las declaraciones atómicas, sino las conexiones matemáticas entre estas afirmaciones, que cumplen, sin embargo, van más allá de la definición formal de las conectivas lógicas.

3.2.3. Converse y Contrapositivo. La mayoría de las afirmaciones matemáticas tienen la forma de una implicación. Por lo tanto, es necesario estar familiarizado con la nomenclatura convencional que rodea la implicación lógica. Supongamos que nos interesa una implicación lógica particular,\[P \Rightarrow Q \text {. }\] Hay otras dos implicaciones lógicas con las que naturalmente se asocian\(P \Rightarrow Q\). Uno es el contrapositivo,\[\neg Q \Rightarrow \neg P .\] Una implicación y sus contrapositivos son proposicionalmente equivalentes.

EJEMPLO 3.5. La declaración,

“Si esto es un insecto entonces tiene seis patas”.

es proposicionalmente equivalente a la declaración

“Si esto no tiene seis patas, no es un insecto”.

EJEMPLO 3.6. El contrapositivo de

“Una ballena es un pez”

es

“Si no es un pez entonces no es una ballena”.

Este último ejemplo ilustra que una declaración no necesita ser cierta para tener un contrapositivo (que es, por supuesto, todavía proposicionalmente equivalente a la declaración condicional original). También ilustra que las declaraciones condicionales en lenguaje natural no necesitan incluir la palabra “si” o “entonces”, ni ser escritas en una forma particular, para ser una declaración condicional. Lo contrario de una declaración condicional,\[P \Rightarrow Q\] es la declaración condicional,\[Q \Rightarrow P .\] Una declaración condicional y su inversa no son proposicionalmente equivalentes. Puedes comprobarlo fácilmente\(P \Rightarrow Q\) y\(Q \Rightarrow P\) tener diferentes valores de verdad si\(T(P)=1\) y\(T(Q)=0\).

EJEMPLO 3.7. ¿Qué es lo contrario a la declaración?

¿"Todos los peces viven en el agua”?

Dado que esto está escrito en lenguaje natural, no hay una respuesta única.

Un obvio lo contrario es

“Si algo vive en el agua, entonces es un pez”.

Si armamos una implicación y su inversa, obtenemos el conectivo bicondicional.

DEFINICIÓN. Bicondicional,\(\Longleftrightarrow\) Dejar\(P\) y\(Q\) ser declaraciones. El bicondicional, escrito\(\Longleftrightarrow\), se define de la siguiente manera.

El conectivo bicondicional es la interpretación formal de “si y solo si”. Esta frase es tan utilizada en matemáticas que tiene su propia abreviatura: iff.

Otras palabras del lenguaje natural que pueden traducirse en conectivos proposicionales son “necesarias” y “suficientes”. El comunicado

“\(P\)Para que pueda sostenerse, es necesario que\(Q\) sostenga” equivale a\(P \Rightarrow Q\). El comunicado

“\(P\)Para que pueda sostenerse, basta con que\(Q\) sostenga”

es equivalente a\(Q \Rightarrow P\). Combinando estos dos, conseguimos que la afirmación “\(P\)Para poder sostener, es necesario y suficiente que\(Q\) sostiene” es equivalente a\(P \Longleftrightarrow Q\).

Fórmulas

Hablando vagamente, una fórmula es una expresión matemática con variables. Correspondiente a cada variable\(x_{i}\),, apareciendo en una fórmula es un universo\(U_{i}\),, del cual esa variable puede ser sustituida.

DEFINICIÓN. Fórmula abierta Una fórmula matemática abierta en variables\(x_{1}, \ldots, x_{n}\) es una expresión matemática en la que la sustitución del\(x_{i}(1 \leq i \leq n)\) por elementos específicos de\(U_{i}\) produce una declaración matemática.

EJEMPLO 3.8. Considera la fórmula,\[x^{2}+y^{2}=z^{2}\] en variables\(x, y\) y\(z\), todas con universo\(\mathbb{N}\). Cualquier sustitución de las variables con números naturales da como resultado una declaración. Por ejemplo,\[3^{2}+4^{2}=5^{2}\] o Por\[1^{2}+1^{2}=2^{2} .\] supuesto, las declaraciones pueden ser verdaderas o falsas, por lo que algunas sustituciones producen declaraciones verdaderas, mientras que otras darán declaraciones falsas.

Al discutir una fórmula general en\(n\) variables, podemos usar la notación\(P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\). Para\(1 \leq i \leq n\), deja\(U_{i}\) ser el universo de la variable\(x_{i}\), y\(a_{i} \in U_{i}\). El enunciado que resulta de la sustitución de\(a_{i}\) for\(x_{i}, 1 \leq i \leq n\), está escrito\(P\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)\).

Si\(P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) es una fórmula en variables\(x_{1}, \ldots, x_{n}\), y para\(1 \leq i \leq\)\(n, U_{i}\) es el universo de\(x_{i}\), entonces podemos pensar en\(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) como una sola variable con universo\(U=\prod_{1 \leq i \leq n} U_{i}\).

Las fórmulas pueden cumplir muchos propósitos en matemáticas:

(1) Caracterizar las relaciones entre cantidades

(2) Definir cálculos (3) Definir conjuntos

(4) Definir funciones.

EJEMPLO 3.9. Considera una fórmula abierta\(P(x, y)\),, en dos variables,\[x^{2}+y^{2}=1,\] con universo\(\mathbb{R}^{2}\). Es decir, el universo de\(x\) es\(\mathbb{R}\) y el universo de\(y\) es\(\mathbb{R}\). Una forma de pensar\(P(x, y)\) es como un medio para\(\mathbb{R}^{2}\) dividir en dos conjuntos:

(1) el subconjunto del Plano Cartesiano para el que la ecuación es verdadera, es decir, el círculo unitario;

(2) el subconjunto del Plano Cartesiano para el que la ecuación es falsa, el complemento del círculo unitario en\(\mathbb{R}^{2}\).

DEFINICIÓN. Conjunto característico,\(\chi_{P}\) Let\(P(x)\) be a formula, y\(U\) el universo de la variable\(x\). Se escribe el subconjunto\(U\) para el que se\(P\) mantiene la fórmula\(\chi_{P}\). El conjunto\(\chi_{P}\) se llama el conjunto característico de\(P(x)\).

Entonces,\[\chi_{\neg P}=U \backslash \chi_{P} .\] 3.3.1. Fórmulas y Conectivos Proposicionales. La lógica proposicional se extiende fácilmente a las fórmulas. Dejar\(P(x)\) y\(Q(x)\) ser fórmulas en la variable\(x\), con universo\(U\). Let\[R(x)=P(x) \wedge Q(x) .\] Entonces el conjunto característico de\(R(x)\) viene dado por\[\chi_{R}=\{a \in U \mid T(P(a) \wedge Q(a))=1\}\] De ahí\[\chi_{R}=\chi_{P} \cap \chi_{Q} .\] El conectivo proposicional\(\wedge\) está fuertemente asociado con la operación de conjunto\(\cap\). Del mismo modo\(\vee\) pueden estar asociados\(\cup, \neg\) con complemento (in\(U\)), y\(\Rightarrow\) con\(\subseteq\).

Cuantificadores

Dejar\(P(x)\) ser una fórmula en una variable. Si sustituimos una constante\(a \in U\),,\(x\) pues llegamos a un comunicado\(P(a)\). No obstante, supongamos que nos interesa\(P(x)\) con respecto a algún conjunto\(X \subseteq U\), más que a un elemento particular de\(U\). En particular, preguntamos si\(P(a)\) es una verdadera declaración para todos\(a \in X\). Recordemos que uno de los roles de una fórmula es definir conjuntos. Para cualquier fórmula\(P(x)\), universo\(U\) y\(X \subseteq U, P(x)\) particiones\(X\) en dos conjuntos - aquellos elementos de\(X\) para los cuales\(P\) es cierto, y aquellos para los que\(P\) es falso. En este sentido, preguntar si se\(P\) sostiene para todos\(x \in X\), o si se sostiene para algunos\(x \in X\) (lo que es complementario a preguntar si se\(\neg P\) mantiene para todos\(x \in X)\) es preguntar si\(P\) define una nuevo o interesante subconjunto de\(X\).

Así como se introdujeron los conectivos proposicionales para formalizar el comportamiento lingüístico de ciertos conectivos de lenguaje natural ampliamente empleados (y, o, implica, no), también formalizaremos la “cuantificación” sobre conjuntos.

Definición. Cuantificador universal,\((\forall x \in X) P(x)\) Let\(P(x)\) be una fórmula en una variable, con universo\(U\). Vamos\(X \subseteq U\). \(Q\)Sea la declaración\[(\forall x \in X) P(x)\] Entonces\(Q\) es verdad si por cada\(a \in X, P(a)\) es verdad. De lo contrario\(Q\) es falso.

La notación\[(\forall x \in X) P(x)\] es una taquigrafía para\[(\forall x)([x \in X] \Rightarrow[P(x)])\] La declaración "\((\forall x \in X) P(x) "\)se lee “para todos\(x\) en\(X, P(x) "\). Tenemos\[(\forall x \in X) P(x) \Longleftrightarrow X \subseteq \chi_{P}\] DEFINITION. Cuantificador existencial,\((\exists x \in X) P(x)\) Let\(P(x)\) Ser una fórmula en una variable con universo\(U .\) Let\(X \subseteq U, X \neq \emptyset\). \(Q\)Sea el enunciado\[(\exists x \in X) P(x) .\] Entonces\(Q\) es cierto si hay alguno\(a \in X\), para lo cual\(P(a)\) es cierto. De lo contrario\(Q\) es falso.

La expresión\[(\exists x \in X) P(x)\] es una taquigrafía para\[(\exists x)[(x \in X) \wedge P(x)] \text {. }\] La declaración\((\exists x \in X) P(x)\) "" se lee “existe\(x\) en\(X\), tal que\(P(x)\)”. El cuantificador "\(\nabla\)" es el equivalente formal de la expresión del lenguaje natural “para todos” o “cada”. El cuantificador "\(\exists\)" es el equivalente formal de “para algunos” o “existe... tal que...”.

Siempre que el universo de una variable sea claro, o no relevante para la discusión, es común suprimir el universo en la expresión del enunciado. Por ejemplo, si\(P(x)\) es una fórmula con universo\(U\), podemos escribir\[(\forall x) P(x)\] en lugar de\[(\forall x \in U) P(x) .\] 3.4.1. Cuantificadores Múltiples. Dejar\(P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) ser una fórmula en\(n \geq 2\) variables. Entonces la fórmula\[\left(\forall x_{1}\right) P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\] es una fórmula en las\(n-1\) variables\(x_{2}, \ldots, x_{n}\). De igual manera, la fórmula\[\left(\exists x_{1}\right) P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\] es una fórmula en\(n-1\) variables.

EJEMPLO 3.10. Considera la fórmula en cinco variables\[P\left(x, x_{0}, L, \varepsilon, \delta\right):=\left(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\right) \Rightarrow(|\sin (x)-L|<\varepsilon)\] con todas las variables teniendo universo\(\mathbb{R}\). Entonces\(\left(\forall x_{0}\right) P\left(x, x_{0}, L, \varepsilon, \delta\right)\) es una fórmula en cuatro variables,\(\left(\forall x_{0}\right)(\exists L) P\left(x, x_{0}, L, \varepsilon, \delta\right)\) es una fórmula en tres variables, y\[\left(\forall x_{0}\right)(\exists L)(\forall \varepsilon) P\left(x, x_{0}, L, \varepsilon, \delta\right)\] es una fórmula en dos variables.

Definición. Variable abierta, Variable enlazada En la fórmula\(P(x)\),\(x\) es una variable abierta. En las fórmulas\[(\forall x) P(x), \quad(\exists x) P(x), \quad(\forall x) Q(x, y), \quad(\exists x) Q(x, y)\]\(x\) hay una variable enlazada o cuantificada, y en las dos últimas,\(y\) es una variable abierta.

3.4.2. Orden del cuantificador. En la discusión a continuación, necesitamos discutir los cuantificadores genéricamente, es decir, sin tener en cuenta si el cuantificador en discusión es universal o existencial. Por lo que vamos a introducir alguna notación conveniente sólo para esta sección.

Notación. \((\mathcal{Q} x) P(x)\)Utilizamos la notación\[\text { (Q } \mathcal{Q} x) P(x)\] para representar genéricamente\[(\forall x) P(x)\] y\[(\exists x) P(x) \text {. }\] Let\(\mathcal{Q}_{1}, \ldots, \mathcal{Q}_{n}\) be cuantificadores lógicos y\(P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) ser una fórmula con variables abiertas\(x_{1}, \ldots, x_{n}\). Entonces\[\left(\mathcal{Q}_{1} x_{1}\right)\left(\mathcal{Q}_{2} x_{2}\right)(\ldots)\left(\mathcal{Q}_{n} x_{n}\right) P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\] es una declaración.

EJEMPLO 3.11. Considerar una declaración\(S\) en la forma\[S=(\forall x \in X)(\exists y \in Y) P(x, y) .\]\(S\) es verdadera si para cada uno\(a \in X\),\[(\exists y \in Y) P(a, y)\] es verdad. Esto se satisface siempre que para cada uno\(a \in X\), haya un elemento de\(Y\) (llamémoslo\(b_{a}\) para recordarnos que este elemento particular de\(Y\) está asociado con la elección anterior, a) tal que\[P\left(a, b_{a}\right)\] es cierto. Así\(b_{a}\) se selecciona teniendo\(a\) en mente. Las declaraciones en esta forma son especialmente importantes en matemáticas porque la definición del límite en el cálculo es una declaración en la forma de este ejemplo.

Volvamos al enunciado\[\left(\mathcal{Q}_{1} x_{1}\right)(\ldots)\left(\mathcal{Q}_{n} x_{n}\right) P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\] El orden de los cuantificadores es significativo. Si\(1 \leq i<j \leq n, x_{i}\) se comporta como un parámetro desde el punto de vista de\(x_{j}\) (es decir,\(x_{i}\) se fija desde el punto de vista de\(x_{j}\)). Dicho de otra manera,\(x_{j}\) se elige con respecto a las sustituciones de\(x_{1}, \ldots, x_{j-1}\), pero sin consideración para\(x_{j+1}, \ldots, x_{n}\).

Siempre se lee desde la izquierda. El enunciado\[\left(\forall x_{1}\right)\left(\mathcal{Q}_{2} x_{2}\right)(\ldots)\left(\mathcal{Q}_{n} x_{n}\right) P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\] es el mismo que\[\left(\forall x_{1}\right)\left[\left(\mathcal{Q}_{2} x_{2}\right)(\ldots)\left(\mathcal{Q}_{n} x_{n}\right) P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right] \text {, }\] o, en otras palabras, para cada elección de\(x_{1}\), la afirmación\[\left(\mathcal{Q}_{2} x_{2}\right)(\ldots)\left(\mathcal{Q}_{n} x_{n}\right) P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\] es cierta. De igual manera, la afirmación\[\left(\exists x_{1}\right)\left(\mathcal{Q}_{2} x_{2}\right)(\ldots)\left(\mathcal{Q}_{n} x_{n}\right) P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\] es la misma que\[\left(\exists x_{1}\right)\left[\left(\mathcal{Q}_{2} x_{2}\right)(\ldots)\left(\mathcal{Q}_{n} x_{n}\right) P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right] \text {, }\] o en otras palabras que hay alguna elección de\(x_{1}\) para la cual la afirmación\[\left(\mathcal{Q}_{2} x_{2}\right)(\ldots)\left(\mathcal{Q}_{n} x_{n}\right) P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\] sobre las\(n-1\) variables\(x_{2}, \ldots, x_{n}\) es verdadera.

EJEMPLO 3.12. El orden de los cuantificadores es importante, como se puede ver en lo siguiente: no\[(\forall x \in X)(\exists y \in Y) P(x, y)\] es equivalente a\[(\exists y \in Y)(\forall x \in X) P(x, y) .\] Por ejemplo, la afirmación\[(\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R})\left(y=x^{2}\right)\] es verdadera. Pero\[(\exists y \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R})\left(y=x^{2}\right)\] es falso. El enunciado\[[(\exists y \in Y)(\forall x \in X) P(x, y)] \Rightarrow[(\forall x \in X)(\exists y \in Y) P(x, y)]\] es cierto. Lo contrario claramente falla.

3.4.3. Negación de Cuantificadores. En un sentido importante,\(\wedge\) y\(\vee\) son complementarios. Por las identidades de Morgan (3.3) y (3.4), la negación de una simple conjunción es una disyunción de negaciones. De igual manera, la negación de una disyunción simple es una conjunción de negaciones. Los cuantificadores universales y existenciales también son complementarios. Observamos que\[[\neg(\forall x) P(x)] \equiv[(\exists x) \neg P(x)]\] para cualquier fórmula,\(P(x)\). Similarmente Por\[[\neg(\exists x) P(x)] \equiv[(\forall x) \neg P(x)] .\] supuesto,\(P(x)\) en sí misma puede ser una fórmula que tenga numerosos cuantificadores y variables enlazadas. Supongamos que\[P(x)=(\exists y) Q(x, y) .\] Entonces las siguientes declaraciones son equivalentes (para cualquier elección\(P\) y\(Q\) satisfacción de la identidad (3.13)):\ [\ begin {reunió} \ neg (\ forall x) P (x)\\ (\ existe x)\ neg P (x)\ \ neg (\ forall x) (\ existe y ) Q (x, y)\\ (\ existe x)\ neg (\ existe y) Q (x, y)\\ (\ existe x) (\ para todos y)\ neg Q (x, y). \ end {reunió}\] Este ejemplo sugiere que es permisible permutar una negación y un cuantificador cambiando el tipo de cuantificador, y de hecho esto es así.

Dejar\(\mathcal{Q}_{i}\) ser un cuantificador, para\(1 \leq i \leq n\). Para cada uno\(\mathcal{Q}_{i}\), deja\(\mathcal{Q}_{i}^{*}\) ser el cuantificador complementario. Es decir, si\(\mathcal{Q}_{i}=\forall\), entonces vamos\(\mathcal{Q}_{i}^{*}=\exists\); si\(\mathcal{Q}_{i}=\exists\), entonces vamos\(\mathcal{Q}_{i}^{*}=\forall\). Entonces,\[\neg\left(\mathcal{Q}_{1} x_{1}\right)(\ldots)\left(\mathcal{Q}_{n} x_{n}\right) P(\bar{x}) \equiv\left(\mathcal{Q}_{1}^{*} x_{1}\right)(\ldots)\left(\mathcal{Q}_{n}^{*} x_{n}\right) \neg P(\bar{x}) .\]

Estrategias de prueba

Hay dos formas lógicas elementales que ocurren tan comúnmente en las afirmaciones matemáticas que justifican alguna discusión general.

3.5.1. Declaraciones Universales. Una forma lógica que es probable que encuentre muy a menudo es\[(\forall x)[H(x) \Rightarrow P(x)] \text {, }\] dónde\(H(x)\) y\(P(x)\) son fórmulas en una variable. Las declaraciones en esta forma se denominan declaraciones universales. Las fórmulas\(H\) y\(P\) se utilizan para caracterizar las propiedades de los objetos matemáticos, de manera que las reivindicaciones en esta forma puedan considerarse como declarando:

Si un objeto matemático tiene propiedad\(H\), entonces\(P\) también tiene propiedad.

Esto es particularmente útil si sabemos mucho sobre objetos matemáticos que tienen propiedad\(P\). Debido a que la afirmación que estamos tratando de probar es universal, los ejemplos no bastan para probar tales afirmaciones; el ejemplo que cita podría tener accidentalmente propiedades\(H\) y\(P\). Más bien, las afirmaciones universales deben probarse abstractamente, argumentando que satisfacer una definición o conjunto de propiedades implica la satisfacción de otras propiedades. Esto generalmente requiere evaluar cuidadosamente las definiciones. En la práctica, a menudo lo hacemos asumiendo que tenemos un elemento arbitrario que satisface una definición o supuestos explícitos, y lógicamente derivamos conclusiones adicionales sobre este objeto. Por arbitrario queremos decir que no se nos permite hacer ninguna afirmación sobre el elemento excepto aquellas que se deriven inmediatamente de definiciones, suposiciones explícitas, o que se deriven lógicamente de definiciones y suposiciones explícitas. Dado que el objeto era arbitrario (a excepción de las suposiciones explícitas que hagas al inicio del argumento), las conclusiones que derives sobre el objeto serán verdaderas universalmente para todos los objetos que satisfagan los supuestos.

EJEMPLO 3.15. Supongamos que\(F(x)\) es la fórmula:\[\text { " } x \in \mathbb{N} \text { and } x \text { is a multiple of } 4 . "\] Let\(E(x)\) be the formula:\[\text { " } x \text { is even." }\] Entonces No\[(\forall x)[F(x) \Rightarrow E(x)] .\] basta con observar que 4,8 y 12 son todos parejos. Para argumentar directamente a favor de la afirmación, se argumentaría abstractamente que cualquier objeto que satisfaga\(F(x)\) necesariamente satisface\(E(x)\).

Hay un par de enfoques que uno suele considerar al probar declaraciones condicionales. Elegir un enfoque es elegir una estrategia para la prueba. Normalmente, se puede hacer funcionar más de una estrategia, pero a menudo una puede ser más simple que las otras.

Las reclamaciones de la forma (3.14) generalmente se abordan de una de las siguientes maneras:

(1) Prueba Directa. Dejar\(x\) ser un objeto para el que se\(H\) sostiene. Al decodificar la propiedad\(H\), es posible que también pueda mostrar directamente esa\(P\) propiedad.\(x\) Al\(x\) ser un objeto arbitrario satisfactorio\(P\), se probará la reivindicación universal.

EJEMPLO 3.17. Demostrar (3.16) directamente.

Let\(x \in \mathbb{N}\) (tratamos\(x\) como un elemento fijo pero arbitrario de los números naturales). Si\(x=4 n\), entonces\[x=2 \cdot(2 n),\] y por lo tanto es parejo.

EJEMPLO 3.18. Demostrar que cualquier 3 puntos en el plano son colineales o se encuentran en un círculo.

Comprobante. Etiquetar los puntos\(A, B, C\). Dejar\(L\) ser la bisectriz perpendicular de\(A B\). Cada punto en\(L\) es equidistante de\(A\) y\(B\).

Dejar\(M\) ser la bisectriz perpendicular de\(B C\). Cada punto en\(M\) es equidistante de\(B\) y\(C\).

Si\(A, B\) y no\(C\) son colineales, las líneas\(L\) y no\(M\) son paralelas, por lo que se cruzan en algún momento\(D\). El punto\(D\) es equidistante de\(A, B\) y\(C\), por lo que estos puntos se encuentran en un círculo centrado en\(D\).

EJEMPLO 3.19. El teorema de Pitágoras se puede afirmar en la forma (3.14). (¿Qué son\(H\) y\(P\) en este caso?) La prueba de Euclides del teorema de Pitágoras es una prueba directa (Elementos I.47 de Euclides).

(2) Prueba Contrapositiva.

A veces es más fácil demostrar que el fracaso de\(P\) implica el fracaso de\(H\). Supongamos que tiene un objeto para el cual\(P\) falla (es decir, asumir\(\neg P\) retenciones del objeto). Derivar que\(H\) debe fallar para el objeto también. En este caso habrás demostrado que\[(\forall x)[\neg P(x) \Rightarrow \neg H(x)] .\] Esto equivale a la reclamación\[(\forall x)[H(x) \Rightarrow P(x)] .\] EJEMPLO 3.20. Demostrar (3.16) demostrando el contrapositivo.

Vamos\(x \in \mathbb{N}\), y supongamos\(\neg E(x)\), así\(x\) es extraño. Como\(x\) es impar, entonces\(x\) dividido por 4 tiene resto 1 o 3. Entonces,\[x \neq 4 n \text {. }\] Así no\(x\) es un múltiplo de 4.

EJEMPLO 3.21. Demostrar que si\(x\) es un entero y\(x^{2}\) es par, entonces\(x\) es par.

El contrapositivo es la afirmación de que si\(x\) es un entero impar, entonces\(x^{2}\) es impar. Esto lo demostraremos.

Supongamos que\(x\) es impar, así que\(x=2 n+1\) para algún entero\(n\). Entonces\(x^{2}=\)\(4 n^{2}+4 n+1\), así\(x^{2} \equiv 1 \bmod 2\), y por lo tanto\(x^{2}\) es extraño.

(3) Contradicción.

Esta es una prueba en la que demostramos que\(H \wedge \neg P\) es necesariamente falsa. Es decir, asumir que se\(H\) sostiene para un objeto arbitrario y\(P\) falla para ese objeto, y demostrar que esto da lugar a una contradicción. Dado que las contradicciones son lógicamente imposibles, es lógicamente necesario aquello\[\neg(H \wedge \neg P)\] que es proposicionalmente equivalente a\[\neg H \vee P\] o, alternativamente,\[H \Rightarrow P \text {. }\] ya que habremos demostrado que para cualquier sustitución de\(x\), el enunciado \(H \Rightarrow P\)sostiene, habremos mostrado el reclamo universal.

EJEMPLO 3.22. Demostrar (3.16) por contradicción.

Supongamos que\(x\) es un múltiplo de 4 y eso\(x\) es impar. Dejar\(r\) ser el residuo del\(x\) módulo 2. Ya que\(x\) es un múltiplo de\(4=2 \cdot 2\), tenemos eso\(r \equiv 0 \bmod 2\). Ya que\(r\) es extraño, tenemos eso\(r \equiv 1 \bmod 2\). Esto implica\(0 \equiv 1 \bmod 2\), una contradicción. Por lo tanto, la suposición de\(x\) que había un que era a la vez un múltiplo de 4 e impar es falsa, y así ((3.16) debe ser verdadera. EJEMPLO 3.23. Demostrar que\(\sqrt{2}\) es irracional.

Comprobante. Reafirmamos esto como implicación: Si un número es racional, es cuadrado no puede igualar 2. Comenzamos por considerar la estructura lógica del reclamo. Aquí la hipótesis\(H(x)\) es que\(x\) es un número racional, y la conclusión\(P(x)\) es que\(x^{2} \neq 2\). \[(\forall x) H(x) \Rightarrow P(x) .\]Deseamos probar Daremos una prueba por contradicción. Es decir, asumimos que la afirmación es falsa y derivamos una contradicción. Entonces asumimos\[\neg((\forall x) H(x) \Rightarrow P(x)) .\] Esto es lógicamente equivalente a\[(\exists x) H(x) \wedge \neg(P(x)) .\] Volvamos a la prosa matemática ahora que hemos luchado a través de la lógica. Supongamos que\(x\) es un número racional, y asumir también eso\(x^{2}=2\); deseamos derivar una contradicción lógica. Escribir\(x=m / n\), donde\(m\) y\(n\) son enteros distintos de cero que no tienen factores comunes. Entonces\[x^{2}=m^{2} / n^{2}=2,\] así\(m^{2}=2 n^{2}\). Por lo tanto\(m^{2}\) es parejo, así que por el Ejemplo 3.21,\(m\) es parejo. Por lo tanto\(m=2 k\) para algún entero\(k\), y así\[m^{2}=4 k^{2}=2 n^{2} .\] Por lo tanto\(n^{2}=2 k^{2}\) es par, así\(n\) es par. Pero entonces ambos\(m\) y\(n\) son parejos, y así tienen 2 como factor común, lo que contradice la suposición de que\(m / n\) era la forma reducida del número racional\(x\).

Las pruebas contrapositivas y las pruebas por contradicción son muy similares. En efecto, cualquier prueba contrapositiva, eso\(\neg P \Rightarrow \neg H\), automáticamente cede eso\((H \wedge \neg P)\) es imposible. La distinción es más lingüística que lógica. La razón de tener nombres para diferentes estrategias de prueba es brindar orientación al lector para que la prueba sea más fácil de seguir. En el Capítulo 4 veremos otro método poderoso para probar declaraciones universales sobrepasadas\(\mathbb{N}\), a saber, el Principio de Inducción.

3.5.2. Pruebas de Existencia. Una segunda forma común para una afirmación matemática es una declaración existencial, es decir, una declaración en la forma\[(\exists x) P(x) \text {. }\] Hay tres enfoques comunes para probar afirmaciones existenciales.

(1) Construcción.

Obviamente, la forma más directa de mostrar que algo existe con ciertas propiedades es introducir o construir un objeto con propiedad\(P\). Para las reclamaciones en esta forma, el ejemplo es la prueba, aunque habrá que demostrar que el objeto satisface\(P\), si no es obvio.

EJEMPLO 3.25. Demostrar que existe una función real cuya primera derivada es en todas partes positiva, y cuya segunda derivada es en todas partes negativa.

Prueba. La forma más fácil de hacerlo es anotar una función con estas propiedades. Una de esas funciones es\(f(x)=1-e^{-x}\). El derivado es\(e^{-x}\), que en todas partes es positivo, y el segundo derivado lo es\(-e^{-x}\), que en todas partes es negativo.

(2) Conteo.

A veces se puede establecer la existencia de un objeto mediante un argumento de conteo.

EJEMPLO 3.26. Supongamos que hay 30 alumnos en una clase. Demostrar que al menos dos de ellos comparten la misma última inicial.

PRUEBA. Por cada letra\(A, B, \ldots\) agrupa a todos los alumnos con esa letra como su última inicial. Como solo hay 26 grupos y\(30>26\) estudiantes, al menos un grupo debe tener más que sobre estudiante en él.

El argumento que acabamos de dar se llama el “principio del casillero”, basado en la analogía de poner letras en casilleros. Si hay más letras que casilleros, entonces algún casillero debe tener más de una letra. Observe que a diferencia de una prueba constructiva, una prueba de conteo no le dice qué grupo tiene más de un elemento en ella.

Para conocer la espectacular generalización de Cantor del principio del casillero a conjuntos infinitos, ver Capítulo 6.

(3) Contradicción.

Puede ser difícil probar declaraciones existenciales por construcción. Una alternativa es asumir que la afirmación existencial es falsa (que no hay objeto que satisfaga\(P(x)\)). Si es imposible que ningún objeto tenga propiedad\(P\), entonces algún objeto debe. Nuevamente, este enfoque puede no darnos mucha idea de los objetos que tienen propiedad\(P\). Ver por ejemplo Ejercicio 3.27.

EJEMPLO 3.27. Supongamos que todos los puntos en el plano son de color rojo o azul. Demostrar que debe haber dos puntos del mismo color exactamente a una unidad de distancia.

Comprobante. Supongamos que no los hay. Dibuja un triángulo equilátero del lado 1. Etiquetar sus vértices\(A, B\) y\(C\). Entonces\(A\) y\(B\) deben ser diferentes colores,\(B\) y\(C\) deben ser diferentes colores,\(C\) y\(A\) deben ser diferentes colores. Esto es imposible con solo dos colores para elegir.

Observe que no hemos dicho si hay un par rojo-rojo que esté separado por unidad de distancia, o un par azul-azul que esté a distancia unitaria, solo que uno de esos pares debe existir.

Ejercicios

EJERCICIO 3.1. Demostrar las leyes de Morgan, (3.3) y (3.4). (Pista: Hay cuatro posibles asignaciones de valores de verdad 0 y 1 a las dos afirmaciones\(P\) y\(Q\). Para cada una de esas tareas, evalúe los valores de verdad de los lados izquierdo y derecho de (3.3) y demuestre que siempre son los mismos).

EJERCICIO 3.2. Demostrar que las declaraciones compuestas\(P\) y\(Q\) son proposicionalmente equivalentes iff\(P \Longleftrightarrow Q\).

EJERCICIO 3.3. Dar un ejemplo de una declaración condicional verdadera en la que la consecuencia es falsa. EJERCICIO 3.4. Si\(P, Q\) y\(R\) son declaraciones, probar que son ciertas las siguientes:
a)\(P \wedge \neg P \Rightarrow Q\)
b)\([(P \Rightarrow Q) \wedge(Q \Rightarrow R)] \Rightarrow(P \Rightarrow R)\)
c)\([P \Rightarrow(Q \wedge \neg Q)] \Rightarrow \neg P\)
d)\([P \wedge(P \Rightarrow Q)] \Rightarrow Q\)
e) \(P \Rightarrow(Q \vee \neg Q)\).

EJERCICIO 3.5. Dejar\(P\) y\(Q\) ser declaraciones. Demostrar que hay declaraciones usando solamente\(P, Q, \neg\) y\(\wedge\) que son proposicionalmente equivalentes a
a)\(P \wedge Q\)
b)\(P \vee Q\)
c)\(P \Rightarrow Q\).

Demostrar que hay declaraciones usando solamente\(P, Q, \neg\) y\(\vee\) que son equivalentes a lo anterior.

EJERCICIO 3.6. Demostrar las leyes distributivas para la lógica proposicional: Si\(P, Q\) y\(R\) son declaraciones, entonces
a)\(P \vee(Q \wedge R) \equiv(P \vee Q) \wedge(P \vee R)\)
b)\(P \wedge(Q \vee R) \equiv(P \wedge Q) \vee(P \wedge R)\).

EJERCICIO 3.7. Demostrar la ley distributiva para conjuntos: Si\(X, Y\) y\(Z\) son conjuntos, entonces
a)\(X \cup(Y \cap Z)=(X \cup Y) \cap(X \cup Z)\)
b)\(X \cap(Y \cup Z)=(X \cap Y) \cup(X \cap Z)\).

EJERCICIO 3.8. Dejar conjuntos\(X, Y\) y\(Z\) ser conjuntos característicos de fórmulas\(P(x), Q(x)\) y\(R(x)\) respectivamente. Para cada región posible del diagrama de Venn\(X, Y\) y\(Z\) dar una fórmula compuesta (con fórmulas atómicas\(P, Q\) y\(R\)) que tiene esa región como su conjunto característico.

EJERCICIO 3.9. Escribe una fórmula en una variable que defina los enteros pares.

EJERCICIO 3.10. Escribe una fórmula que defina cuadrados perfectos. EJERCICIO 3.11. Escribe una fórmula en dos variables que defina los puntos en los\(\mathbb{R}^{2}\) que tengan distancia 1 del punto\((\pi, e)\).

EJERCICIO 3.12. ¿Se puede escribir una fórmula en una variable usando solo suma, multiplicación, exponenciación, enteros e igualdad, para definir el conjunto de todas las raíces de un polinomio dado con coeficientes enteros? ¿Qué tal el conjunto de raíces de todos los polinomios con coeficientes enteros?

EJERCICIO 3.13. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
a)\((\forall x \in \mathbb{R}) x+1>x\)
b)\((\forall x \in \mathbb{Z}) x^{2}>x\)
c)\((\exists x \in \mathbb{Z})(\forall y \in \mathbb{Z}) x \leq y\)
d)\((\forall y \in \mathbb{Z})(\exists x \in \mathbb{Z}) x \leq y\)
e)\((\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x \in \mathbb{R})[0<|x-1|<\delta] \Rightarrow\left[\left|x^{2}-1\right|<\varepsilon\right]\).

EJERCICIO 3.14. ¿Cuál es la negación de cada enunciado en el Ejercicio 3.13? ¿Cuál de las negaciones es verdad?

EJERCICIO 3.15. Dejar\(a, L \in \mathbb{R}\) y\(f\) ser una función real. Demostrar que las declaraciones\[(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x \in \operatorname{Dom}(f))[0<|x-a|<\delta] \Rightarrow[|f(x)-L|<\varepsilon]\] y no\[(\exists \delta>0)(\forall \varepsilon>0)(\forall x \in \operatorname{Dom}(f))[0<|x-a|<\delta] \Rightarrow[|f(x)-L|<\varepsilon]\] son equivalentes. ¿Qué afirmación es consecuencia de la otra?

EJERCICIO 3.16. Dejar\(P(x, y)\) ser una fórmula en dos variables. Demostrar que en general no\((\forall x)(\exists y) P(x, y)\) necesita ser equivalente a\((\exists y)(\forall x) P(x, y)\). Demostrar que\((\forall x)(\forall y) P(x, y)\) es equivalente a\((\forall y)(\forall x) P(x, y)\). ¿Y qué pasa\((\exists x)(\exists y) P(x, y)\) con y\((\exists y)(\exists x) P(x, y)\)?

EJERCICIO 3.17. Considera las siguientes afirmaciones. Anote lo contrapositivo y lo contrario a cada uno.

(i) Todos los hombres son mortales.

(ii) Me refiero a lo que digo. (iii) Toda función continua en el intervalo\([0,1]\) alcanza su máximo

(iv) La suma de los ángulos de un triángulo es\(180^{\circ}\).

EJERCICIO 3.18. Demostrar que un número es divisible por 4 si y sólo si sus dos últimos dígitos lo son.

EJERCICIO 3.19. Demostrar que un número es divisible por 8 si sus últimos tres dígitos son.

EJERCICIO 3.20. Demostrar que un número es divisible\(2^{n}\) por si sus últimos\(n\) dígitos son.

EJERCICIO 3.21. Supongamos que\(m\) es un número con la propiedad de que cualquier número natural es\(m\) divisible por si sus últimos tres dígitos son. ¿De qué dice esto\(m\)? Demuestra tu aseveración.

EJERCICIO 3.22. Demostrar que un entero es divisible por 11 si la suma de los dígitos colocados extrañamente menos la suma de los dígitos colocados uniformemente es divisible por 11. (Entonces\(11 \mid 823493\) iff 11 divide\((2+4+3)-(8+3+9)\).)

EJERCICIO 3.23. Mostrar que cada intervalo contiene números racionales e irracionales.

EJERCICIO 3.24. Demostrar que\(\sqrt{3}\) es irracional.

EJERCICIO 3.25. Demostrar que\(\sqrt{10}\) es irracional.

EJERCICIO 3.26. Demostrar que la raíz cuadrada de cualquier número natural es o bien un número entero o irracional.

EJERCICIO 3.27. Demostrar que existen números irracionales\(x\) y\(y\) entonces eso\(x^{y}\) es racional. (Pista: considerar\(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\) y\(\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}\).)

EJERCICIO 3.28. Demostrar o refutar la siguiente aseveración: Cualesquiera 4 puntos en el plano, ninguno de los cuales tres son colineales, se encuentran en un círculo.

EJERCICIO 3.29. Demostrar que hay un número infinito de primos. EJERCICIO 3.30. Para\(k=0,1,2\), deja\(P_{k}\) ser el conjunto de números primos que son congruentes con\(k \bmod 3\). Por el Ejercicio 3.29,\(P_{0} \cup P_{1} \cup P_{2}\) es infinito. ¿Se puede decir cuáles de los conjuntos\(P_{0}, P_{1}\) y\(P_{2}\) son infinitos?

(Comentario: Para dos de los tres conjuntos, este problema no es demasiado difícil. Para el tercero, es sumamente difícil, y es un caso especial de un célebre teorema de Dirichlet. Ver\(e . g\). [8] para un tratamiento del teorema de Dirichlet.)

EJERCICIO 3.31. Deja que los puntos en\(\mathbb{R}^{2}\) sean de color rojo, verde y azul. Demostrar que o bien hay dos puntos del mismo color a una distancia 1 de distancia, o bien hay un triángulo equilátero de longitud lateral\(\sqrt{3}\) todos cuyos vértices son del mismo color.

EJERCICIO 3.32. Demostrar que\[e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}\] es irracional. (Pista: Argumenta por contradicción. Asumir\(e=\frac{p}{q}\) y multiplicar ambos lados por\(q !\) Reorganizar la ecuación para obtener un entero igual a una suma infinita de números racionales que converge a un número en\((0,1)\).)
(1)

\(5-2 \sqrt{-2}\)

\(\sqrt{5}-\sqrt{-2}\)

\(4=\sqrt{2}+\frac{}{}\)

\(4+\frac{2}{4}\)

\(\sqrt{4-2}+\frac{12}{}\)

4

\(\operatorname{sins}^{-2}+\frac{2}{}\)

(\(2.7\)

\(\sqrt{2-25}+\)

(2)

(\(2.7\)

(2

\(4=\sqrt{2}+\)

\(\mathrm{~ ㄱ ㅏ ㄱ ㅏ ㄱ ㅏ}\)

(\(2.7\)

4

(2020

(2

• 2

2

(

r.

a\(2+2\)

\(\sqrt{2-2 \cdot 2 \cdot\)

(

(

\((\sqrt{2}+2\)

(

4

(200

(\(2-2\)

(

\(\mathrm{~ r e s ~ a ~}\)

(\(2-2=\)

(2)

4

\((2+2)\)

4

4

(1)

• CAPÍTULO 4

Ordenamientos de bienestar

En este capítulo discutimos el principio de inducción matemática. Tenga en cuenta que la palabra inducción tiene un significado diferente en matemáticas que en el resto de la ciencia. El principio de inducción matemática depende de la estructura de orden de los números naturales, y nos da una técnica poderosa para probar afirmaciones matemáticas universales.

DEFINICIÓN. Bien ordenado Let\(X\) ser un conjunto, y\(\preceq\) un orden lineal en\(X\). Decimos que\(X\) está bien ordenado con respecto a\(\preceq\) (o\(\preceq\) es un wellordering de\(X\)) si cada subconjunto no vacío de\(X\) tiene un elemento mínimo con respecto a\(\preceq\). Es decir, para cualquier subconjunto no vacío\(Y\) de\(X\)\[(\exists a \in Y)(\forall y \in Y) a \preceq y .\] En general, los ordenamientos lineales no necesitan ser ordenamientos bien. El ordenamiento correcto es una propiedad universal: un conjunto\(X\) con un orden\(\preceq\) está bien ordenado si cada subconjunto no vacío de\(X\) tiene un elemento mínimo con respecto a\(\preceq\). Si hay algún subconjunto no vacío que no tenga un elemento mínimo, entonces\(\preceq\) no se ordena bien\(X\).

EJEMPLO 4.1. \(\mathbb{Z}\)no está bien ordenado por\(\leq\). Los enteros no tienen un elemento mínimo, lo que basta para demostrar que no\(\mathbb{Z}\) está bien ordenado por\(\leq\).

EJEMPLO 4.2. Vamos\(X=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 2\}\). Let\(\leq\) be the usual order on\(\mathbb{R} . X\) is linealmente ordenado por\(\leq\), pero no\(X\) es bien ordenado por\(\leq\). En este ejemplo,\(X\) tiene un elemento mínimo, pero cualquier intervalo abierto contenido en no\(X\) podrá tener un elemento mínimo. Las propiedades clave del orden\(\mathbb{N}\) son que está bien ordenado y cada elemento de\(\mathbb{N}\), excepto 0, es el sucesor de un número natural:

PRINCIPIO DE BIENESTAR PARA LOS NUMEROS NATURALES: El conjunto\(\mathbb{N}\) está bien ordenado\(\leq\)

PROPIEDAD SUCESORA PARA LOS NÚMEROS NATURALES: Si\(n \in \mathbb{N}\) y\(n \neq 0\), entonces hay\(m \in \mathbb{N}\) tal que\(n=m+1\).

Si uno acepta una comprensión intuitiva de los números naturales, estos principios son más o menos obvios. En efecto, dejemos\(Y\) ser cualquier subconjunto no vacío de\(\mathbb{N}\). Como no está vacío, hay algunos\(m\) adentro\(Y\). Ahora, considere cada uno de los números\(0,1,2, \ldots, m\) finitamente muchos a su vez. Si\(0 \in Y\), entonces 0 es el elemento menor. Si 0 no está en\(Y\), proceda a 1. Si esto está en\(Y\), debe ser el elemento menor; de lo contrario proceder a 2. Continúa de esta manera, y encontrarás algún número menor o igual que\(m\) ese es el menor elemento de\(Y\).

Este argumento, aunque convincente, sí se basa en el hecho de que tenemos una idea de lo que\(\mathbb{N}\) “es”. Si queremos definir\(\mathbb{N}\) en términos de operaciones de conjunto, como hacemos en el Capítulo 8, esencialmente tenemos que incluir como axioma el principio bien ordenado para los números naturales.

Principio de Inducción

Comenzamos por probar un teorema que es equivalente al principio de inducción.

TEOREMA 4.3. Si
(1)\(X \subseteq \mathbb{N}\)
(2)\(0 \in X\)
(3)\((\forall n \in \mathbb{N}) n \in X \Rightarrow(n+1) \in X\),

luego\[X=\mathbb{N}\] Discusión. Discutiremos por contradicción. Eso lo asumimos\(X \neq \mathbb{N}\). Que\(Y\) sea el complemento de\(X\) in\(\mathbb{N}\). Dado que no\(Y\) está vacío, tendrá un elemento mínimo. La tercera hipótesis del teorema no permitirá un elemento mínimo en\(Y\), que no sea 0, y esto es imposible por la segunda hipótesis. Por lo tanto,\(Y\) es necesariamente vacío.

Comprobante. Vamos\(X\) a satisfacer las hipótesis del teorema. \[Y=\mathbb{N} \backslash X .\]Dejemos Supongamos que no\(Y\) está vacío. Ya que\(Y \subseteq \mathbb{N}, Y\) está bien ordenado por\(\leq\). Dejar\(a \in Y\) ser el menor elemento de\(Y\). Observamos que no\(a\) es 0, ya que\(0 \in X\). Por lo tanto\(a \geq 1\) y es un sucesor, así\(a-1\) es en\(\mathbb{N}\) y no en\(Y\). De ahí\(a-1\) está en\(X\). Pero luego por hipótesis (3) del teorema,\(a-1+1 \in X\). Esto es una contradicción, por lo tanto\(Y\) está vacío y\(X=\mathbb{N}\).

OBSERVACIÓN. Ocasionalmente incluiremos discusiones informales etiquetadas en nuestras pruebas para guiarte en tu lectura. Esta no es una práctica habitual. No debe incluir tales discusiones en sus pruebas a menos que su instructor lo solicite.

El teorema\(4.3\) se aplica más fácilmente en la siguiente forma.

COROLARIO 4.4. Principio de inducción Dejar\(P(x)\) ser una fórmula en una variable. Si

(1)\(P(0)\)

(2)\((\forall x \in \mathbb{N}) P(x) \Rightarrow P(x+1)\),

después\[(\forall x \in \mathbb{N}) P(x) .\] Prueba. Que\[\chi_{P}=\{x \in \mathbb{N} \mid P(x)\} .\] Deseemos demostrar eso\(\chi_{P}=\mathbb{N}\). Por suposición (1),\(P(0)\), entonces\(0 \in \chi_{P}\). Asumir eso\(n \in \chi_{P}\). Entonces\(P(n)\). Por suposición (2)\[P(n) \Rightarrow P(n+1) .\] Por lo tanto\(P(n+1)\) y\(n+1 \in \chi_{P}\). Ya que\(n\) es arbitrario,\[(\forall n \in \mathbb{N}) n \in \chi_{P} \Rightarrow n+1 \in \chi_{P} .\] Por Teorema 4.3,\(\chi_{P}=\mathbb{N}\) y\[(\forall x \in \mathbb{N}) P(x)\] Supongamos que se desea demostrar que una fórmula\(P(x)\) sostiene para todos los números naturales. Al argumentar por inducción, el autor debe demostrar que las hipótesis para el teorema están satisfechas. Por lo general, el autor primero lo demuestra\(P(0)\). A esto se le llama el caso base de la prueba por inducción. Muy a menudo es una conclusión fácil, incluso trivial. No obstante, es necesario probar un caso base para poder argumentar por inducción (¿se puede demostrar esto?). Habiendo probado el caso base, el autor probará entonces la segunda hipótesis, a saber, que la afirmación de ser cierta para un número natural arbitrario implica que es cierto en el sucesor de ese número natural. Este es el paso de inducción. El paso de inducción requiere probar una declaración condicional, que a menudo se prueba directamente. Es importante entender que el autor no está alegando que\(P\) sostiene en un número natural arbitrario, de lo contrario el argumento sería circular e inválido. Más bien, el autor demostrará que si el resultado fuera cierto en un número natural arbitrario, entonces sería cierto para el número natural posterior. El supuesto que se\(P\) sostiene en un número natural fijo y arbitrario se denomina hipótesis de inducción. Si el autor prueba con éxito el caso base y el paso de inducción, entonces\(4.4\) se satisfacen los supuestos de Corolario, y\(P\) mantiene en todos los números naturales.

Proposición 4.5. Vamos\(N \in \mathbb{N}\). Después\[\sum_{n=0}^{N} n=\frac{N(N+1)}{2} .\] Discusión. Este es un buen primer ejemplo de una prueba por inducción. El argumento es una aplicación directa de la técnica y el resultado es de interés histórico y práctico. Argumentamos por inducción en el índice superior de la suma. Es decir, la fórmula que estamos demostrando para todos los números naturales es\[P(x): \sum_{n=0}^{x} n=\frac{x(x+1)}{2} .\] Es importante identificar la cantidad sobre la que se está aplicando el principio de inducción, pero algunos autores que están escribiendo un argumento para lectores que están familiarizados con la inducción pueden no declarar explícitamente la fórmula.

Demostramos un caso base\(N=0\),, que corresponde a la suma con el término único 0. Luego argumentamos el paso de inducción. Este es nuestro primer argumento utilizando el principio de inducción. Preste mucha atención a la estructura de esta prueba. Debes esforzarte por seguir las convenciones de pruebas por inducción que establecemos en este libro.

Comprobante. Caso base:\(N=0\).

Discusión. Tenga en cuenta que el caso base es la declaración\(P(0)\).

Ya que\[\sum_{n=0}^{0} n=0=\frac{(0)(1)}{2},\]\(P(0)\) sostiene.

Paso de inducción:

Discusión. Demostramos la afirmación universal\[(\forall x \in \mathbb{N}) P(x) \Rightarrow P(x+1) .\] demostrando que para un número natural arbitrario\(N\)\[P(N) \Rightarrow P(N+1) .\] Así reducimos probar una declaración universal a probar una declaración condicional abstracta. Demostramos directamente la declaración condicional resultante. Es decir, asumimos\(P(N)\) y derivamos\(P(N+1)\). Le recordamos al lector que no estamos reclamando que el resultado se mantenga en\(N\) - es decir, no reclamamos\(P(N)\). Más bien, estamos demostrando la afirmación condicional asumiendo el antecedente, la hipótesis de inducción y derivando la consecuencia. Si no usas la hipótesis de inducción, no estás discutiendo por inducción. Desde luego, en el cuerpo del argumento esto es transparente, sin referencia a los principios lógicos subyacentes.

Vamos\(N \in \mathbb{N}\) y supongamos que\[\sum_{n=0}^{N} n=\frac{N(N+1)}{2} .\] Entonces\ [\ begin {alineado} \ sum_ {n=0} ^ {N+1} n &=\ left (\ sum_ {n=0} ^ {N} n\ derecha) +N+1\\ &= {} _ {I H}\ frac {N (N+1)} {2} +N+1 \ end {alineado}\] por la hipótesis de inducción.

Discusión. Es un buen hábito, y una consideración para tu lector, identificar cuándo estás invocando la hipótesis de inducción. Utilizaremos el subíndice\({ }_{I H}\) para indicar dónde invocamos la hipótesis de inducción.

Entonces\ [\ comenzar {alineado} \ sum_ {n=0} ^ {N+1} n &=\ frac {N (N+1)} {2} +N+1\\ &=\ frac {N (N+1)} {2} +\ frac {2 N+2} {2}\\ &=\ frac {N^ {2} +3 N+2} {2}\\ &= frac ac {(N+1) ((N+1) +1)} {2}. \ end {aligned}\] Por lo tanto,\[(\forall N \in \mathbb{N}) P(N) \Rightarrow P(N+1) .\] Por el principio de inducción, la proposición sigue.

Proposición 4.6. Vamos\(N \in \mathbb{N}\). Después\[\sum_{n=0}^{N} n^{2}=\frac{N(N+1)(2 N+1)}{6} .\] Prueba. La aseveración\(P(N)\) es que la ecuación (4.7) sostiene. El caso base,\(N=0\), es obvio: Paso\[\sum_{n=0}^{0} n^{2}=\frac{0(0+1)(2 \cdot 0+1)}{6} .\] de inducción:

Supongamos que\(N \in \mathbb{N}\) y\[\sum_{n=0}^{N} n^{2}=\frac{N(N+1)(2 N+1)}{6}\] demostramos que\[\sum_{n=0}^{N+1} n^{2}=\frac{(N+1)(N+2)(2 N+3)}{6}\] Efectivamente\ [ \ begin {alineado}\ sum_ {n=0} ^ {N+1} n^ {2} &=\ left (\ sum_ {n=0} ^ {N} n^ {2}\ derecha) + (N+1) ^ {2}\\ &=I H\\ &=\ frac {N (N+1) (2 N+1)} {6} + (N+1) ^ {2}. \\ &=\ frac {N (N+1) (2 N+1)} {6} + (N+1) ^ {2}\\ &=\ frac {2 N^ {3} +9 N^ {2} +13 N+6} {6}\\ &\ frac {(N+1) (N+2) (2 (N+1) +1)} {6}. \ end {aligned}\] La proposición se desprende del principio de inducción.

Discusión. La prueba de la Proposición\(4.6\) es muy similar a la prueba de la Proposición 4.5. Es posible que desee confirmar las identidades algebraicas en la última parte de la prueba, ya que no son obvias. Se incluye solo el detalle suficiente para guiarlo a través de la prueba de la implicación. El autor de una prueba por inducción asumirá que te sientes cómodo con la técnica, y con ello puede proporcionar menos detalles de los que te gusta.

OBSERVACIÓN. Hay más en las Proposiciones\(4.5\) y\(4.6\) que solo las pruebas. También están las fórmulas. En efecto, un uso de la inducción es que si adivina una fórmula, puede usar la inducción para demostrar que su fórmula es correcta. Ver Ejercicios\(4.12\) y 4.16.

¿Por qué es necesario un caso base? Considera el siguiente argumento a favor de la falsa pretensión\(\sum_{n=0}^{N} n<\frac{N(N+1)}{2}\). Vamos\(N \in \mathbb{N}\) y supongamos\(P(N)\), donde\(P(N)\) esta la sentencia\[\sum_{n=0}^{N} n<\frac{N(N+1)}{2} .\] Entonces\ [\ begin {alineada} \ suma_ {n=0} ^ {N+1} n &=\ left (\ sum_ {n=0} ^ {N} n\ derecha) +N+1\\ <_ {I H} &\ frac {N (N+1)} {2} +N+1\\ &=\ frac {N^ {2} +3} {2}\ \ &=\ frac {(N+1) ((N+1) +1)} {2}. \ end {aligned}\] De ahí, por\[(\forall N \in \mathbb{N}) P(N) \Rightarrow P(N+1) .\] supuesto que la desigualdad\(P(N)\) se demuestra fácilmente como falsa. ¿Qué salió mal? Sin un caso base, probar no\[(\forall N \in \mathbb{N}) P(N) \Rightarrow P(N+1)\] es suficiente para probar\((\forall N \in \mathbb{N}) P(N)\). Si\(P(0)\) fuera verdad, entonces\(P(1)\) sería verdad, y si\(P(1)\) fuera verdad, entonces lo\(P(2)\) sería, y así sucesivamente. En efecto, si somos capaces de probar\(P(N)\) para alguno\(N \in \mathbb{N}\), entonces sabemos\(P(M)\) por cualquier número natural\(M>N\). Pero la secuencia de declaraciones\(\langle P(0), P(1), P(2), \ldots\rangle\) nunca se inicia. \(P(N)\)falla para todos\(N\).

Otra forma de pensar en la inducción es en términos de garantías. Supongamos que decide comprar un auto. Primero vas a Honest Bob's Bob garantiza que cualquier auto que venda irá por lo menos a una milla. Se compra un auto, lo sacas del lote, y después de 3 millas se descompone y no se puede arreglar. Regresas con enojo, pero Bob no te devolverá tu dinero porque el auto estuvo a la altura de la garantía.

Entonces cruzas la carretera hacia Honest John's John garantiza que si te vende un auto, una vez que arranca nunca se detendrá. Esto suena bastante bien, así que compras un auto, pones las llaves en el encendido, y... nada. El auto no arranca. John tampoco te devolverá tu dinero, porque el auto no dejó de hacer lo que reclamó.

Sentirse desesperado, terminas en Honest Stewart's Los autos de Stewart vienen con dos garantías:

(1) El auto arrancará y recorrerá al menos una milla.

(2) No importa qué tan lejos haya ido el auto, siempre se puede conducir una milla extra.

Piensas esto de nuevo, y finalmente decides que el auto irá para siempre. Lo mejor de todo es que el arrendamiento es de solo\(\$ 1\) un mes por los dos primeros meses. Firmas el contrato de arrendamiento y conduces a casa bastante satisfecho contigo mismo. \({ }^{1}\)

Hay muchas generalizaciones útiles del principio de inducción. El primero que discutimos se llama inducción fuerte. Se llama así porque la hipótesis de inducción es más fuerte que la hipótesis de inducción en la inducción estándar, y por lo tanto el paso de inducción a veces es más fácil de probar en un argumento por inducción fuerte.

COROLARIO 4.8. Inducción fuerte Deja\(P(x)\) que sea una fórmula tal que

\({ }^{1}\)Tienes razón en que el Principio de Inducción garantiza que tu auto conducirá para siempre. No obstante, como señala tu madre cuando le muestras el contrato de arrendamiento, después de los dos primeros meses tu pago cada mes es la suma de tus pagos en los dos meses anteriores. ¿Cuánto vas a pagar después de 5 años? (1)\(P(0)\)

(2) Para cada uno\(n \in \mathbb{N}\),\[[(\forall x<n) P(x)] \Rightarrow[P(n)]\] entonces\[(\forall x \in \mathbb{N}) P(x)\] Intuitivamente esto no es muy diferente de la inducción básica. Empiezas en un caso base, y una vez iniciado puedes continuar por el resto de los números naturales. La distinción está justo en el número de suposiciones que usas al momento de probar algo por fuerte inducción. En la práctica, da la ventaja de que en el paso de inducción se puede reducir caso\(N\) a cualquier caso anterior, en lugar del caso inmediatamente anterior,\(N-1\). En particular, esto simplifica los argumentos sobre la divisibilidad y los enteros.

Discusión. Reducimos el principio de inducción fuerte al principio de inducción. Esto lo logramos introduciendo una fórmula\(Q(x)\), que dice: “P (y) es cierto para todos\(y<x "\). La inducción fuerte\(P(x)\) es equivalente a la inducción básica en\(Q(x) .\)

PRUEBA. Supongamos que\(P(x)\) satisface las hipótesis del corolario. Que\(Q(x)\) sea la fórmula\[(\forall y \leq x) P(y)\] donde\(y\) está el universo de\(\mathbb{N}\). Entonces\(Q(0) \equiv P(0)\), así es cierto. Vamos\(N \in \mathbb{N}\),\(N \geq 1\), y asumir\(Q(N)\). Entonces\[(\forall y \leq N) P(y)\] y por lo tanto\(P(N+1)\). De ahí\[(\forall n \leq N+1) P(y)\] y así\(Q(N+1)\). Por lo tanto\[(\forall x \in \mathbb{N}) Q(x) \Rightarrow Q(x+1)\] Por el principio de inducción,\[(\forall x \in \mathbb{N}) Q(x) .\] Sin embargo, para cualquier\(N \in \mathbb{N}, Q(N) \Rightarrow P(N)\), por lo que la inducción\[(\forall x \in \mathbb{N}) P(x) .\] Fuerte es particularmente útil a la hora de probar afirmaciones sobre división. Hay ejemplos de la técnica a lo largo del Capítulo 7. Los resultados en el Capítulo 7 no requieren el Capítulo 5 y el Capítulo 6, por lo que fácilmente puede saltarse adelante. Véase por ejemplo la Sección 7.1, donde se prueba el Teorema Fundamental de Aritemética mediante inducción fuerte. La inducción no tiene que comenzar en 0, ni siquiera en un número natural.

Corolario 4.9. Dejar\(k \in \mathbb{Z}\), y\(P(x)\) ser una fórmula en una variable tal que

(1)\(P(k)\)

(2)\((\forall x \geq k) P(x) \Rightarrow P(x+1)\).

Después\[(\forall x \in \mathbb{Z}) x \geq k \Rightarrow P(x)\] Discusión. Esto se puede probar definiendo una nueva fórmula que se puede probar con inducción estándar. ¿Se puede definir la fórmula?

Polinomios

Ahora utilizamos la maquinaria desarrollada en Sección\(4.2\) para emprender un modesto programa matemático. Como indicamos en el primer capítulo de este libro, la mayoría de ustedes, hasta ahora, han utilizado resultados matemáticos para resolver problemas en cómputos. Aquí nos interesa probar un resultado con el que te puede estar familiarizado.

Este resultado se refiere a polinomios con coeficientes reales (es decir, coeficientes que son números reales). Has pasado buena parte de tu vida matemática investigando polinomios, e indudablemente puedes hacer muchas afirmaciones interesantes y veraces sobre ellos. Pero, ¿qué tan seguro está de que estas afirmaciones son ciertas? Es posible que su creencia en estas afirmaciones sea, en general, mera confianza en las afirmaciones y creencias de expertos en la materia. En la práctica, se puede hacer peor que consentir las aseveraciones de los especialistas, y las limitaciones prácticas generalmente nos obligan a aceptar muchas afirmaciones sobre la fe. Por supuesto, esta práctica conlleva riesgos. Durante cientos de años, las aseveraciones de Aristóteles fueron ampliamente aceptadas, muchas veces a pesar de la evidencia empírica de lo contrario. Naturalmente, seguimos aceptando muchas afirmaciones sobre la fe. En el caso de la ciencia moderna, generalmente no tenemos acceso de primera mano a la evidencia primaria en la que se basan las teorías científicas modernas. Las matemáticas son diferentes de cualquier otro campo del esfuerzo intelectual porque tienes la oportunidad de verificar prácticamente cada reclamo matemático que encuentres. Ahora estás en el punto de tu carrera matemática en el que puedes confirmar directamente los resultados matemáticos.

El teorema que deseamos probar es que el número de raíces reales de un polinomio real es a lo sumo el grado del polinomio. Es posible que esté familiarizado con esta afirmación, pero no esté seguro de por qué se sostiene. Este resultado es interesante, en parte, porque garantiza que la gráfica de un polinomio cruzará cualquier línea horizontal solo finitamente muchas veces. Dicho de otra manera, los conjuntos de niveles de polinomios no pueden tener más elementos que el grado del polinomio.

Notación. \(\mathbb{R}[x] \mathbb{R}[x]\)es el conjunto de polinomios con coeficientes reales en la variable\(x\).

TEOREMA 4.10. Dejar\(N \in \mathbb{N}\) y\(p \in \mathbb{R}[x]\) tener grado\(N \geq 1\). Entonces\(p\) tiene a lo sumo raíces\(N\) reales.

Discusión. Este resultado es lo suficientemente difícil como para que tengamos que probar tres resultados preliminares. Estos lemas\({ }^{2}\) se prueban dentro del argumento a favor del teorema. A lo largo del argumento estaremos investigando un polinomio general,\(p\), de grado\(N\).

\({ }^{2}\)Un lema es un resultado auxiliar que se utiliza en la prueba de un teorema, algo así como una subrutina. En alemán, un teorema se llama “Satz” y un lema se llama “Hilfsatz”, un “teorema auxiliar”. Comprobante. Primero probamos que la propiedad distributiva generaliza a un número arbitrario de summands.

LEMA 4.11. Dejar\(N \in \mathbb{N}^{+}\) y, para\(0 \leq n \leq N, a_{n} \in \mathbb{R}\). Si\(c \in \mathbb{R}\), entonces\[\sum_{n=0}^{N} c a_{n}=c\left(\sum_{n=0}^{N} a_{n}\right) .\] Discusión. Este resultado generaliza la propiedad distributiva a más de dos summands. Estamos asumiendo la propiedad distributiva de los números reales: para\(a, b, c \in \mathbb{R}\),\[c \cdot(a+b)=c a+c b\] Probamos el lema por inducción. Es sorprendente que una afirmación que parece tan obvia utilice la poderosa maquinaria de inducción. Pero recuerden que estamos demostrando esto por todas las sumas finitas de arbitrariamente muchos summands. Por supuesto, puede sentir que el lema es del todo obvio. Si es así, deberías intentar producir tu propia prueba, o leer esta para practicar en inducción matemática en un contexto donde el contenido matemático sea fácil.

Argumentaremos por inducción sobre el número de términos en la suma. El caso base es para sumas con dos summands - esto es solo la propiedad distributiva. En el paso de inducción probamos el resultado condicional que si el lema tiene para todas las sumas con\(N\) términos, entonces se mantiene para todas las sumas con\(N+1\) términos. En cada paso del argumento (pasos base e inducción) estamos argumentando por infinitamente muchas afirmaciones concretas argumentando a favor de una sola afirmación abstracta.

Comprobante. Argumentamos por inducción sobre\(N\).

Estuche base:\(N=1\) Let\(c, a_{0}, a_{1} \in \mathbb{R}\). Por la propiedad distributiva,\ [\ begin {aligned} \ sum_ {n=0} ^ {1} c a_ {n} &=c a_ {0} +c a_ {1}\\ &=c\ left (a_ {0} +a_ {1}\ right)\\ &=c\ left (\ sum_ {n=0} ^ {1} a_ {n}\ derecha). \ end {aligned}\] Paso de inducción:

Dejar\(c \in \mathbb{R}\) y\(a_{n} \in \mathbb{R}\), para\(0 \leq n \leq N+1\). \[\sum_{n=0}^{N} c a_{n}=c\left(\sum_{n=0}^{N} a_{n}\right) .\]Suponemos que tenemos\ [\ begin {alineado} \ sum_ {n=0} ^ {N+1} c a_ {n} &=\ left (\ sum_ {n=0} ^ {N} c a_ {n}\ derecha) +c a_ {N+1}\\ &= {} _ {I H}\ quad c\ left (\ sum_ {n=0} ^ {N} a_ {n} a_ {n}\ derecha) +c a_ {N+1} \ end {alineado}\] Por la ley distributiva (para dos summands)\ [\ begin { alineado} c\ izquierda (\ suma_ {n=0} ^ {N} a_ {n}\ derecha) +c a_ {N+1} &=c\ izquierda (\ suma_ {n=0} ^ {N} a_ {n} +a_ {N+1}\ derecha)\\ &=c\ izquierda (\ suma_ {n=0} ^ {N+1} a_ {n}\ derecha). \ end {aligned}\] Por lo tanto,\[\sum_{n=0}^{N+1} c a_{n}=c\left(\sum_{n=0}^{N+1} a_{n}\right) .\] por el principio de inducción el resultado se mantiene para todos\(N \in \mathbb{N}\). LEMA 4.12. Si\(x, y \in \mathbb{R}\) y\(n \in \mathbb{N}^{+}\), entonces\ [\ comenzar {alineado} x^ {n} -y^ {n} & =( x-y)\ izquierda (x^ {n-1} +x^ {n-2} y+\ cdots+x y^ {n-2} +y^ {n-1}\ derecha)\\ & =( x-y)\ izquierda (\ sum_ {\ subestack {i, j\ en\ matemáticas bb {N}\\ i+j=n-1}} x^ {i} y^ {j}\ derecha). \ end {alineado}\] Discusión. La notación en la última línea del lema significa que la suma se toma sobre todos los números naturales\(i\) y\(j\) que tienen la propiedad que\(i+j=n-1\).

PRUEBA. Por Lema 4.11,\ [\ begin {alineado} (x-y)\ left (\ sum_ {\ subestack {i, j\ in\ mathbb {N}\\ i+j=n-1}} x^ {i} y^ {j}\ derecha) &=x\ izquierda (\ sum_ {\ subestack {i, j\ in\ mathbb {N}\ i+j=n= -1}} x^ {i} y^ {j}\ derecha) -y\ izquierda (\ sum_ {\ suback {i, j\ in\ mathbb {N}\\ i+j=n-1}} x^ {i} y^ {j}\ derecha)\\ &=\ sum_ {\ substack {i, j\ in\ mathbb {N}\\ i+j=n-1}} x^ {i+1} y^ {j} -\ sum_ {\ substack {i, j\ in\ mathbb {N}\\ i+j=n-1}} x^ {i} y^ {j+1}\\ &=x^ {n} -y^ {n}. \ end {aligned}\] El siguiente lema asocia raíces de polinomios y factores lineales.

LEMA 4.13. Dejar\(p\) ser un polinomio de grado\(N\). Un número real,\(c\), es una raíz de\(p\) iff\[p(x)=(x-c) q(x),\] donde\(q(x)\) es un polinomio de grado\(N-1\).

Discusión. Este lema es una declaración bicondicional. Es decir, el lema es proposicionalmente equivalente a la conjunción de dos declaraciones condicionales. Demostramos las declaraciones condicionales de forma independiente. Una de las declaraciones condicionales es obvia (¿puedes determinar cuál?). La declaración condicional más difícil utilizará Lemma 4.12. Al probar un bicondicional,\(P \Longleftrightarrow Q\), al probar las declaraciones condicionales\(P \Rightarrow Q\) y\(Q \Rightarrow P\), a menudo usamos\((\Rightarrow)\) y\((\Leftarrow)\) para identificar la declaración condicional bajo consideración. Comprobante. Dejar\(p\) ser un polinomio de grado\(N\). Luego hay\(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{N} \in\)\(\mathbb{R}, a_{N} \neq 0\), tal que,\[p(x)=\sum_{n=0}^{N} a_{n} x^{n} .\] (\(\Leftarrow\)) Supongamos que hay\(c \in \mathbb{R}\) y un polinomio\(q\) de grado\(N-1\) tal que\[p(x)=(x-c) q(x) .\] Entonces \[p(c)=(c-c) q(c)=0 .\]Entonces\(c\) es una raíz de\(p\).

\((\Rightarrow)\)Dejar\(c \in \mathbb{R}\) ser una raíz de\(p\). Entonces\ [\ begin {alineado} p (x) &=p (x) -p (c)\\ &=a_ {0} -a_ {0} +\ suma_ {n=1} ^ {N} a_ {n}\ izquierda (x^ {n} -c^ {n}\ derecha)\\ &=\ suma_ {n=1} ^ {N} a_ {n}\ izquierda (x^ {n} -c^ {n}\ derecha). \ end {alineado}\] Por Lema 4.12, para\(n \geq 1\),\[x^{n}-c^{n}=(x-c) q_{n}(x)\] donde\[q_{n}(x)=x^{n-1}+c x^{n-2}+\cdots+c^{n-2} x+c^{n-1}=\sum_{\substack{i, j \in \mathbb{N} \\ i+j=n-1}} x^{i} c^{j} .\] Por Lema 4.11,\[p(x)=\sum_{n=1}^{N} a_{n}\left(x^{n}-c^{n}\right)=(x-c) \sum_{n=1}^{N} a_{n} q_{n}(x) .\] Let\[q(x)=\sum_{n=1}^{N} a_{n} q_{n}(x) .\] Para todos\(n\) entre 1 y\(N, q_{n}(x)\) tiene grado\((n-1)\). Entonces el grado de\(q(x)\) es menor que\(N\). Sin embargo el coeficiente de\(x^{N-1}\) in\(q(x)\) es\(a_{N}\), y\(a_{N} \neq 0\) por suposición. Entonces el grado de\(q(x)\) es\(N-1\), y\[p(x)=(x-c) q(x) .\] completamos la prueba del teorema. Dejar\(p\) ser un polinomio de grado\(N\). Argumentamos por inducción sobre el grado de\(p\).

Caso base:\(N=1\).

Si\(p\) es un polinomio de grado 1, entonces es de la forma\[p(x)=a_{1} x+a_{0},\] y la única raíz es\(-a_{0} / a_{1}\).

Paso de inducción:

Supongamos que el teorema se sostiene para\(N \in \mathbb{N}^{+}\). Dejar\(p\) tener grado\(N+1\). Si no\(p\) tiene raíces, el teorema se sostiene para\(p\). Entonces supongamos que\(p\) tiene una raíz real,\(c \in \mathbb{R}\). Por Lemma\(4.13\),\[p(x)=(x-c) q(x),\] donde\(q\) es de grado\(N\). Por la hipótesis de inducción,\(q\) tiene a lo sumo raíces\(N\) reales. Si\(x\) es una raíz de\(p\), entonces por (4.14) o bien\(x\) es una raíz de\(q\) o\(x=c\). Por lo tanto\(p\) tiene como máximo\(N+1\) raíces, demostrando el paso de inducción.

Como función, un polinomio en una variable particular es lo mismo que un polinomio con los mismos coeficientes en una variable diferente. Dejar\(p \in \mathbb{R}[x]\) ser\[p(x)=\sum_{n=0}^{N} a_{n} x^{n},\] y\(q \in \mathbb{R}[y]\) ser\[q(y)=\sum_{n=0}^{N} a_{n} y^{n} .\] Entonces como funciones reales\(p\) y\(q\) son la misma función. Es decir,\[\operatorname{graph}(p)=\operatorname{graph}(q) .\] como objetos algebraicos, sin embargo, ocasionalmente se podría desear distinguir entre polinomios en distintas variables.

Terminamos esta sección demostrando que los polinomios son iguales como funciones si y sólo si tienen los mismos coeficientes.

COROLARIO 4.15. Vamos\(p, q \in \mathbb{R}[x]\). Los coeficientes de\(p\) y\(q\) son iguales iff\[(\forall x \in \mathbb{R}) \quad p(x)=q(x) .\] Prueba. \((\Rightarrow)\)Si los coeficientes de\(p\) y\(q\) son todos iguales, entonces, dejando\(a_{n}\) denotar el\(n^{\text {th }}\) coeficiente, tenemos\[(\forall x \in \mathbb{R}) p(x)=\sum_{n=0}^{N} a_{n} x^{n}=q(x) .\] (\(\Leftarrow\)) Supongamos\((\forall x \in \mathbb{R}) p(x)=q(x)\). Entonces\(p-q\) es un polinomio con infinitamente muchas raíces. Si\(p\) y en\(q\) desacuerdo sobre algún coeficiente, entonces\(p-q\) es un polinomio distinto de cero, tiene un grado, y por Teorema 4.10, finitamente muchas raíces. Por lo tanto,\(p\) y\(q\) deben acordar todos los coeficientes.

Desigualdad aritmética-geométrica

Se han presentado modestas generalizaciones de inducción matemática básica (Corolario\(4.8\) y Corolario 4.9). La formalidad de nuestro enfoque podría sugerir que la inducción es una técnica rígida que debe aplicarse de manera inflexible de manera prescriptiva específica. A un matemático la inducción se rige por dos ideas:

(1) La inducción utiliza el ordenamiento bien de los números naturales, o más generalmente cualquier conjunto bien ordenado, para probar declaraciones universales cuantificadas sobre el conjunto.

(2) Cada elemento del conjunto sobre el que cuantifique debe ser contabilizado por la inducción.

Las caracterizaciones formales de inducción en Sección\(4.2\) son suficientes pero no necesarias para lograr los objetivos de una prueba por inducción. El teorema de esta sección te dará un sentido sobre cómo se puede extender la técnica de inducción. DEFINICIÓN. Media aritmética Let\(a_{1}, \ldots, a_{N}\) Ser números reales. La media aritmética de\(a_{1}, \ldots, a_{N}\) es\[\frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^{N} a_{n}\right) .\] Definición. Media geométrica Let\(a_{1}, \ldots, a_{N}\) be números reales positivos. La media geométrica de\(a_{1}, \ldots, a_{N}\) es\[\sqrt[N]{a_{1} \cdots a_{N}} .\] TEOREMA 4.16. Desigualdad media aritmética-geométrica Let\(a_{1}, \ldots, a_{N} \in\)\(\mathbb{R}^{+}\). Después\[\sqrt[N]{a_{1} \cdots a_{n}} \leq \frac{1}{N}\left(\sum_{n=1}^{N} a_{n}\right) .\] Discusión. Esto lo demostramos con un argumento interesante debido originalmente a Cauchy; nuestro tratamiento es del libro [1]. Argumentamos por inducción sobre el tamaño de la muestra sobre la cual estamos calculando las medias. Después de argumentar el caso base mostramos que si la desigualdad se mantiene para las medias aritméticas y geométricas de\(N\) los números, necesariamente se sostiene para las medias de\(2 N\) los números. Esto implica que el teorema se sostiene para las medias de\(2^{N}\) números para cualquier\(N \in \mathbb{N}\) (por un argumento de inducción estándar).

Luego mostramos que el resultado que se mantiene para\(N\) los números implica que se mantiene para\(N-1\) los números. Esto implica que si el resultado se mantiene en un número natural\(N\), la desigualdad se mantiene para todos los medios de menos de\(N\) números. Dado cualquiera\(k \in \mathbb{N}, 2^{k}>k\) y dado que el teorema se sostiene para medias de\(2^{k}\) números, se sostiene para medios de\(k\) términos.

Comprobante. Argumentamos por inducción sobre el número de términos en cada lado de la desigualdad.

Caso base:\((N=2)\)

Vamos\(a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}^{+}\). Entonces\[\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}=a_{1}^{2}-2 a_{1} a_{2}+a_{2}^{2} \geq 0 .\] Por lo tanto\[2 a_{1} a_{2} \leq a_{1}^{2}+a_{2}^{2},\] y\ [\ comienzan {alineados} 4 a_ {1} a_ {2} &\ leq a_ {1} ^ {2} +2 a_ {1} a_ {2} +a_ {2} ^ {2}\\ &=\ izquierda (a_ {1} +a_ {2}\ derecha) ^ {2}. \ end {alineado}\] Así\[2 \sqrt{a_{1} a_{2}} \leq a_{1}+a_{2} .\] pues la desigualdad se mantiene por dos términos.

Paso de inducción:

\(P(N)\)Sea la afirmación que (4.17) sostiene para todos\(a_{1}, \ldots, a_{N}>0\). Eso lo demostramos\(P(N) \Rightarrow P(2 N)\). Vamos\[G_{N}=\prod_{n=1}^{N} a_{n}\] y\[A_{N}=\left(\frac{\sum_{n=1}^{N} a_{n}}{N}\right) .\] Así\ [\ comenzar {alineado} G_ {2 N} &=\ prod_ {n=1} ^ {2 N} a_ {n}\\ &=\ izquierda (\ prod_ {n=1} ^ {N} a_ {n}\ derecha)\ izquierda (\ prod_ {n=n+1} ^ {2 N} a_ {n}\ derecha)\\ &\ leq_ {I H}\ izquierda (\ suma_ {n=1} ^ {N}\ frac {a_ {n}} {N}\ derecha) ^ {N}\ izquierda (\ suma_ {n=n+1} ^ {2 N}\ frac {a_ {n}} {N}\ derecha) ^ {N} \ end {alineado}\] Dejar\[B=\sum_{n=N+1}^{2 N} \frac{a_{n}}{N} .\] Por el caso base\ [\ comenzar {alineado} A_ {N} B &\ leq\ izquierda (\ frac {A_ {N} +B} {2}\ derecha) ^ {2}\ &=\ izquierda (A_ {2 N}\ derecha) ^ {2} \ fin {alineado}\] Así que\ [\ comenzar {alineado} \ izquierda (A_ {N}\ derecha) ^ {N} B^ {N} & ; =\ left (A_ {N} B\ right) ^ {N}\\ &\ leq\ left (\ left (A_ {2 N}\ right) ^ {2}\ right) ^ {N}\\ &=\ left (A_ {2 N}\ right) ^ {2 N} \ end {alineado}\] Así\[G_{2 N} \leq\left(A_{2 N}\right)^{2 N} .\] pues, para cualquier\(N \in \mathbb{N}^{+}\),\[P(N) \Rightarrow P(2 N) .\] Discusión. \(Q(N)\)Déjese ser la declaración\(P\left(2^{N}\right)\). Entonces el argumento hasta el momento es una prueba estándar por inducción de\(\left(\forall N \in \mathbb{N}^{+}\right) Q(N)\). Por supuesto que queremos mostrar\((\forall N \in \mathbb{N}) P(N)\). Esto lo hacemos demostrando\[\left(\forall N \in \mathbb{N}^{+}\right) P(N+1) \Rightarrow P(N) .\] Let\(N>2\). Demostramos que\[P(N+1) \Rightarrow P(N) .\] Asumir\(P(N+1)\). Después\[\left(G_{N}\right)\left(A_{N}\right) \leq\left(\frac{\left(\sum_{n=1}^{N} a_{n}\right)+A_{N}}{N+1}\right)^{N+1} .\] Discusión. Recordemos que\(G_{N}\) es producto de\(a_{1}, \ldots, a_{N}\). Estamos tratando la suma\(A_{N}\) como el\(N+1^{\text {st }}\) factor,\(a_{N+1}\), y aplicando la desigualdad\(P(N+1)\).

Como\ [\ comenzar {alineado} \ izquierda (\ frac {\ izquierda (\ suma_ {n=1} ^ {N} a_ {n}\ derecha) +A_ {N}} {N+1}\ derecha) ^ {N+1} &=\ izquierda (\ frac {N A_ {N} +A_ {N}} {N+1}\ derecha) ^ {N+1}\\ derecha) ^ {N+1}\ \\ left (A_ {N}\ right) ^ {N+1} \ end {alineado}\] La desigualdad\(4.18\) da\[G_{N} A_{N} \leq A_{N}^{N+1}\] y así\[G_{N} \leq\left(A_{N}\right)^{N}\] que es la declaración\(P(N)\). Entonces, de\[\left(\forall N \in \mathbb{N}^{+}\right) P(N+1) \Rightarrow P(N) .\] ahí para todos\(N \geq 2, P(N)\).

La media aritmética y la media geométrica son diferentes formas de entender los promedios. Se relacionan por la desigualdad aritmética de la media geométrica (llamada desigualdad AGM). ¿Podemos aplicar la desigualdad? Consideremos una fácil aplicación geométrica del estuche\(N=2\). Considera el rectángulo con lados de largo\(a\) y\(b\). El perímetro del rectángulo es\[P=2 a+2 b\] y el área es\[A=a b .\]

En cálculo se demostró que el rectángulo de perímetro fijo con mayor área es el cuadrado. Esto también se puede probar directamente a partir de la desigualdad AGM:\ [\ begin {aligned} P &=2 a+2 b\\ &=\ frac {4 a+4 b} {2}\\ &\ geq\ sqrt {16 a b}\\ &=4\ sqrt {a b}. \ end {aligned}\] Así\[\frac{P^{2}}{16} \geq a b=A .\] Recordemos que\(P\) es fijo, y por lo tanto así es\(\frac{P^{2}}{16}\), y hemos demostrado que este es un límite superior para el área del rectángulo.

¿Se logra este límite superior? El área\(A\) del rectángulo varía según las dimensiones del rectángulo y si\(a=b\)\[\frac{P^{2}}{16}=\frac{(4 a)^{2}}{16}=A .\] Así se logra el área máxima del rectángulo cuando\(a=b\). Este resultado puede generalizarse a dimensiones superiores, sin necesidad de cálculo multivariable.

Demostrar teoremas no es solo una cuestión de técnica, aunque esto debe dominarse. También requiere creatividad y perspicacia. Una hermosa colección de pruebas está contenida en el libro [1] de Martin Aigner y Günter Ziegler.

Ejercicios

EJERCICIO 4.1. Demostrar por inducción que 3 divide\(7^{n}-4\) por cada\(n \in \mathbb{N}^{+}\).

EJERCICIO 4.2. Probar por inducción que\[(\forall n \in \mathbb{N}) 2^{n}>n .\] EJERCICIO 4.3. Demostrar que cualquier subconjunto de un conjunto bien ordenado es soldado. EJERCICIO 4.4. \((1+x)^{n} \geq 1+n x\)Demuéstralo para todos\(n \in \mathbb{N}^{+}\) y cada uno\(x \in(-1, \infty)\).

EJERCICIO 4.5. Demuestre por inducción que cada conjunto finito de números reales tiene un elemento más grande.

EJERCICIO 4.6. Dejar\(X\) y\(Y\) ser conjuntos con\(n\) elementos cada uno. ¿Cuántas bijecciones de\(X\) a\(Y\) hay? ¿Qué te dice esto sobre el número de permutaciones de\(\ulcorner n\urcorner\)? Demuestre su reclamo.

EJERCICIO 4.7. Los coeficientes binomiales se\(\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\) pueden definir a partir del triángulo de Pascal por:

i)\(\forall n \in \mathbb{N},\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)=1\).

ii)\(\forall 2 \leq n \in \mathbb{N}, \forall 1 \leq k \leq n-1,\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n-1 \\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n-1 \\ k-1\end{array}\right)\).

Demostrar por inducción que\ [\ left (\ begin {array} {l} n\\ k \ end {array}\ right) =\ frac {n!} {(n-k)! k!} .\] EJERCICIO 4.8. Demostrar el teorema binomial: con\(\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)\) definido por el Ejercicio 4.7\(n \in \mathbb{N}\), para cualquiera, la siguiente identidad mantiene\ [(x+y) ^ {n} =\ sum_ {k=0} ^ {n}\ left (\ begin {array} {l} n\\ k \ end {array}\ right) x^ {n-k} y^ {k}.\] EJERCICIO 4.9. Demostrar\(\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=2^{n}\).

EJERCICIO 4.10. Demostrar\(n \in \mathbb{N}^{+}\), para todos,\ [\ left (\ begin {array} {c} 2 n\\ n \ end {array}\ right)\ geq\ frac {2^ {2 n-1}} {\ sqrt {n}}\] EJERCICIO 4.11. El Principio de Descenso dice que no hay una secuencia infinita estrictamente decreciente de números naturales. Demostrar el Principio de Descenso.

EJERCICIO 4.12. Los números de Fibonacci se definen recursivamente por\(F_{1}=1, F_{2}=1\), y para\(n \geq 3, F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\). Demostrar que los números de Fibonacci vienen dados por la ecuación\[F_{n}=\frac{(1+\sqrt{5})^{n}-(1-\sqrt{5})^{n}}{2^{n} \sqrt{5}} .\] Este es un ejemplo de una fórmula que es difícil de adivinar, pero fácil de verificar. Para una explicación de cómo surge la fórmula, ver Ejercicio 5.29.

EJERCICIO 4.13. Que\(X\) sea un conjunto bien ordenado por una relación\(\preceq\). Decimos que una secuencia de elementos en\(X,\left\langle x_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\), es estrictamente decreciente (con respecto a\(\preceq\)) si para todos\(m, n \in \mathbb{N}\)\[[m<n] \Rightarrow\left[x_{n} \preceq x_{m} \wedge x_{n} \neq x_{m}\right] .\] Probar que no hay una secuencia estrictamente decreciente de elementos en\(X\).

EJERCICIO 4.14. Demostrar que el último dígito de\(7^{7} \underbrace{7}\) es 3 para cualquier torre de sietes de altura superior a 1.

EJERCICIO 4.15. Dar otro ejemplo que ilustre la necesidad de un caso base en una prueba válida por inducción.

EJERCICIO 4.16. Supongamos que hay un polinomio de grado 4 en\(N\) que da\(\sum_{n=0}^{N} n^{3}\). Encuentra el polinomio y luego prueba que la fórmula es correcta por inducción.

Usa el método de Arquímedes para demostrar que

EJERCICIO 4.17. Dejar\(\mathbb{N}[x]\) ser el conjunto de polinomios con coeficientes numéricos naturales. Definir una relación\(\preceq\)\(\mathbb{N}[x]\) por:

Vamos\(p(x)=\sum_{n=0}^{N} a_{n} x^{n}\), y\(q(x)=\sum_{n=0}^{M} b_{n} x^{n}\). Decir que\(p \preceq q\) iff, si\(k\) es el coeficiente de grado más alto en el que\(p\) y\(q\) difieren, entonces\(a_{k} \leq b_{k}\). ¿Es\(\preceq\) un ordenamiento lineal? ¿Es un buen orden de\(\mathbb{N}[x]\)?

EJERCICIO 4.18. Supongamos que existe un polinomio\(p\) de grado 5 tal que\[\sum_{n=0}^{N} n^{4}=p(N) .\] Encuentra\(p\) y prueba que la fórmula que propones es correcta.

EJERCICIO 4.19. Determinar el conjunto de números naturales positivos de\(n\) tal manera que la suma de cada número natural\(n\) consecutivo sea divisible por\(n\). EJERCICIO 4.20. Que\(f\) sea una función real tal que, para\(x, y \in \mathbb{R}\),\[f(x+y)=f(x)+f(y) .\] Demostrar que

a)\(f(0)=0\)

b)\(f(n)=n f(1)\).

EJERCICIO 4.21. Demostrar Corolario 4.9.

EJERCICIO 4.22. Considera cajas con dimensiones\(a, b\) y\(c\) en las que se fija la suma de las dimensiones (i.e.\(a+b+c\)). Demostrar que la caja con mayor volumen posible tiene dimensiones que satisfacen\(a=b=c\).

EJERCICIO 4.23. Demostrar por inducción que cualquier declaración proposicional bien formada tiene un valor de verdad bien definido.

EJERCICIO 4.24. Demostrar por inducción en el número de conectivos proposicionales que cada declaración proposicional compuesta es equivalente a una declaración usando solo\(\neg\) y\(\vee\).

EJERCICIO 4.25. Demostrar por inducción en el número de conectivos proposicionales que cada declaración proposicional compuesta es equivalente a una declaración usando solo\(\neg\) y\(\wedge\).

EJERCICIO 4.26. Dejar\(Q_{i}\) ser un cuantificador, para\(1 \leq i \leq n\). Para cada uno\(Q_{i}\), deja\(Q_{i}^{*}\) ser el cuantificador complementario. Es decir, si\(Q_{i}=\forall\), entonces\(Q_{i}^{*}=\exists\); si\(Q_{i}=\exists\), entonces vamos\(Q_{i}^{*}=\forall\). Demostrar por inducción en el número de cuantificadores que,\(\neg\left(Q_{1} x_{1}\right)(\ldots)\left(Q_{n} x_{n}\right) P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \equiv\left(Q_{1}^{*} x_{1}\right)(\ldots)\left(Q_{n}^{*} x_{n}\right) \neg P\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .\)

EJERCICIO 4.27. Definir el número de\(n^{\text {th }}\) Fermat para que sea\[F_{n}:=2^{2^{n}}+1, \quad n \in \mathbb{N} .\] (i) Mostrar que los números de Fermat satisfacen\[\prod_{k=0}^{n} F_{k}=F_{n+1}-2 .\] (ii) Concluir que dos números Fermat distintos son coprimos. EJERCICIO 4.28. Dejar\(\left\langle a_{n}: n \in \mathbb{N}\right\rangle\) ser una secuencia de números positivos. Supongamos que\(a_{0} \leq 1\), y eso para todos\(N \in \mathbb{N}\),\[a_{N+1} \leq \sum_{n=0}^{N} a_{n} .\] Probar\[(\forall N \in \mathbb{N}) a_{n} \leq 2^{N}\] EJERCICIO 4.29. Dejar\(\left\langle a_{n}: n \in \mathbb{N}\right\rangle\) ser una secuencia de números positivos satisfactorios (4.21), y\(a_{0} \leq C\). ¿Cuál es el análogo correcto de (4.22)? Demuestra tu aseveración.

EJERCICIO 4.30. Let\(\mathcal{F}=\left\{X_{\alpha} \mid \alpha \in A\right\}\) Ser una familia indexada de conjuntos disgregados por pares. Supongamos que cada uno\(X_{\alpha}\) está bien ordenado por\(\preceq_{\alpha}\) y que\(A\) está bien ordenado por\(\preceq\). Definir una relación\(R\) sobre la unión de todos los conjuntos en\(\mathcal{F}\) por: para todos\(a, b \in \bigcup_{\alpha \in A} X_{\alpha}, a R b\) iff (a)\(a \in X_{\alpha_{1}}, b \in X_{\alpha_{2}}\) y\(\alpha_{1} \preceq \alpha_{2}\),

o

b)\((\exists \alpha \in A) a, b \in X_{\alpha}\) y\(a \preceq_{\alpha} b\).

Demostrar que\(R\) es un orden bien de\(\bigcup_{\alpha \in A} X_{\alpha}\).

EJERCICIO 4.31. Dejar\(X\) ser un conjunto finito y\(f: X \rightarrow X\). Demostrar que\(f\) es una inyección iff\(f\) es una sobreyección.
(1)

\(5-2 \sqrt{-2}\)

\(\sqrt{5}-\sqrt{-2}\)

\(4=\sqrt{2}+\frac{}{}\)

\(4+\frac{2}{4}\)

\(\sqrt{4-2}+\frac{12}{}\)

4

\(\operatorname{sins}^{-2}+\frac{2}{}\)

(\(2.7\)

\(\sqrt{2-25}+\)

(2)

(\(2.7\)

(2

\(4=\sqrt{2}+\)

\(\mathrm{~ ㄱ ㅏ ㄱ ㅏ ㄱ ㅏ}\)

(\(2.7\)

4

(2020

(2

• 2

2

(

r.

a\(2+2\)

\(\sqrt{2-2 \cdot 2 \cdot\)

(

(

\((\sqrt{2}+2\)

(

4

(200

(\(2-2\)

(

\(\mathrm{~ r e s ~ a ~}\)

(\(2-2=\)

(2)

4

\((2+2)\)

4

4

(1)

• CAPÍTULO 5

Límites

Dada una función real\(f: X \rightarrow \mathbb{R}\), la idea intuitiva del enunciado\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\] es que, a medida que\(x\) se acerca cada vez más\(a\), los valores de\(f(x)\) acercarse cada vez más\(L\). Hacer esta noción precisa no es fácil: intenta escribir una definición matemática ahora, antes de seguir leyendo.

La idea detrás de la definición es dar una secuencia de garantías. Imagínate como abogado, tratando de defender el reclamo (5.1). Por concreción, arreglemos\(g(x)=\frac{\sin (x)}{x}\), e intentemos defender la afirmación de que\[\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=1\]\({ }^{1}\) Arquímedes (287-212 a.C.) calculó el área bajo una parábola (lo que ahora llamaríamos\(\int_{0}^{1} x^{2} d x\)) calculando el área de los rectángulos de ancho \(1 / N\)bajo la parábola y dejando\(N\) tender al infinito. Esto es idéntico al enfoque moderno de encontrar una integral tomando un límite de sumas de Riemann.

FIGURA 5.3. Parcela de\(\sin (x) / x\)

El juez escéptico pregunta “¿Se puede garantizar que\(g(x)\) está dentro de .1 de 1?”

“Sí, señoría, siempre que eso”\(|x|<.7\).

“Mmm, bueno, ¿puedes garantizar que\(g(x)\) está dentro\(.01\) de 1?”

“Sí, señoría, siempre que\(|x|<.2 . "\)

Y así va. Si, por cada tolerancia posible que plantea el juez, puede encontrar una precisión (es decir, una desviación permisible\(x\) de\(a\)) que garantice que la diferencia entre el valor de la función y el límite está dentro de la tolerancia permisible, entonces puede defender con éxito el Reclamación.

EJERCICIO. Ahora trata de dar una definición matemática de un límite, sin leer más.

Comenzaremos con el caso de que la función se defina en un intervalo abierto.

DEFINICIÓN. Limit,\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\) Let\(I\) be an open interval and\(a\) some point in\(I\). Dejar\(f\) ser una función de valor real definida en\(I \backslash\{a\}\). (No importa si\(f\) se define en\(a\) o no). Entonces decimos\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\] (en palabras, “el límite como\(x\) tiende a\(a\) de\(f(x)\) es\(L\) “) si, por cada\(\varepsilon>0\), existe\(\delta>0\), de manera que\[0<|x-a|<\delta \quad \Longrightarrow \quad|f(x)-L|<\varepsilon\]

FIGURA 5.5. Una opción\(\delta\) para un determinado\(\varepsilon\)

La condición\(0<|x-a|<\delta\) significa que excluimos\(x=a\) de la consideración. Los límites son sobre el comportamiento de una función cerca del punto, no en el punto. Para una función como\(g(x)=\sin (x) / x\), el valor en 0 es indefinido; sin embargo\(\lim _{x \rightarrow 0} g(x)\) existe, y es el mismo que\(\lim _{x \rightarrow 0}\) de la función\ [h (x) =\ left\ {\ begin {array} {cc} \ sin (x)/x & x\ neq 0\\ 5 & x=0. \ end {array}\ right.\] COMENTARIOS. El uso de\(\varepsilon\) para el error permisible y\(\delta\) para la precisión correspondiente requerida se santifica por el uso prolongado. Los matemáticos necesitan todos los símbolos convenientes que puedan encontrar. El alfabeto griego se ha utilizado durante mucho tiempo como un suplemento del alfabeto romano en las matemáticas occidentales, y hay que estar familiarizado con él (ver Apéndice A para el alfabeto griego). El punto principal a tener en cuenta en la definición es el orden de los cuantificadores:\(\forall \varepsilon, \exists \delta\). Qué significaría decir\[(\exists \delta>0)(\forall \varepsilon>0) \quad[0<|x-a|<\delta \quad \Longrightarrow \quad|f(x)-L|<\varepsilon] ?\] Hablar cómodamente de límites, ayuda tener algunas palabras que describan las desigualdades (5.4). Digamos que el\(\varepsilon\) -vecindario de\(L\) es el conjunto de puntos dentro\(\varepsilon\) de\(L\), es decir, el intervalo\((L-\varepsilon, L+\varepsilon)\). El\(\delta\) barrio perforado de\(a\) es el conjunto de puntos dentro\(\delta\) de\(a\), excluyéndose a\(a\) sí mismo, es decir\((a-\delta, a) \cup(a, a+\delta)\). Cuando hablamos de\(\varepsilon\) -barrios y barrios perforados\(\delta\) -, siempre asumimos eso\(\varepsilon\) y\(\delta\) somos positivos, para que los barrios no estén vacíos.

Entonces la definición de límite se puede redactar como “cada\(\varepsilon\) -barrio de\(L\) tiene una imagen inversa debajo\(f\) que contiene algún\(\delta\) barrio perforado de\(a\)”.

OBSERVACIÓN. Podemos volver a visitar nuestra analogía de sala de justicia, y decir que para demostrar que\(f\) tiene límite\(L\) en\(a\), necesitamos una estrategia que produzca un viable\(\delta\) para cualquier\(\varepsilon\). Entonces una prueba es esencialmente una función\(F\) que toma cualquier positivo\(\varepsilon\) y escupe un positivo\(\delta=F(\varepsilon)\) para el cual (5.4) funciona.

EJEMPLO 5.6. Vamos\(f(x)=5 x+2\). Demostrar\(\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=17\).

Vamos\(\varepsilon>0\). Queremos encontrar un para\(\delta>0\) que el\(\delta\) barrio perforado de 3 se mapee en el\(\varepsilon\) -barrio de 17.

FIGURA 5.7. Relación entre\(\delta\) y\(\varepsilon\) Tomando\(\delta=\varepsilon / 5\) funcionará, al igual que cualquier elección más pequeña de\(\delta\). En efecto, si\(0<|x-3|<\delta\), entonces\(|f(x)-17|<5 \delta=\varepsilon\).

EJEMPLO 5.8. Esta vez, vamos\(g(x)=55 x+2\). Para probar\(\lim _{x \rightarrow 3} g(x)=\) 167, debemos tomar\(\delta \leq \varepsilon / 55\).

Si dos funciones\(f\) y\(g\) ambas tienen límites en el punto\(a\), entonces también lo hacen todas las combinaciones algebraicas\(f+g, f-g, f \cdot g\) y\(c f\) para\(c\) una constante. El cociente\(f / g\) también tiene un límite en\(a\), siempre y cuando\(\lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0\). Además, estos límites son lo que cabría esperar.

TEOREMA 5.9. Supongamos\(f\) y\(g\) son funciones en un intervalo abierto\(I\), y en el punto\(a\) en\(I\) ambos\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\) y\(\lim _{x \rightarrow a} g(x)\) existir. \(c\)Sea cualquier número real. Entonces\ [\ comenzar {alineado} \ texto {(i)}\ lim _ {x\ fila derecha a} [f (x) +g (x)] &=\ lim _ {x\ fila derecha a} f (x) +\ lim _ {x\ fila derecha a} g (x)\ \ texto {(ii)}\ lim _ {x\ fila derecha a} [f (x) -g (x)] &=\ lim _ {x\ fila derecha a} f (x) -\ lim _ {x\ fila derecha a} g (x)\\ \ texto {(iii)}\ quad\ lim _ {x\ derecha a} c f (x) &=c\ izquierda [\ lim _ {x\ fila derecha a} f (x)\ derecha]\\ (i v)\ quad\ lim _ {x\ fila derecha a} [f (x) g (x)] &=\ izquierda [\ lim _ {x\ fila derecha a} f (x)\ derecha]\ cdot\ izquierda [\ lim _ {x\ fila derecha]\ cdot\ izquierda [\ lim _ _ {x\ fila derecha a} g (x) \ derecha]\\\ texto {(v)}\ quad\ lim _ {x\ fila derecha a}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ frac {\ lim _ {x\ fila derecha a} f (x)} {\ lim _ {x\ fila derecha a} g (x)},\ quad\ texto {proporcionado}\ lim _ {x\ fila derecha a} g (x)\ neq 0. \ end {alineado}\] Discusión. ¿Cómo vamos a probar un teorema así? Bueno, para empezar, no se deje intimidar por su longitud. Empecemos por la parte (i). Solo tenemos la definición de límite para trabajar, por lo que solo tenemos una opción estratégica: demostrar directamente que la definición está satisfecha.

COMPROBACIÓN DE (i). Dejar\(L_{1}\) y\(L_{2}\) ser los límites de\(f\) y\(g\) respectivamente en\(a\). Dejar\(\varepsilon\) ser un número positivo arbitrario. Debemos encontrar un\(\delta>0\) modo que\[0<|x-a|<\delta \quad \Longrightarrow \quad\left|f(x)+g(x)-\left(L_{1}+L_{2}\right)\right|<\varepsilon .\] La idea clave, común a muchos argumentos de límite, es utilizar la observación de que Se\[\left|f(x)+g(x)-\left(L_{1}+L_{2}\right)\right| \leq\left|f(x)-L_{1}\right|+\left|g(x)-L_{2}\right| .\] trata de una aplicación de la llamada desigualdad triangular, que se le pide después que demuestre (Lema 5.14). Es la aseveración que para cualquier número real\(c\) y\(d\), tenemos\[|c+d| \leq|c|+|d| .\] (¿Qué valores de\(c\) y\(d\) rendimiento (5.10)?) Entonces, si podemos hacer ambos\(\left|f(x)-L_{1}\right|\) y\(\left|g(x)-L_{2}\right|\) pequeños, entonces Desigualdad (5.10) obliga\[\left|f(x)+g(x)-\left(L_{1}+L_{2}\right)\right|\] a ser pequeños también, que es lo que queremos.

Desde\(f\) y\(g\) tenemos límites\(L_{1}\) y\(L_{2}\) at\(a\), sabemos que existen números positivos\(\delta_{1}\) y\(\delta_{2}\) tales que\ [\ begin {array} {lll} 0<|x-a|<\ delta_ {1} &\ Longrightarrow &\ izquierda|f (x) -L_ {1}\ derecha|<\ varepsilon\\ 0<|x-a|<\ delta_ {2} &\ Longrightarrow &\ izquierda|g (x) -L_ {2}\ derecha|<\ varepsilon \ end {array}\] Si\(|x-a|\) es menor que ambos\(\delta_{1}\) y\(\delta_{2}\), luego ambos las desigualdades están satisfechas, y obtenemos\[\left|f(x)+g(x)-\left(L_{1}+L_{2}\right)\right| \leq\left|f(x)-L_{1}\right|+\left|g(x)-L_{2}\right| \leq \varepsilon+\varepsilon .\] Esto no es lo suficientemente bueno; queremos que el lado izquierdo de (5.11) esté limitado por\(\varepsilon\), no\(2 \varepsilon\). Estamos salvados, sin embargo, por el requisito de que para cualquier número positivo\(\eta\), podamos garantizar eso\(f\) y\(g\) estamos en un\(\eta\) -barrio de\(L_{1}\) y\(L_{2}\), respectivamente. En particular,\(\eta\) dejémoslo\(\varepsilon / 2\). Desde\(f\) y\(g\) tienen límites en\(a\), hay números positivos\(\delta_{3}\) y\(\delta_{4}\) así que\ [\ begin {array} {lll} 0<|x-a|<\ delta_ {3} &\ Longrightarrow &\ izquierda|f (x) -L_ {1}\ derecha|<\ frac {\ varepsilon} {2}\\ 0<|x-a|<\ delta_ {4} &\ Longrightarrow &\ izquierda|g (x) -L_ {2}\ derecha|<\ frac {\ varepsilon} {2}. \ end {array}\] Así que establecemos\(\delta\) igual al menor de\(\delta_{3}\) y\(\delta_{4}\), y obtenemos\ [\ begin {aligned} &0<|x-a|<\ delta\ Longrightarrow\\ &\ quad\ izquierda|f (x) +g (x) -\ left (L_ {1} +L_ {2}\ derecha)\ derecha|\ leq\ izquierda|f (x) -L_ {1}\ derecha|+\ izquierda|g (x) -L_ {2}\ derecha|<\ varepsilon, \ end {alineado}\] según sea necesario. EJERCICIO. Explique con palabras cómo funcionaba la prueba anterior. En mano corta, se podría decir que si\(F_{1}\) y\(F_{2}\) son estrategias para probar\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L_{1}\) y\(\lim _{x \rightarrow a} g(x)=L_{2}\) respectivamente, entonces\[F=\min \left\{F_{1}\left(\frac{\varepsilon}{2}\right), F_{2}\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)\right\}\] es una estrategia para probar\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)+g(x)=L_{1}+L_{2}\).

Discusión. ¿Qué sigue? Podríamos probar (ii) de manera similar, pero a los matemáticos les gustan los atajos. Observe que si probamos (iii) y dejamos\(c=-1\), entonces podemos aplicar (i)\(f+(-g)\) y obtener (ii) de esa manera. Además, (iii) es solo un caso especial de (iv), si sabemos que la función constante\(g(x)=c\) tiene el límite\(c\) en cada punto. Entonces probemos (iv) siguiente.

Prueba de (iv). Nuevamente, dejemos\(\varepsilon\) ser un número positivo arbitrario. Debemos encontrar una\(\delta>0\) para que no\[0<|x-a|<\delta \quad \Longrightarrow \quad\left|f(x) g(x)-\left(L_{1} L_{2}\right)\right|<\varepsilon .\] quede muy claro qué tan cerca\(f\) y\(g\) tiene que estar de\(L_{1}\) y\(L_{2}\) para conseguir que su producto esté lo suficientemente cerca de\(L_{1} L_{2}\), así que vamos a jugarlo seguro al no elegir todavía. Por cada\(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}>0\), sabemos que existe\(\delta_{1}, \delta_{2}>0\) tal que\ [\ begin {array} {lll} 0<|x-a|<\ delta_ {1} &\ Longrightarrow &\ izquierda|f (x) -L_ {1}\ derecha|<\ varepsilon_ {1}\\ 0<|x-a|<\ delta_ {2} &\ Longrighttarrow &\ izquierda |g (x) -L_ {2}\ derecha|<\ varepsilon_ {2} \ end {array}\] Ahora usamos el segundo truco común para probar la existencia de límites: sumar y restar la misma cantidad para que uno pueda factorizar. \ [\ comenzar {alineado} \ izquierda|f (x) g (x) -L_ {1} L_ {2}\ derecha| &=\ izquierda|f (x) g (x) -L_ {1} g (x) +L_ {1} g (x) -L_ {1} L_ {2}\ derecha|\\ &\ izquierda\ izquierda | f (x) g (x) -L_ {1} g (x)\ derecha|+\ izquierda|L_ {1} g (x) -L_ {1} L_ {2}\ derecha|\\ &\ izquierda\ izquierda|f (x) -L_ {1}\ derecha||g (x) |+\ izquierda|g (x) -L_ {2}\ derecha|\ izquierda|l_ {1}\ derecha|\ cdot\ quad (5.1 \ end {alineado}\] Ahora bien, si ambos summands en la última línea se pueden hacer menos que\(\varepsilon / 2\), ganamos. El segundo término es fácil: elegimos\[\varepsilon_{2}=\frac{\varepsilon}{2\left|L_{1}\right|+1} .\] Luego hay un\(\delta_{2}\) modo que\ [\ begin {alineado} 0<|x-a|<\ delta_ {2} &\ Longrightarrow\ quad\ izquierda|g (x) -L_ {2}\ derecha| &<\ varepsilon_ {2}\ &\ Longrightarrow\ quad\ izquierda|g (x) -L_ {2}\ derecha|\ izquierda|L_ {1}\ derecha| &<\ frac {\ varepsilon\ izquierda|l_ {1}\ right|} {2\ izquierda|l_ {1}\ right|+1} <\ frac {\ varepsilon} {2} \ end {alineado}\] (Si\(L_{1} \neq 0\), podríamos haber elegido\(\varepsilon_{2}=\frac{\varepsilon}{2\left|L_{1}\right|}\); agregamos 1 al denominador solo para no tener que considerar los dos casos por separado.)

¿Y el primer summand en (5.12), el término\(\left|f(x)-L_{1}\right||g(x)|\)? Primero vamos a ponernos un poco atados sobre lo grande que\(|g|\) puede ser. Sabemos que si\(0<|x-a|<\delta_{2}\), entonces\(\left|g(x)-L_{2}\right|<\varepsilon /\left(2\left|L_{1}\right|+1\right)\), entonces\[|g(x)|<\left|L_{2}\right|+\frac{\varepsilon}{2\left|L_{1}\right|+1}=: M .\] Si lo dejamos\(\varepsilon_{1}=\varepsilon /(2 M)\), sabemos que existe\(\delta_{1}>0\) para que\[0<|x-a|<\delta_{1} \quad \Longrightarrow \quad\left|f(x)-L_{1}\right||g(x)|<\varepsilon_{1}|g(x)| .\] Finalmente, dejamos\(\delta=\min \left(\delta_{1}, \delta_{2}\right)\). Pues\(0<|x-a|<\delta\), ambas summands en (5.12) son menores que\(\varepsilon / 2\): la segunda suma porque\(\delta \leq \delta_{2}\), y la primera porque cuando\(0<|x-a|<\delta\), la Desigualdad\(5.13\) se fortalece a\[\left|f(x)-L_{1}\right||g(x)|<\varepsilon_{1}|g(x)|<\varepsilon_{1} M=\varepsilon / 2 .\] Por lo tanto, para \(0<|x-a|<\delta\), tenemos\(\left|f(x) g(x)-L_{1} L_{2}\right|<\varepsilon\), como se desee.

PRUEBA DE (iii). Este es un caso especial de (iv), una vez que sabemos que las funciones constantes tienen límites. Digamos esto como un lema. Dado Lema 5.15, se prueba el inciso iii), y por lo tanto también lo es (ii).

COMPROBACIÓN DE (v). Ejercicio.

LEMA 5.14. Desigualdad triangular Let\(c, d\) be números reales. Entonces\(|c+d| \leq|c|+|d| .\)

PRUEBA. Ejercicio.

LEMA 5.15. Dejar\(g(x) \equiv c\) ser la función constante c. Entonces,\[(\forall a \in \mathbb{R}) \lim _{x \rightarrow a} g(x)=c .\] PRUEBA. Ejercicio.

EJEMPLO 5.16. La función Heaviside\(H(t)\) está definida por\[H(t)= \begin{cases}0 & t<0 \\ 1 & t \geq 0\end{cases}\] Show que\(H\) no tiene límite en 0.

Discusión. Para probar que no existe un límite, debemos probar lo contrario de\(\forall \varepsilon \exists \delta\), es decir, eso\(\exists \varepsilon \nexists \delta\). Como la brecha entre la función on\([0, \infty)\) y\((-\infty, 0)\) es 1, está claro que cualquier banda de ancho\(<1\) no puede ser lo suficientemente ancha como para contener valores de\(H(t)\) for\(t\) en ambos lados de 0. Entonces elegiremos algunos\(\varepsilon<.5\), y discutiremos por contradicción.

Supongamos que el límite existe y es igual\(L\). Vamos\(\varepsilon=\frac{1}{4}\). Por hipótesis, existe\(\delta>0\) tal que\[0<|t|<\delta \Longrightarrow|H(t)-L|<\frac{1}{4} .\] Pero para\(t\) negativo, esto significa\(|L|<\frac{1}{4}\); y para\(t\) positivo, esto significa\(|L-1|<\frac{1}{4}\). Así obtenemos una contradicción.

Si la función se define en el intervalo cerrado\([c, d]\), es posible que aún queramos preguntar si tiene un valor limitante en\(c\); si es así, sin embargo, solo queremos considerar puntos cercanos\(c\) que estén en el dominio de la definición. De manera más general, nos llevan a la siguiente definición de límite restringido.

DEFINICIÓN. Límite restringido,\(\lim _{X \ni x \rightarrow a} f(x)\) Supongamos que\(f\) es una función real y\(X \subseteq \operatorname{Dom}(f)\). Vamos\(a \in \mathbb{R}\). Decimos que\(\lim _{X \ni x \rightarrow a} f(x)=L\) si\((\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x \in X) \quad[0<|x-a|<\delta] \Longrightarrow|f(x)-L|<\varepsilon .\)

Leemos "\(\lim _{X \ni x \rightarrow a} f(x)=L\)" como “el límite como\(x\) tiende al\(a\) interior\(X\) de\(f(x)\) es\(L . "\) Un caso especial importante de límites restringidos son los siguientes:

DEFINICIÓN. Límite derecho,\(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)\) Let\(a, b, L \in \mathbb{R}, a<b\) y\(f\) ser una función real definida en\((a, b)\). Decimos que\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=L\] si\[(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)[x \in(a, a+\delta)] \Rightarrow[|f(x)-L|<\varepsilon]\] El número\(L\) es el límite de la derecha de\(f(x)\) at\(a\). El límite de la izquierda se define de manera similar. Si\(a, c, L \in \mathbb{R}, c<a\) y\(f\) es una función real definida en\((c, a)\), decimos que\(\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=L\) si los límites de la\[(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0)[x \in(a-\delta, a)] \Rightarrow[|f(x)-L|<\varepsilon]\] mano derecha y los límites de la izquierda se denominan límites unilaterales. Los límites unilaterales son ejemplos de límites restringidos.

EJEMPLO 5.17. \(H(t)\)Sea la función Heaviside. Entonces\ [\ comenzar {alineado} &\ lim _ {t\ fila derecha 0^ {+}} H (t) =1\\ &\ lim _ {t\ fila derecha 0^ {-}} H (t) =0 \ final {alineado}\]

Continuidad

La mayoría de las funciones que has encontrado tienen la propiedad de que en (casi) cada punto la función tiene un límite que concuerda con su valor allí. Esta es una característica muy útil de una función, y se llama continuidad.

DEFINICIÓN. Continuo Let\(f\) ser una función real con dominio\(X \subseteq \mathbb{R} .\) Let\(a \in X\). Entonces decimos que\(f\) es continuo en\(a\) si\(\lim _{X \ni x \rightarrow a} f(x)=\)\(f(a)\). Decimos que\(f\) es continuo\(X\) si es continuo en cada punto de\(X\)

Intuitivamente, la idea de una función continua en un intervalo es que no tiene saltos. Esto lo haremos preciso en el Capítulo 8 cuando probemos el Teorema del Valor Intermedio 8.10, que afirma que si una función continua en un intervalo toma dos valores distintos\(c\) y\(d\), también debe asumir cada valor entre\(c\) y \(d\).

EJEMPLO 5.18. Demostrar que la función\(f(x)=x^{2}\) es continua en\(\mathbb{R}\). Discusión. ¿Cómo haríamos esto desde los primeros principios? Tenemos que demostrar que para cada\(a \in \mathbb{R}\), para cada\(\varepsilon>0\), siempre podemos encontrar un\(\delta>0\) tal que para cualquiera\(x \in \mathbb{R}\)\[|x-a|<\delta \quad \Longrightarrow \quad\left|x^{2}-a^{2}\right|<\varepsilon .\] (¿Por qué no necesitamos agregar la hipótesis\(0<|x-a|\)?) La forma más fácil de hacerlo es anotar una fórmula que, dada\(a\) y\(\varepsilon\), produce una\(\delta\) satisfactoria (5.19).

Como\(x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a)\), si\(|x-a|\) es menor que algún número\(\delta\) (aún sin especificar), entonces\(\left|x^{2}-a^{2}\right|\) es menor que\(\delta|x+a|\). Entonces queremos No\[\delta|x+a| \leq \varepsilon\] podemos elegir\(\delta=\varepsilon /|x+a|\), porque\(\delta\) no podemos depender de\(x\). Pero si\(|x-a|<\delta\), entonces\ [\ begin {aligned} |x+a| &\ leq|x|+|a|\\ &<|a|+\ delta+|a|a|=2|a|+\ delta, \ end {alineado}\] SO\[\left|x^{2}-a^{2}\right|<\delta(2|a|+\delta) \stackrel{?}{\leq} \varepsilon .\] Debemos elegir\(\delta\) para que la última desigualdad se mantenga. Por la fórmula cuadrática,\[\delta(2|a|+\delta) \leq \varepsilon \quad \Longleftrightarrow \delta \leq \sqrt{|a|^{2}+\varepsilon}-|a| .\] Así que elige\(\delta=\sqrt{|a|^{2}+\varepsilon}-|a|\) y (5.19) sostiene.

OBSERVACIÓN. Una prueba formalmente correcta podría haberse reducido a:

PRUEBA. Dejar\(a \in \mathbb{R}\) y\(\varepsilon>0\). Entonces dejando\(\delta=\sqrt{|a|^{2}+\varepsilon}-|a|\) que tengamos\(|x-a|<\delta \Longrightarrow\left|x^{2}-a^{2}\right|<\varepsilon\). Q.E.D.

Sin embargo, si bien un lector diligente podría verificar que esta prueba es correcta,\(\delta\) sacarse de un sombrero como este no le da al lector la idea de que nuestra prueba mucho más larga sí. Recuerde, una prueba tiene más de una función: no sólo debe convencer al lector de que el resultado reclamado es cierto, sino que también debe ayudar al lector a entender por qué el resultado es cierto. Una buena prueba debe ser descriptible en unas pocas frases en inglés, para que un oyente experto pueda entonces ir a escribir una prueba más detallada con bastante facilidad.

OBSERVACIÓN. No es necesario elegir el mayor valor de para\(\delta\) que la desigualdad\(\stackrel{?}{\leq}\) en (5.21) se mantenga - cualquier positivo\(\delta\) que satisfaga la desigualdad funcionará. Esto permite simplificar el álgebra. Por ejemplo,\(\delta_{1}\) seamos tales que\[|x-a|<\delta_{1} \Rightarrow|x+a|<2|a|+1 .\] (Tal\(\delta_{1}\) existe a partir de la continuidad de la función más simple\(x \mapsto x\)). Entonces vamos\[\delta=\min \left(\delta_{1}, \frac{\varepsilon}{2|a|+1}\right)\] y (5.20) sostiene.

Se podría imaginar repetir pruebas como las anteriores para demostrar eso\(x^{3}\)\(x^{4}\),, y así sucesivamente son continuas, pero queremos dar grandes pasos. ¿Podemos mostrar que todos los polinomios son continuos?

Primero observe que debido a que los límites se comportan bien con respecto a las operaciones algebraicas (Teorema 5.9), y la continuidad se define en términos de límites, entonces las combinaciones algebraicas de funciones continuas son continuas.

Proposición 5.22. Supongamos\(f: X \rightarrow \mathbb{R}\) y\(g: X \rightarrow \mathbb{R}\) son funciones reales que son continuas en\(a \in X\). Dejar\(c\) y\(d\) ser escalares\({ }^{2}\). Entonces\(c f+d g\) y ambos\(f g\) son continuos a una, y así es\(f / g\) si\(g(a) \neq 0\).

PRUEBA. Ejercicio.

Las funciones constantes son continuas (Lema 5.15), y la función\(f(x)=x\) es continua (Ejercicio 5.16). Así se puede demostrar por inducción sobre el grado de polinomio, utilizando la Proposición 5.22, que todos los polinomios son continuos (Ejercicio 5.27). Una vez que hayas demostrado que todos los polinomios son continuos, puedes probar que las funciones racionales son continuas donde el denominador no se desvanece.

Este resultado se utiliza con tanta frecuencia que lo declararemos formalmente.

\({ }^{2}\)Un escalar es solo una palabra elegante para un número. PROPOSICIÓN 5.23. Cada polinomio es continuo en\(\mathbb{R}\). Toda función racional es continua donde el denominador es distinto de cero.

Qué pasa con la función exponencial\[e^{x}:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} ?\] Cada suma parcial es un polinomio, y por lo tanto continuo; así que si supiéramos que el límite de una secuencia de funciones continuas era continuo, estaríamos hechos. Esto resulta, sin embargo, ser un problema sutil, que abordamos en la siguiente Sección.

Secuencias de funciones

Una secuencia infinita de números\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) tiende a un límite\(L\) si\(a_{n}\) se acerca\(L\) como\(n\) tiende al infinito. Trate de escribir una definición formal de esto antes de seguir leyendo.

Discusión. Pista. Ya hemos visto cómo codificar el enunciado “enfoques\(L\)”. La dificultad es codificar “como\(n\) tiende al infinito”. ¿Cómo podrías hacer esto?

DEFINICIÓN. \(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}\), convergen, divergen La secuencia\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) tiende al límite\(L\) como\(n\) tiende al infinito, escrito\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=L,\] si por cada\(\varepsilon>0\) existe\(N \in \mathbb{N}\) tal que \[(\forall n \in \mathbb{N}) n>N \quad \Longrightarrow \quad\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon .\]Decimos que la secuencia\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) converge a\(L\). Si una secuencia no converge, decimos que diverge.

EJEMPLO 5.24. Demostrar que la secuencia\[\left\langle\sin ^{2}(n) / n \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\] converge. Discusión. Generalmente es más fácil probar que una secuencia converge si tenemos una idea de su límite. Para probar la convergencia de secuencias sin candidato para el límite generalmente implica usar la propiedad de límite inferior superior de\(\mathbb{R}\) (que está cubierta en el Capítulo 8). Ciertamente parece que los términos en la secuencia se están acercando a 0, así que tratamos de mostrar esto rigurosamente.

Observamos que\[(\forall n \in \mathbb{N})\left|\sin ^{2}(n)\right| \leq 1\] De ahí\[(\forall n \in \mathbb{N})\left|\sin ^{2}(n) / n\right| \leq|1 / n| .\] Dejar\(\varepsilon>0\) y\(N \in \mathbb{N}\) ser tal que\(1 / N \leq \varepsilon\). Entonces para cualquier\(n \geq N\),\[\left|\sin ^{2}(n) / n-0\right| \leq 1 / n \leq \varepsilon\] Por lo tanto\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin ^{2}(n)}{n}=0 .\] EJEMPLO 5.25. Para cualquiera\(n \in \mathbb{N}\), vamos\(a_{n}=(-1)^{n}\). Demostrar que la secuencia\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) diverge.

Discusión. Dado que la secuencia alterna entre\(-1\) y 1, es intuitivamente claro que la secuencia no tiende a ningún número en particular. Deseamos demostrar que una declaración en la forma\[(\exists L \in \mathbb{R})(\forall \varepsilon>0)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n>N)(\ldots)\] es falsa. Por lo que debemos demostrar que la negación de la afirmación es cierta. Eso es\[(\forall L \in \mathbb{R})(\exists \varepsilon>0)(\forall N \in \mathbb{N})(\exists n>N) \neg(\ldots) .\] Para cualquiera\(L \in \mathbb{R}\), si\(\varepsilon<1\) escogemos no podremos capturar tanto como\(-1\) 1 en los\(\varepsilon\) -barrios de L. Esto demostrará que la secuencia diverge.

Dejar\(L \in \mathbb{R}\) y\(\varepsilon<1\). Demostramos que para cualquiera\(N \in \mathbb{N}\), hay\(n>N\) tal que\[\left|(-1)^{n}-L\right| \geq \varepsilon\] Vamos\(N \in \mathbb{N}^{+}\). Argumentamos por casos.

Supongamos\(L<0\). Entonces,\[\left|(-1)^{2 N}-L\right| \geq 1>\varepsilon\] supongamos\(L \geq 0\). Entonces\[\left|(-1)^{(2 N+1)}-L\right| \geq 1>\varepsilon .\] Por lo tanto la secuencia\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) diverge.

EJEMPLO 5.26. Para todos\(n \in \mathbb{N}\), vamos\(a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{2} \frac{1}{n}\). ¿Cuál es el límite de la secuencia\(\left\langle a_{n}\right\rangle\)?

Discusión. Los términos de la secuencia pueden resultarle familiares ya que Riemann suma asociada con el área bajo la parábola\(f(x)=x^{2}\) entre\(x=0\) y\(x=1\). Utilizaremos un resultado combinatorio que probamos por inducción en el último capítulo.

Por Proposición 4.6,\ [\ comenzar {alineado} \ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ suma_ {k=0} ^ {n}\ izquierda (\ frac {k} {n}\ derecha) ^ {2}\ frac {1} {n} &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ izquierda (\ frac {1} {n^ {}}\ derecha)\ suma_ {k=0} ^ {n} k^ {2}\\ &=\ lim _ {n\ fila derecha\ infty}\ izquierda (\ frac {1} {n^ {3}}\ derecha)\ frac {(n) (n+1) (2 n+1)} {6 }\\ &=1/3. \ end {aligned}\] La verificación de la última igualdad se deja al lector como ejercicio.

En la siguiente sección nos interesan particularmente las sumas infinitas.

Definición. Suma infinita, suma parcial,\(\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\) Let\(\left\langle a_{k} \mid k \in \mathbb{N}\right\rangle\) Ser una secuencia de números. La suma\(n^{\text {th }}\) parcial de la secuencia es\[s_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k} .\] La suma infinita de la secuencia es\[\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}:=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} .\] La suma infinita es el límite de la secuencia de sumas parciales,\(\left\langle s_{n}\right\rangle\). EJEMPLO 5.27. Demostrar que\[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{k}}=2 .\] Let\(s_{n}\) sea la suma\(n^{\text {th }}\) parcial. Tenemos que demostrar que\[\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=2 .\] Let\(\varepsilon>0\) y\(N \in \mathbb{N}\) ser tal que\(\frac{1}{2^{N}}<\varepsilon\). Mostramos que si\(n \geq N\), entonces\[\left|s_{n}-2\right|<\varepsilon\] Dado que la serie\(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{k}}\) es geométrica, sabemos que\[s_{n}=\frac{1-2^{-(n+1)}}{1-1 / 2}=2-2^{-n} .\] Así que si\(n \geq N\), entonces\[\left|s_{n}-2\right|=2^{-n}<\varepsilon .\] En análisis, a menudo se trata de una secuencia de funciones \(f_{n}\). Por ejemplo,\(f_{n}\) podría ser el polinomio Taylor de\(n^{\text {th }}\) orden -order de alguna función\(f\), y uno quiere saber si esta secuencia\(f_{n}\) converge a\(f\); o la secuencia\(f_{n}\) puede representar funciones cuyas gráficas tienen una curva de límite fija en\(\mathbb{R}^{3}\) y tienen áreas decrecientes, y se quiere saber si la secuencia converge a la gráfica de una función con área mínima para ese límite. Este tipo de problema es tan importante que los matemáticos estudian diferentes formas en las que una secuencia de funciones podría converger. La forma más obvia es puntual:

DEFINICIÓN. Convergencia puntual Una secuencia de funciones\(f_{n}\) en un conjunto\(X\) converge puntualmente a la función\(f\) si, para todos\(x\) en\(X\), la secuencia de números\(\left\langle f_{n}(x)\right\rangle\) converge a \(f(x)\).

Para que la definición tenga sentido, requerimos que\[X \subseteq \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \operatorname{Dom}\left(f_{n}\right) .\] si\(a \in X\), la convergencia puntual de una secuencia de funciones,\(\left\langle f_{n}\right\rangle\), en el punto\(a\) depende de la convergencia de la secuencia de números,\(\left\langle f_{n}(a)\right\rangle\). Si no entiendes la convergencia de una secuencia de números no puedes entender la convergencia de una secuencia de funciones.

EJEMPLO 5.28. Considera las funciones\(f_{n}(x)=x^{n}\). En el intervalo abierto\((-1,1)\), estas funciones convergen puntualmente a 0. En el punto 1, las funciones convergen a 1; en el punto\(-1\), las funciones no convergen, porque los valores oscilan entre\(+1\) y\(-1\). Fuera del conjunto\((-1,1]\) la secuencia de funciones diverge.

El ejemplo anterior ilustra el principal problema con la convergencia puntual: la secuencia de funciones continuas\(x^{n}\) en el conjunto\([0,1]\) converge, pero la función a la que converge no es continua. Incluso Cauchy cometió este error: afirmó como teorema en su libro Cours d'analyse de 1821 que si una secuencia de funciones continuas converge puntualmente, entonces su límite es continuo\({ }^{3}\). Para sortear este problema, introducimos la noción de convergencia uniforme.

DEFINICIÓN. Convergencia uniforme\(X \subseteq \mathbb{R}\) Se dice que la secuencia de funciones reales\(f_{n}\) definidas en un conjunto converge uniformemente a la función\(f\) en\(X\) si, por cada\(\varepsilon>0\), existe\(N \in \mathbb{N}\) tal que, para cada \(x\)en\(X\), siempre que\(n>N\) entonces\(\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon\). En notación lógica:\[(\forall \varepsilon>0)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall x \in X)(\forall n>N) \quad\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon\] Obsérvese la gran diferencia entre convergencia puntual y uniforme: en convergencia puntual\(N\) puede depender\(x\); en convergencia uniforme no puede. La importancia de la convergencia uniforme deriva del siguiente teorema.

TEOREMA 5.29. Dejar\(f_{n}\) ser una secuencia de funciones continuas sobre\(X\) que converge uniformemente a\(f\) on\(X\). Entonces\(f\) es continuo encendido\(X\).

Discusión. Debemos mostrar\(|f(x)-f(a)|\) es pequeño cuando\(x\) está cerca de un. sabemos que\(\left|f_{n}(x)-f(x)\right|\) es pequeño para todos\(x\); así que refinamos el

\({ }^{3}\)Véase el libro [4] de Imre Lakatos para una interesante discusión histórica sobre el error de Cauchy y el descubrimiento de la convergencia uniforme, de Seidel y Stokes independientemente en 1847. engañar a partir de la p. 133, y sumar y restar lo mismo dos veces, escribiendo\(f(x)-f(a)=\left[f(x)-f_{n}(x)\right]+\left[f_{n}(x)-f_{n}(a)\right]+\left[f_{n}(a)-f(a)\right] .\) Entonces tratamos de hacen que cada uno de los tres pares agrupados sea pequeño, por lo que su suma es pequeña. Esto a veces se llama\(\varepsilon / 3\) argumento, porque si hacemos cada término más pequeño que\(\varepsilon / 3\), entonces su suma es menor que\(\varepsilon\).

Comprobante. Arreglar algún punto\(a \in X\), y dejar\(\varepsilon>0\). Debemos encontrar\[|x-a|<\delta \quad \Longrightarrow \quad|f(x)-f(a)|<\varepsilon .\] para\(\delta>0\) que Para ello, nos\(f(x)-f(a)\) dividimos en tres partes:\[f(x)-f(a)=\left[f(x)-f_{n}(x)\right]+\left[f_{n}(x)-f_{n}(a)\right]+\left[f_{n}(a)-f(a)\right] .\] Elegir para que\(N\) eso\(n \geq N\) implique\(\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon / 3\) para todos\(x\). Elige\(\delta>0\) para que\(\left|f_{N}(x)-f_{N}(a)\right|<\varepsilon / 3\) cuando sea\(|x-a|<\delta\). Entonces por el triángulo desigualdad, para\(|x-a|<\delta\), tenemos\ [\ begin {alineado} |f (x) -f (a) | &\ leq\ left|f (x) -f_ {N} (x)\ derecha|+\ izquierda|f_ {N} (x) -f_ {N} (a)\ derecha|+\ izquierda|f_ {N} (a) -f (a)\ derecha|\\ &\ leq\ frac {\ varepsilon} {3} +\ frac {\ varepsilon} {3} +\ frac {\ varepsilon} {3} =\ varepsilon. \ end {alineado}\] PREGUNTA. ¿Dónde se utilizó la hipótesis de que la convergencia era uniforme?

Podemos utilizar el teorema\(5.29\), por ejemplo, para demostrar que la función exponencial es continua. Consideramos la función exponencial como su serie Taylor\[e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !} .\] Recordemos que la expresión\(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !}\) es una taquigrafía\[\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k !} .\] para Para cualquier número real\(a, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^{k}}{k !}\) es una suma infinita que converge si su correspondiente secuencia de sumas parciales converge. Por la prueba de ratio, la serie exponencial converge para todos los reales\(a\). (Para una prueba formal de la prueba de ratio, ver Teorema 8.9).

Proposición 5.31. La función exponencial es continua\(\mathbb{R}\).

Comprobante. \[p_{n}(x):=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k !}\]Déjese ser el polinomio de Taylor de\(n^{\text {th }}\) orden. Sabemos que cada uno\(p_{n}\) es continuo, por Proposición\(5.23\). Si supiéramos que\(p_{n}(x)\) convergían uniformemente a\(e^{x}\), estaríamos hechos por el Teorema\(5.29\).

No es cierto que\(p_{n}\) converge uniformemente sobre\(\mathbb{R}\) (¿por qué?). Sin embargo, la secuencia converge uniformemente en cada intervalo\([-R, R]\), y esto es lo suficientemente bueno para concluir que\(e^{x}\) es continuo en\(\mathbb{R}\) (¿por qué?).

Para ver esta última afirmación, arreglar\(R>0\) y\(\varepsilon>0\). Debemos encontrar para\(N\) que, para todos\(n>N\) y para todos\(x \in[-R, R]\), tengamos\(\left|e^{x}-p_{n}(x)\right|<\varepsilon\). Observe que\[\left|e^{x}-p_{n}(x)\right|=\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1) !}+\frac{x^{n+2}}{(n+2) !}+\ldots\right| .\] Para cada uno\(n\), el lado derecho se maximiza\([-R, R]\) por su valor en\(R\) (¿por qué?) ; y a medida que\(n\) aumenta, este resto disminuye monótonamente (porque se pierden cada vez más términos positivos). Como sabemos la serie exponencial para\(e^{R}\) converge, elige una\(N\) así que\(e^{R}-p_{N}(R)\) sea menor que\(\varepsilon\). Entonces para todos\(x\) en\([-R, R]\) y todos\(n \geq N\), tenemos\(\left|e^{x}-p_{n}(x)\right|<\varepsilon\), como se desee.

Las funciones seno y coseno también se pueden definir en términos de su serie Taylor:\ [\ begin {aligned} &\ sin (x)\ quad: =\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n}\ frac {x^ {2 n+1}} {(2 n+1)!} \\ &\ cos (x)\ quad: =\ suma_ {n=0} ^ {\ infty} (-1) ^ {n}\ frac {x^ {2 n}} {(2 n)!} . \ end {aligned}\] Se puede demostrar que son continuos por argumentos similares. OBSERVACIÓN. Observe que en nuestras definiciones de límites y continuidad, estamos utilizando el valor absoluto solo para medir distancias. En otras palabras, estamos diciendo que\(f\) es continuo en\(a\) si, para todos\(\varepsilon>0\), podemos encontrar\(\delta>0\), de tal manera que siempre que la distancia de\(x\) a\(a\) sea menor que\(\delta\), entonces la distancia de\(f(x)\) a\(f(a)\) es menor que\(\varepsilon\). Esta definición tiene perfectamente sentido cuando se tiene una forma de medir distancias en el dominio y el codominio. Por ejemplo, si la función se mapea\(\mathbb{R}^{m}\) a\(\mathbb{R}^{n}\), se pueden medir distancias de la manera euclidiana habitual. En una generalidad aún mayor, los matemáticos utilizan algo llamado métricas para medir distancias, y una vez que se tienen métricas, se puede discutir la continuidad de las funciones de manera similar a nuestra discusión para funciones reales.

Las matemáticas de este capítulo -una mirada cercana al comportamiento de las funciones reales- se llama Análisis. Esta comprende una de las tres principales disciplinas de la matemática pura; las otras dos son Geometría y Álgebra. Una buena introducción al análisis es el libro [?] de Walter Rudin.

Ejercicios

EJERCICIO 5.1. Demostrar que las definiciones de límite en las páginas 129 y 130 son las mismas.

EJERCICIO 5.2. Demostrar Lema 5.14, y la aseveración relacionada de que\(|c|-|d| \leq|c+d|\).

EJERCICIO 5.3. Para\(n \in \mathbb{N}^{+}, a_{i} \in \mathbb{R}(1 \leq i \leq n)\), demostrar que\[\left|\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right| \leq \sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}\right| .\] EJERCICIO 5.4. Demostrar Lema\(5.15\).

EJERCICIO 5.5. Demostrar parte (v) del Teorema 5.9.

EJERCICIO 5.6. Dé un ejemplo de dos funciones\(f\) y\(g\) que no tengan límites en un punto\(a\) pero tal que\(f+g\) sí. Para el mismo par de funciones,\(f-g\) también puede tener un límite en\(a\)? EJERCICIO 5.7. Supongamos que\(f\) es una función real y\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\)\(L\). Demostrar que si\(X \subseteq \operatorname{Dom}(f)\), entonces\[\lim _{X \ni x \rightarrow a} f(x)=L .\] EJERCICIO 5.8. Usa el método de Arquímedes (el método de las sumas de Riemann) para demostrarlo\[\int_{0}^{1} x^{2} d x=\frac{1}{3}\] (Necesitarás conocer una fórmula para\(\sum_{k=0}^{n} k^{2}\) - ver Proposición 4.6).

EJERCICIO 5.9. Utilice el método de Arquímedes para probarlo\[\int_{0}^{1} x^{3} d x=\frac{1}{4} .\] (Ver Ejercicio 4.16).

EJERCICIO 5.10. Demostrar que la función Heaviside tiene límites tanto a la izquierda como a la derecha en\(0 .\)

EJERCICIO 5.11. Demostrar que una función tiene un límite en un punto si y sólo si tiene límites tanto izquierdo como derecho en ese punto y sus valores coinciden.

EJERCICIO 5.12. Demostrar que el Teorema\(5.9\) aplica a límites restringidos.

EJERCICIO 5.13. El punto\(a\) es un punto límite del conjunto\(X\) si, por cada\(\delta>0\), existe un punto\(x\) adentro\(X \backslash\{a\}\) con\(|x-a|<\delta\). Dejar\(f\) ser una función de valor real en\(X \subseteq \mathbb{R}\). Demostrar que si\(a\) es un punto límite de\(X\), entonces si\(f\) tiene un límite restringido en\(a\) él es único. Demostrar que si no\(a\) es un punto límite de\(X\), entonces cada número real es un límite restringido de\(f\) at\(a\).

EJERCICIO 5.14. \(\lim _{x \rightarrow 0} \sin (x) / x=1\)Demuéstralo.

EJERCICIO 5.15. Demostrar Proposición 5.22.

EJERCICIO 5.16. Demostrar que la función\(f(x)=x\) es continua en todas partes\(\mathbb{R}\). EJERCICIO 5.17. En el Ejercicio 4.12 se da una fórmula para los números de Fibonacci. Evaluar\(\lim _{n \rightarrow \infty} F_{n+1} / F_{n}\).

EJERCICIO 5.18. ¿Qué tan grande debe\(n\) ser para asegurar que\(F_{n+1} / F_{n}\) está dentro\(10^{-1}\) del límite en el Ejercicio 5.17? \(10^{-2}\)¿Dentro? \(10^{-k}\)¿Dentro?

EJERCICIO 5.19. Define la función\(\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por\[\psi(x):= \begin{cases}0 & x \notin \mathbb{Q} \\ 1 & x \in \mathbb{Q} .\end{cases}\] Demostrar que\(\psi\) es discontinuo en todas partes.

EJERCICIO\(5.20\). Definir la función\(\phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) por\[\phi(x):= \begin{cases}0 & x \notin \mathbb{Q} \\ \frac{1}{n} & x \in \mathbb{Q} \backslash\{0\}, x=\frac{m}{n}, \operatorname{gcd}(m, n)=1, n>0 \\ 1 & x=0 .\end{cases}\] Probar que\(\phi\) es continua en cada número irracional y discontinuo en cada número racional.

EJERCICIO 5.21. Demostrar que una función de valor real\(f\) en un intervalo abierto\(I\) es continua en cualquier punto donde exista su derivada, es decir, donde\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] exista. ¿Cuál es lo contrario de esta afirmación? Demostrar que lo contrario no es cierto.

EJERCICIO 5.22. Demostrar que si la función\(f\) tiene el límite\(L\) de la derecha en\(a\), entonces la secuencia\(f\left(a+\frac{1}{n}\right)\) tiene límite\(L\) como\(n \rightarrow \infty\). Demostrar que lo contrario es falso en general.

EJERCICIO 5.23. Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones reales. Vamos\(a \in \mathbb{R}\) y supongamos que\[\lim _{x \rightarrow a} g(x)=L_{1}\] y\[\lim _{x \rightarrow L_{1}} f(x)=L_{2} .\] Demostrar que\[\lim _{x \rightarrow a} f \circ g=L_{2} .\] Si\(g\) es continuo en\(a\) y\(f\) es continuo en\(g(a)\), es\(f \circ g\) continuo en\(a\)?

EJERCICIO 5.24. Que\(f\) sea una función real,\(a \in \mathbb{R}\) y\(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=\)\(L\). Si\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) converge a\(a\), demostrar que\(\left\langle f\left(a_{n}\right)\right\rangle\) converge a\(L\).

EJERCICIO 5.25. Ejemplo Completo 5.26. Es decir, probar que\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{3}}\right) \frac{(n)(n+1)(2 n+1)}{6}=1 / 3 .\] EJERCICIO 5.26. Evaluar ¿\[\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{k}{n}\right) \frac{1}{n} .\]Se puede dar una interpretación geométrica de este límite?

EJERCICIO 5.27. Utilice la inducción para demostrar que cada polinomio es continuo en cada número real.

EJERCICIO 5.28. Vamos\(-1<x<1\). Demostrar que la serie geométrica con relación\(x, \sum_{k=0}^{\infty} x^{k}\), converge a\(\frac{1}{1-x}\).