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8.8: Funciones reales
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Logica_Matematica_y_Pruebas/Transici%C3%B3n_a_las_Matem%C3%A1ticas_Superiores_(Dumas_y_McCarthy)/08%3A_Los_n%C3%BAmeros_reales/8.08%3A_Funciones_reales
Para cualquier $x \in(a, c), f(x) \leq f(c)$ y $\frac{f(c)-f(x)}{c-x} \geq 0 .$ Por lo tanto $\lim _{x \rightarrow c^{-}} \frac{f(c)-f(x)}{c-x} \geq 0 .$ De manera similar,\[\lim _{x \rightarrow c^...Para cualquier $x \in(a, c), f(x) \leq f(c)$ y $\frac{f(c)-f(x)}{c-x} \geq 0 .$ Por lo tanto $\lim _{x \rightarrow c^{-}} \frac{f(c)-f(x)}{c-x} \geq 0 .$ De manera similar, $\lim _{x \rightarrow c^{+}} \frac{f(c)-f(x)}{c-x} \leq 0 .$ Sin embargo $f$ es diferenciable en $c$ , por lo que $0 \leq \lim _{x \rightarrow c^{-}} \frac{f(c)-f(x)}{c-x}=f^{\prime}(c)=\lim _{x \rightarrow c^{+}} \frac{f(c)-f(x)}{c-x} \leq 0 .$ Un argumento similar prueba la pretensión de $f(c)$ un valor mínimo de\(f…
1.3: Funciones
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Logica_Matematica_y_Pruebas/Transici%C3%B3n_a_las_Matem%C3%A1ticas_Superiores_(Dumas_y_McCarthy)/01%3A_Preliminares/1.03%3A_Funciones
Let $\begin{aligned} f: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto 2 x+1 \end{aligned}$ and let\[\begin{aligned} g: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto x^{2}+3 y^{2} ....Let $\begin{aligned} f: \mathbb{R} & \rightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto 2 x+1 \end{aligned}$ and let $\begin{aligned} g: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto x^{2}+3 y^{2} . \end{aligned}$ Entonces $\begin{aligned} f \circ g: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto 2 x^{2}+6 y^{2}+1 . \end{aligned}$ La función no $g \circ f$ está definida (¿por qué?).
3.5: Estrategias de prueba
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Logica_Matematica_y_Pruebas/Transici%C3%B3n_a_las_Matem%C3%A1ticas_Superiores_(Dumas_y_McCarthy)/03%3A_Pruebas/3.05%3A_Estrategias_de_prueba
Dado que las contradicciones son lógicamente imposibles, es lógicamente necesario aquello $\neg(H \wedge \neg P)$ que es proposicionalmente equivalente a $\neg H \vee P$ o, alternativamente,\[H \Rig...Dado que las contradicciones son lógicamente imposibles, es lógicamente necesario aquello $\neg(H \wedge \neg P)$ que es proposicionalmente equivalente a $\neg H \vee P$ o, alternativamente, $H \Rightarrow P \text {. }$ ya que habremos demostrado que para cualquier sustitución de $x$ , el enunciado $H \Rightarrow P$ sostiene, habremos mostrado el reclamo universal.
2.3: Relaciones de equivalencia
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Logica_Matematica_y_Pruebas/Transici%C3%B3n_a_las_Matem%C3%A1ticas_Superiores_(Dumas_y_McCarthy)/02%3A_Relaciones/2.03%3A_Relaciones_de_equivalencia
$R_{f}$ es claramente reflexivo, ya que, para cualquier $x \in X$ , $f(x)=f(x) .$ $R_{f}$ es simétrico ya que, para cualquiera $x \in X$ y $y \in X$ ,\[f(x)=f(y) \text { if and only if } f(y)=f(x)... $R_{f}$ es claramente reflexivo, ya que, para cualquier $x \in X$ , $f(x)=f(x) .$ $R_{f}$ es simétrico ya que, para cualquiera $x \in X$ y $y \in X$ , $f(x)=f(y) \text { if and only if } f(y)=f(x) .$ Mostrar $R_{f}$ es transitivo, vamos $x, y, z \in X$ . Si $x \in X$ entonces la clase de equivalencia de $x$ módulo $R$ , denotada por $[x]_{R}$ , es $[x]_{R}=\{y \in X \mid x R y\} .$ Si $y \in[x]_{R}$ llamamos a $y$ un elemento representativo de $[x]_{R}$ .
8.7: Prueba de relación
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Logica_Matematica_y_Pruebas/Transici%C3%B3n_a_las_Matem%C3%A1ticas_Superiores_(Dumas_y_McCarthy)/08%3A_Los_n%C3%BAmeros_reales/8.07%3A_Prueba_de_relaci%C3%B3n
Entonces hay $N \in \mathbb{N}$ tal que para cualquier $n \geq m \geq N$ , $\left|t_{n}-t_{m}\right| \leq \varepsilon .$ Por una generalización del triángulo la desigualdad (ver Ejercicio 8.24)\[\le...Entonces hay $N \in \mathbb{N}$ tal que para cualquier $n \geq m \geq N$ , $\left|t_{n}-t_{m}\right| \leq \varepsilon .$ Por una generalización del triángulo la desigualdad (ver Ejercicio 8.24) $\left|s_{n}-s_{m}\right|=\left|\sum_{k=m+1}^{n} a_{k}\right| \leq \sum_{k=m+1}^{n} b_{k}=\left|t_{n}-t_{m}\right|<\varepsilon$ De ahí $\left\langle s_{n}\right\rangle$ es una secuencia Cauchy y converge.
9.6: Otras observaciones
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Demostrar que la serie de potencias y la interpretación trigonométrica están describiendo realmente la misma función es parte de un curso de Análisis Complejos. El primero es mostrar que si una funció...Demostrar que la serie de potencias y la interpretación trigonométrica están describiendo realmente la misma función es parte de un curso de Análisis Complejos. El primero es mostrar que si una función $f$ tiene un derivado en todas partes en algún disco abierto, en el sentido que $\lim _{z \rightarrow z_{0}} \frac{f\left(z_{0}\right)-f(z)}{z_{0}-z}$ existe, entonces la función es automáticamente analítica, es decir, expresable por una serie de potencias convergentes.
8.2: Los enteros
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Logica_Matematica_y_Pruebas/Transici%C3%B3n_a_las_Matem%C3%A1ticas_Superiores_(Dumas_y_McCarthy)/08%3A_Los_n%C3%BAmeros_reales/8.02%3A_Los_enteros
La multiplicación se define por $x_{1} \cdot x_{2}=\left[\left\langle m_{1} \cdot m_{2}+n_{1} \cdot n_{2}, n_{1} \cdot m_{2}+m_{1} \cdot n_{2}\right\rangle\right] .$ El orden lineal en $\mathbb{Z}$ ...La multiplicación se define por $x_{1} \cdot x_{2}=\left[\left\langle m_{1} \cdot m_{2}+n_{1} \cdot n_{2}, n_{1} \cdot m_{2}+m_{1} \cdot n_{2}\right\rangle\right] .$ El orden lineal en $\mathbb{Z}$ se define por la $x_{1} \leq x_{2} \Longleftrightarrow m_{1}+n_{2} \leq n_{1}+m_{2} .$ suma y la multiplicación se han definido para los números naturales, y las operaciones y el orden lineal en $\mathbb{Z}$ se definen con respecto a las operaciones y el orden lineal que se definieron previamente…
2.2: Pedidos
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Logica_Matematica_y_Pruebas/Transici%C3%B3n_a_las_Matem%C3%A1ticas_Superiores_(Dumas_y_McCarthy)/02%3A_Relaciones/2.02%3A_Pedidos
Si $x, y$ están en $X$ , entonces diga $x \preceq y$ si el número de manzanas en $x$ es menor o igual que el número de manzanas en $y$ , y el número de naranjas en $x$ es menor o igual que el núme...Si $x, y$ están en $X$ , entonces diga $x \preceq y$ si el número de manzanas en $x$ es menor o igual que el número de manzanas en $y$ , y el número de naranjas en $x$ es menor o igual que el número de naranjas en $y$ . Una forma de visualizar un orden parcial $\preceq$ en un conjunto finito $X$ es imaginar flechas que conectan elementos distintos de $X, x$ y $y$ , si $x \preceq y$ y no hay un tercer punto distinto que $z$ satisfaga $x \preceq z \preceq y$ .
5.4: Ejercicios
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Logica_Matematica_y_Pruebas/Transici%C3%B3n_a_las_Matem%C3%A1ticas_Superiores_(Dumas_y_McCarthy)/05%3A_L%C3%ADmites/5.04%3A_Ejercicios
Vamos $a \in \mathbb{R}$ y supongamos que $\lim _{x \rightarrow a} g(x)=L_{1}$ y $\lim _{x \rightarrow L_{1}} f(x)=L_{2} .$ Demostrar que $\lim _{x \rightarrow a} f \circ g=L_{2} .$ Si $g$ es con...Vamos $a \in \mathbb{R}$ y supongamos que $\lim _{x \rightarrow a} g(x)=L_{1}$ y $\lim _{x \rightarrow L_{1}} f(x)=L_{2} .$ Demostrar que $\lim _{x \rightarrow a} f \circ g=L_{2} .$ Si $g$ es continuo en $a$ y $f$ es continuo en $g(a)$ , es $f \circ g$ continuo en $a$ ?
8.10: Order-Completitud
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Logica_Matematica_y_Pruebas/Transici%C3%B3n_a_las_Matem%C3%A1ticas_Superiores_(Dumas_y_McCarthy)/08%3A_Los_n%C3%BAmeros_reales/8.10%3A_Order-Completitud
Se llama order-complete si, siempre $A$ y $B$ son subconjuntos no vacíos de $X$ con la propiedad que $(\forall a \in A)(\forall b \in B) \quad a \leq b,$ entonces existe $c$ en $X$ tal que\[(\fo...Se llama order-complete si, siempre $A$ y $B$ son subconjuntos no vacíos de $X$ con la propiedad que $(\forall a \in A)(\forall b \in B) \quad a \leq b,$ entonces existe $c$ en $X$ tal que $(\forall a \in A)(\forall b \in B) \quad a \leq c \leq b .$ Tenga en cuenta que cualquier order-complete set debe tener la menor propiedad de límite superior - si $A$ es cualquier conjunto delimitado no vacío, let $B$ ser el conjunto de todos los límites superiores para $A$ , y luego $c$ from (8.20…
4.1: Ordenamientos de bienestar
https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Logica_Matematica_y_Pruebas/Transici%C3%B3n_a_las_Matem%C3%A1ticas_Superiores_(Dumas_y_McCarthy)/04%3A_Principio_de_Inducci%C3%B3n/4.01%3A_Ordenamientos_de_bienestar
En este capítulo discutimos el principio de inducción matemática. Tenga en cuenta que la palabra inducción tiene un significado diferente en matemáticas que en el resto de la ciencia. El principio de ...En este capítulo discutimos el principio de inducción matemática. Tenga en cuenta que la palabra inducción tiene un significado diferente en matemáticas que en el resto de la ciencia. El principio de inducción matemática depende de la estructura de orden de los números naturales, y nos da una técnica poderosa para probar afirmaciones matemáticas universales.

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