Apéndice A: Elementos de estilo para pruebas

La matemática consiste en descubrir pruebas y escribirlas de manera clara y convincente. Las siguientes pautas se aplican siempre que escribas un comprobante. Ten estas pautas a mano para que puedas referirlas a medida que escribes tus pruebas.

1. La carga de la comunicación recae en ti, no en tu lector. Es tu trabajo explicar tus pensamientos; no es trabajo de tu lector adivinarlos a partir de algunas pistas. Estás tratando de convencer a un lector escéptico que no te cree, por lo que hay que discutir con lógica hermética en un lenguaje claro como el cristal; de lo contrario el lector seguirá dudando. Si no escribiste algo en el papel, entonces (a) no lo comunicaste, (b) el lector no lo aprendió, y (c) el calificador tiene que asumir que no lo conocías en primer lugar.

2. Dígale al lector lo que está demostrando o citando. El lector no necesariamente sabe o recuerda lo que es “Teorema 2.13”. Incluso un profesor que califica una pila de trabajos podría perder la pista de vez en cuando. Por lo tanto, la declaración que esté demostrando debe estar en la misma página que el inicio de su prueba.

   En la mayoría de las pruebas querrás referirte a una definición anterior, problema, teorema o corolario. En este caso, debe hacer referencia a la declaración por número, pero también es útil para el lector resumir la declaración que está citando. Por ejemplo, podrías escribir algo así como, “Por Teorema 2.3, la suma de dos enteros consecutivos es impar, y así...”

3. Usa palabras en inglés. Aunque generalmente habrá ecuaciones o declaraciones matemáticas en tus pruebas, usa oraciones en inglés para conectarlas y mostrar sus relaciones lógicas. Si estás en pruebas en libros de texto y trabajos de investigación, verás que consisten principalmente en palabras inglesas.

4. Usa oraciones completas. Si escribiste un ensayo de historia en fragmentos de oraciones, el lector no entendería a qué te referías; así mismo en matemáticas debes usar oraciones completas, con verbos, para transmitir tu tren lógico de pensamiento.

   Algunas oraciones completas pueden escribirse puramente en símbolos matemáticos, como ecuaciones (por ejemplo,\(a^3=b^{-1}\)), desigualdades (por ejemplo,\(x<5\)) y otras relaciones (como\(5\big|10\) o\(7\in\mathbb{Z}\)). Estas declaraciones suelen expresar una relación entre dos objetos matemáticos, como números o conjuntos. No obstante, se considera mal estilo comenzar una oración con símbolos. Una frase común a usar para evitar comenzar una oración con símbolos matemáticos es “Vemos que...”.

5. Muestra las conexiones lógicas entre tus oraciones. Usa frases como “Por lo tanto”, “Así”, “De ahí”, “Entonces”, “desde”, “porque”, “si..., entonces...”, o “si y sólo si” para conectar tus oraciones.

6. Conocer la diferencia entre enunciados y objetos. Un objeto matemático es una cosa, un sustantivo, como un conjunto, un elemento, un número, un par ordenado, un espacio vectorial, etc. Los objetos existen o no existen. Las declaraciones, en cambio, son oraciones matemáticas: son verdaderas o falsas.

   Cuando vea o escriba un grupo de símbolos matemáticos, asegúrese de saber si es un objeto (por ejemplo, “\(x^2+3\)”) o una declaración (por ejemplo, “\(x^2+3<7\)”). Una manera de decir es que cada enunciado matemático incluye un verbo\(=\), como\(\leq\)\(\in\),,, “divide”, etc.

7. El símbolo “\(=\)” significa “igual”. No escribas\(A=B\) a menos que quieras decir que\(A\) en realidad es igual\(B\). Esta pauta parece obvia, pero existe una gran tentación de ser descuidado. En el cálculo, por ejemplo, algunas personas podrían escribir\(f(x)=x^{2}=2x\) (lo cual es falso), cuando realmente quieren decir que “si\(f(x)=x^{2}\), entonces”\(f'(x)=2x\).

8. No intercambiar\({=}\) y\({\implies}\). El signo igual conecta dos objetos, como en “\(x^2=b\)”; el símbolo “\(\implies\)” es una abreviatura de “implica” y conecta dos sentencias, como en “”\(a+b=a \implies b=0\). Debe evitar el uso\(\implies\) en escritos formales de pruebas.

9. Evita los símbolos lógicos en tus pruebas. Similar a\(\implies\), deberías evitar usar los símbolos lógicos\(\forall, \exists, \vee, \wedge\), y ⇒ en tus escritos formales. Estos símbolos son útiles para abreviar en tu trabajo de scratch.

10. Di exactamente a lo que te refieres. Así como a veces\(=\) se abusa, también la gente a veces escribe\(A\in B\) cuando quiere decir\(A\subseteq B\), o escribe\(a_{ij}\in A\) cuando quiere decir que\(a_{ij}\) es una entrada en matriz\(A\). Las matemáticas son un lenguaje muy preciso, y hay una manera de decir exactamente a lo que te refieres; encuéntralo y úsalo.

11. No utilices nada no probado. Cada declaración en tu prueba debe ser algo que sepas que es verdad. El lector espera que su prueba sea una serie de declaraciones, cada una probada por las declaraciones que le precedieron. Si alguna vez necesitas escribir algo que aún no sabes que es cierto, debes prefaciarlo con palabras como “asumir”, “suponga” o “si” si lo estás asumiendo temporalmente, o con palabras como “necesitamos demostrar eso” o “lo reclamamos” si es tu objetivo. De lo contrario, el lector pensará que se ha perdido parte de su prueba.

12. Escribir cadenas de igualdades (o desigualdades) en el orden adecuado. Cuando tu lector ve algo así como\[A=B\leq C=D,\] esperan entender fácilmente por qué\(A=B\)\(B\leq C\), por qué y por qué\(C=D\), y esperan que el punto de toda la línea sea el hecho más complicado que\(A\leq D\). Por ejemplo, si estuvieras calculando la distancia\(d\) del punto\((12,5)\) desde el origen, podrías escribir\[d = \sqrt{12^2+5^2} = 13.\] En esta cadena de igualdades, el primer signo igual es verdadero por el teorema de Pitágoras, el segundo es simplemente aritmético, y la conclusión es que el primer ítem es igual al último ítem:\(d=13\).

    Un error común es escribir cadenas de ecuaciones en el orden equivocado. Por ejemplo, si escribieras “\(\sqrt{12^2+5^2}=13=d\)”, tu lector entendería el primer signo igual, estaría desconcertado en cuanto a cómo sabemos\(d=13\), y estaría completamente perplejo en cuanto a por qué querías o necesitabas pasar\(13\) para demostrarlo\(\sqrt{12^2+5^2}=d\).

13. Evite la circularidad. ¡Asegúrate de que ningún paso en tu prueba haga uso de la conclusión!

14. No escribas la prueba al revés. Los estudiantes principiantes a menudo intentan escribir “pruebas” como las siguientes, lo que intenta probar que\(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\):\[\begin{aligned} \tan^2(x) & = \sec^2(x) - 1 \\ \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 & = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 \\ \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} & = \frac{1-\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \\ \sin^2(x) & = 1-\cos^2(x) \\ \sin^2(x) + \cos^2(x) & = 1 \\ 1 & = 1\end{aligned}\] Observe lo que ha sucedido aquí: el estudiante comenzó con la conclusión, y dedujo la verdadera afirmación “”\(1=1\). En otras palabras, han demostrado “Si\(\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1\), entonces”\(1=1\), lo cual es cierto pero muy poco interesante.

    Ahora bien, esta no es una mala manera de encontrar una prueba. Trabajar al revés desde tu objetivo a menudo es una buena estrategia en tu papel rascar, pero cuando es el momento de escribir tu prueba, tienes que comenzar con las hipótesis y trabajar hasta la conclusión.

    He aquí un ejemplo de una prueba adecuada para el resultado deseado, donde cada expresión se desprende de la que lo procede inmediatamente:\[\begin{aligned} \sec^2(x) - 1 & = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1\\ & = \frac{1-\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \\ & = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\ & = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 \\ & = \left(\tan(x)\right)^2 \\ & = \tan^2(x).\end{aligned}\]

15. Sea conciso. Muchos escritores principiantes de pruebas erran al escribir sus pruebas demasiado cortas, de modo que el lector no puede entender su lógica. Sin embargo, es muy posible ser demasiado prolijo, y si te encuentras escribiendo un ensayo de página completa, es posible que realmente no tengas una prueba, sino solo algo de intuición. Cuando encuentres la manera de convertir esa intuición en una prueba formal, será mucho más corta.

16. Introduce cada símbolo que uses. Si usa la letra “\(k\),” el lector debe saber exactamente qué\(k\) es. Las buenas frases para introducir símbolos incluyen “Let”\(n\in \mathbb{N}\), “Let\(k\) be the least integer such that...”, “For every real number\(a\)...”, y “Supongamos\(A\subseteq\mathbb{R}\ldots\)”.

17. Utilice los cuantificadores apropiados (una vez). Cuando introduce una variable\(x\in S\), debe quedar claro para tu lector si te refieres a “para todos\(x\in S\)” o simplemente “para algunos”\(x\in S\). Si solo dices algo como “\(y=x^2\)dónde”\(x\in S\), la palabra “dónde” no indica si quieres decir “para todos” o “algunos”.

    Las frases que indican el cuantificador “para todos” incluyen “Dejar\(x\in S\)”; “para todos\(x\in S\)”; “para cada\(x\in S\)”; “para cada\(x\in S\)”; etc. Frases que indican el cuantificador “algunos” o “existe”) incluyen “para algunos\(x\in S\)”; “existe” un\(x\in S\)”; “para una elección adecuada de\(x\in S\)”; etc.

    Una vez que has dicho “Vamos”\(x\in S\), la letra\(x\) tiene su significado definido. No hace falta volver a decir “para todos\(x\in S\)”, y definitivamente no debería volver a decir “dejar\(x\in S\)”.

18. Usa un símbolo para significar solo una cosa. Una vez que use la letra\(x\) una vez, su significado se fija durante la duración de su prueba. No se puede usar\(x\) para significar otra cosa. Hay una excepción a esta directriz. A veces, una prueba incluirá múltiples subpruebas que son distintas entre sí. En este caso, puedes reutilizar una variable o símbolo siempre y cuando sea claro para el lector que has concluido con la subprueba anterior y has pasado a una nueva subprueba.

19. No “probar con el ejemplo”. [pfbyexample] La mayoría de los problemas te piden demostrar que algo es cierto “para todos” —No puedes probarlo dando un solo ejemplo, o incluso cien. Tu prueba tendrá que ser un argumento lógico que sostenga para cada ejemplo que pueda haber.

    Por otra parte, si la afirmación que estás tratando de probar implica la existencia de un objeto matemático con una propiedad particular, entonces es suficiente proporcionar un ejemplo específico.

20. Escribe “Vamos”\(x=\dots\), no “Vamos”\(\dots=x\). Cuando tienes una expresión existente, digamos\(a^{2}\), y quieres darle un nombre nuevo y más simple como\(b\), deberías escribir “Let”\(b=a^{2}\), que significa, “Deja que\(b\) signifique el nuevo símbolo”\(a^{2}\). Esta convención deja claro al lector que\(b\) es el símbolo flamante y\(a^{2}\) es la vieja expresión que ya entiende.

    Si lo escribieras al revés, diciendo “Vamos”\(a^{2}=b\), entonces tu lector sobresaltado preguntaría: “¿Y si\(a^{2}\neq b\)?”

21. Haz que tus contraejemplos sean concretos y específicos. Las pruebas deben ser completamente generales, pero los contraejemplos deben ser concretos. Cuando proporciones un ejemplo o contraejemplo, hazlo lo más específico posible. Para un conjunto, por ejemplo, se deben especificar sus elementos, y para una función se debe especificar la relación correspondiente (posiblemente una regla algebraica) y su dominio y codominio. No digas cosas como “\(f\)podría ser uno a uno pero no sobre”; en cambio, proporcionar una función real\(f\) que sea uno a uno pero no sobre.

22. No incluir ejemplos en pruebas. Incluyendo un ejemplo muy raramente agrega algo a su prueba. Si tu lógica es sólida, entonces no necesita un ejemplo para respaldarla. Si tu lógica es mala, una docena de ejemplos no la ayudarán (ver Directriz [pfbyexample]). Solo hay dos razones válidas para incluir un ejemplo en una prueba: si es un contraejemplo que desmiente algo, o si estás realizando manipulaciones complicadas en un entorno general y el ejemplo es solo para ayudar al lector a entender lo que estás diciendo.

23. Usa papel rascar. Encontrar tu prueba será un proceso largo, potencialmente desordenado, lleno de falsos comienzos y callejones sin salida. Haz todo eso en papel rascar hasta que encuentres una prueba real, y solo entonces rompe tu papel limpio para escribir tu prueba final cuidadosamente.

    Sólo las oraciones que realmente contribuyan a su prueba deben ser parte de la prueba. No se limite a realizar un “volcado de cerebros”, arrojando todo lo que sabe al papel antes de mostrar los pasos lógicos que prueban la conclusión. Para eso está el papel rascar.