Apéndice C: Paradojas

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Una paradoja es una afirmación que puede mostrarse, utilizando un conjunto dado de axiomas y definiciones, para ser tanto verdadera como falsa. Recordemos que un axioma es una afirmación que se supone que es verdadera sin pruebas. Estos son los bloques básicos de construcción a partir de los cuales se demuestran todos los teoremas. A menudo se utilizan paradojas para mostrar las inconsistencias en una teoría axiomática defectuosa. El término paradoja también se emplea de manera informal para describir un resultado sorprendente o contradictorio que se desprende de un conjunto de reglas dado. En la Sección 3.2, encontramos dos paradojas:

El barbero de Sevilla (Problema 3.24)
La paradoja de Russell (Problema 3.26)

A continuación se presentan varias paradojas adicionales que vale la pena explorar.

Paradoja del bibliotecario. A un bibliotecario se le da la tarea poco envidiable de crear dos nuevos libros para la biblioteca. El libro A contiene los nombres de todos los libros de la biblioteca que se refieren a sí mismos y el Libro B contiene los nombres de todos los libros de la biblioteca que no se refieren a sí mismos. Pero el bibliotecario acaba de crear dos libros nuevos para la biblioteca, por lo que sus títulos deben estar ya sea en el Libro A o en el Libro B. Claramente, el Libro A puede figurar en el Libro B, pero ¿dónde debería enumerar el bibliotecario el Libro B?
Paradoja del mentiroso. Considera la afirmación: esta frase es falsa. ¿Es cierto o falso?
Paradoja de baya. Considera la afirmación: cada número natural puede describirse sin ambigüedades en catorce palabras o menos. Parece claro que esta afirmación es falsa, pero si eso es así, entonces hay algún número natural más pequeño que no puede describirse inequívocamente en catorce palabras o menos. Vamos a llamarlo\(n\). Pero ahora\(n\) es “el número natural más pequeño que no se puede describir inequívocamente en catorce palabras o menos”. Esta es una descripción completa e inequívoca de\(n\) en catorce palabras, contradiciendo el hecho de que\(n\) se suponía que no debía tener tal descripción. Por lo tanto, ¡todos los números naturales pueden describirse inequívocamente en catorce palabras o menos!
La paradoja de los nombres de los números. Considere la afirmación: cada número natural puede describirse sin ambigüedades usando no más de 50 caracteres (donde un carácter es a—z, 0—9 y un “espacio”). Por ejemplo, podemos describir 9 como “9” o “nueve” o “el cuadrado del segundo número primo”. Sólo hay 37 caracteres, por lo que podemos describir como mucho los\(37^{50}\) números, que es muy grande, pero no infinito. Entonces la afirmación es falsa. No obstante, aquí hay una “prueba” de que es cierto. \(S\)Sea el conjunto de números naturales que pueden describirse sin ambigüedades utilizando no más de 50 caracteres. En aras de la contradicción, supongamos que no es todo de\(\mathbb{N}\). Entonces hay un número menor\(t\in\mathbb{N}\setminus S\). Podemos describir\(t\) como: el número natural más pequeño no en\(S\). Así se\(t\) puede describir utilizando no más de 50 caracteres. Entonces\(t\in S\), una contradicción.
Euathlus y Protágoras. Euathlus quería convertirse en abogado pero no podía pagar a Protágoras. Protágoras accedió a enseñarle bajo la condición de que si Euathlus ganara su primer caso, pagaría a Protágoras, de lo contrario no. Euathlus terminó su curso de estudio y no hizo nada. Protágoras demandó por su cuota. Argumentó:
Si Euathlus pierde este caso, entonces debe pagar (por sentencia del tribunal).
Si Euathlus gana este caso, entonces debe pagar (por los términos del contrato).
Debe ganar o perder este caso.
Por lo tanto Euathlus debe pagarme.
Pero Euathlus había aprendido bien el arte de la retórica. Él respondió:
Si gano este caso, no tengo que pagar (por sentencia del tribunal).
Si pierdo este caso, no tengo que pagar (por el contrato).
Debo ganar o perder el caso.
Por lo tanto, no tengo que pagar a Protágoras.