Una proporción es una afirmación de que dos ratios son iguales o equivalentes.

Aquí hay algunas proporciones:

Proporción	Forma de Fracción	Lee así...
$1:2 = 2:4$	$\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$	1 es a 2 como 2 es a 4
$1:4 = 25:100$	$\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100}$	1 es a 4 como 25 es a 100
$18:9 = 10:5$	$\dfrac{18}{9} = \dfrac{10}{5}$	18 es a 9 como 10 es a 5
$15:20 = 3:4$	$\dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}$	15 es a 20 como 3 es a 4

Las proporciones se pueden utilizar para resolver muchos problemas matemáticos. Pronto aprenderás a usar proporciones para resolver problemas que involucren por ciento. Las técnicas que practicas en las próximas páginas son importantes para ese trabajo de resolución de problemas.

Los problemas suelen dar información incompleta; es decir, falta uno de los términos. Para resolver este tipo de problemas, primero encuentra la comparación o proporción que se da. Puede ser:

Una cantidad de una cosa que se mezcla con una mayor cantidad de otra cosa
Una escala de medición dada en un mapa como 1 cm en el mapa representa 100 km de distancia en tierra
Costo de un cierto número de artículos
Tiempo para recorrer una cierta distancia

El problema dará entonces un término de la segunda proporción en la proporción. Por ejemplo, si te han dicho que 3 cabezas de lechuga cuestan $1.49, es posible que te pidan que encuentres el costo de 7 cabezas de lechuga.

El término que falta es el segundo costo. La proporción será:

$\dfrac{\text{number of heads of lettuce}}{\text{cost}} = \dfrac{\text{number of heads of lettuce}}{\text{cost}}$

$\dfrac{3}{$1.49} = \dfrac{7}{?}$

$3: $1.49 = 7: ?$

Lo más importante a recordar es mantener el orden de comparación igual en la primera y segunda proporciones en una proporción. Si la primera relación compara tiempo a distancia entonces la segunda relación en la proporción debe comparar tiempo a distancia.

$\dfrac{time}{distance} = \dfrac{time}{distance}$

O podría ser:

$\dfrac{distance}{time} = \dfrac{distance}{time}$

Una vez que hayas decidido el orden de comparación es un asunto sencillo escribir la proporción usando los números dados en el problema. Usa una letra para representar el término que falta.

¿Cómo encontrarías un término faltante?

Puedes usar tus habilidades con proporciones equivalentes (encontrando términos más altos y más bajos)
Puedes usar tus habilidades de fracción de multiplicar y luego dividir para encontrar el término faltante

Uso de relaciones equivalentes para resolver proporciones

Para resolver un problema de proporción usando proporciones equivalentes

Paso 1
Decidir el orden de comparación y escribir una relación que describa la información dada en el problema. Escribe una proporción usando palabras de los ítems que se están comparando en forma de fracción.
Paso 2
Escribe dos ratios más con los números que coincidan con las palabras en la primera proporción. Al término faltante (número) se le puede dar una letra (ex. N).
Paso 3
Mentalmente ponga a un lado la relación con las palabras (la primera proporción).
Paso 4
Multiplica o divide la proporción completa para encontrar el término que falta.
Ejemplo A

Usa 1 cucharadita de polvo de hornear por cada 2 tazas de harina. Si una receta usa 6 tazas de harina, ¿cuánto polvo de hornear se necesita? El término que falta son las cucharaditas de polvo de hornear para 6 tazas de harina. Llamar a este término N.

Paso 1
La relación es$\dfrac{\text{baking powder}}{\text{flour}}$

Paso 2

$\dfrac{\text{baking powder}}{\text{flour}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{N}{6}$

Paso 3

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{N}{6}$

Paso 4

$\dfrac{1}{2} \times \left( \dfrac{3}{3} \right) = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}$, entonces$\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$, tan$N = 3$

Use 3 cucharaditas de polvo de hornear para 6 tazas de harina.

Ejemplo B

Los informes sugieren que 3 de cada 10 personas en algún momento faltarán al trabajo debido al dolor de espalda. Si una empresa tiene 1,000 empleados, cuántos se puede esperar que falten al trabajo por dolor de espalda.El término que falta es el número de personas de cada 1000 que faltarán al trabajo por dolor de espalda. Llamar a este término P.

Paso 1
La relación es$\dfrac{\text{people who will miss work}}{\text{all people at work}}$
Paso 2
$\dfrac{\text{people who will miss work}}{\text{all the people at work}} = \dfrac{3}{10} = \dfrac{P}{1000}$
Paso 3
$\dfrac{3}{10} = \dfrac{P}{1000}$
Paso 4
$\dfrac{3}{10} \times \left( \dfrac{100}{100} \right) = \dfrac{3 \times 100}{10 \times 100} = \dfrac{300}{1000}$, entonces$\dfrac{3}{10} = \dfrac{300}{1000}$, tan$P = 300$

300 personas de cada 1,000 personas pueden faltar al trabajo debido al dolor de espalda.

Ejercicio 1

Escriba la proporción de las palabras para describir la información dada.

Tres tazas de harina a una cucharadita de levadura.
Respuesta:$\dfrac{flour}{yeast}$
Cuatro partes de aceite, diez partes de gasolina
Un centímetro representa 100 kilómetros
100 gramos por $6.89
3 huevos por cada taza de leche
5 hombres y 7 mujeres

Respuestas para Ejercicio 1

B.$\dfrac{\text{oil}}{\text{gasoline}}$

C.$\dfrac{\text{centimetres}}{\text{kilometres}}$

D.$\dfrac{\text{grams}}{\text{dollars}}$

E.$\dfrac{\text{eggs}}{\text{milk}}$

F.$\dfrac{\text{men}}{\text{women}}$

Ejercicio 2

Usa proporciones equivalentes para encontrar las respuestas.

A. Una taza de azúcar y cuatro tazas de agua serán una gran comida para colibríes. ¿Cuánto azúcar necesitas para 8 tazas de agua?

$\dfrac{\text{sugar}}{\text{water}} \rightarrow \dfrac{1}{4} = \dfrac{N}{8} \rightarrow \dfrac{1}{4} \times \left( \dfrac{2}{2} \right) = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8} \rightarrow N=2$

B. Los reportes muestran que por cada 100 vehículos revisados por la policía, 20 vehículos no cumplen con el estándar de seguridad. Si solo se revisan 50 vehículos, ¿cuántos no cumplirían con el estándar de seguridad?

C. Cuatro litros de pintura cubren 24 metros cuadrados de pared. ¿Cuánta pintura se necesita para cubrir 72 metros cuadrados?

D. La leche en polvo utiliza 1 parte de leche en polvo por 3 partes de agua. ¿Cuánto polvo se debe agregar a 9 partes de agua?

Respuestas para Ejercicio 2

B. 10 autos no cumplirían con las normas de seguridad

C. 12 litros de pintura

D. 3 partes de leche en polvo

Ejercicio 3

Use proporciones equivalentes para encontrar el término faltante en estas proporciones.

$3:5 = Y:15$
$1:2 = P:8$
$5:7 = 10:N$
$2:3 = 8:W$
$4:7 = 16:A$
$1:3 = 2:N$
La motocicleta KX 250 utiliza una mezcla de una parte de aceite a 30 partes de gasolina. ¿Cuánto aceite se debe agregar a 3,000 mL de gasolina?
$Un joven agachado frente a una motocicleta, llenándola con una mezcla de aceite y gasolina.$

Respuestas para Ejercicio 3

A.$Y=9$

B.$P=4$

C.$N=14$

D.$W=12$

E.$A=28$

F.$N=6$

G.$N = 100 \rm mL$

Uso de la multiplicación cruzada para resolver una proporción

Revisar productos cruzados:

Multiplique el numerador de cada fracción con el denominador de la otra fracción.

$\dfrac{2}{5} \nearrow \dfrac{4}{10}$

$\dfrac{2}{5} \searrow \dfrac{4}{10}$

$2 \times 10 = 5 \times 4$

$20 = 20$

$2 \times 10 = 20$y$5 \times 4 = 20$

Por lo tanto:$\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}$

Recuerda que cuando los productos cruzados son iguales, las fracciones son equivalentes.

Al encontrar los términos faltantes en una proporción, se puede utilizar la multiplicación cruzada. Sigue los ejemplos cuidadosamente.

Ejemplo A

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{N}{45}$

Multiplicar cruzado:

$2 \times 45 = 3 \times N$

$90 = 3N$

La idea es tener el término desconocido N por sí mismo en un lado del signo igual. Para ello, recuerda estas cosas que ya conoces:

División y multiplicación son operaciones opuestas
Lo que sea que se haga a un lado de una ecuación o proporción debe hacerse al otro lado para mantener la ecuación igual

3 N significa N se multiplica por 3. Para deshacerte del 3, divídelo por 3.

También debes dividir el otro lado de la ecuación por 3.
$\dfrac{90}{3} = \dfrac{3N}{3}$

Resuelve reduciendo el$\dfrac{3}{3}$ y dividiendo 90 por 3.

$\dfrac{90}{3} = \dfrac{3N}{3}$

$\dfrac{90}{3} = \dfrac{1N}{1}$

$\dfrac{90}{3} = N$

$90 \div 3 = N$

$30 = N$

Reducir la fracción$\dfrac{3N}{3}$ a$dfrac{1N}{1}$ a también$N$ se llama cancelación. En matemáticas, una fracción puede ser cancelada cuando el numerador y el denominador son el mismo número.

p. ej.$\dfrac{6P}{6} = \dfrac{1P}{1} = P$

Ejemplo B

$\dfrac{6}{7} = \dfrac{24}{N}$

Multiplicar cruzado:

$6 \times N = 7 \times 24$

$6N = 168$
Divide ambos lados por 6. Los 6's con el N cancelarán (reducirán), y el N estará solo.

$\dfrac{6N}{6} = \dfrac{168}{6}$

$\dfrac{\cancel{6}N}{\cancel{6}} = \dfrac{168}{6}$

$N = 168 \div 6$

$N = 28$

$\dfrac{6}{7} = \dfrac{24}{28}$

Comprobación por multiplicación cruzada:

¿Es$6 \times 28 = 7 \times 24$?

$6 \times 28 = 168$

$7 \times 24 = 168$

el producto cruzado$168 = \text{the cross-product} 168$

$\text{Yes}-6:7 = 24:28$

Ejemplo B

$\dfrac{6}{7} = \dfrac{24}{N}$

Multiplicar cruzado:

$6 \times N = 7 \times 24$

$6N = 168$

Divide ambos lados por 6. Los 6's con el N cancelarán (reducirán), y el N estará solo.

$\dfrac{6N}{6} = \dfrac{168}{6}$

$\dfrac{\cancel{6}N}{\cancel{6}} = \dfrac{168}{6}$

$N = 168 \div 6$

$N = 28$

$\dfrac{6}{7} = \dfrac{24}{28}$

Comprobación por multiplicación cruzada:

¿Es$6 \times 28 = 7 \times 24$?

$6 \times 28 = 168$

$7 \times 24 = 168$

$\text{the cross-product} 168 = \text{the cross-product} 168$

$\text{Yes - }6:7 = 24:28$

Ejemplo C

$\dfrac{8}{10} = \dfrac{N}{80}$

Multiplicar cruzado:

$8 \times 80 = 10 \times N$

$640 = 10N$

Divide ambos lados por 10 para que N esté solo.

$\dfrac{640}{10} = \dfrac{10N}{10}$

$\dfrac{64\cancel{0}}{\cancel{10}} = \dfrac{\cancel{10}N}{\cancel{10}}$

$64 = N$

Para resolver un problema de proporción usando multiplicación cruzada

Paso 1
Escribe la primera relación usando la información proporcionada.
Paso 2
Escribe la proporción, usando una letra en lugar del término faltante. Asegúrate de que el orden de comparación sea el mismo tanto en la primera como en la segunda proporción en tu proporción.
Paso 3
Escribe la proporción en forma de fracción. (Intenta simplificar la relación antes de hacer todos los cálculos).
Paso 4
Multiplicar y establecer los productos cruzados iguales entre sí.
Paso 5
Divide ambos lados de la ecuación por el número con el término desconocido.
Paso 6
Verifica poniendo tu respuesta de nuevo en la proporción original y multiplicando de manera cruzada.
Ejercicio 4

Practicar el uso de multiplicación cruzada para encontrar el término faltante en estas proporciones.

A.$\dfrac{5}{8} = \dfrac{N}{32}$

$5 \times 32 = 8 \times N$

$160 = 8N$

$\dfrac{160}{8} = \dfrac{8N}{8}$

$160 \div 8 = N$

$20 = N$

B.$\dfrac{4}{N} = \dfrac{24}{30}$

C.$\dfrac{12}{4} = \dfrac{18}{x}$

D.$\dfrac{y}{6} = \dfrac{20}{12}$

E.$4:15 = 8:N$

F.$W:100 = 6:50$

Respuestas al Ejercicio 4

B.$N=5$

C.$x = 6$

D.$y = 10$

E.$N = 30$

F.$W = 12$

Los números en una proporción suelen ser fracciones comunes, decimales o números mixtos. Sigue exactamente los mismos pasos que has estado usando para resolver proporciones de números enteros. Los cálculos usarán tus habilidades con fracciones.

Ejemplo A

$2\dfrac{1}{4}:3 = N:7$

Reescribe la proporción:

$\dfrac{2 \frac{1}{4}}{3} = \dfrac{N}{7}$

Multiplicar cruzado:

$2\dfrac{1}{4} \times 7 = 3 \times N$

$\dfrac{9}{4} \times \dfrac{7}{1} = 3 \times N$

$\dfrac{63}{4} = 3N$

$\dfrac{63}{4} \div \dfrac{3}{1} = \dfrac{3 \times N}{3} \rightarrow \dfrac{63}{4} \times \dfrac{1}{3} = N$

$\dfrac{63}{12} = N \rightarrow 5\dfrac{3}{12} \rightarrow 5\dfrac{1}{4} = N$

Ejercicio 5

Practicar el uso de multiplicación cruzada para encontrar el término faltante en estas proporciones.

A.$65:5 = 13:A$

$\dfrac{6.5}{5} = \dfrac{13}{A}$

$6.5A = 65$

$A = 65 \div 6.5$

$A=10$

B.$3\dfrac{1}{2}:2 = N:8$

C.$9:6 = 4\dfrac{1}{2}:N$

D.$7.5:B = 10:20$

E.$3.75:5 = 9x$

F.$4\dfrac{1}{8}:A = 3:6$

Responder

B.$N = 14$

C.$N = 3$

D.$B = 15$

E.$x = 12$

F.$A = 8\dfrac{1}{4}$ o$8.25$

Ejercicio 6

Joanne puede caminar 18 km en 3 horas. ¿Hasta dónde puede caminar, al mismo ritmo en 5½ horas?
Los impuestos sobre el inmueble valorado en 300,000 dólares están valorados en $5,000. A la misma tasa impositiva, ¿cuáles serían los impuestos sobre el lote más pequeño de la calle que está valorado en
$240,000?
Una hoja de ruta B.C. tiene una escala de 0.5 centímetros igual a 10 kilómetros. Complete el gráfico calculando las distancias reales de conducción en kilómetros entre algunos lugares B.C.Las proporciones serán$\dfrac{0.5}{10} = \dfrac{\text{cm given in chart}}{\text{actual distance in km}}$

Lugares en B.C.	Número de cm entre lugares en el mapa	Distancia real en kilómetros
Kelowna y Vernon	2.5 cm
Burns Lake y Vanderhoof	5.5 cm
TaTa Creek y Skookumchuk	0.75 cm
Kitimat y Terraza	3.3 cm

Las indicaciones sobre el fertilizante del césped dicen que se esparcen 1.7 kg sobre 100 m ² de césped.
1. ¿Cuánto fertilizante se necesita para un césped de 130 m ²?
2. ¿Cuánto fertilizante para un césped de 75 m ²?

Responder

A. 33km

B. $4,000

Lugares en B.C.	Número de cm entre lugares en el mapa	Distancia real en kilómetros
Kelowna y Vernon	2.5 cm	50 km
Burns Lake y Vanderhoof	5.5 cm	110 km
TaTa Creek y Skookumchuk	0.75 cm	15 km
Kitimat y Terraza	3.3 cm	66 km

2.21 kg
1.275 kg

Tema C: Autoprueba

Marca/20 Objetivo 17/20

Resuelve estas proporciones.
(6 marcas)
1. $N:14 = 28:56$
2. $3:11 = N:22$
3. $50:45 = 10:N$
4. $4\dfrac{1}{5}:Y = 3:2$
(14 marcas)
1. Consigue un mapa de BC, un mapa de Canadá y un mapa de tu ciudad o pueblo.
2. Encuentre la escala en cada mapa (generalmente en la parte inferior) y anote la relación entre la distancia del mapa y la distancia real.
3. Con otro alumno o instructor, calcule las distancias reales entre lugares midiendo la distancia en el mapa y calculando la proporción de acuerdo a la escala dada. Haga al menos tres cálculos de distancia en cada mapa.
Pídele a tu instructor que marque su trabajo.

Respuestas al Tema C Autoexamen

1. $N=7$
2. $N=6$
3. $N=9$
4. $Y = 2\dfrac{4}{5}$o$2.8$
Consulte a su instructor.

Proporción	Forma de Fracción	Lee así...
\(1:2 = 2:4\)	\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\)	1 es a 2 como 2 es a 4
\(1:4 = 25:100\)	\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100}\)	1 es a 4 como 25 es a 100
\(18:9 = 10:5\)	\(\dfrac{18}{9} = \dfrac{10}{5}\)	18 es a 9 como 10 es a 5
\(15:20 = 3:4\)	\(\dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}\)	15 es a 20 como 3 es a 4

Uso de relaciones equivalentes para resolver proporciones

Ejemplo A

Ejercicio 2

Uso de la multiplicación cruzada para resolver una proporción

Ejemplo A

Ejemplo B

Para resolver un problema de proporción usando multiplicación cruzada

Ejercicio 4

Ejemplo A

Tema C: Autoprueba

Respuestas al Tema C Autoexamen