2.3: Modelado de Ingresos, Costos y Ganancias

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En la última sección nos fijamos en el modelo económico para la oferta y la demanda. Nos interesó particularmente el punto de equilibrio del mercado. En esta sección veremos el modelo de ingresos, costos y ganancias. Al igual que con la sección anterior comenzaremos con supuestos que hacen que tantas cosas como sea posible sean lineales.

Ingresos y revisión del precio de la demanda.

El modelo simple de ingresos es

\[ \text{revenue} = \text{quantity}*\text{price}\text{.} \nonumber \]

No obstante, en la sección anterior se trabajó con dos funciones de precio, el precio de oferta y el precio de demanda. Dado que solo podemos hacer una venta si el consumidor está dispuesto a comprar, normalmente usamos el precio de demanda en los ingresos de cómputos. Nuestro modelo es ahora

\[ \text{revenue} = \text{quantity}*\text{demand price(quantity)}\text{.} \nonumber \]

Si el precio de demanda es una función lineal, entonces los ingresos son una función cuadrática.

Anteriormente señalamos que una función de precio de demanda lineal tiene una pendiente negativa. Debemos señalar los dos casos limitantes. Si la pendiente de la curva de demanda es 0, los consumidores tienen un precio fijo que pagarán por la mayor parte del producto que esté disponible. En este caso la curva de demanda es una constante, por lo que la curva de ingresos será lineal. Esto se conoce como un mercado perfectamente elástico. El otro caso limitante es donde la demanda es de una cantidad fija sin importar cuál sea el precio. En este caso la curva de demanda es una línea vertical y no es una función, por lo que la curva de ingresos tampoco logra ser una función de la cantidad.

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Obviamente, no esperamos encontrar los casos limitantes en el mundo real. En los casos del mundo real la función de ingresos tiene un coeficiente negativo para el término cuadrático y es una parábola de cara a la baja.

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Ejemplo 2.2.1: Búsqueda de Ingresos a partir del Precio de Demanda Lineal.

Figura Presentación en$2.2.2.$ video de este ejemplo

Hemos determinado que la función de precio de demanda para widgets es

\[ \text{demand price}(q)=10-q/1000\text{,} \nonumber \]

si la cantidad está entre 2000 y 8000. Encuentre la función de ingresos y graficarla sobre la región donde se define.

Solución

Establecimos un gráfico en Excel con ingresos definidos como$\text{supply price} * \text{quantity}\text{.}$

$clipboard_e6910fe001034b4ab34ded22d69445d04.png$

Cuando graficamos observamos que las escalas son bastante diferentes por precio e ingresos. Por lo tanto, queremos utilizar ejes secundarios para capturar la escala tanto del precio como de los ingresos. También podemos poner diferentes etiquetas en los dos ejes verticales.

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Costo.

Una vez más comenzaremos con un modelo simplificado por costo.

Para nuestro modelo (simplificado) dividiremos los costos en costos fijos y costos variables.
Los costos fijos incluyen los costos de estar en el negocio. Podrían incluir tarifas de licencia, renta de una tienda o planta, y el costo de los muebles y equipos.
Los costos variables están vinculados a la cantidad que produce o vende. Podrían incluir materia prima para un fabricante o el costo de los bienes para alguien en ventas.
Para nuestro modelo simplificado asumimos que los costos variables son proporcionales a la cantidad. Esto hace que nuestra función de costo sea lineal.
Para nuestro modelo simplificado costos variables = costos unitarios*cantidad.
Así costos= costos fijos + costos unitarios*cantidad.

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Ejemplo 2.2.3: Encontrar Costo Lineal.

Podemos establecer una pequeña tienda de fabricación de artilugios por $6,000. Las materias primas para producir artilugios cuestan 14 dólares por unidad. Encuentre la función de costo para la producción de gizmo. Encuentra el costo de producir 2500 gizmos.

Solución

Los costos fijos son el$y$ valor de la$y$ -intercepción de la función de costo. El costo por unidad de material es la pendiente de la función. Tenemos

\[ \text{cost}=6000+14*\text{quantity}\text{.} \nonumber \]

Si sustituimos 2500 por la cantidad, nuestros costos son

\[ \text{cost}(2500)=6000+14*2500=41000\text{.} \nonumber \]

Beneficio.

Para la tercera pieza del modelo, nos fijamos en las ganancias. Tenemos la fórmula simple

\[ \text{profit} = \text{revenue} - \text{cost}\text{.} \nonumber \]

Para nuestros ejemplos simples donde el costo es lineal y los ingresos son cuadráticos, esperamos que la función de ganancia también sea cuadrática, y orientada hacia abajo. Obviamente nos interesarán los spots donde la función de ganancia o cruza el eje o alcanza un máximo.

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Figura Presentación en$2.2.4.$ video de los siguientes dos ejemplos

Ejemplo 2.2.3: Encontrar ganancias.

Estamos interesados en vender widgets. La función de precio de demanda es

\[ \text{demand price}=15-\frac{q}{1000}\text{.} \nonumber \]

Costará $10,000 mantener nuestra tienda abierta antes de considerar el precio del inventario. Nuestro costo variable es el costo de comprar los widgets a nuestro mayorista que nos los venderá por $8 la unidad. Encuentre una función para obtener ganancias en función de cuántas unidades vendemos. Grafica esa función para cantidades de 1000 a 10000.

Solución

Utilizando los métodos de los ejemplos anteriores, escribimos las funciones para ingresos y costos.

\ begin {align*}\ text {revenue}\ amp =\ text {quantity} *\ text {price}\\ amp =q* (15-\ frac {q} {1000})\\\ text {costos}\ amp =\ text {costos fijos} +\ text {costos variables} *\ text {cantidad}\\\ amp =10000+8*q\ text {.} \ end {align*}

Ahora encontramos el beneficio como la diferencia de ingresos y costo.

\ begin {reunir*}\ text {profit} = q* (15-\ frac {q} {1000}) - (10000+8q)\\ profit=\ frac {-q^2} {1000} +7q-10000\ text {.} \ end {reunir*}

Luego usamos Excel para hacer una tabla de valores y una gráfica.

$clipboard_e6ed0c443eba3f4436664f91aaf901024.png$

Punto de equilibrio.

El último ejemplo ilustra una realidad de manufactura y retail. Si un negocio tiene un costo fijo o gasto de inicio, tendrá una pérdida si no vende lo suficiente.

El punto en el que los ingresos equivalen a gastos (costo) se llama el punto de equilibrio.

Esto es importante en la elaboración de una propuesta de negocio, porque el banco querrá saber si el punto de equilibrio es una cantidad razonable antes de que preste algún dinero.

Ejemplo 2.2.6: Encuentra puntos de equilibrio.

Encuentra puntos de equilibrio para el ejemplo anterior. Explique qué significan esos puntos en términos prácticos.

Solución

Nos fijamos en el gráfico del ejemplo anterior.

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Podemos encontrar puntos de equilibrio usando Goal Seek y estableciendo ganancias en 0 mientras cambiamos la cantidad. En este caso, vemos que tenemos puntos de equilibrio cuando la cantidad es 2000 o 5000, ya que esos números ya estaban en nuestro gráfico.

El primer punto de equilibrio nos dice que necesitamos bajar nuestro precio a no más de 13.00 dólares para atraer suficientes clientes para poder obtener ganancias. El segundo punto de equilibrio dice que es que bajamos nuestro precio por debajo de los $10, no podremos atraer suficientes clientes para obtener ganancias.

Ejemplo 2.2.7: Repetir, Comenzando con Datos.

Figura Presentación en$2.2.8.$ video de este ejemplo

Tenemos los siguientes datos del mercado de artilugios, con cantidad y costos medidos en millones.

Cantidad	7.81	10.07	11.99	13.84	15.80
Precio de Demanda	$12.07	$9.05	$7.60	$6.64	$5.64
Costo	$60.05	$70.09	$79.98	$89.90	$99.83

Suponiendo que el precio y el costo están bien modelados por ecuaciones lineales, encuentre los puntos de equilibrio y explique qué significan con las unidades incluidas en la explicación.

Para encontrar el punto de equilibrio cuando se nos dan datos en lugar de una ecuación, generalmente seguimos este procedimiento: Encuentre las ecuaciones que mejor se ajusten para precio y costo. A partir de esas ecuaciones, producir fórmulas para ingresos y ganancias. Usa las fórmulas para encontrar los puntos de equilibrio usando álgebra o Excel.

Solución

Ponemos los datos en Excel y pedimos las mejores líneas de ajuste.

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Esto produce las funciones de costo y precio deseadas.

\ begin {align*}\ text {precio de demanda}\ amp =-0.7796 q+17.478\\\ texto {costo}\ amp = 5.00251 q+20.162\ text {.} \ end {align*}

Ingresamos estas funciones en nuevas columnas en la hoja de cálculo y luego calculamos ingresos proyectivos y ganancias. Luego usamos Goal Seek para encontrar lugares donde la ganancia proyectada sea 0. El primer punto de equilibrio nos dice que esperamos romper incluso si vendemos 1.83 millones de unidades. Podemos hacerlo fijando el precio en 16.05 dólares. El segundo punto de equilibrio se encuentra en 14.15 millones de unidades. Alcanzamos ese volumen de ventas bajando el precio a $6.45. Si bien habremos ganado cuota de mercado, ya no estaremos obteniendo ganancias.

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Nota técnica.

En situaciones de negocios a menudo tenemos casos en los que un cambio de cantidad por miles solo cambia los precios por centavos. Entonces nuestros coeficientes son cercanos a cero y Excel puede dar fórmulas redondeadas a cero. En esos casos necesitamos formatear la línea de tendencia para obtener más dígitos de precisión.

Ejemplo 2.2.9: Problemas con el uso de números grandes.

Figura Presentación en$2.2.10.$ video de este ejemplo

Queremos explorar un tema que surge nuestros coeficientes son muy pequeños. Tendremos que preocuparnos por el número de dígitos significativos en nuestros coeficientes.

Repetimos el ejemplo anterior, pero con cantidad y costo medidos directamente, más que en millones. Deberíamos obtener las mismas respuestas, ya que estamos usando los mismos datos.

Cantidad	7,810,000	10,070,000	11,990,000	13.840.000	15,800,000
Precio de Demanda	$12.07	$9.05	$7.60	$6.64	$5.64
Costo	$60,050,000	$70,090,000	$79,980,000	$89,900,000	99,830,000

Nos enfrentamos a las mismas tareas. Suponiendo que el precio y el costo están bien modelados por ecuaciones lineales, encuentre los puntos de equilibrio y explique qué significan con las unidades incluidas en la explicación.

Solución

Ponemos los datos en Excel y pedimos las mejores líneas de ajuste.

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Como era de esperar, un coeficiente de cada ecuación ha sido desplazado por un factor de 1,000,000.

\ begin {align*}\ text {precio de demanda}\ amp =-8*10^ {-7} q+17.478\\\ texto {costo}\ amp =5.0251 q+2*10^ {7}\ text {.} \ end {align*}

Estas ecuaciones tienen sólo un dígito de precisión. En general eso no será lo suficientemente preciso.

Ingresamos estas funciones en nuevas columnas en la hoja de cálculo y luego calculamos ingresos proyectivos y ganancias. Luego usamos Goal Seek para encontrar lugares donde la ganancia proyectada sea 0. El primer punto de equilibrio pasa de 1.83 millones a precio de 16.05 dólares a 1.82 millones a un precio de 1602 dólares. El segundo punto de equilibrio va de 14.15 millones de unidades a un precio a $6.45 a 13.75 millones a un precio de $6.48.

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La solución es hacer clic derecho (Comando clic en un mac) en la etiqueta y seleccionar “Formatear etiqueta de línea de tendencia”. Después cambia de categoría de general a número, y elige 10 decimales. Esto nos da las ecuaciones:

\ begin {align*}\ text {precio de demanda}\ amp =-0.0000007796 q + 17.4782059302\\ texto {costo}\ amp = 5.02506 q+ 20161700\ text {.} \ end {align*}

$clipboard_e97e1abbd85c8e5de52a01890a63c4222.png$

Luego pasamos por el mismo proceso para recuperar nuestras respuestas originales.

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Ejercicios: Modelado de Ingresos, Costos y Ganancias

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Para Ejercicio$2.2.1–2.2.8$, dadas las ecuaciones de la función de costo y precio de demanda:

Identificar los costos fijos y variables.
Encuentra las funciones de ingresos y ganancias.
Evalúe el costo, el precio de demanda, los ingresos y las ganancias en$q_0\text{.}$
Encuentra todos los puntos de equilibrio.
Grafique la función de ganancia sobre un dominio que incluya ambos puntos de equilibrio. Agregue un cuadro de texto y una etiqueta para identificar el primer punto de equilibrio.

Ejercicio 1:

Dado$demand\ price=-2 quantity+20$ y$cost=3 quantity+10\text{,}$ con$q_0=6\text{.}$

Responder

Identificar los costos fijos y variables.
El costo fijo es de $10 (la parte constante/fija de la función de costo), y el costo variable es de $3 por artículo.
Encuentre las funciones de ingresos y ganancias
\ begin {align*}\ text {Ingresos}\ amp=\ texto {precio de demanda} *\ texto {cantidad}\\\ amp= (-2 q+20) *q=-2 q^2 +20 q\ end {align*}

\ begin {align*}\ text {Profit} =\ text {revenue} -\ text {cost}\ amp=-2 q^2 +20q- (3q+10)\\\ amp=-2 q^2+17q-10\ text {.} \ end {align*}