Acerca de este libro

Y como se hace esto, así se hacen todos los problemas similares.

Paolo dell'Abbaco (1282—1374)

Tractato d'aritmetica

Es mejor resolver un problema de cinco maneras diferentes que resolver cinco problemas de una manera.

Jorge Pólya (1887—1985)

Si sigues martillando ante un problema, parece que se cansa, se acuesta y te deja atraparlo.

Señor Guillermo Lawrence Bragg (1890—1971) Premio Nobel de Física 1915

Joven, en matemáticas no entiendes las cosas. Simplemente te acostumbras a ellos.

John von Neumann (1903—1957)

Esta no es una colección aleatoria de buenos problemas. Cada ítem o problema, y cada grupo de problemas, se incluye por dos razones:

• constituyen buenas matemáticas, matemáticas que reembolsan el esfuerzo de involucrarse con ella por primera vez, o volver a visitarla (si ya es familiar);

y

• encarnan en forma destilada el espíritu por excelencia de las matemáticas elementales (inicialmente preuniversitarias) en un estilo que puede ser disfrutado activamente por estudiantes y profesores comprometidos en escuelas y colegios, y por el lector general interesado.

Algunos ítems ejemplifican métodos generales básicos, que pueden ser utilizados una y otra vez (como lo insinúa la cita de dell'Abbaco). Algunos artículos requieren que tomemos diferentes puntos de vista de ostensiblemente el mismo material (como lo ilustra la cita contrastante de Pólya). Muchos artículos al principio parecerán esquivos; pero la persistencia a veces puede llevar a una recompensa inesperada (en el espíritu de la cita de Bragg). En otros casos, se puede obtener una respuesta correcta —pero dejar al solucionador menos que plenamente satisfecho (al menos en el corto plazo, como lo ilustra la cita de von Neumann). Y algunos artículos son de poca importancia en sí mismos —salvo que obligan al solucionador a dedicarse a una especie de pensamiento que es matemáticamente importante.

Es probable que casi todos los elementos incluidos impliquen —en cierta medida— esa frustración que caracteriza a toda solución fructífera de problemas (representada por la cita de Bragg, y la cita de William Golding a continuación), donde, si tenemos suerte, una desconcertante niebla inicial de incomprensión es a veces mágicamente por el proceso de luchar inteligentemente para darle sentido a las cosas. Y como no siempre se puede esperar tener éxito, seguramente habrá ocasiones en las que la niebla no se levante. Uno puede entonces no tener más remedio que consultar las soluciones (ya sea porque alguna idea o técnica esencial aún no es parte de la acción en el comercio de uno, o porque se ha pasado por alto alguna conexión simple). El único consejo que podemos dar aquí es: cuanto más tiempo puedas demorar en mirar las soluciones, mejor. Pero estas soluciones se han incluido tanto para ayudarte a mejorar tus propios esfuerzos, como para mostrar el camino cuando realmente te quedas atascado.

La “esencia de las matemáticas”, que hemos tratado de plasmar en estos problemas es en su mayoría implícita, y así a menudo se deja para que el lector la extraiga. Ocasionalmente ha parecido apropiado subrayar algún aspecto de un problema en particular o su solución. Algunos comentarios de este tipo se han incluido en el texto que se entremezcla entre los problemas. Pero en muchos casos, el comentario u observación que hay que hacer solo se puede apreciar después de que los lectores hayan luchado por resolver un problema por sí mismos. En tales casos, posicionar la observación en el texto principal podría correr el riesgo de derramar el frijol prematuramente. De ahí que muchas observaciones importantes queden enterradas en las soluciones, o en las Notas que siguen a muchas de las soluciones. Aún más a menudo, hemos optado por no hacer ningún comentario explícito, sino que simplemente hemos tratado de moldear y agrupar los problemas de tal manera que el mensaje pretendido sea transmitido silenciosamente por los propios problemas.

En términos generales, se pueden distinguir tres tipos de problemas: estos pueden etiquetarse como Núcleo, como Gemas, o como enfocarse en Cognición más general.

1. Los problemas o ideas centrales encapsulan conceptos matemáticos importantes y conocimientos matemáticos de una manera relativamente mundana, pero de alguna manera canónica. Estos a veces se han incluido aquí para enfatizar algún aspecto importante, que los tratamientos contemporáneos pueden haber olvidado.

2. Las gemas constituyen algún tipo de paradigma que todos los aspirantes a estudiantes de matemáticas deben encontrar en algún momento. Es probable que estos se encuentren como completamente frescos, o sorprendentes, solo una vez en la vida. Pero luego continúan sirviendo como balizas, o trigonazos, que ayudan a delinear el paisaje matemático.

3. El tercer tipo de problema juega un papel auxiliar, es decir, los problemas que enfatizan la importancia de las habilidades cognitivas básicas para hacer matemáticas (por ejemplo: cálculo mental instantáneo, visualización de conceptos abstractos, memoria a corto plazo, capacidad de atención, etc.)

Los ítems se agrupan en capítulos, cada uno con un tema reconocible. Los capítulos posteriores tienden a tener un mayor nivel de demanda técnica que los capítulos anteriores; y la secuencia es ampliamente consistente con un nivel creciente de sofisticación. Sin embargo, no se trata de un texto organizado didácticamente. Cada problema se enumera donde encaja más naturalmente, aunque implique una idea que no se introduce formalmente hasta algo más tarde. Las soluciones detalladas, junto con los comentarios que estarían fuera de lugar en el texto principal, se agrupan al final de cada capítulo.

Los primeros capítulos tienden a centrarse en material más elemental, en parte para enfatizar la estructura jerárquica de las matemáticas, en parte como un recordatorio de que la esencia de las matemáticas se puede experimentar en todos los niveles, y en parte para ofrecer una gentil introducción a los lectores que pueden apreciar algo ligeramente más estructurados antes de abordar partes seleccionadas de capítulos posteriores. De ahí que estos primeros capítulos incluyan más comentarios discursivos que capítulos posteriores. Los lectores que opten por saltarse estas pendientes de guardería en una primera lectura tal vez deseen volver a ellas más tarde, y considerar lo que este material relativamente elemental nos dice sobre la esencia de las matemáticas.

La colección se ofrece como complemento al plan de estudios escolar estándar. Algunos ítems podrían (y quizás deberían) incorporarse a cualquier plan de estudios oficial. Pero la colección en su conjunto está diseñada principalmente para aquellos que tienen buena razón, y el tiempo y la inclinación, para ir más allá de las limitaciones institucionales habituales, y comenzar a explorar el panorama más amplio de las matemáticas elementales con el fin de experimentar las matemáticas reales, “de rango libre”, a diferencia de reconstituidos artificialmente, o productos procesados.

¡Me ha llegado en una ceniza! La inteligencia de uno puede marchar sobre y sobre un problema, pero la solución no llega gradualmente a la vista. Un momento no lo es. El siguiente y está ahí.

Guillermo Golding (1911—1993), Ritos de paso