5.9: Ejercicio-2- Exploración

1. Esta pregunta explora cómo pujar deshonestamente puede terminar lastimando al tramposo. Cuatro socios están dividiendo una propiedad de un millón de dólares utilizando el método de división única. Usando un mapa, Danny divide la propiedad en cuatro parcelas\(s_1\),\(s_2\),\(s_3\), y\(s_4\). La siguiente tabla muestra el valor de las cuatro parcelas a los ojos de cada socio (en miles de dólares):

\ (\ begin {array} {|c|l|l|l|l|}
\ hline &\ mathrm {s} _ {1} &\ mathrm {s} _ {2} &\ mathrm {s} _ {3} &\ mathrm {s} _ {4}\\ hline
\ textbf {Danny} &\ $250 &\ $250 &\ $250 &\ $250 & $250 & $250 & $250\
\\ hline\ textbf {Brianna} &\ $460 &\ $180 &\ $200 &\ $160\\
\ hline\ textbf {Carlos} &\ $260 &\ $310 &\ $220 &\ $210\
\ hline\\ textbf {codicioso} &\ $330 &\ $300 &\ $270 &\ $100\
\ hline
\ end {array}\)

1. Asumiendo que todos los jugadores pujan honestamente, ¿qué pieza recibirá Greedy?
2. Supongamos que Brianna y Carlos ofertan honestamente, pero Greedy decide pujar solo por s1, calculando que hacerlo le conseguirá s1. En este caso hay un enfrentamiento entre Brianna y Greedy. Ya que Danny y Carlos no forman parte del enfrentamiento, pueden recibir sus acciones justas. Supongamos que Danny obtiene s3 y Carlos obtiene s2, y las piezas restantes se vuelven a armar y Brianna y Greedy las dividirán usando el método básico de selección de divisores. Si Greedy es seleccionado para ser el divisor, ¿cuál será el valor de la pieza que recibe?
3. Extensión: Crea un escenario de ofertas selladas que demuestre que a veces un jugador puede hacer trampa con éxito y aumentar el valor que recibe al aumentar su oferta por un artículo, pero si lo aumenta demasiado, podría terminar recibiendo menos de lo que les corresponde.

2. Explica por qué el método de selección de divisores con dos jugadores siempre resultará en una división sin envidia.

3. ¿El método del divisor solitario siempre resultará en una división libre de envidia? Si no, ¿alguna vez resultará en una división libre de envidia?

4. El método Selfridge-Conway es un método de división libre de envidia para tres jugadores. Investigar cómo funciona el método y preparar una demostración para la clase.

5. Supongamos que dos personas están dividiendo una pizza de 12 dólares que es mitad pepperoni, mitad queso. A Steve le gustan ambos por igual, pero a María le gusta el queso el doble que el pepperoni. Como divisor, Steve divide la pizza para que una pieza sea 1/3 de queso y 2/3 de pepperoni, y la segunda pieza sea 1/3 de pepperoni y 2/3 de queso.
   1. Describir el valor de cada pieza a cada jugador
   2. Dado que el valor para cada jugador no es el mismo, esta división no es equitativa. Encontrar una división que sea equitativa. ¿Sigue sin envidia?
   3. La división original no es Pareto óptima. Para mostrar esto, encuentra otra división que aumentaría el valor a un jugador sin disminuir el valor al otro jugador. ¿Esta división sigue sin envidia?
   4. ¿Sería posible con este conjunto de preferencias encontrar una división que sea a la vez equitativa y Pareto óptima? Si es así, encuéntralo. Si no, explica por qué.

6. ¿Es óptimo el método de Pujas Sellado de Pareto cuando se usa con dos jugadores? Si no, ¿se puede ajustar el método para que sea así?

7. ¿El método de ofertas selladas no contiene envidia cuando se usa con dos jugadores? Si no, ¿se puede ajustar el método para que sea así?

8. ¿Es equitativo el método de Pujas Selladas cuando se usa con dos jugadores? Si no, ¿se puede ajustar el método para que sea así?

9. Todos los problemas que hemos visto en este capítulo han asumido que todos los participantes reciben una parte igual de lo que se está dividiendo. A menudo, esto no ocurre en la vida real. Supongamos que Fred y María van a dividir un pastel usando el método divisor-selector. No obstante, Fred sólo tiene derecho al 30% del pastel, y María tiene derecho al 70% del pastel (tal vez fue un pastel de $10, y Fred puso 3 dólares y María puso 7 dólares). Adapta el método divisor-elige para que puedan dividir el pastel de manera justa.

Supongamos (como lo hemos hecho a lo largo de este capítulo) que diferentes partes del pastel pueden tener valores diferentes a Fred y María, y que no comunican sus preferencias/valores entre sí. Tu objetivo es idear un método de división justa, es decir, que aunque los participantes pueden no recibir acciones iguales, se les debe garantizar su parte justa. Tu método necesita ser diseñado para que a cada persona siempre se le garantice una participación que valga por lo menos tanto como a la que tiene derecho.

Las últimas preguntas se basarán en el método de Ganador Ajustado, descrito aquí:

Para la división discreta entre dos jugadores, existe un método llamado Ganador Ajustado que produce un resultado que siempre es equitativo, libre de envidia y Pareto óptimo. Sin embargo, requiere que los artículos puedan dividirse o compartirse. El método funciona así:

1) Cada jugador obtiene 100 puntos que asigna a los ítems a dividir en función de su valor relativo.

2) En la asignación inicial, cada ítem se entrega a la parte que le asignó más puntos. Si hubiera algún artículo con ambas partes asignadas el mismo número de puntos, irían a la persona con el menor número de puntos hasta el momento.

3) Si los valores de puntos asignados no son iguales, entonces comenzar a transferir elementos de la persona con más puntos a la persona con menos puntos. Comience con los ítems que tengan la relación de puntos más pequeña, calculados como (mayor valoración/menor valoración).

4) Si la transferencia de un artículo completo movería demasiados puntos, solo transfiera una parte del artículo.

Ejemplo: Una pareja está intentando resolver un divorcio contencioso [1]. Asigna sus 100 puntos a los temas en disputa:

\ (\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Mike} &\ textbf {Carol}\
\\ hline\ textbf {Custodia de los hijos} & 25 & 65
\\ hline\ textbf {Pensión alimenticia} & 60 & 25
\\ hline\ textbf {Casa} & 15 & 10\
\ hline
\ end {array}\)

En la asignación inicial, Mike se sale con la suya en la pensión alimenticia y la casa, y Carol obtiene la custodia de los niños. En la asignación inicial, Mike tiene 75 puntos y Carol tiene 65 puntos. Para decidir qué transferir, calculamos las relaciones de puntos.

\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Mike} &\ textbf {Carol} &\ textbf {Relación de puntos}
\\\ hline\ textbf {Custodia de niños} & 25 & 65 y 65/25=2.6
\\ hline\ textbf {Pensión alimenticia} & 60 & 60/25=2.4\\
\ hline\ textbf {Casa} & 15 & 10 & 15/10=1.5\\
\ hline
\ end {array}\)

Dado que la casa tiene la relación de puntos más pequeña, la casa será el artículo con el que trabajemos primero. Ya que trasladar toda la casa le daría demasiados puntos a Carol, en cambio necesitamos transferir alguna fracción,\(p\), de la casa a que Carol y Mike terminarán con los mismos valores puntuales. Si Carol recibe una fracción\(p\) de la casa, entonces Mike se dará por vencido\((1-p)\) de la casa. El valor que Carol recibirá es\(10p\): la fracción\(p\) de los 10 puntos en los que Carol valora la casa. El valor que Mike obtendrá es\(15(1-p)\). Establecimos sus totales de puntos iguales a resolver para\(p\):

\(\begin{array} {lll} 65+10 p & = & 60+15(1-p) \\ 65+10 p & = & 60+15-15 p \\ 25 p & = & 10 \\ \end{array}\)

Dónde\(p=10 / 25=0.4=40 \%\). Entonces Carol debería recibir el 40% de la casa.

10. Aplicar el método Ganador Ajustado para resolver un divorcio donde las parejas hayan asignado los valores de puntos a continuación

\ (\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Sandra} &\ textbf {Kenny}\
\\ hline\ textbf {Inicio} & 20 & 30\
\ hline\ textbf {Casa de verano} & 15 & 10\
\ hline\ textbf {Cuenta de retiro} & 50 & 40\\
\ hline\ textbf {Inversiones} & 10 & 10\\
\ hline\ textbf {Otros} & 5 & 10\
\ hline
\ end {array}\)

11. En 1974, Estados Unidos y Panamá negociaron sobre la participación e intereses de Estados Unidos en el Canal de Panamá. Supongamos que estos fueron los números y valores de puntos asignados por cada lado [2]. Aplica el método de Ganador Ajustado.

\ (\ begin {array} {|l|l|l|}
\ hline &\ textbf {Estados Unidos} &\ textbf {Panamá}\\
\ hline\ textbf {Derechos de defensa de Estados Unidos} & 22 & 9
\\ hline\ textbf {Derechos de uso} & 22 & 15
\\ hline\ textbf {Tierra y agua} & 15\\
\ hline\ textbf {Derechos de expansión} & 14 & 3\
\ hline\ textbf {Duración} & 11 & 15\
\ hline\ textbf {Rutas de expansión} & 6 & 5\
\ hline\ textbf {Jurisdicción} & 2 & 7\
\ hline\ textbf {US derechos militares} & 2 & 7\\
\ hline\ textbf {Papel de defensa de Panamá} & 2 & 13\
\ hline
\ end {array}\)

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[1] De la negociación al arreglo en divorcio, 1987

[2] Tomado de El arte y la ciencia de la negociación, 1982