9.9: Resolviendo por tiempo

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A menudo nos interesa saber cuánto tiempo llevará acumular dinero o cuánto tiempo necesitaríamos extender un préstamo para reducir los pagos a un nivel razonable.

Nota: Esta sección asume que has cubierto la resolución de ecuaciones exponenciales usando logaritmos, ya sea en clases anteriores o en el capítulo de modelos de crecimiento.

Ejemplo 15

Si inviertes 2000 dólares al 6% compuesto mensualmente, ¿cuánto tiempo tardará la cuenta en duplicar su valor?

Solución

Este es un problema de interés compuesto, ya que estamos depositando dinero una vez y permitiendo que crezca. En este problema,

$\begin{array}{ll} P_0 = \$2000 & \text{the initial deposit} \\ r = 0.06 & 6\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{12 months in 1 year} \end{array}$

Entonces nuestra ecuación general es$P_{N}=2000\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{N \times 12}$. También sabemos que queremos que nuestra cantidad final sea el doble de lo$\$ 2000,$ cual es$\$ 4000,$ así que estamos buscando para$N$ que$P_{N}=4000 .$ Para resolver esto, establecemos nuestra ecuación para$P_{N}$ igual a 4000.

$\begin{array}{ll} 4000=2000\left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{N \times 12} & \text{Divide both sides by 2000} \\ 2=(1.005)^{12 N} & \text{To solve for the exponent, take the log of both sides} \\ \log (2)=\log \left((1.005)^{12 N}\right) & \text{Use the exponent property of logs on the right side} \\ \log (2)=12 N \log (1.005) & \text{Now we can divide both sides by } 12\log{1.005} \\ \frac{\log (2)}{12 \log (1.005)}=N & \text{Approximating this to a decimal} \\ N=11.581 & \end{array}$

Tomará alrededor de 11.581 años para que la cuenta duplique su valor. Tenga en cuenta que su respuesta puede salir ligeramente diferente si ha evaluado los registros a decimales y redondeado durante sus cálculos, pero su respuesta debe ser cercana. Por ejemplo, si redondeaste log (2) a 0.301 y log (1.005) a 0.00217, entonces tu respuesta final habría sido de aproximadamente 11.577 años.

Ejemplo 16

Si inviertes $100 cada mes en una cuenta ganando 3% compuesto mensualmente, ¿cuánto tiempo tardará la cuenta en crecer a $10,000?

Solución

Este es un problema de anualidad de ahorro ya que estamos haciendo depósitos regulares en la cuenta.

$\begin{array}{ll} d = \$1000 & \text{the monthly deposit} \\ r = 0.03 & 3\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since we’re doing monthly deposits, we’ll compound monthly} \end{array}$

No sabemos$N,$ pero$P_{N}$ queremos ser$\$ 10,000$

Poniendo esto en la ecuación:

$\begin{array}{ll} 10,000=\frac{100\left(\left(1+\frac{0.03}{12}\right)^{N(12)}-1\right)}{\left(\frac{0.03}{12}\right)} & \text{ Simplifying the fractions a bit} \\ 10,000=\frac{100\left((1.0025)^{12 N}-1\right)}{0.0025} & \end{array}$

Queremos aislar el término exponencial$1.0025^{12 N}$, así multiplicar ambos lados por 0.0025

$\begin{array}{ll} 25=100\left((1.0025)^{12 N}-1\right) & \text{Divide both sides by 100} \\ 0.25=(1.0025)^{12 N}-1 & \text{Add 1 to both sides} \\ 1.25=(1.0025)^{12 N} & \text{Now take the log of both sides} \\ \log (1.25)=\log \left((1.0025)^{12 \mathrm{N}}\right) & \text{Use the exponent property of logs} \\ \log (1.25)=12 N \log (1.0025) & \text{Divide by 12log(1.0025)} \\ \frac{\log (1.25)}{12 \log (1.0025)}=N & \text{Approximating to a decimal} \\ N=7.447\text{ years} & \end{array}$

Tomará alrededor de 7.447 años para crecer la cuenta a$\$ 10,000$.

Pruébalo ahora 6

Joel está considerando poner una compra de computadora portátil de $1,000 en su tarjeta de crédito, la cual tiene una tasa de interés de 12% compuesta mensualmente. ¿Cuánto tiempo le llevará pagar la compra si realiza pagos de $30 mensuales?

Responder

$\begin{array}{ll} d= \$30 & \text{The monthly payments} \\ r = 0.12 & 12\% \text{ annual rate} \\ k = 12 & \text{since we’re doing monthly deposits} \\ P_0 = \$1000 & \text{we’re starting with a \$1,000 loan} \end{array}$

Estamos resolviendo para$N$, el momento de pagar el préstamo

$1,000=\frac{30\left(1-\left(1+\frac{0.12}{12}\right)^{-N(12)}\right)}{\frac{0.12}{12}}$

Resolviendo para$N$ da$3.396 .$ Tomará alrededor de 3.4 años para pagar la compra.