12.6: Valor esperado
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El valor esperado es quizás el concepto de probabilidad más útil que discutiremos. Tiene muchas aplicaciones, desde pólizas de seguros hasta la toma de decisiones financieras, y es una cosa que los casinos y agencias gubernamentales que ejecutan operaciones de juego y loterías esperan que la mayoría de la gente nunca aprenda.
[1] En la ruleta del juego de casino, se hace girar una rueda con 38 espacios (18 rojos, 18 negros y 2 verdes). En una posible apuesta, el jugador apuesta $1 en un solo número. Si ese número se hace girar en la rueda, entonces reciben 36 dólares (su original $1 + $35). De lo contrario, pierden su $1. En promedio, ¿cuánto dinero debe esperar un jugador ganar o perder si juega este juego repetidamente?
Solución
Supongamos que apuesta $1 en cada uno de los 38 espacios en la rueda, para una apuesta total de $38. Cuando se hace girar el número ganador, se le paga $36 en ese número. Si bien ganaste en ese número, en general has perdido $2. Por espacio, has “ganado”\(-\$ 2 / \$ 38 \approx-\$ 0.053\). Es decir, en promedio pierdes 5.3 centavos por espacio en el que apuestes.
Llamamos a esta ganancia o pérdida promedio el valor esperado de jugar a la ruleta. Observe que nadie pierde nunca exactamente 5.3 centavos: la mayoría de la gente (de hecho, alrededor de 37 de cada 38) pierde $1 y muy pocas personas (aproximadamente 1 persona de cada 38) ganan 35 dólares (los 36 dólares que ganan menos el $1 que gastaron para jugar el juego).
Hay otra manera de calcular el valor esperado sin imaginar lo que sucedería si jugamos todos los espacios posibles. Hay 38 resultados posibles cuando la rueda gira, por lo que la probabilidad de ganar es\(\frac{1}{38}\). El complemento, la probabilidad de perder, es\(\frac{37}{38}\).
Resumiendo estos junto con los valores, obtenemos esta tabla:
\ (\ begin {array} {|l|l|}
\ hline\ text {Resultado} &\ text {Probabilidad de resultado}\
\\ hline\ $35 &\ frac {1} {38}
\\ hline-\ $1 &\ frac {37} {38}\
\ hline
\ end {array}\)
Observe que si multiplicamos cada resultado por su probabilidad correspondiente obtenemos\(\$ 35 \cdot \frac{1}{38}=0.9211\) y\(-\$ 1 \cdot \frac{37}{38}=-0.9737\), y si sumamos estos números obtenemos\(0.9211+(-0.9737) \approx-0.053\), que es el valor esperado que calculamos anteriormente.
Valor esperado es la ganancia o pérdida promedio de un evento si el procedimiento se repite muchas veces.
Podemos calcular el valor esperado multiplicando cada resultado por la probabilidad de ese resultado, luego sumando los productos.
Se compra un boleto de rifa para ayudar a una organización benéfica. El boleto de la rifa cuesta $5. La organización benéfica está vendiendo 2000 boletos. Uno de ellos será sorteado y a la persona titular del boleto se le entregará un premio por valor de $4000. Calcular el valor esperado para este sorteo.
- Contestar
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\((\$ 3,995) \cdot \dfrac{1}{2000}+(-\$ 5) \cdot \dfrac{1999}{2000} \approx-\$ 3.00\)
En la lotería de cierto estado, 48 bolas numeradas del 1 al 48 se colocan en una máquina y seis de ellas se sortean al azar. Si los seis números sorteados coinciden con los números que un jugador había elegido, el jugador gana $1,000,000. Si coinciden con 5 números, entonces ganan $1,000. Cuesta $1 comprar un boleto. Encuentra el valor esperado.
Solución
Anteriormente, calculamos la probabilidad de hacer coincidir los 6 números y la probabilidad de emparejar 5 números:
\(\frac{_6 C_{6}}{_{48} C_{6}}=\frac{1}{12271512} \approx 0.0000000815\)para los 6 números,
\(\frac{\left(_{6} C_{5}\right)\left(_{42} C_{1}\right)}{_{48} C_{6}}=\frac{252}{12271512} \approx 0.0000205\)para 5 números.
Nuestras probabilidades y valores de resultado son:
\ (\ begin {array} {|l|l|}
\ hline\ text {Resultado} &\ text {Probabilidad de resultado}\\
\ hline\ $999,999 &\ frac {1} {12271512}\
\ hline\ $999 &\ frac {252} {12271512}\\ hline-
\ $1 & 1-\ frac {253} {12271512} 271512} =\ frac {12271259} {12271512}\\
\ hline
\ end {array}\)
El valor esperado, entonces es:
\((\$ 999,999) \cdot \frac{1}{12271512}+(\$ 999) \cdot \frac{252}{12271512}+(-\$ 1) \cdot \frac{12271259}{12271512} \approx-\$ 0.898\)
En promedio, uno puede esperar perder alrededor de 90 centavos en un boleto de lotería. Por supuesto, la mayoría de los jugadores perderán $1.
En general, si el valor esperado de un juego es negativo, no es buena idea jugar al juego, ya que en promedio perderás dinero. Sería mejor jugar un juego con un valor esperado positivo (¡buena suerte tratando de encontrar uno!) , aunque hay que tener en cuenta que aunque las ganancias promedio sean positivas podría darse el caso de que la mayoría de la gente pierda dinero y un individuo muy afortunado gane una gran cantidad de dinero. Si el valor esperado de un juego es 0, lo llamamos juego limpio, ya que ninguno de los dos lados tiene ventaja.
No es sorprendente que el valor esperado para los juegos de casino sea negativo para el jugador, lo que es positivo para el casino. Debe ser positivo o saldrían del negocio. Los jugadores solo deben tener en cuenta que cuando juegan un juego repetidamente, su valor esperado es negativo. Eso está bien siempre y cuando disfrutes jugando el juego y creas que vale la pena el costo. Pero sería un error esperar salir adelante.
Un amigo se ofrece a jugar un juego, en el que tiras 3 dados estándar de 6 caras. Si todos los dados tiran valores diferentes, le das $1. Si dos dados coinciden con valores, obtienes $2. ¿Cuál es el valor esperado de este juego? ¿Jugarías?
- Contestar
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Supongamos que enrolla el primer dado. La probabilidad de que el segundo sea diferente es\(\dfrac{5}{6}\). La probabilidad de que el tercer rollo sea diferente a los dos anteriores es\(\dfrac{4}{6}\), por lo que la probabilidad de que los tres dados sean diferentes es\(\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{6}=\dfrac{20}{36}\). La probabilidad de que dos dados coincidan es el complemento,\(1-\dfrac{20}{36}=\dfrac{16}{36}\).
El valor esperado es:\((\$ 2) \cdot \dfrac{16}{36}+(-\$ 1) \cdot \dfrac{20}{36}=\dfrac{12}{36} \approx \$ 0.33\). Sí, está en tu ventaja jugar. En promedio, ganarías $0.33 por jugada.
El valor esperado también tiene aplicaciones fuera del juego. El valor esperado es muy común en la toma de decisiones de seguros.
Un hombre de 40 años en Estados Unidos tiene un riesgo de 0.242% de morir durante el próximo año [2]. Una compañía de seguros cobra 275 dólares por una póliza de seguro de vida que paga un beneficio por muerte de $100,000. ¿Cuál es el valor esperado para la persona que compra el seguro?
Solución
Las probabilidades y los resultados son
\ (\ begin {array} {|l|l|}
\ hline\ text {Resultado} &\ text {Probabilidad de resultado}\
\\ hline\ $ 100,000-\ $ 275=\ $99,725 & 0.00242
\\ hline-\ $275 & 1-0.00242=0.99758\
\ hline
\ end {array}\)
El valor esperado es\((\$ 99,725)(0.00242)+(-\$ 275)(0.99758)=-\$ 33\).
No es sorprendente que el valor esperado sea negativo; la aseguradora sólo puede permitirse ofrecer pólizas si, en promedio, ganan dinero con cada póliza. Pueden darse el lujo de pagar el beneficio ocasional porque ofrecen suficientes pólizas para que esos pagos de beneficios sean equilibrados por el resto de las personas aseguradas.
Para las personas que compran el seguro, hay un valor esperado negativo, pero hay un seguro que viene de un seguro que vale ese costo.
[1] Foto CC-BY-SA http://www.flickr.com/photos/stoneflower/
[2] Según el estimador en www.numericalexample.com/inde... =article&id=91