3.1: Cambio porcentual (¿Estamos arriba o abajo?)
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De camino al trabajo, se nota que el precio de la gasolina es aproximadamente 10% más alto que el mes pasado. En la oficina, los reportes indican que los costos de insumos bajaron 5.4% y las ventas subieron 3.6% respecto al año pasado. Tu jefe te pide que analices el cambio año tras año en las ventas de la industria y envíes un informe. Durante tu pausa para el café, miras los folletos electrónicos del día en tu bandeja de entrada. Home Depot está anunciando que todos los muebles de jardín tienen un 40% de descuento esta semana; el anuncio de Safeway dice que el martes es 10% de descuento en el día; y una historia de Globe and Mail te informa que el costo de vida ha aumentado 3% desde el año pasado. Luego inicia sesión en su cuenta de servicios financieros, donde está feliz de encontrar que los fondos mutuos en su RRSP han subido 6.7% con respecto al año pasado. ¿Qué vas a hacer con toda esta información?
Comprender cómo cambian los datos de un período a otro es una habilidad crítica para el negocio. Permite una evaluación rápida de si las cosas están mejorando o empeorando. También permite una comparación fácil de los cambios en diferentes tipos de datos a lo largo del tiempo. En esta sección se explora el concepto de cambio porcentual, lo que permite calcular el cambio entre dos puntos en el tiempo. Luego se introduce una tasa de cambio a lo largo del tiempo, que permite determinar el cambio por periodo cuando múltiples puntos en el tiempo están involucrados en el cálculo.
Cambio porcentual
Puede ser difícil entender un cambio cuando se expresa en términos absolutos. ¿Puedes decir de un vistazo lo bueno que es comprar un futón de 359 dólares por 215.40 dólares? También puede ser difícil entender un cambio cuando se expresa como un porcentaje de su resultado final. ¿Obtienes un buen trato si ese futón de 215.40 dólares es 60% del precio normal? Lo que a la mayoría de la gente le resulta más fácil de entender es un cambio expresado como porcentaje de su cantidad inicial. ¿Obtienes un buen trato si ese futón de 359 dólares está a la venta con un 40% de descuento? Un cambio porcentual expresa en forma porcentual cuánto cambia cualquier cantidad de un período inicial a un período de finalización.
La Fórmula
Para calcular el cambio porcentual en una variable, es necesario conocer el número inicial y el número final. Una vez que los conoces, la Fórmula 3.1 (ver la figura a continuación) representa cómo expresar el cambio como porcentaje.
Recuerde dos conceptos críticos sobre el cambio porcentual:
- No incluya la cantidad original en el cambio. El cambio porcentual representa los cambios en las cantidades, no los valores de las cantidades en sí. La cantidad original no cuenta para el cambio porcentual. Por lo tanto, si alguna cantidad se duplica, su cambio porcentual es del 100%, no del 200%. Por ejemplo, si la cantidad antigua era 25 y la nueva cantidad es 50, tenga en cuenta que la cantidad se ha duplicado. No obstante, 25 de los 50 finales provienen de la cantidad original y por lo tanto no cuenta para el cambio. Lo restamos del numerador calculando 50 − 25 = 25. Por lo tanto, el cambio como porcentaje es Lo\(\dfrac{50-25}{25} \times 100=100 \%\) mismo se aplica a una triplicación de la cantidad. Si nuestra nueva cantidad es 75 (que es el triple de la antigua cantidad de 25), entonces\(\dfrac{75-25}{25} \times 100=200 \%\) El valor original de 25 vuelve a restarse del numerador. El 100% original siempre se elimina de la fórmula.
- Cambios Negativos. Un cambio negativo debe expresarse con un signo negativo o redacción equivalente. Por ejemplo, si la cantidad anterior era 20 y la nueva cantidad es 15, esto es una disminución de 5, o un cambio de 15 − 20 = −5. El cambio porcentual es\(\dfrac{15-20}{20} \times 100=-25 \%\). Tenga cuidado al expresar un cambio porcentual negativo. Hay dos formas correctas de hacer esto correctamente:
- “El cambio es − 25%”.
- “Ha disminuido en un 25%”.
Obsérvese en el segundo enunciado que la palabra “disminuyó” sustituye al signo negativo. Para evitar confusiones, no combine el signo negativo con la palabra “disminuido” —recordemos que dos negativos hacen un positivo, por lo que “Ha disminuido en − 25%" significaría en realidad que la cantidad ha aumentado un 25%.
Cómo funciona
Para resolver cualquier duda sobre el cambio porcentual, sigue estos pasos:
Paso 1: Observe que hay tres variables en la fórmula. Identificar las dos variables conocidas y la variable desconocida.
Paso 2: Resuelve para la variable desconocida usando la Fórmula 3.1.
Asume el mes pasado sus ventas fueron\(\$10,000\), y han subido a\(\$15,000\) este mes. Se quiere expresar el cambio porcentual en las ventas.
Paso 1: Las variables conocidas son\(Old = \$10,000\) y\(New = \$15,000\). La variable desconocida es el cambio porcentual, o\(\Delta \%\).
Paso 2: Usando la Fórmula 3.1,
Observe que el cambio en las ventas es de +$5,000 mes a mes. En relación con las ventas de 10,000 dólares el mes pasado, las ventas de este mes han aumentado un 50%.
Notas Importantes
Para acceder a la función de cambio porcentual en tu calculadora BAII Plus, presiona 2nd\(\Delta \%\) ubicado encima del número 5 en tu teclado numérico. Siempre borre la memoria de cualquier pregunta anterior presionando 2nd CLR Trabajar una vez que la función esté abierta. Utilice las\(\downarrow\) flechas\(\uparrow\) y para desplazarse por las cuatro líneas de esta función. Para resolver una variable desconocida, teclee tres de las cuatro variables y luego presiona Enter. Con la variable desconocida en su pantalla, presione CPT. Cada variable en la calculadora es la siguiente:
- OLD = La cantidad antigua u original; el número que representa el punto de partida
- NUEVO = La cantidad nueva o actual; el número a comparar con el punto de partida
- %CH = El cambio porcentual, o ∆% en su formato porcentual sin el signo%
- #PD = Número de periodos consecutivos para el cambio. Por defecto, se establece en 1. Por ahora, no toques esta variable. Posteriormente en esta sección, cuando cubrimos la tasa de cambio a lo largo del tiempo, se explicará esta variable.
Cosas a tener en cuenta
Cuidado con dos dificultades comunes que involucran cambios porcentuales.
- Tasas versus cambios porcentuales. A veces puede estar confundido acerca de si las preguntas involucran tasas (Sección 2.3) o cambios porcentuales. Recordemos que una tasa expresa la relación entre una porción y una base. Busque algunos identificadores clave, como “es/son” (la porción) y “de” (la base). Para el cambio porcentual, los identificadores clave son “por” o “que”. Por ejemplo, "\(x\)ha aumentado en\(y\%\)" y "\(x\)es\(y\%\) más que el año pasado” ambos representan un cambio porcentual.
- Operaciones matemáticas. Te imaginas que se supone que debes sumar o restar cambios porcentuales, pero no puedes hacer esto. Recuerda que los porcentajes provienen de fracciones. De acuerdo con las reglas del álgebra, se pueden sumar o restar fracciones sólo si comparten la misma base (denominador). Por ejemplo, si una inversión aumenta de valor en el primer año un 10% y luego disminuye en el segundo año 6%, esto no es un incremento general de\(10 \%-6 \%=4 \%\). ¿Por qué? Si originalmente tuviste\(\$100\), un incremento de\(10\%\) (que se\(\$100 \times 10\% = \$10)\) traduce\(\$110\) en al final del primer año. Se debe calcular la\(6\%\) disminución en el segundo año utilizando el\(\$110\) saldo, no el original\(\$100\). Esto es una disminución de\(\$110 \times (−6\%) = −\$6.60\), resultando en un saldo final de\(\$103.40\). En general, el cambio porcentual es\(3.4\%\).
Caminos hacia el éxito
Un cambio porcentual extiende los cálculos de tasa, porción y base introducidos en la Sección 2.3. La principal diferencia radica en la porción. En lugar de que la porción sea parte de un todo, la porción representa el cambio del todo. Poniendo las dos fórmulas una al lado de la otra, puedes calcular la tasa usando cualquiera de los enfoques.
\[\text { Rate }=\dfrac{\text { Portion }}{\text { Base }}=\dfrac{\text { New }-\text { Old }}{\text { Old }}\nonumber \]
- Han pasado cinco años desde que Juan se fue a comprar un auto nuevo. En su primera visita a un lote de autos, tuvo un choque de calcomanías cuando se dio cuenta de que los precios de los autos nuevos habían subido cerca de 20%. ¿Qué implica esta situación?
- Cambio porcentual
- Tasa, porción, base
- Manuel hizo construir su casa a medida en 2006 por 300.000 dólares. En 2014 la tenía tasada profesionalmente en $440,000. Quiere averiguar lo mucho que ha apreciado su casa. ¿Cómo lo haría?
- El precio de 2006 es el “Nuevo”, y el de 2014 es el “Viejo”.
- El precio de 2006 es el “Viejo”, y el de 2014 es el “Nuevo”.
- Responder
-
- a (la pregunta implica cómo han cambiado los precios de los automóviles; tenga en cuenta la palabra clave “por”)
- b (el precio de 2006 es lo que solía valer la casa, que es la cantidad antigua; el precio 2014 representa el nuevo valor de la vivienda)
En 1982, el precio promedio de un auto nuevo vendido en Canadá era de 10 mil 668 dólares. Para 2009, el precio promedio de un auto nuevo había aumentado a 25.683 dólares. ¿En qué porcentaje ha cambiado el precio de un auto nuevo a lo largo de estos años?
Solución
Estás tratando de encontrar el cambio porcentual en el precio del auto nuevo, o\(∆\%\).
Lo que ya sabes
Paso 1:
Ya conoces los precios antiguos y nuevos para los autos:
Antiguo = $10,668, Nuevo = $25,683
Cómo Llegarás Allí
Paso 2:
Aplicar Fórmula 3.1.
Realizar
Paso 2:
\[\begin{aligned} \Delta \% &=\dfrac{\$ 25,683-\$ 10,668}{\$ 10,668} \times 100 \\ &=\dfrac{\$ 15,015}{\$ 10,668} \times 100\\ &=140.748 \% \end{aligned}\nonumber \]
Instrucciones de la calculadora
| VIEJO | NUEVO | %CH | #PD |
|---|---|---|---|
| 10668 | 25683 | Respuesta: 140.748031 | 1 |
De 1982 a 2009, los precios promedio de los autos nuevos en Canadá han aumentado en 140.748%.
Cuando compras un artículo al por menor, el impuesto aumenta el precio del producto. Si compra una máquina Bowflex Classic Home Gym de $799.00 en Ontario, está sujeta a 13% HST. ¿Qué cantidad paga por el Bowflex incluyendo impuestos?
Solución
Está buscando el precio del Bowflex después de aumentarlo por el impuesto a las ventas. Este es un precio “Nuevo” para el Bowflex.
Lo que ya sabes
Paso 1:
Conoce el precio original de la máquina y cuánto aumentarla en:
\(\text { Old }=\$ 799.00 \quad \Delta \%=13 \%\)
Cómo Llegarás Allí
Paso 2:
Aplicar Fórmula 3.1:\(\Delta \%=\dfrac{\text { New }-\text { Old }}{\text { Old }} \times 100\)
Realizar
Paso 2:
\ [\ begin {aligned}
&13\ %=\ dfrac {\ text {Nuevo} -\ $799} {\ $799}\ times 100\\
&0.13=\ dfrac {\ text {Nuevo} -\ $799} {\ $799}\\
&\ $ 103.87=\ text {Nuevo} -\ $799\
&\ $ 902.87= text {Nuevo}
\ end {alineado}\ nonumber\]
Instrucciones de la calculadora
| VIEJO | NUEVO | %CH | #PD |
|---|---|---|---|
| 799 | Respuesta: 902.87 | 13 | 1 |
El precio de un Bowflex, tras aumentar el precio por los impuestos del 13%, es de 902.87 dólares.
Los consumidores a menudo se oponen a los cambios de precios en muchos productos diarios, aunque la inflación y otros cambios de costos puedan justificar estos aumentos. Para reducir la resistencia a un aumento de precios, muchos fabricantes ajustan tanto los precios como los tamaños de los productos al mismo tiempo. Por ejemplo, el precio regular de venta de una botella de champú fue de $5.99 por 240 mL. Para dar cuenta de los cambios de costos, el fabricante decidió cambiar el precio a $5.79, pero también reducir el tamaño de la botella a 220 mL. ¿Cuál fue el cambio porcentual en el precio por mililitro?
Solución
Necesitas encontrar el porcentaje de cambio en el precio por mililitro, o\(\Delta \%\).
Lo que ya sabes
Paso 1:
Conoces el precio antiguo y el tamaño de la botella, así como el precio previsto y el tamaño de botella:
\[\begin{array}{ll}{\text { Old price }=\$ 5.99} & {\text { Old size }=240 \mathrm{mL}} \\ {\text { New price }=\$ 5.79} & {\text { New size }=220 \mathrm{mL}}\end{array}\nonumber \]
Cómo Llegarás Allí
Paso 1 (continuación):
Convierte el precio y el tamaño a un precio por mililitro tomando el precio y dividiendo por el tamaño.
Paso 2:
Aplicar Fórmula 3.1.
Realizar
Paso 1:
\[\dfrac{\text { Old price }}{\text { Old size }}=\dfrac{\$ 5.99}{240 \mathrm{mL}}=\$ 0.024958 \text{ per } \mathrm{mL}\nonumber \]
\[\dfrac{\text { New price }}{\text { New size }}=\dfrac{\$ 5.79}{220 \mathrm{mL}}=\$ 0.026318 \text { per } \mathrm{mL}\nonumber \]
Paso 2:
\[\begin{array}{ll}{\Delta \%} & {=\dfrac{\$ 0.026318-\$ 0.024958}{\$ 0.024958} \times 100} \\ { } & {=\dfrac{\$ 0.001359}{\$ 0.024958} \times 100=5.4485 \%}\end{array}\nonumber \]
Instrucciones de la calculadora
| VIEJO | NUEVO | %CH | #PD |
|---|---|---|---|
| \(5.99 \div 240=\) | \(5.79 \div 200=\) | Respuesta: 5.4484 | 1 |
El precio por mL ha aumentado 5.4485%. Tenga en cuenta que para el consumidor, parecería como si el precio se hubiera bajado de $5.99 a $5.79, ya que la mayoría de los consumidores no notarían el cambio en el tamaño de la botella.
Tasa de cambio a lo largo del tiempo
El cambio porcentual mide el cambio en una variable de principio a fin en general. Se basa en el supuesto de que sólo se produce un solo cambio. ¿Qué sucede cuando el número final resulta de múltiples cambios y quieres conocer el valor típico de cada cambio? Por ejemplo, la población del área metropolitana censal de Toronto (CMA) ha crecido de 4,263,759 en 1996 a 5,113,149 en 2006. ¿Qué porcentaje anual de crecimiento poblacional refleja esto? Observe que no nos interesa calcular el cambio de población a lo largo de los 10 años; en cambio queremos determinar el cambio porcentual en cada uno de los 10 años. La tasa de cambio a lo largo del tiempo mide el porcentaje de cambio en una variable por periodo de tiempo.
La Fórmula
Calcular la tasa de cambio a lo largo del tiempo no es tan sencillo como dividir el porcentaje de cambio por el número de periodos de tiempo involucrados, ya que se debe considerar el cambio para cada periodo de tiempo relativo a una cantidad inicial diferente. Por ejemplo, en el ejemplo del censo de Toronto, el cambio porcentual de 1996 a 1997 se basa en el tamaño de la población original de 4,263,759. No obstante, el cambio porcentual de 1997 a 1998 se basa en la nueva cifra poblacional para 1997. De esta manera, aunque en ambos años se agregara el mismo número de personas a la ciudad, el cambio porcentual en el segundo año es menor debido a que la base poblacional se hizo mayor después del primer año. Como resultado, cuando necesites el cambio porcentual por periodo de tiempo, debes usar la Fórmula 3.2.
Cómo funciona
Cuando trabajes con cualquier tasa de cambio a lo largo del tiempo, sigue estos pasos:
Paso 1: Identificar las tres variables conocidas y la variable desconocida.
Paso 2: Resuelve para la variable desconocida usando la Fórmula 3.2.
Notas Importantes
En su calculadora, calcule la tasa de cambio a lo largo del tiempo utilizando la función percent change (\(\Delta \%\)). Anteriormente, habíamos ignorado la variable #PD en la función y siempre se le asignó un valor de 1. En tasa de cambio, esta variable es la misma que\(n\) en nuestra ecuación. Por lo tanto, si nuestra pregunta involucró 10 cambios, como el cambio poblacional anual de la CMA de Toronto de 1996 a 2006, entonces esta variable se establece en 10.
Caminos hacia el éxito
Puede que le resulte difícil elegir qué fórmula usar: porcentaje de cambio o tasa de cambio a lo largo del tiempo. Para distinguir entre ambos, considere lo siguiente:
- Si buscas la tasa general de cambio de principio a fin, necesitas calcular el porcentaje de cambio.
- Si buscas la tasa de cambio por intervalo, necesitas calcular la tasa de cambio a lo largo del tiempo.
En última instancia, la fórmula de cambio porcentual es una versión simplificada de la fórmula de tasa de cambio a lo largo del tiempo donde\(n = 1\). Por lo tanto, puede resolver cualquier pregunta de cambio porcentual usando la Fórmula 3.2 en lugar de la Fórmula 3.1.
Para cada uno de los siguientes, distinga si debe resolver la pregunta por la fórmula de cambio porcentual o la fórmula de tasa de cambio a lo largo del tiempo.
- Cuando Peewee comenzó a jugar a los bolos de cinco pines con el Youth Bowling Canada (YBC) en 1997, su promedio era de 53. En 2011, terminó su último año de la YBC con un promedio de 248. ¿Cómo cambió su promedio de 1997 a 2011?
- Una acción tenía un precio de $4.34 por acción en 2006 y alcanzó los $7.15 por acción en 2012. ¿Qué rendimiento anual obtuvo un accionista?
- En 2004, las ventas totales alcanzaron los 1.2 millones de dólares. Para 2010, las ventas habían subido a 4.25 millones de dólares. ¿Cuál es el crecimiento de las ventas por año?
- Responder
-
- Cambio porcentual; buscando cambio general
- Tasa de cambio a lo largo del tiempo; buscando cambio por año
- Tasa de cambio a lo largo del tiempo; buscando cambio por año
Utilizando la información de Toronto CMA, donde la población creció de 4,263,759 en 1996 a 5,113,149 en 2006, se calcula el porcentaje de crecimiento anual en la población.
Solución
Tenemos que calcular el porcentaje de cambio por año, que es la tasa de cambio a lo largo del tiempo, o\(RoC\).
Lo que ya sabes
Paso 1:
Conocemos los números de inicio y fin de la población junto con el marco de tiempo involucrado.
Antiguo = 4,263,759, Nuevo = 5,113,149
\(n = 2006 − 1996 = 10\)años
Cómo Llegarás Allí
Paso 2:
Aplicar Fórmula 3.2.
Realizar
Paso 2:
\ [\ begin {alineado}
ROC&=\ izquierda (\ sqrt [10] {\ dfrac {5,113,149} {4,263,759}} -1\ derecha)\ times 100\\
& =(\ sqrt [10] {1.199211} -1)\ times 100\\
& =( 1.018332-1)\ times 100\\
&=0.018332\ times 100\\
&=8332\%
\ fin { alineado}\ nonumber\]
Instrucciones de la calculadora
| VIEJO | NUEVO | %CH | #PD |
|---|---|---|---|
| 4263759 | 5113149 | Respuesta: 1,833244 | 10 |
A lo largo del lapso de 10 años de 1996 a 2006, el CMA de Toronto creció en un promedio de 1.8332% anual.
Kendra colecciona cartas de hockey. En su colección, tiene una tarjeta Wayne Gretzky del año novato en perfecto estado. El valor contable de la tarjeta varía dependiendo de la demanda de la tarjeta y su estado. Si el valor contable estimado de la tarjeta cayó 84 dólares en el primer año y luego subió 113 dólares en el segundo año, determine lo siguiente:
- ¿Cuál es el cambio porcentual en cada año si la tarjeta está valorada en $1,003.33 al cierre del primer año?
- En el transcurso de los dos años, ¿cuál fue el cambio porcentual general en el valor de la tarjeta?
- ¿Cuál fue la tasa de cambio por año?
Solución
Necesitamos dar cuatro respuestas a las preguntas y encontrar el cambio porcentual en el año 1, o\(∆\%_1\), luego el cambio porcentual en el año 2, o\(∆\%_2\). Usando estas dos primeras soluciones, calculamos tanto el porcentaje de cambio general a lo largo de ambos años\(∆\%_{\text{overall}}\), o, y la tasa de cambio por año, o\(RoC\).
Lo que ya sabes
Paso 1:
Conocemos el precio de la tarjeta al final del primer año así como cómo ha cambiado cada año.
Precio al final del primer año = $1,003.33
Cambio de precios en el primer año = −$84
Cambio de precio en segundo año = $113
Cómo Llegarás Allí
Paso 2: Calcula el precio al inicio del primer año.
Paso 3: Para el cambio porcentual en el Año 1, aplique la Fórmula 3.1:\(\Delta \%_{1}\)
Paso 4: Calcula el precio al final del segundo año.
Paso 5: Para el cambio porcentual en el Año 2, aplique la Fórmula 3.1:\(\Delta \%_{2}\)
Paso 6: Para el cambio porcentual general, tome el precio antiguo al inicio del primer año y compárelo con el nuevo precio al final del segundo año.
Aplicar Fórmula 3.1:\(∆\%_{\text{overall}} \)
Paso 7: Calcula la tasa de cambio a lo largo de los dos años utilizando los mismos dos precios, pero aplica la Fórmula 3.2.
Realizar
Paso 2:
\[\text{New}=\text{Old}+\text { Change; } \quad \$ 1,003.33=\text{Old}-\$ 84.00 ; \quad \$ 1,087.33=\text{Old}\nonumber \]
Paso 3:
\[\Delta \%_{1}=\dfrac{\$ 1,003.33-\$ 1,087.33}{\$ 1,087.33} \times 100=-7.7253 \%\nonumber \]
Paso 4:
\[\text { New }=\text{Old}+\text { Change }=\$ 1,003.33+\$ 113=\$ 1,116.33\nonumber \]
Paso 5:
\[\Delta \%_{2}=\dfrac{\$ 1,116 \cdot 33-\$ 1,003.33}{\$ 1,003.33} \times 100=11.2625 \%\nonumber \]
Paso 6:
\[\Delta \%_{\text {overall }}=\dfrac{\$ 1,116.33-\$ 1,087.33}{\$ 1,087.33} \times 100=2.6671 \%\nonumber \]
Paso 7:
\[RoC=(\sqrt[2]{\dfrac{\$ 1,116 \cdot 33}{\$ 1,087 \cdot 33}}-1) \times 100=1.3248 \%\nonumber \]
Instrucciones de la calculadora
| Cálculo | VIEJO | NUEVO | %CH | #PD |
|---|---|---|---|---|
| Año 1 | 1087.33 | 1003.33 | Respuesta: -7.725345 | 1 |
| Año 2 | 1003.33 | 1116.33 | Respuesta: 11,262495 | 1 |
| Ambos Años | 1087.33 | 1116.33 | Respuesta: 2.667083 | 1 |
| RoC | 1087.33 | 1116.33 | Respuesta: 1,324766 | 2 |
El valor de la tarjeta de hockey bajó 7.7253% en el primer año y subió 11.2625% en el segundo año. En general, la tarjeta subió 2.6671% a lo largo de ambos años, lo que representa un crecimiento de 1.3248% en cada año.