3.2: Promedios (¿Qué Es Típico?)
- Page ID
- 110832
No importa a dónde vayas o qué hagas, los promedios están en todas partes. Veamos algunos ejemplos:
- Se gastan tres cuartas partes de tu préstamo estudiantil. Desafortunadamente, solo ha pasado la mitad del primer semestre, por lo que resuelves exprimir el mayor valor del dinero que queda. Pero, ¿ha notado que muchos productos de abarrotes son difíciles de comparar en términos de valor porque están empaquetados en contenedores de diferentes tamaños con diferentes puntos de precio? Por ejemplo, un tubo de pasta dental se vende en un tamaño de 125 mL por $1.99 mientras que una marca comparable vende por $1.89 por 110 mL. ¿Cuál es el mejor trato? Una comparación justa requiere que calcules el precio promedio por mililitro.
- Tu sistema de tránsito local cobra $2.25 por una tarifa de adulto, $1.75 para estudiantes y adultos mayores, y $1.25 para niños. ¿Esta información es suficiente para que calcules la tarifa promedio, o necesitas saber cuántos ciclistas de cada tipo hay?
- Hace cinco años invertiste $8,000 en Roller Coasters Inc. el valor de las acciones ha cambiado 9%, − 7%, 13%, 4% y − 2% en estos años, y te preguntas cuál es el cambio anual promedio y si tu inversión se mantuvo al día con la inflación.
- Si participas en algún deporte, tienes un promedio de algún tipo: los jugadores de bolos tienen promedios de bolos; los porteros de hockey o fútbol tienen goles contra promedio (GAA); y los lanzadores de béisbol tienen un promedio de carreras ganadas (ERA).
Los promedios generalmente se agrupan en tres categorías. Esta sección explora promedios simples, ponderados y geométricos.
Promedios simples
Un promedio es un número único que representa la mitad de un conjunto de datos. Comúnmente se interpreta como el “valor típico”. El cálculo de promedios facilita la comprensión y comparación entre diferentes conjuntos de datos, especialmente si hay una gran cantidad de datos. Por ejemplo, ¿y si quieres comparar las ventas año tras año? Un enfoque implicaría tomar las ventas de la compañía para cada una de las 52 semanas del año en curso y compararlas con las ventas de las 52 semanas del año pasado. Esto implica 104 cifras de ventas semanales con 52 puntos de comparación. A partir de este análisis, ¿podría determinar de manera concisa y segura si las ventas están al alza o a la baja? Probablemente no. Un enfoque alternativo consiste en comparar las ventas semanales promedio del año pasado con las ventas semanales promedio de este año. Esto implica la comparación directa de sólo dos números, y la determinación de si las ventas están al alza o a la baja es muy clara.
En un promedio simple, todos los datos individuales comparten el mismo nivel de importancia para determinar el valor típico. Cada punto de datos individual también tiene la misma frecuencia, lo que significa que ningún dato ocurre con más frecuencia que otro. Además, los datos no representan un cambio porcentual. Para calcular un promedio simple, se requieren dos componentes:
- Los datos en sí, necesita el valor para cada dato.
- La cantidad de datos: necesita saber cuántos datos están involucrados (el recuento), o la cantidad total utilizada en el cálculo.
La Fórmula
Como se expresa en la Fórmula 3.3, se calcula un promedio simple sumando todos los datos luego tomando ese total y dividiéndolo por la cantidad.
Cómo funciona
Los pasos requeridos para calcular un promedio simple son los siguientes:
Paso 1: Suma cada dato.
Paso 2: Determinar la cantidad total involucrada.
Paso 3: Calcula el promedio simple usando la Fórmula 3.3.
Supongamos que desea calcular un promedio en tres datos: 95, 108 y 97. Tenga en cuenta que los datos son igualmente importantes y cada uno aparece solo una vez, teniendo así la misma frecuencia. Se requiere un promedio simple.
Paso 1:\(\sum X=95+108+97=300\).
Paso 2: Hay tres piezas de datos, o\(n = 3\).
Paso 3: Aplicar Fórmula 3.3:\(\text{SAvg}=\dfrac{300}{3}=100\). El promedio simple del conjunto de datos es de 100.
Notas Importantes
Aunque se mencionó anteriormente, es crítico recalcar que un promedio simple se calcula solo cuando se cumplen todas las siguientes condiciones:
- Todos los datos comparten el mismo nivel de importancia hacia el cálculo.
- Todos los datos aparecen el mismo número de veces.
- Los datos no representan cambios porcentuales ni una serie de números destinados a multiplicarse entre sí.
Si no se cumple alguna de estas tres condiciones, entonces se utiliza un promedio ponderado o geométrico dependiendo de cuál de los criterios anteriores falló. Lo discutimos más adelante cuando se introduce cada promedio.
Es fundamental reconocer si potencialmente has cometido algún error en el cálculo de un promedio simple. Revisar las siguientes situaciones y, sin hacer ningún cálculo, determinar la mejor respuesta.
- El promedio simple de 15, 30, 40 y 45 es:
- inferior a 20.
- entre 20 y 40, inclusive.
- superior a 40.
- Si el promedio simple de tres datos es 20, ¿cuál de los siguientes datos no pertenece al conjunto de datos? Conjunto de datos: 10, 20, 30, 40
- 10
- 20
- 30
- 40
- Contestar
-
- b (un promedio simple debería caer en la mitad del conjunto de datos, que aparece repartido entre 15 y 45, por lo que el medio estaría alrededor de 30)
- d (si el número 40 está incluido en cualquier cálculo promedio que involucre a los otros números, es imposible obtener un promedio bajo de 20)
Las ventas del primer trimestre de Buzz Electronics son las que se indican en la siguiente tabla.
| Mes | Ventas 2013 | Ventas 2014 |
|---|---|---|
| enero | $413,200 | $455,875 |
| febrero | 328,987 | 334.582 |
| marzo | $350,003 | $312,777 |
Martha necesita preparar un informe para la junta directiva comparando el desempeño trimestral interanual. Para ello, necesita que hagas lo siguiente:
- Calcular el promedio de ventas en el trimestre por cada año.
- Exprese las ventas de 2014 como porcentaje de las ventas de 2013, redondeando su respuesta a dos decimales.
Solución
Es necesario calcular un promedio simple, o\(\text{SAvg}\), para el primer trimestre de cada uno de 2013 y 2014. Después convierte los números en un porcentaje.
Lo que ya sabes
Conoces los tres trimestres anuales:
2013:\(X_1 = \$413,200 \)\(X_2 = \$328,986\)\(X_3 = \$350,003\)
2014:\(X_1 = \$455,876\)\(X_2 = \$334,582\)\(X_3 = \$312,777\)
Cómo Llegarás
Para cada año, realice los pasos 1 a 3:
Paso 1: Suma los datos.
Paso 2: Contar la cantidad total de datos involucrados.
Paso 3: Calcula el promedio simple usando la Fórmula 3.3.
Paso 4: Para calcular la tasa expresada como porcentaje, aplique la Fórmula 2.2 del Capítulo 2,\(\text { Rate }=\dfrac{\text { Portion }}{\text { Base }}\), tratando como base las ventas promedio de 2013 (anote la palabra clave “de” en la pregunta) y las ventas de 2014 como la porción. Redondear a dos decimales.
Realizar
Año 2013
Paso 1:
\[\begin{aligned} \sum X &=s 413,200+\$ 328,986+\$ 350,003 \\ &=\$ 1,092,189 \end{aligned}\nonumber \]
Paso 2:
\[n = 3\nonumber \]
Paso 3:
\[\text{SAvg}=\dfrac{\$ 1,092,189}{3}=\$ 364,063\nonumber \]
Paso 4:
\[\%=\dfrac{\$ 367,745}{\$ 364,063} \times 100=101.01 \%\nonumber \]
Año 2014
Paso 1:
\[\begin{aligned} \sum X &=\$ 455,876+\$ 334,582+\$ 312,777 \\ &=\$ 1,103,235 \end{aligned}\nonumber \]
Paso 2:
\[n = 3\nonumber \]
Paso 3:
\[\text{SAvg}=\dfrac{\$ 1,103,235}{3}=\$ 367,745\nonumber \]
Las ventas mensuales promedio en 2013 fueron de $364,063 en comparación con las ventas en 2014 de $367,745. Esto significa que las ventas de 2014 son 101.01% de las ventas de 2013.
Promedios ponderados
¿Has considerado cómo se calcula tu promedio de calificaciones (GPA)? Su programa de negocios requiere la finalización exitosa de muchos cursos. Tus calificaciones en cada curso se combinan para determinar tu GPA; sin embargo, no todos los cursos necesariamente tienen el mismo nivel de importancia medido por los créditos de tu curso.
Quizás tu curso de matemáticas toma una hora diaria mientras que tu curso de comunicaciones solo se imparte en sesiones de una hora tres veces por semana. En consecuencia, el colegio asigna al curso de matemáticas cinco horas de crédito y al curso de comunicaciones tres horas de crédito. Si quieres un promedio, estas diferentes horas de crédito significan que los dos cursos no comparten el mismo nivel de importancia, y por lo tanto no se puede calcular un promedio simple.
En un promedio ponderado, no todos los datos comparten el mismo nivel de importancia o no ocurren con la misma frecuencia. Los datos no pueden representar un cambio porcentual o una serie de números destinados a multiplicarse entre sí. Para calcular un promedio ponderado, se requieren dos componentes:
- Los datos en sí, necesita el valor para cada dato.
- El peso de los datos: necesita saber qué tan importante es cada dato para el promedio. Esto es un valor asignado o un reflejo del número de veces que ocurre cada dato (la frecuencia).
La Fórmula
Como se expresa en la Fórmula 3.4, calcule un promedio ponderado sumando los productos de los pesos y datos para todo el conjunto de datos y luego dividiendo este total por el total de los pesos.
Cómo funciona
Los pasos necesarios para calcular un promedio ponderado son:
Paso 1: Suma cada dato multiplicado por su peso asociado.
Paso 2: Suma el peso total.
Paso 3: Calcular el promedio ponderado usando la Fórmula 3.4.
Quedémonos con la ilustración de los cursos de matemáticas y comunicaciones y su GPA. Supongamos que estos son los únicos dos cursos que estás tomando. Terminas el curso de matemáticas con una A, traduciéndose en un punto de calificación de 4.0. En el curso de comunicaciones, tu C+ se traduce en un punto de calificación de 2.5. Estos cursos cuentan con cinco y tres horas de crédito, respectivamente. Ya que no son igualmente importantes, se utiliza un promedio ponderado.
Paso 1: En el numerador, suma los productos de las horas de crédito de cada curso (el peso) y su punto de calificación (los datos). Esto significa (horas de crédito matemático × punto de calificación matemática) + (horas de crédito de comunicaciones × punto de calificación de comunicaciones). Numéricamente, esto es\(\sum WX=(5 \times 4)+(3 \times 2.5)=27.5\).
Paso 2: En el denominador, suma los pesos. Estas son las horas de crédito. Usted tiene\(\sum W=5+3=8\).
Paso 3: Aplica la Fórmula 3.4 para calcular tu GPA.
\(\text { WAvg }=\dfrac{27.5}{8}=3.44\)(Los GPA tienen dos decimales).
Tenga en cuenta que su GPA es mayor que si acabara de calcular un promedio simple de\(\dfrac{4+2.5}{2}=3.25\). Esto sucede porque tu curso de matemáticas, en el que obtuviste una calificación superior, fue más importante en el cálculo.
Cosas a tener en cuenta
El error más común en los promedios ponderados es confundir los datos con el peso. Si tienes los dos al revés, tu numerador sigue siendo correcto; sin embargo, tu denominador es incorrecto. Para distinguir los datos del peso, observe que los datos forman parte de la pregunta. En el ejemplo anterior, estabas buscando calcular tu promedio de calificaciones; por lo tanto, el punto de calificación son los datos. El otro dato, las horas de crédito, debe ser el peso.
Caminos hacia el éxito
La fórmula utilizada para calcular un promedio simple es una simplificación de la fórmula promedio ponderada. En un promedio simple, cada dato es igualmente importante. Por lo tanto, se asigna un valor de 1 al peso para cada dato. Dado que cualquier número multiplicado por 1 es el mismo número, la fórmula promedio simple omite la ponderación en el numerador ya que habría producido cálculos innecesarios. En el denominador, la suma de los pesos de 1 no es diferente de contar el número total de piezas de datos. En esencia, se puede utilizar una fórmula de promedio ponderado para resolver promedios simples.
En cada una de las siguientes, determinar qué información son los datos y cuál es el peso.
- Rafiki opera un puesto de limonada durante su venta de cochera hoy. Ha vendido 13 bebidas pequeñas por $0.50, 29 bebidas medianas por $0.90 y 21 grandes por $1.25. ¿Cuál es el precio medio de la limonada vendida?
- Natalie recibió los resultados de un estudio de investigación de mercado. En el estudio, los encuestados identificaron cuántas veces a la semana compraban una botella de Coca-Cola. Calcular el número promedio de compras realizadas por semana.
| Compras por semana | # de Personas |
|---|---|
| 1 | 302 |
| 2 | 167 |
| 3 | 488 |
| 4 | 256 |
- Contestar
-
- El precio de las bebidas es el dato, y el número de bebidas es el peso.
- Las compras por semana son los datos, y el número de personas es el peso.
Una transcripción de marca recibida por un estudiante en un colegio local. El gráfico muestra cómo la calificación se traduce en un punto de calificación.
| Curso | Grade | Horas de crédito |
|---|---|---|
| Economía 100 | B | 4 |
| Matemáticas 100 | A | 5 |
| Mercadotecnia 100 | B+ | 3 |
| Comunicaciones 100 | C | 4 |
| Computación 100 | A+ | 3 |
| Contabilidad 100 | D | 4 |
| Grade | Punto de Grado |
|---|---|
| A+ | 4.5 |
| A | 4.0 |
| B+ | 3.5 |
| B | 3.0 |
| C+ | 2.5 |
| C | 2.0 |
| D | 1.0 |
| F | 0.0 |
Calcular el promedio de calificaciones (GPA) del alumno. Redondee su respuesta final a dos decimales.
Solución
Los cursos no llevan pesos iguales ya que tienen diferentes horas de crédito. Por lo tanto, para calcular el GPA se debe encontrar un promedio ponderado, o\(\text{WAvg}\).
Lo que ya sabes
Dado que la pregunta hecha para el promedio de calificaciones, los puntos de calificación para cada curso son los datos, o\(X\). Las horas de crédito correspondientes son los pesos, o\(W\).
Cómo Llegarás
Es necesario convertir la calificación de cada curso en un punto de calificación usando la tabla secundaria. A continuación, realice los siguientes pasos:
Paso 1: Suma cada dato multiplicado por su peso asociado.
Paso 2: Suma el peso total.
Paso 3: Calcular el promedio ponderado usando la Fórmula 3.4.
Realizar
Convertir las calificaciones:
| Curso | Grade | Punto de Grado | Horas de crédito |
|---|---|---|---|
| Economía 100 | B | 3.0 | 4 |
| Matemáticas 100 | A | 4.0 | 5 |
| Mercadotecnia 100 | B+ | 3.5 | 3 |
| Comunicaciones 100 | C | 2.0 | 4 |
| Computación 100 | A+ | 4.5 | 3 |
| Contabilidad 100 | D | 1.0 | 4 |
Paso 1:
\[\sum WX=(4 \times 3.0)+(5 \times 4.0)+(3 \times 3.5)+(4 \times 2.0)+(3 \times 4.5)+(4 \times 1.0)=68\nonumber \]
Paso 2:
\[\sum w=4+5+3+4+3+4=23\nonumber \]
Paso 3:
\[\text { WAvg }=\dfrac{68}{23}=2.96\nonumber \]
El GPA del alumno es de 2.96. Tenga en cuenta que las matemáticas contribuyeron sustancialmente (casi un tercio) al punto de calificación del estudiante porque este curso se ponderó mucho y el estudiante se desempeñó bien.
Angelika inició el mes de marzo adeudando 20.000 dólares en su línea de crédito sobre el valor acumulado de la vivienda (HELOC). Ella hizo un pago de $5,000 el quinto, pidió prestados $15,000 el diecinueve, e hizo otro pago de $5,000 el veintiséis. Utilizando el saldo de cierre de cada día para tus cálculos, ¿cuál fue el saldo promedio en la HELOC para el mes de marzo?
Solución
El saldo adeudado en la HELOC de Angelika no es igual en todos los días de marzo. Algunos saldos se llevaron por más días que otros. Esto significa que necesitarás usar la técnica de promedio ponderado y encontrar\(\text{WAvg}\).
Lo que ya sabes
Conoces lo siguiente:
| Fechas | Número de Días (\(W\)) | Saldo en HELOC (\(X\)) |
|---|---|---|
| 1 de marzo al 4 de marzo | \ (W\)) ">4 | \ (X\)) ">$20,000 |
| 5 de marzo—18 de marzo | \ (W\)) ">14 | \ (X\)) ">$20,000 − $5,000 = $15,000 |
| 19 de marzo—25 de marzo | \ (W\)) ">7 | \ (X\)) ">$15,000 + $15,000 = $30,000 |
| 26 de marzo—31 de marzo | \ (W\)) ">6 | \ (X\)) ">$30,000 − $5,000 = $25,000 |
Cómo Llegarás
Paso 1: Suma cada dato multiplicado por su peso asociado.
Paso 2: Suma el peso total.
Paso 3: Calcular el promedio ponderado usando la Fórmula 3.4.
Realizar
Paso 1:
\[\sum WX=(4 \times \$ 20,000)+(14 \times \$ 15,000)+(7 \times \$ 30,000)+(6 \times \$ 25,000)=\$ 650,000\nonumber \]
Paso 2:
\[\sum W=4+14+7+6=31\nonumber \]
Paso 3:
\[\text{WAvg}=\dfrac{\$ 650,000}{31}=\$ 20,967.74\nonumber \]
Durante todo el mes de marzo, el saldo promedio adeudado en la HELOC fue de 20.967.74 dólares. Obsérvese que el saldo con mayor peso (del 5 de marzo al 18 de marzo) y el saldo mayor adeuda (del 19 de marzo al 25 de marzo) representan casi dos tercios del promedio calculado.
Promedios Geométricos
¿Cómo promedias un cambio porcentual? Si las ventas aumentan 100% este año y disminuyen 50% el próximo año, ¿el cambio promedio en las ventas es un incremento de\(\dfrac{(100 \%-50 \%)}{2}=25 \%\) por año? La respuesta es claramente “no”. Si las ventas del año pasado fueron de 100 dólares y aumentaron en un 100%, eso resulta en un incremento de 100 dólares. El total de ventas son ahora de $200. Si las ventas luego disminuyeron en un 50%, tienes una disminución de $100. El total de ventas ahora son de 100 dólares una vez más. En otras palabras, empezaste con $100 y terminaste con $100. Eso es un cambio promedio de nada, ¡o 0% al año! Observe que el cambio del segundo por ciento es, de hecho, multiplicado por el resultado del primer porcentaje de cambio. Un promedio geométrico encuentra el valor típico de un conjunto de números que están destinados a multiplicarse juntos o son de naturaleza exponencial.
La Fórmula
En matemáticas de negocios, lo más común es utilizar un promedio geométrico para promediar una serie de cambios porcentuales. La Fórmula 3.5 está específicamente escrita para abordar esta situación.
Cómo funciona
Para calcular una media geométrica siga estos pasos:
Paso 1: Identificar la serie de cambios porcentuales a multiplicar.
Paso 2: Contar el número total de cambios porcentuales involucrados en el cálculo.
Paso 3: Calcular el promedio geométrico usando la Fórmula 3.5.
Usemos los datos de ventas presentados anteriormente, según los cuales las ventas aumentan 100% en el primer año y disminuyen 50% en el segundo año. ¿Cuál es el porcentaje promedio de cambio anual?
Paso 1: Los cambios son\(\Delta \%_{1}=+100 \%\) y\(\Delta \%=-50 \%\).
Paso 2: Dos cambios están involucrados, o\(n = 2\).
Paso 3: Aplicar Fórmula 3.5:
\ [\ begin {aligned}
\ text {gAvG} &=\ left [\ sqrt [2] {(1+100\%)\ times (1-50\%)} -1\ right]\ times 100\\
&=\ left [\ sqrt [2] {2\ times 0.5} -1\ right]\ times 100\
&= [\ sqrt [2] {1} -1]\ times 100\
&=0\ times 100=0\%
\ end {alineado }\ nonumber\]
El cambio porcentual promedio anual es de 0% porque un incremento del 100% y una disminución del 50% se cancelan mutuamente.
Notas Importantes
Un requisito crítico de la fórmula promedio geométrica es que cada\((1+\Delta \%)\) expresión debe dar como resultado un número que sea positivo. Esto significa que el\(\Delta \%\) no puede ser un valor inferior al -100% de lo contrario no se puede usar la Fórmula 3.5.
Caminos hacia el éxito
Una característica interesante de la media geométrica es que siempre producirá un número que sea menor que (más cercano a cero) o igual al promedio simple. En el ejemplo, el promedio simple de +100% y -50% es 25%, y el promedio geométrico es 0%. Esta característica se puede utilizar como comprobación de errores al realizar este tipo de cálculos.
Para las tres primeras preguntas, determine si debe calcular un promedio simple, ponderado o geométrico.
- Randall lanzó 213, 245 y 187 en su liga de bolos del jueves por la noche y quiere saber su promedio.
- Cindy invirtió en una acción que aumentó en valor anualmente en 5%, 6%, 3% y 5%. Ella quiere saber su incremento promedio.
- Una tienda minorista vendía 150 bicicletas al precio regular de $300 y 50 bicicletas a un precio de venta de $200. El encargado quiere saber el precio promedio de venta.
- González ha calculado un promedio simple de 50% y un promedio geométrico de 60%. Cree que sus números son correctos. ¿Qué opinas?
- Contestar
-
- Simple; cada ítem tiene igual importancia y frecuencia.
- Geométrico; se trata de una serie de cambios porcentuales sobre el precio de las acciones.
- Ponderado; cada ítem tiene una frecuencia diferente.
- Al menos uno de los números es incorrecto ya que una media geométrica siempre es menor o igual que la media simple.
De 2006 a 2010, los ingresos anuales interanuales de WestJet cambiaron en +21.47%, +19.89%, -10.55% y +14.38%. Esto refleja un crecimiento de ventas de 1.751 mil millones de dólares en 2006 a 2.609 mil millones de dólares en 2010. [1] ¿Cuál es el crecimiento porcentual promedio en los ingresos para WestJet durante este período de tiempo?
Solución
Tenga en cuenta que estos números reflejan cambios porcentuales en los ingresos. Los cambios año tras año se multiplican juntos, por lo que calcularía un promedio geométrico, o\(\text{GAvg}\).
Lo que ya sabes
Paso 1:
Ya conoces los cambios del cuatro por ciento:
\[\Delta \%_{1}=21.47 \% \quad \Delta \%_{2}=19.89 \% \quad \Delta \%_{3}=-10.55 \% \quad \Delta \%_{4}=14.38 \%\nonumber \]
Paso 2:
Cuatro cambios están involucrados, o\(n = 4\).
Cómo Llegarás
Paso 3:
Expresar los cambios porcentuales en formato decimal y sustituirlo a la Fórmula 3.5.
Realizar
Paso 3:
\[\text { GAvg }=\left [\sqrt[4]{(1+0.2147) \times(1+0.1989) \times(1-0.1055) \times(1+0.1438)}-1 \right ] \times 100=10.483 \%\nonumber \]
En promedio, los ingresos de WestJet han crecido 10.483% cada año de 2006 a 2010.
Referencias
- WestJet, Hoja informativa de WestJet, www.Westjet.com/pdf/investormedia/investorFactsheet.pdf (consultado el 10 de mayo de 2011).