1.2: Pendiente de una Línea
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En esta sección, aprenderás a:
- Encuentra la pendiente de una línea.
- Grafica la línea si se da un punto y la pendiente.
En la última sección, aprendimos a graficar una línea eligiendo dos puntos en la línea. También se puede determinar una gráfica de una línea si se conoce un punto y la “pendiente” de la línea. El número que se refiere a la inclinación o inclinación de una línea se denomina pendiente de la línea.
De cursos previos de matemáticas, muchos de ustedes recuerdan la pendiente como el “ascenso sobre carrera” o “el cambio vertical sobre el cambio horizontal” y a menudo la han visto expresada como:
\[\frac{\text {rise}}{\text {run}}, \frac{\text {vertical change}}{\text {horizontal change}}, \frac{\Delta y}{\Delta x} \text { etc. } \nonumber \]
Damos una definición precisa.
Si (\(x_1\),\(y_1\)) y (\(x_2\),\(y_2\)) son dos puntos diferentes en una línea, la pendiente de la línea es
\[\text{slope}=m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \label{slope} \]
Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos (−2, 3) y (4, −1), y grafica la línea.
Solución
Let (\(x_1\),\(y_1\)) = (−2, 3) y (\(x_2\),\(y_2\)) = (4, −1), entonces la pendiente (vía Ecuación\ ref {pendiente}) es
\(m = \frac{-1-3}{4-(-2)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\) |
Para darle al lector una mejor comprensión, se muestran tanto el cambio vertical, -4, como el cambio horizontal, 6, en la figura anterior.
Cuando se dan dos puntos, no importa qué punto se denota como (\(x_1\),\(y_1\)) y cuál (\(x_2\),\(y_2\)). El valor para la pendiente será el mismo.
En Ejemplo\(\PageIndex{1}\), si en su lugar elegimos (\(x_1\),\(y_1\)) = (4, −1) y (\(x_2\),\(y_2\)) = (−2, 3), entonces obtendremos el mismo valor para la pendiente que obtuvimos anteriormente.
Los pasos involucrados son los siguientes.
\[m = \frac{3-(-1)}{-2-4} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3} \nonumber \]
El alumno deberá observar además que
- si una línea sube al ir de izquierda a derecha, entonces tiene una pendiente positiva. En esta situación, a medida que\(x\) aumenta el valor de,\(y\) también aumenta el valor de
- si una línea cae yendo de izquierda a derecha, tiene una pendiente negativa; a medida que\(x\) aumenta el valor de, el valor de\(y\) disminuye.
Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos (2, 3) y (2, −1), y grafica.
Solución
Let (\(x_1\),\(y_1\)) = (2, 3) y (\(x_2\),\(y_2\)) = (2, −1) entonces la pendiente es
\[m = \frac{-1-3}{2-2}=\frac{4}{0}=\text{undefined.} \nonumber \]
Nota: La pendiente de una línea vertical es indefinida.
Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos (−1, −4) y (3, −4)
Solución
Let (\(x_1\),\(y_1\)) = (−1, −4) y (\(x_2\),\(y_2\)) = (3, −4), entonces la pendiente es
\[ m = \frac{-4-(-4)}{3-(-1)} = \frac{0}{4} = 0 \nonumber \]
Nota: La pendiente de una línea horizontal es 0
Grafica la línea que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente\(-\frac{3}{4}\).
Solución
Pendiente es igual\(\frac{\text{rise}}{\text{run}}\). El hecho de que la pendiente sea\(\frac{-3}{4}\), significa que por cada subida de -3 unidades (caída de 3 unidades) hay una carrera de 4. Entonces si desde el punto dado (1, 2) bajamos 3 unidades y vamos a la derecha 4 unidades, llegamos al punto (5, -1). La gráfica se obtiene conectando estos dos puntos.
Alternativamente, dado que\(\frac{3}{-4}\) representa el mismo número, la línea se puede dibujar comenzando en el punto (1,2) y eligiendo una subida de 3 unidades seguida de una tirada de -4 unidades. Entonces desde el punto (1, 2), subimos 3 unidades, y hacia la izquierda 4, llegando así al punto (-3, 5) que también está en la misma línea. Ver la figura a continuación.
Encuentra la pendiente de la línea\(2x + 3y = 6\).
Solución
Para encontrar la pendiente de esta línea, elegiremos dos puntos cualesquiera en esta línea.
Nuevamente, la selección\(x\) e\(y\) intercepta parece ser una buena opción. El\(x\) -intercepto es (3, 0), y el\(y\) -intercepto es (0, 2). Por lo tanto, la pendiente es
\[m = \frac{2-0}{0-3} =-\frac{2}{3}. \nonumber \]
La gráfica de abajo muestra la línea y las\(x\) -intercepta e\(y\) -intercepta:
Encuentra la pendiente de la línea\(y = 3x + 2\).
Solución
Nuevamente encontramos dos puntos en la línea, por ejemplo, (0, 2) y (1, 5). Por lo tanto, la pendiente es
\[m =\frac{5-2}{1-0} = \frac{3}{1} = 3. \nonumber \]
Mira las pendientes y las\(y\) -intercepciones de las siguientes líneas.
La línea | pendiente | \(y\)-interceptar |
---|---|---|
\(y=3x+2\) | 3 | \ (y\) -intercepta">2 |
\(y=-2x+5\) | -2 | \ (y\) -intercepta">5 |
\(y=\frac{3}{2}x-4\) | \(\frac{3}{2}\) | \ (y\) -intercepta">-4 |
No es casualidad que cuando se resuelve una ecuación de la línea para\(y\), el coeficiente del\(x\) término representa la pendiente, y el término constante representa la\(y\) -intercepción.
En otras palabras, para la línea\(y = mx + b\),\(m\) es la pendiente, y\(b\) es la\(y\) -intercepción.
Determinar la pendiente y\(y\) -intercepción de la línea\(2x + 3y = 6\).
Solución
Resolvemos para\(y\):
\ begin {alinear*}
&2 x+3 y=6\ nonumber\\
&3 y=-2 x+6\ nonumber\\
&y =( -2/3) x+2\ nonumber
\ end {align*}
La pendiente = el coeficiente del\(x\) término = − 2/3.
El\(y\) -intercept = el término constante = 2.