1.3: Determinar la ecuación de una línea
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En esta sección, aprenderás a:
- Encuentra una ecuación de una línea si se dan un punto y la pendiente.
- Encuentra una ecuación de una línea si se dan dos puntos.
Hasta el momento, nos dieron una ecuación de una línea y se nos pidió que dieran información al respecto. Por ejemplo, nos pidieron encontrar puntos en la línea, encontrar su pendiente e incluso encontrar intercepciones. Ahora vamos a revertir el proceso. Es decir, se nos dará o bien dos puntos, o un punto y la pendiente de una línea, y se nos pedirá que encontremos su ecuación.
Una ecuación de una línea se puede escribir en tres formas, la forma pendiente-intercepción, la forma punto-pendiente o la forma estándar. Discutiremos cada uno de ellos en esta sección.
Una línea está completamente determinada por dos puntos, o por un punto y pendiente. La información que se nos dé sobre una línea en particular influirá en qué forma de la ecuación es más conveniente usar. Una vez que conocemos cualquier forma de la ecuación de una línea, es fácil volver a expresar la ecuación en las otras formas si es necesario.
LA FORMA DE SUJETA-INTERCEPT DE UNA LÍNEA:\(y = mx + b\)
En la última sección aprendimos que la ecuación de una línea cuya pendiente =\(m\) y
\(y\) -intercept =\(b\) es\[\mathbf{y=mx+b}. \nonumber \] Esto se llama la forma pendiente-intercepción de la línea y es la forma más utilizada.
Encuentra una ecuación de una línea cuya pendiente es 5, y\(y\) -intercepción es 3.
Solución
Dado que la pendiente es\(m = 5\), y la\(y\) - intercepción es\(b = 3\), la ecuación es\(y = 5x + 3\).
Encuentra la ecuación de la línea que pasa por el punto (\(2, 7\)) y tiene pendiente\(3\).
Solución
Ya que\(m = 3\), la ecuación parcial es\(y = 3x + b\).
Ahora se\(b\) puede determinar sustituyendo el punto (\(2, 7\)) en la ecuación\(y = 3x + b\).
\ begin {alineado}
&7=3 (2) +b\ nonumber\\
&b=1\ nonumber
\ end {alineado}
Por lo tanto, la ecuación es\(y = 3x + 1\).
Encuentra una ecuación de la línea que pasa por los puntos (-1, 2), y (1, 8).
Solución
\(m=\frac{8-2}{1-(-1)}=\frac{6}{2}=3\). Entonces la ecuación parcial es\(y = 3x + b\).
Podemos utilizar cualquiera de los dos puntos (-1, 2) o (1, 8), para encontrar\(b\). Sustituyendo (-1, 2) da
\ begin {alineado}
&2=3 (-1) +b\ nonumber\\
&5=b\ nonumber
\ end {alineado}
Entonces la ecuación es\(y = 3x +5\).
Encuentra una ecuación de la línea que tiene\(x\) -interceptar 3, y\(y\) -interceptar 4.
Solución
\(x\)-intercept = 3, y\(y\) -intercept = 4 corresponden a los puntos (3, 0), y (0, 4), respectivamente.
\[ m=\frac{4-0}{0-3} = -\frac{4}{3} \nonumber \]
Se nos dice que la\(y\) -intercepción es 4; así\(b\) = 4
Por lo tanto, la ecuación es\(y = -\frac{4}{3} x + 4\).
LA FORMA DE PUNTO DE LENDENTE DE UNA LÍNEA\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
La forma punto-pendiente es útil cuando conocemos dos puntos en la línea y queremos encontrar la ecuación de la línea.
Dejar\(L\) ser una línea con pendiente\(m\), y se sabe que contiene un punto específico (\(x_1\),\(y_1\)). Si (\(x, y\)) es cualquier otro punto de la línea\(L\), entonces la definición de una pendiente nos lleva a la forma de pendiente puntual o fórmula de pendiente puntual.
La pendiente es\( \frac{y-y_1}{x-x_1}= m\)
Multiplicar ambos lados por (\(x-x_1\)) da la forma punto-pendiente:
\[\mathbf{y - y_1 = m(x - x_1)} \nonumber \]
Encuentra la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea que tiene pendiente 1.5 y pasa por el punto (12,4).
Solución
Sustituyendo el punto\((x_1,y_1) = (12,4)\) y\(m= 1.5\) en la fórmula punto-pendiente, obtenemos
\[\mathbf{y - y_1 = m(x - x_1)} \nonumber \]
\[y - 4 = 1.5(x - 12) \nonumber \]
El estudiante puede tener la tentación de simplificarlo en la forma de intercepción de pendiente\(y = mx + b\). Pero como el problema solicita específicamente la forma de pendiente puntual no lo simplificaremos.
LA FORMA ESTÁNDAR DE UNA LÍNEA:\(Ax + By = C\)
Otra forma útil de la ecuación de una línea es la forma estándar.
Si conocemos la ecuación de una línea en forma de punto-pendiente\(y - y_1 = m(x - x_1)\), o si conocemos la ecuación de la línea en forma pendiente-intercepción\(y = mx + b\), podemos simplificar la fórmula para tener todos los términos para las\(y\) variables\(x\) y en un lado de la ecuación, y la constante en el otro lado de la ecuación.
El resultado se conoce como la forma estándar de la línea:\[\mathbf{Ax + By = C}. \nonumber \]
Usando la fórmula punto-pendiente, encuentra la forma estándar de una ecuación de la línea que pasa por el punto (2, 3) y tiene pendiente\(-3/5\).
Solución: Sustituyendo el punto (2, 3) y\(m= - 3/5\) en la fórmula punto-pendiente, obtenemos
\[y - 3 = - 3/5(x - 2) \nonumber \]
Multiplicar ambos lados por 5 nos da
\ begin {alineado}
&5 (y-3) =-3 (x-2)\\
&5 y-15=-3 x+6\\
&3 x+5 y=21\ quad\ text {Forma estándar}
\ end {alineado}
Encuentra la forma estándar de la línea que pasa por los puntos (1, -2), y (4, 0).
Solución
Primero encontramos la pendiente:\(m = \frac{0-(-2)}{4-1} = \frac{2}{3}\)
Entonces, la forma punto-pendiente es:\(y - (-2) = \frac{2}{3}(x -1)\)
Multiplicar ambos lados por 3 nos da
\ begin {alineado} &3 (y+2) =2 (x-1)\\
&3 y+6=2 x-2\\
&-2 x+3 y=-8\\
&2 x-3 y=8\ quad\ text {Forma estándar}\ end {alineado}
Siempre debemos poder convertir de una forma de ecuación a otra. Por ejemplo, si se nos da una línea en la forma pendiente-intercepción, deberíamos poder expresarla en la forma estándar, y viceversa.
Escribe la ecuación\(y = -\frac{2}{3}x + 3\) en la forma estándar.
Solución
Multiplicando ambos lados de la ecuación por 3, obtenemos
\ begin {aligned}
&3y = -2x + 9\\
&2x + 3y = 9\ quad\ text {Forma estándar}
\ end {alineado}
Escribe la ecuación\(3x - 4y = 10\) en la forma pendiente-intercepción.
Solución
Resolviendo para\(y\), obtenemos
\ begin {alineado}
&-4y = -3x + 10\\
&y =\ frac {3} {4} x -\ frac {5} {2}\ quad\ text {Forma estándar}
\ end {alineado}
Finalmente, aprendemos una manera muy rápida y fácil de escribir una ecuación de una línea en la forma estándar. Pero primero debemos aprender a encontrar la pendiente de una línea en la forma estándar por inspección.
Al resolver para\(y\), se puede demostrar fácilmente que la pendiente de la línea\(Ax + By = C\) es\(-A/B\).
El lector debe verificar esto.
Encuentra la pendiente de las siguientes líneas, por inspección.
- \(3x-5y=10\)
- \(2x+7y=20\)
- \(4x-3y=8\)
Solución
- \(A=3\)\(B=-5\), por lo tanto,\(m=\frac{3}{-5}=\frac{3}{5}\)
- \(A=2\)\(B=7\), por lo tanto,\(m=-\frac{2}{7}\)
- \(m=\frac{4}{-3}=\frac{4}{3}\)
Ahora que sabemos encontrar la pendiente de una línea en la forma estándar por inspección, nuestro trabajo en encontrar la ecuación de una línea va a ser fácil.
Encuentra una ecuación de la línea que pasa por (2, 3) y tiene pendiente - 4/5.
Solución
Como la pendiente de la recta es - 4/5, sabemos que el lado izquierdo de la ecuación es\(4x + 5y\), y la ecuación parcial va a ser
\[4x + 5y = c \nonumber \]
Por supuesto, se\(c\) puede encontrar fácilmente sustituyendo por\(x\) y\(y\).
\ begin {alineado}
&4 (2) +5 (3) =c\\
&23=c
\ end {alineado}
La ecuación deseada es
\[4x + 5y = 23. \nonumber \]
Si usas este método con la frecuencia suficiente, puedes hacer estos problemas muy rápidamente.
Resumimos las formas para ecuaciones de una línea a continuación:
Forma de intercepción de pendiente:\(\mathbf{y = mx + b}\),
donde\(m\) = pendiente,\(b\) =\(y\) -intercepción
Forma de pendiente de punto:\(\mathbf{y - y_1 = m(x - x_1)}\),
donde\(m\) = pendiente,\((x_1,y_1)\) es un punto en la línea
Forma estándar:\(\mathbf{Ax + By = C}\)
Línea horizontal:\(\mathbf{y = b}\)
donde\(b\) =\(y\) -interceptar
Línea vertical:\(\mathbf{x = a}\)
donde\(a\) =\(x\) -interceptar