2.4: Matrices inversas

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, aprenderás a:

1. Encuentra la inversa de una matriz, si existe.
2. Utilice inversos para resolver sistemas lineales.

En esta sección, aprenderemos a encontrar la inversa de una matriz, si existe. Posteriormente, utilizaremos inversiones matriciales para resolver sistemas lineales.

Definición de una Inversa: Una$n \times n$ matriz tiene una inversa si existe una matriz$B$ tal que$AB = BA = I_n$, donde$I_n$ es una matriz de$n \times n$ identidad. El inverso de una matriz$A$, si existe, se denota con el símbolo$A^{-1}$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Dadas las matrices$A$ y$B$ por debajo, verificar que son inversas.

\ [A=\ left [\ begin {array} {ll}
4 & 1\\
3 & 1
\ end {array}\ right]\ quad B=\ left [\ begin {array} {cc}
1 & -1\\
-3 & 4
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Solución

Las matrices son inversas si el producto$AB$ y$BA$ ambas son iguales a la matriz de identidad de dimensión$2 \times 2$:$I_2$,

\ [\ mathrm {AB} =\ left [\ begin {array} {ll}
4 & 1\\
3 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {cc}
1 & -1\\
-3 & 4
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ right] =\ mathrm {I} _ {2}\ nonumber\]

y

\ [\ mathrm {BA} =\ left [\ begin {array} {cc}
1 & -1\\
-3 & 4
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
4 & 1\\
3 & 1
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ right] =\ mathrm {I} _ {2}\ nonumber\]

Claramente ese es el caso; por lo tanto, las matrices A y B son inversas entre sí.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encuentra la inversa de la matriz\ (\ mathrm {A} =\ left [\ begin {array} {ll}
3 & 1\\
5 & 2
\ end {array}\ right]\).

Solución

Supongamos que$A$ tiene una inversa, y es

\ [B=\ left [\ begin {array} {ll}
a & b\\
c & d
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Entonces$AB = I_2$:\ (\ left [\ begin {array} {cc}
3 & 1\\
5 & 2
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
a & b\\
c & d
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 0\\
0 & ; 1
\ end {array}\ right] =I_ {2}\)

Después de multiplicar las dos matrices del lado izquierdo, obtenemos

\ [\ left [\ begin {array} {cc}
3 a+c & 3 b+d\\
5 a+2 c & 5 b+2 d
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {cc}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Al igualar las entradas correspondientes, obtenemos cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:

\ [\ begin {array} {ll}
3 a+c=1 & 3 b+d=0\\
5 a+2 c=0 & 5 b+2 d=1
\ end {array}\ nonumber\]

Resolviendo este sistema, obtenemos:$a = 2 \quad b = -1 \quad c = -5 \quad d = 3$
Por lo tanto, la inversa de la matriz$A$ es\ (B=\ left [\ begin {array} {cc}
2 & -1\\
-5 & 3
\ end {array}\ right]\ nonumber\)

En este problema, encontrar la inversa de la matriz$A$ equivalía a resolver el sistema de ecuaciones:

\ [\ begin {array} {ll}
3 a+c=1 & 3 b+d=0\\
5 a+2 c=0 & 5 b+2 d=1
\ end {array}\ nonumber\]

En realidad, se puede escribir como dos sistemas, uno con variables$a$ y$c$, y el otro con$b$ y$d$. Las matrices aumentadas para ambas se dan a continuación.

\ [\ left [\ begin {array} {llll}
3 & 1 & | & 1\\
5 & 2 & | & 0
\ end {array}\ right]\ text {y}\ left [\ begin {array} {llll}
3 & 1 & | & 0\\
5 & 2 & | & 1
\ end {array}\ right]\ nonumber \]

Al observar las dos matrices aumentadas, notamos que la matriz de coeficientes para ambas matrices es la misma. Esto implica que las operaciones de fila del método Gauss-Jordan también serán las mismas. Se puede guardar una gran cantidad de trabajo si las dos columnas de la derecha se agrupan para formar una matriz aumentada como se muestra a continuación.

\ [\ left [\ begin {array} {lllll}
3 & 1 & | & 1 & 0\\
5 & 2 & | & 0 & 0 & 1
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Y resolviendo este sistema, obtenemos

La matriz en el lado derecho de la línea vertical es la$A^{-1}$ matriz.

Lo que acabas de presenciar no es casualidad. Este es el método que a menudo se emplea para encontrar la inversa de una matriz. Enumeramos los pasos, de la siguiente manera:

El método para encontrar la inversa de una matriz

1. Escribe la matriz aumentada$[ A | I_n ]$.

2. Escriba la matriz aumentada en el paso 1 en forma de escalón de fila reducida.

3. Si la forma de escalón de fila reducida en 2 es$[ I_n | B]$, entonces$B$ es la inversa de$A$.

4. Si el lado izquierdo del escalón reducido de fila no es una matriz de identidad, la inversa no existe.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Dada la matriz A a continuación, encuentra su inversa.

\ [A=\ left [\ begin {array} {ccc}
1 & -1 & 1\\
2 & 3 & 0\\
0 & -2 & 1
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Solución

Escribimos la matriz aumentada de la siguiente manera.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccccc}
1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0 & | & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & | &
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & 0
& | & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & |

Reduciremos esta matriz usando el método Gauss-Jordan.

Multiplicando la primera fila por -2 y agregándola a la segunda fila, obtenemos

\ [\ left [\ begin {array} {ccccccc}
1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 5 & -2 & | & -2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 1
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Si intercambiamos la segunda y tercera filas, obtenemos

\ [\ left [\ begin {array} {ccccccc}
1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0\\
0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1\\
0 & 5 & -2 & | & -2 & 1 & 0
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Divide la segunda fila entre -2. El resultado es

\ [\ left [\ begin {array} {ccccccc}
1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1/2 & | & 0 & 0 & -1/2\\
0 & 5 & -2 & | & -2 & 1 & 0
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Hagamos aquí dos operaciones. 1) Agrega la segunda fila a la primera, 2) Agrega -5 veces la segunda fila a la tercera. Y conseguimos

\ [\ left [\ begin {array} {ccccccc}
1 & 0 & 1/2 & | & 1 & 0 & -1/2\\
0 & 1 & -1/2 & | & 0 & 0 & -1/2\\
0 & 0 & 1/2 & | & -2 & 1 & 5/2/2
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Multiplicar la tercera fila por 2 resultados en

\ [\ left [\ begin {array} {ccccccc}
1 & 0 & 1/2 & | & 1 & 0 & -1/2\\
0 & 1 & -1/2 & | & 0 & 0 & -1/2\\
0 & 0 & 1 & | & -4 & 2 & 5
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Multiplica la tercera fila por 1/2 y agrégalo a la segunda.
Además, multiplica la tercera fila por -1/2 y agrégala a la primera.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccrrr}
1 & 0 & 0 & | & 3 & -1 & -3\\
0 & 1 & 0 & | & -2 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & | & -4 & 2 & 5
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Por lo tanto, la inversa de la matriz$A$ es\ (\ mathrm {A} ^ {-1} =\ left [\ begin {array} {rrr}
3 & -1 & -3\\
-2 & 1 & 2\\
-4 & 2 & 5
\ end {array}\ right]\)

Se debe verificar el resultado multiplicando las dos matrices para ver si el producto, efectivamente, iguala a la matriz de identidad.

Ahora que sabemos encontrar la inversa de una matriz, usaremos inversos para resolver sistemas de ecuaciones. El método es análogo a resolver una ecuación simple como la siguiente.

$$\frac{2}{3}x = 4 \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Resuelve la siguiente ecuación:$\frac{2}{3}x = 4$

Solución

Para resolver la ecuación anterior, multiplicamos ambos lados de la ecuación por la inversa multiplicativa de la$\frac{2}{3}$ cual pasa a ser$\frac{3}{2}$. Obtenemos

\ [\ begin {array} {l}
\ frac {3} {2}\ cdot\ frac {2} {3} x=4\ cdot\ frac {3} {2}\\
x=6
\ end {array}\ nonumber\]

Utilizamos el Ejemplo$\PageIndex{4}$ como analogía para mostrar cómo se$AX = B$ resuelven los sistemas lineales de la forma.

Para resolver un sistema lineal, primero escribimos el sistema en la ecuación matricial$AX = B$, donde$A$ está la matriz de coeficientes,$X$ la matriz de variables y$B$ la matriz de términos constantes.
Luego multiplicamos ambos lados de esta ecuación por el inverso multiplicativo de la matriz$A$.

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Resuelve el siguiente sistema

\ begin {alineado}
3 x+y&=3\\
5 x+2 y&=4
\ end {alineado}

Solución

Para resolver la ecuación anterior, primero expresamos el sistema como

$$AX = B \nonumber$$

donde A es la matriz de coeficientes y B es la matriz de términos constantes. Obtenemos

\ [\ left [\ begin {array} {ll}
3 & 1\\
5 & 2
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
x\\
y
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
3\\
4
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Para resolver este sistema, multiplicamos ambos lados de la ecuación matricial$AX = B$ por$A^{-1}$. La multiplicación matricial no es conmutativa, por lo que necesitamos multiplicar por$A^{-1}$ a la izquierda en ambos lados de la ecuación.

Matrix$A$ es la misma matriz$A$ cuya inversa encontramos en Ejemplo$\PageIndex{2}$, así que\ (\ mathrm {A} ^ {-1} =\ left [\ begin {array} {cc}
2 & -1\\
-5 & 3
\ end {array}\ right]\)

Multiplicando ambos lados por$A^{-1}$, obtenemos

\ [\ begin {array} {c}
{\ left [\ begin {array} {cc}
2 & -1\\
-5 & 3
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {cc}
3 & 1\\
5 & 2
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {c}
x\\
y
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {cc}
2 & -1\\
-5 & 3
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {c}
3\\
4
\ end {array}\ right]}\\
{\ left [\ begin {array} {cc}
1 & 0\\
0 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {c}
x\\
y
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c}
2\\
-3
\ end {array}\ right]}\\
{\ left [\ begin {array} { c}
x\\
y
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c}
2\\
-3\ end {array}
\ right]}\ end {array}
\ end {array}\ nonumber\]

Por lo tanto$x = 2$,, y$y = -3$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Resuelve el siguiente sistema:

\ begin {alineado}
x-y+z &=6\\
2 x+3 y &=1\\
-2 y+z &=5
\ end {alineado}

Solución

Para resolver la ecuación anterior, escribimos el sistema en forma de matriz de la$AX = B$ siguiente manera:

\ [\ left [\ begin {array} {rrr}
1 & -1 & 1\\
2 & 3 & 0\\
0 & -2 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
x\\
y\
z
\ end {array}\ right] -\ left [\ begin {array} {l}
6\\
1\\
5
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Para resolver este sistema, necesitamos la inversa de$A$. De Ejemplo$\PageIndex{3}$,\ (\ mathrm {A} ^ {-1} =\ left [\ begin {array} {rrr}
3 & -1 & -3\\
-2 & 1 & 2\\
-4 & 2 & 5
\ end {array}\ right]\)

Multiplicando ambos lados de la ecuación matricial$AX = B$ de la izquierda por$A^{-1}$, obtenemos

\ [\ left [\ begin {array} {rrr}
3 & -1 & -3\\
-2 & 1 & 2\\
-4 & 2 & 5
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {rrr}
1 & 1 & 1\\
2 & 3 & 0\\
0 & 2 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
x\\
y\\
z
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {rrr}
3 & -1 & -3\\
-2 & 1 & 2\\
-4 & 2 & 2 & 5
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
6\\
1\\
5
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Después de multiplicar las matrices, obtenemos

\ begin {aligned}
{\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
x\\
y\
z
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {r}
2\\
-1\
3
\ end {array}\ right]}\\
{\ left [\ begin {array} {l}
x\\
y\
z
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {r}
2\\
- 1\\
3
\ end {array}\ derecha]}
\ end {alineado}

Recordamos al lector que no todos los sistemas de ecuaciones pueden resolverse mediante el método inverso de la matriz. Aunque el método Gauss-Jordan funciona para cada situación, el método inverso de matriz funciona solo en los casos en que existe la inversa de la matriz cuadrada. En tales casos el sistema tiene una solución única.

El método para encontrar la inversa de una matriz

1. Escribe la matriz aumentada$\left[\mathrm{A} | \mathrm{I}_{\mathrm{n}}\right]$.
2. Escriba la matriz aumentada en el paso 1 en forma de escalón de fila reducida.
3. Si la forma de escalón de fila reducida en 2 es$\left[\mathrm{I}_{\mathrm{n}} | \mathrm{B}\right]$, entonces$B$ es la inversa de$A$.
4. Si el lado izquierdo del escalón reducido de fila no es una matriz de identidad, la inversa no existe.

El método para resolver un sistema de ecuaciones cuando existe una solución única

1. Expresar el sistema en la ecuación matricial$AX = B$.

2. Para resolver la ecuación$AX = B$, multiplicamos en ambos lados por$A^{-1}$.

$$AX = B \nonumber$$

$$A^{-1}AX = A^{-1}B \nonumber$$

$$I X = A^{-1}B \text{ where } I \text{ is the identity matrix} \nonumber$$