5.2.1: Resolver problemas porcentuales

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Objetivos de aprendizaje

Identificar la cantidad, la base y el porcentaje en un problema de porcentaje.
Encuentra lo desconocido en un problema porcentual.

Introducción

Los porcentajes son una relación de un número y 100, por lo que son más fáciles de comparar que las fracciones, ya que siempre tienen el mismo denominador, 100. Una tienda puede tener un 10% de descuento en la venta. El monto ahorrado es siempre la misma porción o fracción del precio, pero un precio más alto significa que se quita más dinero. Las tasas de interés en una cuenta de ahorro funcionan de la misma manera. Cuanto más dinero pongas en tu cuenta, más dinero obtendrás en intereses. Es útil entender cómo se calculan estos porcentajes.

Problema de partes de un porcentaje

Jeff tiene un cupón en Guitar Store por 15% de descuento en cualquier compra de $100 o más. Quiere comprar una guitarra usada que tenga un precio de 220 dólares en ella. Jeff se pregunta cuánto dinero le quitará el cupón al precio original de $220.

Los problemas que involucran porcentajes tienen tres cantidades cualesquiera con las que trabajar: el porcentaje, la cantidad y la base.

El porcentaje tiene el símbolo de porcentaje (%) o la palabra “por ciento”. En el problema anterior, 15% es el porcentaje de descuento en el precio de compra.
La base es la cantidad total. En el problema anterior, el precio total de la guitarra es de 220 dólares, que es la base.
El monto es el número que se relaciona con el porcentaje. Siempre es parte del todo. En el problema anterior, se desconoce la cantidad. Dado que el porcentaje es el porcentaje de descuento, el monto será el monto fuera del precio.

Volverás a este problema un poco más tarde. Los siguientes ejemplos muestran cómo identificar las tres partes: el porcentaje, la base y la cantidad.

Ejemplo

Identificar el porcentaje, la cantidad y la base en este problema.

¿30 es 20% de qué número?

Solución

Por ciento: El porcentaje es el número con el símbolo%: 20%.

Base: La base es la cantidad total, que en este caso se desconoce.

Monto: El monto basado en el porcentaje es de 30.

Respuesta:

Por ciento= 20%

Importe = 30

base=Desconocido

El problema anterior establece que 30 es una porción de otro número. Eso significa que 30 es la cantidad. Tenga en cuenta que este problema podría reescribirse: ¿20% de qué número es 30?

Ejercicio

Identificar el porcentaje, la base y la cantidad en este problema:

¿Cuál por ciento de 30 es 3?

Contestar: Se desconoce el porcentaje, porque el problema dice "¿Qué porcentaje?” La base es el todo en la situación, por lo que la base es 30. El monto es la porción del conjunto, que es 3 en este caso.

Resolver con ecuaciones

Los problemas porcentuales se pueden resolver escribiendo ecuaciones. Una ecuación utiliza un signo igual (=) para mostrar que dos expresiones matemáticas tienen el mismo valor.

Los porcentajes son fracciones, y al igual que las fracciones, al encontrar un porcentaje (o fracción, o porción) de otra cantidad, se multiplica.

El porcentaje de la base es la cantidad.

Por ciento de la Base es el Monto.

\[\ \text { Percent } {\color{red}\cdot}\text { Base }{\color{blue}=}\text { Amount } \nonumber \]

En los ejemplos siguientes, lo desconocido está representado por la letra$\ n$. Lo desconocido puede ser representado por cualquier letra o una caja$\ \square$ o incluso un signo de interrogación.

Ejemplo

Escribe una ecuación que represente el siguiente problema.

¿30 es 20% de qué número?

Solución

¿20% de qué número es 30?

Reescribe el problema en la forma “por ciento de base es cantidad”.

Por ciento es: 20%

La base es: desconocido

La cantidad es: 30

Identificar el porcentaje, la base y la cantidad.

$\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$

$\ 20 \% \cdot n=30$

Escribe la ecuación porcentual. usando$\ n$ para la base, que es el valor desconocido.

$\ 20 \% \cdot n=30$

Una vez que tengas una ecuación, puedes resolverla y encontrar el valor desconocido. Para ello, piense en la relación entre multiplicación y división. Mira los pares de datos de multiplicación y división a continuación, y busca un patrón en cada fila.

Multiplicación	División
$\ 2 \cdot 3=6$	$\ 6 \div 2=3$
$\ 8 \cdot 5=40$	$\ 40 \div 8=5$
$\ 7 \cdot 4=28$	$\ 28 \div 7=4$
$\ 6 \cdot 9=54$	$\ 54 \div 6=9$

La multiplicación y la división son operaciones inversas. Lo que uno le hace a un número, el otro “deshace”.

Cuando tienes una ecuación como$\ 20 \% \cdot n=30$, puedes dividir 30 por 20% para encontrar lo desconocido:$\ n=30 \div 20 \%$.

Esto se puede resolver escribiendo el porcentaje como decimal o fracción y luego dividiendo.

$\ n=30 \div 20 \%=30 \div 0.20=150$

Ejemplo

¿Cuál por ciento de 72 es 9?

Solución

Por ciento: desconocido Base: 72 Monto: 9	Identificar el porcentaje, la base y la cantidad.
$\ n \cdot 72=9$	Escribe la ecuación porcentual:$\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$. Utilizar$\ n$ para lo desconocido (por ciento).
$\ n=9 \div 72$	Dividir para deshacer la multiplicación de$\ n$ tiempos 72.
\ (\\ begin {array} {r} 0.125\\\ 72\ longdiv {9.000} \ end {array}\)	Divide 9 por 72 para encontrar el valor para$\ n$, lo desconocido.
$\ n=0.125$ $\ n=12.5 \%$	Mueve el punto decimal dos lugares a la derecha para escribir el decimal como porcentaje.

$\ 12.5 \% \text { of } 72 \text { is } 9$.

Puedes estimar para ver si la respuesta es razonable. Usa 10% y 20%, números cercanos al 12.5%, para ver si te acercan a la respuesta.

$\ 10 \% \text { of } 72=0.1 \cdot 72=7.2$

$\ 20 \% \text { of } 72=0.2 \cdot 72=14.4$

Observe que 9 está entre 7.2 y 14.4, por lo que 12.5% es razonable ya que está entre 10% y 20%.

Ejemplo

¿Qué es 110% de 24?

Solución

Por ciento: 110% Base: 24 Monto: desconocido	Identificar el porcentaje, la base y la cantidad.
$\ 110 \% \cdot 24=n$	Escribe la ecuación porcentual. $\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$. Se desconoce la cantidad, por lo que usa$\ n$.
$\ 1.10 \cdot 24=n$	Escribe el porcentaje como decimal moviendo el punto decimal dos lugares hacia la izquierda.
$\ 1.10 \cdot 24=26.4=n$	Multiplica 24 por 1.10 o 1.1.

$\ 26.4 \text { is } 110 \% \text { of } 24$.

Este problema es un poco más fácil de estimar. 100% de 24 es 24. Y el 110% es un poco más de 24. Entonces, 26.4 es una respuesta razonable.

Ejercicio

¿18 es qué porcentaje de 48?

$\ 0.375 \%$
$\ 8.64 \%$
$\ 37.5 \%$
$\ 864 \%$

Contestar

$\ 0.375 \%$
Incorrecto. Es posible que hayas calculado correctamente, pero olvidaste mover el punto decimal cuando reescribiste tu respuesta como porcentaje. La ecuación para este problema es$\ n \cdot 48=18$. La división correspondiente es$\ 18 \div 48$, así$\ n=0.375$. Reescribir este decimal como porcentaje da la respuesta correcta,$\ 37.5 \%$.
$\ 8.64 \%$
Incorrecto. Es posible que hayas usado$\ 18$ o$\ 48$ como el porcentaje, en lugar de la cantidad o base. La ecuación para este problema es$\ n \cdot 48=18$. La división correspondiente es$\ 18 \div 48$, así$\ n=0.375$. Reescribir este decimal como porcentaje da la respuesta correcta,$\ 37.5 \%$.
$\ 37.5 \%$
Correcto. La ecuación para este problema es$\ n \cdot 48=18$. La división correspondiente es$\ 18 \div 48$, así$\ n=0.375$. Reescribir este decimal como un porcentaje da$\ 37.5 \%$.
$\ 864 \%$
Incorrecto. Probablemente usaste 18 o 48 como porcentaje, en lugar de la cantidad o base, y además olvidaste reescribir el porcentaje como decimal antes de multiplicar. La ecuación para este problema es$\ n \cdot 48=18$. La división correspondiente es$\ 18 \div 48$, así$\ n=0.375$. Reescribir este decimal como porcentaje da la respuesta correcta,$\ 37.5 \%$.

Uso de proporciones para resolver problemas porcentuales

Los problemas porcentuales también se pueden resolver escribiendo una proporción. Una proporción es una ecuación que establece dos proporciones o fracciones iguales entre sí. Con problemas por ciento, uno de los ratios es el porcentaje, escrito como$\ \frac{n}{100}$. La otra relación es la cantidad a la base.

$\ \text { Percent }=\frac{\text { amount }}{\text { base }}$

Ejemplo

Escribe una proporción para encontrar la respuesta a la siguiente pregunta.

¿30 es 20% de qué número?

Solución

$\ \frac{20}{100}=\frac{\text { amount }}{\text { base }}$	El porcentaje en este problema es del 20%. Escribe este porcentaje en forma fraccional, con 100 como denominador.
$\ \frac{20}{100}=\frac{30}{n}$	El porcentaje se escribe como la proporción$\ \frac{20}{100}$, el monto es 30, y se desconoce la base.
\ (\\ begin {array} {r} 20\ cdot n=30\ cdot 100\\ 20\ cdot n=3,000\ n=3,000\ div 20\\ n=150 \ end {array}\)	Cruzar multiplicar y resolver por lo desconocido,$\ n$, dividiendo 3 mil por 20.

30 es 20% de 150.

Ejemplo

¿Cuál por ciento de 72 es 9?

Solución

\ (\\ begin {array} {r} \ text {Porcentaje} =\ frac {\ text {cantidad}} {\ text {base}}\\ \ frac {n} {100} =\ frac {9} {72} \ end {array}\)	El porcentaje es la relación de$\ n$ a 100. El monto es 9, y la base es 72.
\ (\\ begin {array} {r} n\ cdot 72=9\ cdot 100\\ n\ cdot 72=900\\ n=900\ div 72\\ n=12.5 \ end {array}\)	Cruzar multiplicar y resolver para$\ n$ dividiendo 900 por 72.
$\ 12.5 \% \text { of } 72 \text { is } 9$	El porcentaje es$\ \frac{12.5}{100}=12.5 \%$.

Ejemplo

¿Qué es 110% de 24?

Solución

\ (\\ begin {array} {l} \ text {Porcentaje} =\ frac {\ text {cantidad}} {\ text {base}}\\ \ frac {110} {100} =\ frac {n} {24} \ end {array}\)	El porcentaje es la relación$\ \frac{110}{100}$. Se desconoce el monto, y la base es de 24.
\ (\\ begin {array} {r} 24\ cdot 110=100\ cdot n\\ 2.640\ div 100=n\\ 26.4=n \ end {array}\)	Cruzar multiplicar y resolver para$\ n$ dividiendo 2,640 por 100.
$\ 26.4 \text { is } 110 \% \text { of } 24$

Ejercicio

18 es 125% de qué número?

$\ 0.144$
$\ 14.4$
$\ 22.5$
$\ 694 \frac{4}{9}$(o sobre$\ 694.4$)

Contestar

$\ 0.144$
Incorrecto. Probablemente no escribiste una proporción y solo dividiste 18 por 125. O bien, configura incorrectamente una fracción como$\ \frac{18}{125}$ y establece esto igual a la base,$\ n$. El porcentaje en este caso es de 125%, por lo que una fracción en la proporción debería ser$\ \frac{125}{100}$. Se desconoce la base y la cantidad es 18, por lo que la otra fracción lo es$\ \frac{18}{n}$. Resolviendo la proporción$\ \frac{125}{100}=\frac{18}{n}$ da$\ n=14.4$.
$\ 14.4$
Correcto. El porcentaje en este caso es de 125%, por lo que una fracción en la proporción debería ser$\ \frac{125}{100}$. Se desconoce la base y la cantidad es 18, por lo que la otra fracción lo es$\ \frac{18}{n}$. Resolviendo la proporción$\ \frac{125}{100}=\frac{18}{n}$ da$\ n=14.4$.
$\ 22.5$
Incorrecto. Probablemente pones la cantidad (18) por encima de 100 en la proporción, en lugar del por ciento (125). Quizás pensaste que 18 era el por ciento y 125 era la base. La fracción porcentual correcta para la proporción es$\ \frac{125}{100}$. Se desconoce la base y la cantidad es 18, por lo que la otra fracción lo es$\ \frac{18}{n}$. Resolviendo la proporción$\ \frac{125}{100}=\frac{18}{n}$ da$\ n=14.4$.
$\ 694 \frac{4}{9}$(o sobre$\ 694.4$)
Incorrecto. Probablemente confundiste la cantidad (18) con el porcentaje (125) cuando establecías la proporción. La fracción porcentual correcta para la proporción es$\ \frac{125}{100}$. Se desconoce la base y la cantidad es 18, por lo que la otra fracción lo es$\ \frac{18}{n}$. Resolviendo la proporción$\ \frac{125}{100}=\frac{18}{n}$ da$\ n=14.4$.

Volvamos al problema que se planteó al principio. Ahora puedes resolver este problema como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Solución

¿Cuánto es 15% de $220?	Simplifica los problemas eliminando palabras extra.
Por ciento: 15% Base: 220 Monto:$\ n$	Identificar el porcentaje, la base y la cantidad.
$\ 15 \% \cdot 220=n$	Escribe la ecuación porcentual. $\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$
$\ 0.15 \cdot 220=33$	Convierte 15% a 0.15, luego multiplica por 220. 15% de $220 es $33.

El cupón le quitará $33 de descuento sobre el precio original.

Puedes estimar para ver si la respuesta es razonable. Ya que el 15% está a mitad de camino entre el 10% y el 20%, encuentra estos números.

\ (\\ begin {array} {l}
10\%\ text {de} 220=0.1\ cdot 220=22\\
20\%\ text {de} 220=0.2\ cdot 220=44
\ end {array}\)

La respuesta, 33, está entre 22 y 44. Entonces 33 dólares parece razonable.

Hay muchas otras situaciones que involucran porcentajes. A continuación se presentan solo algunos.

Ejemplo

Evelyn compró algunos libros en la librería local. Su factura total fue de 31.50 dólares, que incluía 5% de impuestos. ¿Cuánto costaron los libros antes de impuestos?

Solución

¿Qué número +5% de ese número es $31.50?	En este problema, sabes que el impuesto del 5% se agrega al costo de los libros. Entonces, si el costo de los libros es del 100%, el costo más impuestos es del 105%.
105% de lo que número = 31.50? Por ciento: 105% Base:$\ n$ Monto: 31.50	Identificar el porcentaje, la base y la cantidad.
$\ 105 \% \cdot n=31.50$	Escribe la ecuación porcentual. $\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$.
$\ 1.05 \cdot n=31.50$	Convierte 105% a decimal.
$\ n=31.50 \div 1.05=30$	Dividir para deshacer la multiplicación de$\ n$ tiempos 1.05.

Los libros cuestan $30 antes de impuestos.

Ejemplo

Susana trabajó 20 horas en su trabajo la semana pasada. Esta semana, trabajó 35 horas. En términos de un porcentaje, ¿cuánto más trabajó esta semana que la semana pasada?

Solución

¿35 es qué porcentaje de 20?	Simplifica el problema eliminando palabras adicionales.
Por ciento:$\ n$ Base: 20 Monto: 35	Identificar el porcentaje, la base y la cantidad.
$\ n \cdot 20=35$	Escribe la ecuación porcentual. $\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$.
$\ n=35 \div 20$	Dividir para deshacer la multiplicación de$\ n$ tiempos 20.
$\ n=1.75=175 \%$	Convertir 1.75 a un por ciento.

Ya que 35 es 175% de 20, Susana trabajó 75% más esta semana que la semana pasada. (Se puede pensar en esto como, “Susana trabajó el 100% de las horas que trabajó la semana pasada, así como 75% más”).

Resumen

Los problemas porcentuales tienen tres partes: el porcentaje, la base (o la totalidad), y la cantidad. Cualquiera de esas partes puede ser el valor desconocido a encontrar. Para resolver problemas porcentuales, puede usar la ecuación,$\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$, y resolver para los números desconocidos. O bien, se puede establecer la proporción,$\ \text { Percent }=\frac{\text { amount }}{\text { base }}$, donde el porcentaje es una relación de un número a 100. Entonces puedes usar la multiplicación cruzada para resolver la proporción.

Multiplicación	División
\(\ 2 \cdot 3=6\)	\(\ 6 \div 2=3\)
\(\ 8 \cdot 5=40\)	\(\ 40 \div 8=5\)
\(\ 7 \cdot 4=28\)	\(\ 28 \div 7=4\)
\(\ 6 \cdot 9=54\)	\(\ 54 \div 6=9\)

Por ciento: desconocido Base: 72 Monto: 9	Identificar el porcentaje, la base y la cantidad.
\(\ n \cdot 72=9\)	Escribe la ecuación porcentual:\(\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }\). Utilizar\(\ n\) para lo desconocido (por ciento).
\(\ n=9 \div 72\)	Dividir para deshacer la multiplicación de\(\ n\) tiempos 72.
\ (\\ begin {array} {r} 0.125\\\ 72\ longdiv {9.000} \ end {array}\)	Divide 9 por 72 para encontrar el valor para\(\ n\), lo desconocido.
\(\ n=0.125\) \(\ n=12.5 \%\)	Mueve el punto decimal dos lugares a la derecha para escribir el decimal como porcentaje.

\(\ \frac{20}{100}=\frac{\text { amount }}{\text { base }}\)	El porcentaje en este problema es del 20%. Escribe este porcentaje en forma fraccional, con 100 como denominador.
\(\ \frac{20}{100}=\frac{30}{n}\)	El porcentaje se escribe como la proporción\(\ \frac{20}{100}\), el monto es 30, y se desconoce la base.
\ (\\ begin {array} {r} 20\ cdot n=30\ cdot 100\\ 20\ cdot n=3,000\ n=3,000\ div 20\\ n=150 \ end {array}\)	Cruzar multiplicar y resolver por lo desconocido,\(\ n\), dividiendo 3 mil por 20.

\ (\\ begin {array} {r} \ text {Porcentaje} =\ frac {\ text {cantidad}} {\ text {base}}\\ \ frac {n} {100} =\ frac {9} {72} \ end {array}\)	El porcentaje es la relación de\(\ n\) a 100. El monto es 9, y la base es 72.
\ (\\ begin {array} {r} n\ cdot 72=9\ cdot 100\\ n\ cdot 72=900\\ n=900\ div 72\\ n=12.5 \ end {array}\)	Cruzar multiplicar y resolver para\(\ n\) dividiendo 900 por 72.
\(\ 12.5 \% \text { of } 72 \text { is } 9\)	El porcentaje es\(\ \frac{12.5}{100}=12.5 \%\).

\ (\\ begin {array} {l} \ text {Porcentaje} =\ frac {\ text {cantidad}} {\ text {base}}\\ \ frac {110} {100} =\ frac {n} {24} \ end {array}\)	El porcentaje es la relación\(\ \frac{110}{100}\). Se desconoce el monto, y la base es de 24.
\ (\\ begin {array} {r} 24\ cdot 110=100\ cdot n\\ 2.640\ div 100=n\\ 26.4=n \ end {array}\)	Cruzar multiplicar y resolver para\(\ n\) dividiendo 2,640 por 100.
\(\ 26.4 \text { is } 110 \% \text { of } 24\)

Por ciento: 110% Base: 24 Monto: desconocido	Identificar el porcentaje, la base y la cantidad.
\(\ 110 \% \cdot 24=n\)	Escribe la ecuación porcentual. \(\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }\). Se desconoce la cantidad, por lo que usa\(\ n\).
\(\ 1.10 \cdot 24=n\)	Escribe el porcentaje como decimal moviendo el punto decimal dos lugares hacia la izquierda.
\(\ 1.10 \cdot 24=26.4=n\)	Multiplica 24 por 1.10 o 1.1.

¿Cuánto es 15% de $220?	Simplifica los problemas eliminando palabras extra.
Por ciento: 15% Base: 220 Monto:\(\ n\)	Identificar el porcentaje, la base y la cantidad.
\(\ 15 \% \cdot 220=n\)	Escribe la ecuación porcentual. \(\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }\)
\(\ 0.15 \cdot 220=33\)	Convierte 15% a 0.15, luego multiplica por 220. 15% de $220 es $33.

¿35 es qué porcentaje de 20?	Simplifica el problema eliminando palabras adicionales.
Por ciento:\(\ n\) Base: 20 Monto: 35	Identificar el porcentaje, la base y la cantidad.
\(\ n \cdot 20=35\)	Escribe la ecuación porcentual. \(\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }\).
\(\ n=35 \div 20\)	Dividir para deshacer la multiplicación de\(\ n\) tiempos 20.
\(\ n=1.75=175 \%\)	Convertir 1.75 a un por ciento.