8.4.1: Probabilidad
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- Defina evento, resultado, ensayo, evento simple y espacio de muestra, y calcule la probabilidad de que ocurra un evento.
- Calcular la probabilidad de eventos para resultados más complejos.
- Resolver aplicaciones que involucran probabilidades.
Introducción
La probabilidad proporciona una medida de cuán probable es que ocurra algo. Es un número entre e incluyendo los números y 1. Se puede escribir como una fracción, un decimal, o un porcentaje.
Escogiendo números al azar significa que no hay un orden específico en el que se eligen. Muchos juegos usan dados o hilanderos para generar números al azar. Si entiendes cómo calcular las probabilidades, puedes tomar decisiones reflexivas sobre cómo jugar a estos juegos conociendo la probabilidad de varios resultados.
Definiciones
Primero necesitas conocer algunos términos relacionados con la probabilidad. Cuando se trabaja con probabilidad, una acción aleatoria o una serie de acciones se llama juicio. Un resultado es el resultado de un ensayo, y un evento es una colección particular de resultados. Los eventos generalmente se describen usando una característica común de los resultados.
Apliquemos este lenguaje para ver cómo funcionan los términos en la práctica. Algunos juegos requieren rodar un dado con seis lados, numerados del 1 al 6. (Dice es el plural de die.) La tabla a continuación ilustra el uso de prueba, resultado y evento para dicho juego:
| Juicio | Resultados | Ejemplos de Eventos |
| Rodando una matriz | Hay 6 posibles resultados: {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
Rodando un número par: {2, 4, 6} Rodando a 3: {3} Rodando un 1 o un 3: {1, 3} Rodando un 1 y un 3: {} (Solo se puede rodar un número, por lo que este resultado es imposible. El evento no tiene resultados en él.) |
Observe que una colección de resultados se pone en llaves y se separa por comas.
Un evento simple es un evento con un solo resultado. Rodando un 1 sería un evento sencillo, porque solo hay un resultado que funciona: ¡1! Rodar más de un 5 también sería un evento sencillo, porque el evento incluye solo 6 como resultado válido. Un evento compuesto es un evento con más de un resultado. Por ejemplo, al enrollar una matriz de seis lados, enrollar un número par podría ocurrir con uno de tres resultados: 2, 4 y 6.
Cuando haces rodar un dado de seis lados muchas veces, no debes esperar que algún resultado suceda con más frecuencia que otro (asumiendo que es un dado justo). Se dice que los resultados en una situación como esta son igualmente probables. Es muy importante reconocer cuándo los resultados son igualmente probables a la hora de calcular la probabilidad. Dado que cada resultado en la prueba de troquelado es igualmente probable, se esperaría obtener cada resultado\(\ \frac{1}{6}\) de los rollos. Es decir, se esperaría que\(\ \frac{1}{6}\) los rollos sean 1,\(\ \frac{1}{6}\) de los rollos sean 2,\(\ \frac{1}{6}\) de los rollos sean 3, y así sucesivamente.
Un spinner se divide en cuatro partes iguales, cada una coloreada con un color diferente como se muestra a continuación. Cuando se gira este spinner, la flecha apunta a uno de los colores. ¿Los resultados son igualmente probables?
- Sí, son igualmente probables.
- No, no son igualmente probables.
- Contestar
- Todos los resultados son igualmente probables. Cada color proporciona un resultado diferente, y cada color ocupa\(\ \frac{1}{4}\) el círculo. Se esperaría que la flecha apuntara a cada color\(\ \frac{1}{4}\) de la época.
Probabilidad de eventos
La probabilidad de un evento es la frecuencia con la que se espera que ocurra. Es la relación entre el tamaño del espacio para eventos y el tamaño del espacio de muestra.
Primero, es necesario determinar el tamaño del espacio de muestra. El tamaño del espacio muestral es el número total de resultados posibles. Por ejemplo, cuando enrolla 1 dado, el espacio de muestra es 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Por lo que el tamaño del espacio de muestra es 6.
Entonces es necesario determinar el tamaño del espacio para eventos. El espacio para eventos es el número de resultados en el evento que te interesa. El espacio de eventos para rodar un número menor que tres es 1 o 2. Entonces el tamaño del espacio para eventos es 2.
Para resultados igualmente probables, la probabilidad de un evento E puede escribirse P (E).
\(\ P(E)=\frac{\text { size of the event space }}{\text { size of the sample space }}=\frac{\text { number of outcomes in the event }}{\text { total number of possible outcomes }}\)
Un juego requiere rodar un dado de seis caras numerado del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de rodar un número par?
Solución
|
\(\ \text { Sample space }=\{1,2,3,4,5,6\}\) \(\ \text { Event space }=\{2,4,6\}\) |
Primero, encuentra el espacio de muestra y el espacio para eventos. El espacio de muestra es todos los resultados posibles, y el espacio del evento son los resultados en el evento. En este caso, el evento está “rodando un número par”. |
| \(\ P(\text { even number })=P(\{2,4,6\})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) | Dado que los resultados son igualmente probables, la probabilidad del evento es la relación entre el espacio del evento y el espacio de muestra. |
\(\ P(\text { even number })=\frac{1}{2}\)
Es una práctica común con probabilidades, como ocurre con las fracciones en general, simplificar una probabilidad en términos más bajos ya que eso facilita que la mayoría de la gente tenga una idea de lo grande que es. A menos que haya razón para no hacerlo, expresar todas las probabilidades finales en términos más bajos.
Un spinner se divide en partes iguales, cada una coloreada con un color diferente como se muestra a continuación. Encuentra la probabilidad de girar azul o verde en este spinner:
- \(\ \frac{1}{6}\)
- \(\ \frac{1}{3}\)
- 2
- 6
- Contestar
-
- Incorrecto. Hay 6 resultados igualmente probables, por lo que la probabilidad de cada resultado es\(\ \frac{1}{6}\). Sin embargo, el evento tiene dos resultados en él, {azul, verde}. La probabilidad es\(\ \frac{\text { size of event space }}{\text { size of sample space }}=\frac{2}{6}\). La respuesta correcta es\(\ \frac{1}{3}\).
- Correcto. Hay 6 resultados igualmente probables, y el evento tiene dos resultados en él, {azul, verde}. La probabilidad es\(\ \frac{\text { size of event space }}{\text { size of sample space }}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
- Incorrecto. ¡El número más alto que puede ser un valor de probabilidad es 1! Hay 2 resultados en el espacio de eventos, pero la probabilidad del evento es la relación entre los resultados en el espacio del evento y el número total de resultados igualmente probables. Hay 6 resultados igualmente probables, por lo que la probabilidad es\(\ \frac{\text { size of event space }}{\text { size of sample space }}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
- Incorrecto. ¡El número más alto que puede ser un valor de probabilidad es 1! Hay 6 resultados igualmente probables en el espacio muestral, pero la probabilidad del evento es la relación entre los resultados en el espacio de eventos y el número total de resultados igualmente probables. La probabilidad es\(\ \frac{\text { size of event space }}{\text { size of sample space }}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
Métodos de conteo para encontrar espacios de muestra
Lo más difícil para calcular una probabilidad puede ser encontrar el tamaño del espacio muestral, especialmente si hay dos o más ensayos. Existen varios métodos de conteo que pueden ayudar.
El primero en mirar es hacer un gráfico. En el siguiente ejemplo, Tori está volteando dos monedas. Por lo que es necesario determinar el espacio de muestra cuidadosamente. Un gráfico como el que se muestra en el ejemplo que sigue es un buen enfoque.
Tori está volteando un par de monedas y señalando cuántos volteos de “cabezas” recibe. ¿Cuál es la probabilidad de que voltee 2 cabezas? ¿Cuál es la probabilidad de que ella voltea solo 1 cabeza?
Solución
|
Resultados:
espacio de muestreo: {HH, HT, TH, TT} espacio de eventos para 2 cabezas: {HH} espacio para eventos para 1 cabeza: {HT, TH} |
Crea un gráfico para registrar los resultados de voltear la primera moneda, seguido del resultado de voltear la segunda moneda. | |||||||||||||||
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\(\ P(2 \text { heads })=P(\{\mathrm{HH}\})=\frac{1}{4}\) \(\ P(1 \text { head })=P(\{\mathrm{HT}, \mathrm{TH}\})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) |
Dado que los resultados son igualmente probables, la probabilidad del evento es la relación entre el espacio del evento y el espacio de muestra. |
\(\ P(2 \text { heads })=\frac{1}{4}\)
\(\ P(1 \text { head })=\frac{1}{2}\)
En el siguiente ejemplo, el espacio de muestra para Tori es simple ya que solo se está enrollando una matriz. No obstante, dado que James está rodando dos dados, un gráfico ayuda a organizar la información.
Tori rodó un dado de seis lados y quiso obtener un resultado de 1 o 4. James tiró dos dados de seis caras, uno azul y otro rojo, y quiso obtener un resultado tanto de un 1 como de un 3, a la vez. ¿Qué evento tiene mayor probabilidad?
Solución
|
Espacio de muestra de Tori: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Espacio para eventos de Tori: {1, 4} |
Primero, encuentra el espacio de muestra y el espacio de eventos para los dos ensayos. Para el juicio de Tori, esto es sencillo. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(\ \text { Tori: } P(1 \text { or } 4)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\) | Dado que los resultados son igualmente probables, la probabilidad del evento es la relación entre el espacio del evento y el espacio de muestra. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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No es tan obvio para el juicio de James, ya que está rodando dos dados. Él puede crear y usar un gráfico para encontrar las posibilidades. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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El espacio muestral de James tiene 36 resultados. El espacio para eventos de James tiene 2 resultados. |
Hay 36 resultados. De estos, hay 2 que tienen tanto 1 como 3. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(\ \text { James: } P(1 \text { and } 3)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\) | Dado que los resultados son igualmente probables, la probabilidad del evento es la relación entre el espacio del evento y el espacio de muestra. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
El evento de Tori tiene una mayor probabilidad.
También puede utilizar un diagrama de árbol para determinar el espacio de muestreo. Un diagrama de árbol tiene una rama para cada resultado posible para cada evento.
Supongamos que un armario tiene tres pares de pantalones (negro, blanco y verde), cuatro camisas (verde, blanco, morado y amarillo) y dos pares de zapatos (blanco y negro). ¿Cuántos atuendos diferentes se pueden hacer? Hay 3 opciones para pantalones, 4 opciones para camisas y 2 opciones para zapatos. Para nuestro diagrama de árbol, usemos B para negro, W para blanco, G para verde, P para morado e Y para amarillo.
Se puede ver en el diagrama de árbol que hay 24 atuendos posibles (algunos quizás no son grandes opciones) en el espacio de muestra.
Ahora podrías resolver con bastante facilidad algunos problemas de probabilidad. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que si cierras los ojos y eliges al azar elegirías pantalones y zapatos del mismo color? En el gráfico hay 8 atuendos donde coinciden el pantalón y los zapatos.
\(\ P(\text { same color })=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\)
Como has visto, cuando un ensayo involucra más de un elemento aleatorio, como voltear más de una moneda o rodar más de un dado, no siempre es necesario identificar cada resultado en el espacio muestral para calcular una probabilidad. Solo necesitas el número de resultados.
El Principio Fundamental de Conteo es una manera de encontrar el número de resultados sin enumerar y contar cada uno de ellos.
Si un evento tiene\(\ p\) posibles resultados, y otro evento tiene\(\ m\) posibles resultados, entonces hay un total de\(\ p \cdot m\) posibles resultados para los dos eventos.
Ejemplos
- Rodando dos dados de seis lados: Cada dado tiene 6 resultados igualmente probables, por lo que el espacio muestral es\(\ 6 \cdot 6\) o 36 resultados igualmente probables.
- Voltear tres monedas: Cada moneda tiene 2 resultados igualmente probables, por lo que el espacio de muestra es\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2\) u 8 resultados igualmente probables.
- Rodando un dado de seis lados y volteando una moneda: El espacio de muestra es\(\ 6 \cdot 2\) o 12 resultados igualmente probables.
Entonces podrías usar el Principio Fundamental de Conteo para averiguar cuántos atuendos hay en el ejemplo anterior. Hay 3 opciones para pantalones, 4 opciones para camisas y 2 opciones para zapatos. Usando el Principio Fundamental de Conteo, tienes\(\ 4 \cdot 3 \cdot 2=24\) diferentes atuendos.
Barry es voluntario en una caminata benéfica para preparar almuerzos para todos los demás voluntarios. En cada bolsa pone:
- uno de dos sándwiches (mantequilla de maní y gelatina, o pavo y queso),
- uno de tres chips (papas fritas regulares, papas fritas horneadas o chips de maíz),
- una pieza de fruta (una manzana o una naranja).
Se le olvidó marcar lo que había en las bolsas. Asumiendo que cada elección es igualmente probable, ¿cuál es la probabilidad de que la bolsa que obtiene Therese sostenga un sándwich de mantequilla de maní y gelatina y una manzana?
Solución
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Tamaño del espacio de muestra: Multiplique el (número de opciones de sándwich) por el (número de opciones de chips) por el (número de opciones de frutas) Esto te da:\(\ 2 \cdot 3 \cdot 2=12\) |
Primero, use el Principio Fundamental de Conteo para encontrar el tamaño del espacio muestral. |
|
Tamaño del espacio para eventos: Multiplique el (número de opciones de sándwich en el evento) por el (número de opciones de chips en el evento) por el (número de opciones de fruta en el evento) Esto te da:\(\ 1 \cdot 3 \cdot 1=3\) |
Para el espacio de eventos, siga el mismo principio. En este caso, sólo hay un sándwich y una pieza de fruta de interés, pero cualquiera de los tres tipos de chips son aceptables. |
| \(\ P(\mathrm{~PB} \& \mathrm{~J} \text { and apple })=\frac{\text { size of event space }}{\text { size of sample space }}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\) | Usa la relación para encontrar la probabilidad. |
Carrie voltea cuatro monedas y cuenta el número de colas. Hay cuatro formas de obtener exactamente una cola: HHHT, HHTH, HTHH y THHH. ¿Cuál es la probabilidad de que Carrie obtenga exactamente una cola?
- \(\ \frac{1}{16}\)
- \(\ \frac{1}{8}\)
- \(\ \frac{1}{4}\)
- \(\ \frac{1}{2}\)
- Contestar
-
- Incorrecto. Dado que hay dos resultados por cada moneda, hay 16 resultados posibles desde entonces\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=16\). Sin embargo, hay cuatro resultados en el evento, por lo que la probabilidad es\(\ \frac{4}{16}\), o\(\ \frac{1}{4}\).
- Incorrecto. Dado que hay dos resultados por cada moneda, hay 16 resultados posibles desde entonces\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=16\). Hay cuatro resultados en el evento, por lo que la probabilidad es\(\ \frac{4}{16}\), o\(\ \frac{1}{4}\).
- Correcto. Dado que hay dos resultados por cada moneda, hay 16 resultados posibles desde entonces\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=16\). Hay cuatro resultados en el evento, por lo que la probabilidad es\(\ \frac{4}{16}\), o\(\ \frac{1}{4}\).
- Incorrecto. Hay dos resultados por cada moneda, pero hay 4 monedas. Eso significa que hay 16 posibles resultados desde entonces\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=16\). Hay cuatro resultados en el evento, por lo que la probabilidad es\(\ \frac{4}{16}\), o\(\ \frac{1}{4}\).
Resumen
La probabilidad te ayuda a entender situaciones aleatorias e impredecibles donde son posibles múltiples resultados. Es una medida de la probabilidad de un evento, y depende de la proporción de evento y posibles resultados, si todos esos resultados son igualmente probables.
\(\ P(E)=\frac{\text { size of the event space }}{\text { size of the sample space }}=\frac{\text { number of outcomes in the event }}{\text { total number of possible outcomes }}\)
El Principio Fundamental de Conteo es un atajo para encontrar el tamaño del espacio muestral cuando hay muchos ensayos y resultados:
Si un evento tiene\(\ p\) posibles resultados, y otro evento tiene\(\ m\) posibles resultados, entonces hay un total de\(\ p \cdot m\) posibles resultados para los dos eventos.