9.4.1: Orden de Operaciones

Objetivos de aprendizaje

• Utilice el orden de las operaciones para simplificar las expresiones.
• Simplifica las expresiones que contienen valores absolutos.

Introducción

La gente necesita un conjunto común de reglas para realizar cálculos básicos. ¿Qué es\(\ 3+5 \cdot 2\) igual? ¿Son 16 o 13? Tu respuesta depende de cómo entiendas el orden de las operaciones, un conjunto de reglas que te indican el orden en que se realiza la suma, resta, multiplicación y división en cualquier cálculo.

Los matemáticos han desarrollado un orden estándar de operaciones que le indica qué cálculos hacer primero en una expresión con más de una operación. Sin un procedimiento estándar para hacer cálculos, dos personas podrían obtener dos respuestas diferentes al mismo problema.

Las cuatro operaciones básicas

Los bloques de construcción del orden de las operaciones son las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. El orden de operaciones establece:

• multiplicar o dividir primero, yendo de izquierda a derecha
• luego sumar o restar en orden de izquierda a derecha

¿Cuál es la respuesta correcta para la expresión\(\ 3+5 \cdot 2\)? Utilice el orden de operaciones indicado anteriormente.

Multiplicar primero. \(\ 3+5 \cdot 2=3+10\)

A continuación, agregue. \(\ 3+10=13\)

Este orden de operaciones es cierto para todos los números reales.

Ejemplo

Simplificar\(\ 7-5+3 \cdot 8\).

Solución

\(\ 7-5+3 \cdot 8\)	Según el orden de las operaciones, la multiplicación viene antes de la suma y resta. Multiplicar\(\ 3 \cdot 8\).
\(\ 7-5+24\)	Ahora, suma y resta de izquierda a derecha. \(\ 7-5\)viene primero.
\(\ 2+24=26\)	Por último, agregue\(\ 2+24\).

\(\ 7-5+3 \cdot 8=26\)

Cuando aplique el orden de las operaciones a expresiones que contienen fracciones, decimales y números negativos, también deberá recordar cómo hacer estos cálculos.

Ejemplo

Simplificar:\(\ 3 \cdot \frac{1}{3}-8 \div \frac{1}{4}\)

Solución

\(\ 3 \cdot \frac{1}{3}-8 \div \frac{1}{4}\)	Según el orden de las operaciones, la multiplicación viene antes de la suma y resta. Multiplicar\(\ 3 \cdot \frac{1}{3}\) primero.
\(\ 1-8 \div \frac{1}{4}\)	Ahora, divide\(\ 8 \div \frac{1}{4}\).
\(\ 8 \div \frac{1}{4}=\frac{8}{1} \cdot \frac{4}{1}=32\)
\(\ 1-32=-31\)	Resta.

\(\ 3 \cdot \frac{1}{3}-8 \div \frac{1}{4}=-31\)

Exponentes

Cuando estás evaluando expresiones, a veces verás exponentes utilizados para representar multiplicaciones repetidas. Recordemos que una expresión como\(\ 7^{2}\) es notación exponencial para\(\ 7 \cdot 7\). (La notación exponencial tiene dos partes: la base y el exponente o la potencia. En\(\ 7^{2}\), 7 es la base y 2 es el exponente; el exponente determina cuántas veces la base se multiplica por sí misma).

Los exponentes son una forma de representar la multiplicación repetida; el orden de las operaciones la coloca antes de que se realice cualquier otra multiplicación, división, resta y suma.

Ejemplo

Simplificar:\(\ 3^{2} \cdot 2^{3}\)

Solución

\(\ 3^{2} \cdot 2^{3}\)	Este problema tiene exponentes y multiplicación en él. Según el orden de las operaciones, simplificando\(\ 3^{2}\) y\(\ 2^{3}\) viene antes de la multiplicación.
\(\ 9 \cdot 2^{3}\)	\(\ 3^{2}\)es\(\ 3 \cdot 3\), que es igual\(\ 9\).
\(\ 9 \cdot 8\)	\(\ 2^{3}\)es\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2\), que es igual\(\ 8\).
\(\ 9 \cdot 8=72\)	Multiplicar.

\(\ 3^{2} \cdot 2^{3}=72\)

Ejemplo

Simplificar:\(\ \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{3} \cdot 32\)

Solución

\(\ \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{3} \cdot 32\)	Este problema tiene exponentes, multiplicación, y suma en él. Según el orden de las operaciones, primero simplifique los términos con los exponentes, luego multiplique, luego agregue.
\(\ \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\right)^{3} \cdot 32\)	Evaluar:\(\ \left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
\(\ \frac{1}{4}+\frac{1}{64} \cdot 32\)	Evaluar:\(\ \left(\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{64}\)
\(\ \frac{1}{4}+\frac{32}{64}\)	Multiplicar.
\(\ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)	Simplificar. \(\ \frac{32 \div 32}{64 \div 32}=\frac{1}{2}\), para que puedas agregar\(\ \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\).

\(\ \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{3} \cdot 32=\frac{3}{4}\)

Ejercicio

Simplificar:\(\ 100-5^{2} \cdot 4\)

1. -300
2. 0
3. 100
4. 300

Contestar

1. Incorrecto. Es posible que hayas encontrado\(\ 4 \cdot 5=20\), cuadrado 20, y luego restado 400 de 100. El orden de las operaciones establece que se debe simplificar el término con el exponente primero, luego multiplicar, luego restar. \(\ 5^{2}=25\), y\(\ 25 \cdot 4=100\), y\(\ 100-100=0\). La respuesta correcta es 0.
2. Correcto. Para simplificar esta expresión, simplifique primero el término con el exponente, luego multiplique, luego reste. \(\ 5^{2}=25\), y\(\ 25 \cdot 4=100\), y\(\ 100-100=0\).
3. Incorrecto. El orden de las operaciones establece que se debe simplificar el término con el exponente primero, luego multiplicar, luego restar. \(\ 5^{2}=25\), y\(\ 25 \cdot 4=100\), y\(\ 100-100=0\). La respuesta correcta es 0.
4. Incorrecto. Es posible que lo hayas encontrado\(\ 5^{2}=25\), restado eso de 100, y multiplicado por 4. El orden de las operaciones establece que se debe simplificar el término con el exponente primero, luego multiplicar, luego restar. \(\ 5^{2}=25\), y\(\ 25 \cdot 4=100\), y\(\ 100-100=0\). La respuesta correcta es 0.

Agrupación de símbolos

La pieza final que debes considerar en el orden de las operaciones es agrupar símbolos. Estos incluyen paréntesis\(\ (\quad)\)\(\ [\quad]\), corchetes\(\ \{\quad\}\), llaves e incluso barras de fracción. Estos símbolos se utilizan a menudo para ayudar a organizar expresiones matemáticas (las verás mucho en álgebra).

Los símbolos de agrupación se utilizan para aclarar qué operaciones realizar primero, especialmente si se desea un orden específico. Si hay una expresión a simplificar dentro de los símbolos de agrupación, siga el orden de las operaciones.

El orden de las operaciones

• Realice primero todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis\(\ (\quad)\)\(\ [\quad]\), corchetes\(\ \{\quad\}\), llaves y barras de fracción.
• Evaluar exponentes o raíces cuadradas.
• Multiplicar o dividir, de izquierda a derecha.
• Sumar o restar, de izquierda a derecha.

Cuando hay símbolos de agrupación dentro de los símbolos de agrupación, calcule desde el interior hacia el exterior. Es decir, comenzar a simplificar primero dentro de los símbolos de agrupación más internos.

Recuerda que los paréntesis también se pueden usar para mostrar la multiplicación. En el ejemplo que sigue, se muestran ambos usos de paréntesis —como una forma de representar a un grupo, así como una forma de expresar la multiplicación—.

Ejemplo

Simplificar:\(\ (3+4)^{2}+(8)(4)\)

Solución

\(\ (3+4)^{2}+(8)(4)\)	Este problema tiene paréntesis, exponentes, multiplicación, y suma en él. El primer conjunto de paréntesis es un símbolo de agrupación. El segundo conjunto indica multiplicación.
\(\ (3+4)^{2}+(8)(4)\)	Los símbolos de agrupación se manejan primero. Agrega números entre paréntesis.
\(\ 7^{2}+(8)(4)\)	Simplificar\(\ 7^{2}\).
\(\ 49+\bf(8)(4)\)	Realizar multiplicación.
\(\ 49+32=81\)	Realizar adición.

\(\ (3+4)^{2}+(8)(4)=81\)

Ejemplo

Simplificar:\(\ (1.5+3.5)-2(0.5 \cdot 6)^{2}\)

Solución

\(\ (1.5+3.5)-2(0.5 \cdot 6)^{2}\)	Este problema tiene paréntesis, exponentes, multiplicación, resta y suma en él.
\(\ 5-2(0.5 \cdot 6)^{2}\)	Los símbolos de agrupación se manejan primero. Agrega números en el primer conjunto de paréntesis. Multiplica números en el segundo conjunto de paréntesis.
\(\ 5-2(3)^{2}\)	Evaluar exponentes.
\(\ 5-2 \cdot 9\)	Multiplicar.
\(\ 5-18=-13\)	Resta.

\(\ (1.5+3.5)-2(0.5 \cdot 6)^{2}=-13\)

Ejemplo

Simplificar:\(\ \frac{5-[3+(2 \cdot(-6))]}{3^{2}+2}\)

Solución

\(\ \frac{5-[3+(2 \cdot(-6))]}{3^{2}+2}\)	Este problema tiene paréntesis, paréntesis, fracciones, exponentes, multiplicación, resta y suma en él. Los símbolos de agrupación se manejan primero. Los paréntesis alrededor del -6 no son un símbolo de agrupación, simplemente están dejando claro que el signo negativo pertenece al 6. Comienza con el conjunto más interno de paréntesis que son un símbolo de agrupación, aquí está en el numerador de la fracción, (\(\ 2 \cdot-6\)), y comienza a trabajar. (La línea de fracción también actúa como un tipo de símbolo de agrupación; simplificas el numerador y el denominador de forma independiente, y luego divides el numerador por el denominador al final).
\(\ \frac{5-[3+(-12)]}{3^{2}+2}\)	Agrega los valores entre corchetes.
\(\ \frac{5-[-9]}{3^{2}+2}\)	Restar\(\ 5-[-9]=5+9=14\).
\(\ \frac{14}{3^{2}+2}\)	La parte superior de la fracción está toda establecida, pero la parte inferior (denominador) se ha mantenido intacta. Aplicar el orden de operaciones a eso también. Empezar por evaluar\(\ 3^{2}=9\).
\(\ \frac{14}{9+2}\) \(\ \frac{14}{11}\)	Ahora agrega. \(\ 9+2=11\).

\(\ \frac{5-[3+(2 \cdot(-6))]}{3^{2}+2}=\frac{14}{11}\)

Ejercicio

Simplificar\(\ \left[\frac{3^{3}+3}{(-2)(-3)}\right]^{2}+1\).

1. \(\ 25\)
2. \(\ 26\)
3. \(\ 151\)
4. \(\ \frac{11}{6}\)

Contestar

1. Incorrecto. Puede que te hayas olvidado de agregar el 1! Simplifique primero las expresiones dentro de los símbolos de agrupación (5), luego cuadre esa expresión (25), luego agregue 1. La respuesta correcta es 26.
2. Correcto. La cantidad total dentro de los paréntesis\(\ 5 \cdot 5^{2}\) es 25, y\(\ 25+1=26\).
3. Incorrecto. ¡Es posible que hayas cuadrado el numerador de la fracción sin simplificar primero la fracción entera! Simplifique la expresión completa dentro de los símbolos de agrupación primero (5), luego cuadre esa expresión (25), luego agregue 1. La respuesta correcta es 26.
4. Incorrecto. ¡Es posible que hayas cuadrado el denominador de la fracción sin simplificar primero la fracción entera! Simplifique la expresión completa dentro de los símbolos de agrupación primero (5), luego cuadre esa expresión (25), luego agregue 1. La respuesta correcta es 26.

Recordando el orden de las operaciones

El orden de las operaciones

• Realice primero todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis\(\ (\quad)\)\(\ [\quad]\), corchetes\(\ \{\quad\}\), llaves y barras de fracción.
• Evaluar exponentes o raíces cuadradas.
• Multiplicar o dividir, de izquierda a derecha.
• Sumar o restar, de izquierda a derecha.

Es importante conocer el orden de las operaciones, pero a veces es difícil de recordar. Algunas personas usan un dicho para ayudarles a recordar el orden de las operaciones. Este dicho es “Por favor, disculpe a mi querida tía Sally”, o PEMDAS para abreviar. La primera letra de cada palabra comienza con la misma letra de una operación aritmética.

La P en Please significa Paréntesis (y otros símbolos de agrupación).

La E en Excusa significa Exponentes.

La M y D en Mi Querida representan Multiplicación y División (de izquierda a derecha).

La A y la S en la tía Sally significan suma y resta (de izquierda a derecha).

Nota: A pesar de que la multiplicación viene antes de la división en el dicho, la división podría realizarse primero. Si la multiplicación o división se realiza primero se determina por cuál viene primero al leer de izquierda a derecha. Lo mismo ocurre con la suma y la resta. ¡No dejes que el dicho te confunda de esto!

Expresiones de valor absoluto

Las expresiones de valor absoluto son un método final de agrupación que puede ver. Recordemos que el valor absoluto de una cantidad es siempre positivo o 0.

Cuando vea una expresión de valor absoluto incluida dentro de una expresión mayor, siga el orden regular de las operaciones y evalúe la expresión dentro del signo de valor absoluto. Entonces toma el valor absoluto de esa expresión. El siguiente ejemplo muestra cómo se hace esto.

Ejemplo

Simplificar:\(\ \frac{3+|2-6|}{2|3 \cdot 1.5|-(-3)}\)

Solución

\(\ \frac{3+|2-6|}{2|3 \cdot 1.5|-(-3)}\)	Este problema tiene valores absolutos, decimales, multiplicación, resta y suma en él. Los símbolos de agrupación, incluido el valor absoluto, se manejan primero. Simplifica el numerador, luego el denominador. Evaluar\(\ |2-6|\).
\(\ \frac{3+|-4|}{2|3 \cdot 1.5|-(-3)}\)	Toma el valor absoluto de\(\ |-4|\).
\(\ \frac{3+4}{2|3 \cdot 1.5|-(-3)}\)	Agrega los números en el numerador.
\(\ \frac{7}{2|3 \cdot 1.5|-(-3)}\)	Ahora que el numerador está simplificado, gire al denominador. Evaluar primero la expresión de valor absoluto.
\(\ \frac{7}{2|4.5|-(-3)}\) \(\ \frac{7}{2 \cdot 4.5-(-3)}\)	La expresión "\(\ 2|4.5|\)" dice “2 veces el valor absoluto de 4.5”. Multiplicar 2 veces 4.5.
\(\ \frac{7}{9-(-3)}\) \(\ \frac{7}{12}\)	Resta.

\(\ \frac{3+|2-6|}{2|3 \cdot 1.5|-(-3)}=\frac{7}{12}\)

Ejercicio

Simplificar:\(\ (5|3-4|)^{3}\).

1. -125
2. 1331
3. -49
4. 125

Contestar

1. Incorrecto. Quizá te hayas olvidado de tomar el valor absoluto de la expresión\(\ |3-4|\). Recuerda que el valor absoluto será 0 o un número positivo. \(\ |3-4|=|-1|=1\)y 5 veces 1 es 5. La respuesta correcta es 125.
2. Incorrecto. Es posible que haya ignorado la expresión de valor absoluto y encontrado\(\ 11^{3}\). Evaluar\(\ |3-4|\), multiplicar eso por 5, y luego cubo ese número:\(\ |3-4|=|-1|=1\) y 5 veces 1 es 5;\(\ 5^{3}=125\). La respuesta correcta es 125.
3. Incorrecto. Es posible que hayas restado\(\ 4^{3}\) de\(\ 5(3)\). Evalúa\(\ |3-4|\), multiplica eso por 5, y luego cubo ese número:\(\ |3-4|=|-1|=1\) y 5 veces 1 es 5;\(\ 5^{3}=125\) La respuesta correcta es 125.
4. Correcto. \(\ |3-4|=|-1|=1\)y 5 veces 1 es 5. 5 cubos es 125.

Resumen

El orden de las operaciones nos da un método estándar y consistente para usar al simplificar cadenas de números y expresiones algebraicas. Sin el orden de las operaciones, diferentes personas podrían llegar a diferentes respuestas al mismo problema de cómputos. Algunas personas recuerdan el orden de las operaciones usando la frase “Por favor, disculpe a mi querida tía Sally” o, más simplemente, PEMDAS.