12.1.1: Factor común más grande

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Objetivos de aprendizaje

Encuentra el mayor factor común (GCF) de los monomios.
Factorizar polinomios factorizando el mayor factor común (GCF).
Expresiones de factor con cuatro términos por agrupación.

Introducción

Los factores son los bloques de construcción de la multiplicación. Son los números que puedes multiplicar juntos para producir otro número: 2 y 10 son factores de 20, como son 4 y 5 y 1 y 20. Factorizar un número es reescribirlo como un producto. \(\ 20=4 \cdot 5\).

De igual manera para factorizar un polinomio, lo reescribes como un producto. Así como cualquier entero puede escribirse como producto de factores, también cualquier monomio o polinomio puede expresarse como producto de factores. La factorización es muy útil para simplificar y resolver ecuaciones usando polinomios.

Un factor primo es similar a un número primo: solo tiene a sí mismo y 1 como factores. El proceso de descomponer un número en sus factores primos se llama factorización prima.

Mayor factor común

Primero encontremos el mayor factor común (GCF) de dos números enteros. El GCF de dos números es el mayor número que es un factor de ambos números. Toma los números 50 y 30.

\ (\\ begin {array} {l}
50=10\ cdot 5\\
30=10\ cdot 3
\ end {array}\)

Su mayor factor común es 10, ya que 10 es el mayor factor que ambos números tienen en común.

Para encontrar el GCF de números mayores, puedes factorizar cada número para encontrar sus factores primos, identificar los factores primos que tienen en común y luego multiplicarlos juntos.

Ejemplo

Encuentra el mayor factor común de 210 y 168.

Solución

\ (\\ begin {array} {l}
210=\ mathbf {2}\ cdot\ mathbf {3}\ cdot 5\ cdot\ mathbf {7}\\
168=\ mathbf {2}\ cdot 2\ cdot 2\ cdot\ mathbf {3}\ cdot\ mathbf {7}\
\ mathrm {GCF} =\ mathbf {2}\ cdot\ mathbf {3}\ cdot\ mathbf {7}
\ end {array}\)

\(\ \mathrm{GCF}=42\)

Debido a que el GCF es producto de los factores primos que estos números tienen en común, sabes que es un factor de ambos números. (Si quieres probar esto, sigue adelante y divide tanto 210 como 168 por 42: ¡ambos son uniformemente divisibles por este número!)

Encontrar el mayor factor común en un conjunto de monomios no es muy diferente de encontrar el GCF de dos números enteros. El método sigue siendo el mismo: factorizar cada monomio de forma independiente, buscar factores comunes y luego multiplicarlos para obtener el GCF.

Ejemplo

Encuentra el mayor factor común de\(\ 25 b^{3}\) y\(\ 10 b^{2}\).

Solución

\ (\\ begin {array} {l}
25 b^ {3} =\ mathbf {5}\ cdot 5\ cdot\ mathbf {b}\ cdot\ mathbf {b}\ cdot b\\
10 b^ {2} =\ mathbf {5}\ cdot 2\ cdot\ mathbf {b}\ cdot\ mathbf {b}\
\ mathrm {CF} =\ mathbf {5}\ cdot\ mathbf {b}\ cdot\ mathbf {b}
\ end {array}\)

\(\ \mathrm{GCF}=5 b^{2}\)

Los monomios tienen los factores 5,\(\ b\), y\(\ b\) en común, lo que significa que su mayor factor común es\(\ 5 \cdot b \cdot b\), o simplemente\(\ 5 b^{2}\).

Ejemplo

Encuentra el mayor factor común de\(\ 81 c^{3} d\) y\(\ 45 c^{2} d^{2}\).

Solución

\ (\\ comenzar {matriz} {l}
81 c^ {3} d=\ mathbf {3}\ cdot\ mathbf {3}\ cdot 3\ cdot 3\ cdot\ mathbf {c}\ cdot\ mathbf {c}\ cdot c\ cdot d\
45 c^ {2} d^ {2} =\ mathbf {3}\ cdot\ mathbf {3}\ cdot 5\ cdot\ mathbf {c}\ cdot\ mathbf {c}\ cdot\ mathbf {d}\ cdot d\\
\ mathrm {GCF} =\ mathbf {3}\ cdot\ mathbf {3}\ cdot\ mathbf {c}\ cdot\ mathbf {c}\ cdot\ mathbf {d}
\ end {array}\)

\(\ \mathrm{GCF}=9 c^{2} d\)

Ejercicio

Encuentra el mayor factor común de\(\ 56xy\) y\(\ 16 y^{3}\).

\(\ 8\)
\(\ 8y\)
\(\ 16y\)
\(\ 8 x y^{3}\)

Responder

Incorrecto. 8 es un factor común, pero hay que dar cuenta de los términos variables que los dos monomios tienen en común también. La respuesta correcta es\(\ 8y\).
Correcto. La expresión se\(\ 56 x y\) puede factorizar como\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot x \cdot y\), y se\(\ 16 y^{3}\) puede factorizar como\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot y \cdot y \cdot y\). Tienen los factores\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2\) y\(\ y\) en común. Multiplicarlos juntos te dará el GCF:\(\ 8y\).
Incorrecto. \(\ y\)es un factor común, pero 16 no lo es: 56 no es uniformemente divisible por 16. Piensa en números que son factores tanto del 56 como del 16. La respuesta correcta es\(\ 8y\).
Incorrecto. 8 es un factor común, pero hay que dar cuenta de los términos variables que los dos monomios tienen en común también. El término completo no\(\ x y^{3}\) es un factor de ninguno de los monomios. La respuesta correcta es\(\ 8y\).

Uso del GCF para factorizar polinomios

Cuando se combinan dos o más monomios (ya sea añadidos o restados), la expresión resultante se denomina polinomio. Si puedes encontrar factores comunes para cada término del polinomio, entonces puedes factorizar el polinomio.

Al observar los ejemplos de polinomios simples a continuación, trate de identificar factores que los términos del polinomio tienen en común.

Polinomio	Términos	Factores Comunes
\(\ 6 x+9\)	\(\ 6 x \text { and } 9\)	\(\ 3 \text { is a factor of } 6 x \text { and } 9\)
\(\ a^{2}-2 a\)	\(\ a^{2} \text { and } 2 a\)	\(\ a \text { is a factor of } a^{2} \text { and } 2 a\)
\(\ 4 c^{3}+4 c\)	\(\ 4 c^{3} \text { and } 4 c\)	\(\ 4 \text { and } c \text { are factors of } 4 c^{3} \text { and } 4 c\)

Para factorizar un polinomio, primero identificar el mayor factor común de los términos. A continuación, puede utilizar la propiedad distributiva para reescribir el polinomio en una forma factorizada. Recordemos que la propiedad distributiva de multiplicación sobre suma establece que un producto de un número y una suma es lo mismo que la suma de los productos.

Producto de un número y una suma:\(\ a(b+c)=a \cdot b+a \cdot c\). Se puede decir que “\(\ a\)se está distribuyendo sobre”)\(\ b+c\).

Suma de los productos:\(\ a \cdot b+a \cdot c=a(b+c)\). Aquí se puede decir que “\(\ a\)se está factorizando”.

En ambos casos, es la propiedad distributiva la que se está utilizando.

Ejemplo

Factor\(\ 25 b^{3}+10 b^{2}\).

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 25 b^ {3} =\ mathbf {5}\ cdot 5\ cdot\ mathbf {b}\ cdot\ mathbf {b}\ cdot b\ 10 b^ {2} =\ mathbf {5}\ cdot 2\ cdot\ mathbf {b}\ cdot\ mathbf {b} \ end {array}\)	Encuentra el GCF. De un ejemplo anterior, encontraste el GCF de\(\ 25 b^{3}\) y\(\ 10 b^{2}\) ser\(\ 5 b^{2}\).
\ (\\ begin {array} {r} \ mathrm {GCF} =\ mathbf {5}\ cdot\ mathbf {b}\ cdot\ mathbf {b} =5 b^ {2}\\ 25 b^ {3} =5 b^ {2}\ cdot 5 b\\ 10 b^ {2} =5 b^ {2}\ cdot 2 \ end {array}\)	Reescribir cada término con el GCF como un factor.
\(\ 5 b^{2} \cdot 5 b+5 b^{2} \cdot 2\)	Reescribir el polinomio usando los términos factorizados en lugar de los términos originales.
\(\ 5 b^{2}(5 b+2)\)	Factorizar el\(\ 5 b^{2}\).

\(\ 5 b^{2}(5 b+2)\)

La forma factorizada del polinomio\(\ 25 b^{3}+10 b^{2}\) es\(\ 5 b^{2}(5 b+2)\). Esto se puede comprobar haciendo la multiplicación. \(\ 5 b^{2}(5 b+2)=25 b^{3}+10 b^{2}\).

Tenga en cuenta que si no factoriza el mayor factor común al principio, puede continuar factorizando, en lugar de empezar de nuevo.

Por ejemplo:

Factor de salida 5:\(\ 25 b^{3}+10 b^{2}=5\left(5 b^{3}+2 b^{2}\right)\)

Luego factorizar\(\ b^{2}\):\(\ 5 b^{2}(5 b+2)\)

Observe que llega al mismo formulario simplificado ya sea que factorialice el GCF inmediatamente o si saca factores individualmente.

Ejemplo

Factor\(\ 81 c^{3} d+45 c^{2} d^{2}\).

Solución

\(\ \mathbf{3} \cdot \mathbf{3} \cdot 9 \cdot \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} \cdot c \cdot \mathbf{d}\)	Factor\(\ 81 c^{3} d\).
\(\ \mathbf{3} \cdot \mathbf{3} \cdot 5 \cdot \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} \cdot \mathbf{d} \cdot d\)	Factor\(\ 45 c^{2} d^{2}\).
\(\ \mathbf{3} \cdot \mathbf{3} \cdot \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} \cdot \mathbf{d}=9 c^{2} d\)	Encuentra el GCF.
\ (\\ comenzar {alineado} 81 c^ {3} d &=9 c^ {2} d\ cdot 9 c\\ 45 c^ {2} d^ {2} &=9 c^ {2} d\ cdot 5 d \ final {alineado}\)	Reescribir cada término como el producto del GCF y los términos restantes.
\(\ 9 c^{2} d \cdot 9 c+9 c^{2} d \cdot 5 d\)	Reescribir la expresión polinómica usando los términos factorizados en lugar de los términos originales.
\(\ 9 c^{2} d(9 c+5 d)\)	Factor hacia fuera\(\ 9 c^{2} d\).

\(\ 9 c^{2} d(9 c+5 d)\)

Ejercicio

Factor\(\ 8 a^{6}-11 a^{5}\).

\(\ 88\left(a^{6}-a^{5}\right)\)
\(\ 8 a\left(a^{5}-3\right)\)
\(\ a^{5}(a-1)\)
\(\ a^{5}(8 a-11)\)

Responder

Incorrecto. 88 es el múltiplo menos común, no el mayor factor común, de 11 y 8. Si\(\ 88\left(a^{6}-a^{5}\right)\) se ampliaran se convertiría\(\ 88 a^{6}-88 a^{5}\), no\(\ 8 a^{6}-11 a^{5}\). La respuesta correcta es\(\ a^{5}(8 a-11)\).
Incorrecto. 8 no es un factor común de 8 y 11. Si\(\ 8 a\left(a^{5}-3\right)\) se ampliaran, se convertiría\(\ 8 a^{6}-24 a\), no\(\ 8 a^{6}-11 a^{5}\). La respuesta correcta es\(\ a^{5}(8 a-11)\).
Incorrecto. \(\ a^{5}\)es un factor común, pero los valores 8 y 11 se han dejado fuera de esta factorización. Si\(\ a^{5}(a-1)\) se ampliaran se convertiría\(\ a^{6}-a^{5}\), no\(\ 8 a^{6}-11 a^{5}\). La respuesta correcta es\(\ a^{5}(8 a-11)\).
Correcto. Los valores 8 y 11 no comparten factores comunes, pero el GCF de\(\ a^{6}\) y\(\ a^{5}\) es\(\ a^{5}\). Así podrás factorizar\(\ a^{5}\) y reescribir el polinomio como\(\ a^{5}(8 a-11)\).

Factorización por Agrupación

La propiedad distributiva le permite factorizar factores comunes. No obstante, ¿qué haces si los términos dentro del polinomio no comparten ningún factor común?

Si no hay un factor común para todos los términos en el polinomio, se necesita usar otra técnica para ver si el polinomio puede ser factorizado. Implica organizar el polinomio en grupos.

Ejemplo

Factor\(\ 4 a b+12 a+3 b+9\)

Solución

\(\ (4 a b+12 a)+(3 b+9)\)	Agrupe los términos en pares.
\ (\\ begin {array} {r} 4 a b=\ mathbf {2}\ cdot\ mathbf {2}\ cdot\ mathbf {a}\ cdot b\ 12 a=3\ cdot\ mathbf {2}\ cdot\ mathbf {2}\ cdot\ mathbf {a}\\ \ quad\ text {GCF} =4 a \ end {array}\)	Encuentra el GCF del primer par de términos.
\ (\\ begin {array} {r} (4 a\ cdot b+4 a\ cdot 3) + (3 b+9)\\ 4 a (b+3) + (3 b+9) \ end {array}\)	Factorizar el GCF\(\ 4a\),, fuera del primer grupo.
\ (\\ comenzar {matriz} {r} 3 b=\ mathbf {3}\ cdot b\\ 9=\ mathbf {3}\ cdot 3\ \ texto {GCF} =3 \ final {matriz}\)	Encuentra el GCF del segundo par de términos.
\ (\\ begin {array} {r} 4 a (b+3) + (3\ cdot b+3\ cdot 3)\\ 4 a (b+3) +3 (b+3) \ end {array}\)	Factor 3 del segundo grupo.
\(\ 4 a(b+3)+3(b+3)\)	Observe que los dos términos tienen un factor común,\(\ (b+3)\).
\(\ (b+3)(4 a+3)\)	Destaca el factor común\(\ (b+3)\) a partir de los dos términos.

\(\ (b+3)(4 a+3)\)

Observe que cuando factoriza dos términos, el resultado es un monomio veces un polinomio. Pero la forma factorizada de un polinomio de cuatro términos es producto de dos binomios.

Este proceso se llama la técnica de agrupación. Desglosado en pasos individuales, aquí te mostramos cómo hacerlo (también puedes seguir este proceso en el siguiente ejemplo).

Agrupar los términos del polinomio en pares.
Factorizar cada par de términos (encontrar el factor común más grande y luego usar la propiedad distributiva para sacar el GCF).
Busque factores comunes entre las formas factorizadas de los términos emparejados.
Factorizar el polinomio común fuera de los grupos.

Intentemos factorizar algunos polinomios más de cuatro términos. Observe que en el siguiente ejemplo, el primer término es\(\ x^{2}\), y\(\ x\) es la única variable presente.

Ejemplo

Factor\(\ x^{2}+2 x+5 x+10\).

Solución

\(\ \left(x^{2}+2 x\right)+(5 x+10)\)	Agrupe los términos del polinomio en pares.
\(\ x(x+2)+(5 x+10)\)	Factorizar el factor like\(\ x\),, del primer grupo.
\(\ x(x+2)+5(x+2)\)	Factorizar el factor similar\(\ 5\),, del segundo grupo.
\(\ (x+2)(x+5)\)	Busque factores comunes entre las formas factorizadas de los términos emparejados. Aquí, el factor común es\(\ (x+2)\). Factorizar el factor común,\(\ (x+2)\), de ambos términos. El polinomio es ahora factorizado.

\(\ (x+2)(x+5)\)

Este método de factorización sólo funciona en algunos casos. Observe que ambos factores aquí contienen el término.

Ejemplo

Factor\(\ 2 x^{2}-3 x+8 x-12\).

Solución

\(\ \left(2 x^{2}-3 x\right)+(8 x-12)\)	Agrupe los términos en pares.
\(\ x(2 x-3)+4(2 x-3)\)	Factorizar el factor común\(\ x\),, del primer grupo y el factor común, 4, del segundo grupo.
\(\ (x+4)(2 x-3)\)	Factorizar el factor común,\(\ (2 x-3)\), de ambos términos.

\(\ (x+4)(2 x-3)\)

Ejemplo

Factor\(\ 3 x^{2}+3 x-2 x-2\).

Solución

\(\ \left(3 x^{2}+3 x\right)+(-2 x-2)\)	Agrupe los términos en pares. Dado que la resta es lo mismo que la suma de lo contrario, se puede escribir\(\ \color{green}-2 x-2 \text{ as } +(-2x-2)\)
\(\ 3 x(x+1)+(-2 x-2)\)	Factorizar el factor común\(\ 3x\) fuera del primer grupo.
\(\ 3 x(x+1)-2(x+1)\)	Factorizar el factor común de -2 del segundo grupo. Observe lo que sucede con los signos dentro de los paréntesis una vez que se factoriza -2.
\(\ (x+1)(3 x-2)\)	Factorizar el factor común,\(\ (x+1)\), de ambos términos.

\(\ (x+1)(3 x-2)\)

Ejercicio

Factor\(\ 10 a b+5 b+8 a+4\).

\(\ (2 a+1)(5 b+4)\)
\(\ (5 b+2 a)(4+1)\)
\(\ 5(2 a b+b+8 a+4)\)
\(\ (4+2 a)(5 b+1)\)

Responder

Correcto. El polinomio se\(\ 10 a b+5 b+8 a+4\) puede agrupar como\(\ (10 a b+5 b)+(8 a+4)\). Sacando factores comunes, encuentras:\(\ 5 b(2 a+1)+4(2 a+1)\). Dado que\(\ (2 a+1)\) es un factor común, la forma factorizada es\(\ (2 a+1)(5 b+4)\).
Incorrecto. Al factorizar\(\ 5 b\) fuera de\(\ 10 a b\) y\(\ 5 b\), el restante\(\ 2 a\) y 1 aún deben agregarse y multiplicarse por el factor común\(\ 5 b\):\(\ 5 b(2 a+1)\). De igual manera, factorizando el 4 de\(\ 8 a+4\) las hojas\(\ 4(2 a+1)\). Entonces se puede factorizar\(\ (2 a+1)\) a partir de la suma de esas expresiones para obtener la factorización correcta,\(\ (2 a+1)(5 b+4)\).
Incorrecto. El 5 es un factor común sólo para\(\ 10 a b+5 b\), dar\(\ 5 b(2 a+1)\). El otro par,\(\ 8 a+4\), tiene un factor común de 4. Factorizándolos da\(\ 4(2 a+1)\). Dado que ambas expresiones tienen un factor común de\(\ 2 a+1\), puedes factorizar de nuevo para obtener\(\ (2 a+1)(5 b+4)\).
Incorrecto. Te identificaste correctamente\(\ 5 b\) como factor de un par, dejando\(\ 2 a\) y 1, y 4 como el factor del otro par, también dejando\(\ 2a\) y 1. Sin embargo, esto da\(\ 5 b(2 a+1)+4(2 a+1)\). Si lo tuvieras\(\ 5 b x+4 x\), podrías factorizar el\(\ x\) para obtener\(\ x(5 b+4)\), así que factorizando los\(\ (2 a+1)\) da\(\ (2 a+1)(5 b+4)\).

En ocasiones, te encontrarás con polinomios que, a pesar de tus mejores esfuerzos, no pueden ser factorizados en el producto de dos binomios.

Ejemplo

Factor\(\ 7 x^{2}-21 x+5 x-5\).

Solución

\(\ \left(7 x^{2}-21 x\right)+(5 x-5)\)	Agrupe los términos en pares.
\(\ 7 x(x-3)+(5 x-5)\)	\(\ 7x\)Factorizar el factor común del primer grupo.
\(\ 7 x(x-3)+5(x-1)\)	Factorizar el factor común 5 del segundo grupo.
\(\ 7 x(x-3)+5(x-1)\)	Los dos grupos\(\ 7 x(x-3)\) y\(\ 5(x-1)\) no tienen ningún factor común, por lo que este polinomio no se puede factorizar más.

No se puede factorizar

En el ejemplo anterior, cada par puede ser factorizado, ¡pero entonces no hay un factor común entre los pares!

Resumen

Un número entero, monomio o polinomio se puede expresar como un producto de factores. Puedes usar alguna de la misma lógica que aplicas para factorizar enteros para factorizar polinomios. Para factorizar un polinomio, primero identifique el mayor factor común de los términos y luego aplique la propiedad distributiva para reescribir la expresión. Una vez que un polinomio en\(\ a \cdot b+a \cdot c\) forma ha sido reescrito como\(\ a(b+c)\), donde\(\ a\) está el GCF, el polinomio está en forma factorizada.

Al factorizar un polinomio de cuatro términos usando agrupación, encuentre el factor común de pares de términos en lugar de todo el polinomio. Utilice la propiedad distributiva para reescribir los términos agrupados como el factor común multiplicado por un binomio. Finalmente, saque cualquier binomio común de los grupos factorizados. El polinomio totalmente factorizado será producto de dos binomios.