12.3.1: Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

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Objetivos de aprendizaje

Resolver ecuaciones en forma factorizada usando el Principio de Cero Productos.
Resolver ecuaciones cuadráticas factorizando y luego usando el Principio de Cero Productos.
Resolver problemas de aplicación que involucran ecuaciones cuadráticas.

Introducción

Cuando un polinomio se establece igual a un valor (ya sea un entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación. Una ecuación que se puede escribir en la forma\(\ a x^{2}+b x+c=0\) se denomina ecuación cuadrática. Se puede resolver una ecuación cuadrática usando las reglas de álgebra, aplicando técnicas de factorización cuando sea necesario, y utilizando el Principio de Cero Productos.

El principio de cero productos

El Principio de Cero Productos establece que si el producto de dos números es 0, entonces al menos uno de los factores es 0. (Esto no es realmente nuevo.)

Principio de Cero Productos

Si\(\ a b=0\), entonces cualquiera\(\ a=0\) o\(\ b=0\), o ambos\(\ a\) y\(\ b\) son 0.

Esta propiedad puede parecer bastante obvia, pero tiene grandes implicaciones para resolver ecuaciones cuadráticas. Si tienes un polinomio factorizado que es igual a 0, sabes que al menos uno de los factores o ambos factores es igual a 0.

Se puede utilizar este método para resolver ecuaciones cuadráticas. Empecemos con uno que ya está factorizado.

Ejemplo

Resolver\(\ (x+4)(x-3)=0\) para\(\ x\).

Solución

\(\ (x+4)(x-3)=0\)

Aplicando el Principio de Cero Productos, sabes que si el producto es 0, entonces uno o ambos factores tiene que ser 0.

\ (\\ begin {array} {ccc}
x+4=0 &\ text {o} & x-3=0\
x+4-4=0-4 && x-3+3=0+3\
x=-4 &\ text {o} &\ quad x=3
\ end {array}\)

Establezca cada factor igual a 0.

Resuelve cada ecuación.

\(\ x=-4 \text { OR } x=3\)

Puede verificar estas soluciones sustituyendo cada una a la vez en la ecuación original,\(\ (x+4)(x-3)=0\). También puedes probar con otro número para ver qué pasa.

\ (\\ begin {array} {l}
\ textbf {Comprobando} x=-4\\
(x+4) (x-3) =0\\
(-4+4) (-4-3) =0\\
(0) (-7) =0\\
0=0
\ end {array}\)

\ (\\ begin {array} {l}
\ textbf {Comprobando} x=3\\
(x+4) (x-3) =0\\
(3+4) (3-3) =0\\
(7) (0) =0\\
0=0
\ end {array}\)

\ (\\ begin {array} {l}
\ textbf {Intentando} x=5\\
(x+4) (x-3) =0\\
(5+4) (5-2) =0\\
(9) (3) =0\\
27\ neq 0
\ end {array}\)

Los dos valores que encontramos vía factorización,\(\ x=-4\) y\(\ x=3\), conducen a verdaderas afirmaciones:\(\ 0=0\). Entonces, las soluciones son correctas. Pero\(\ x=5\), el valor que no se encuentra factorizando, crea una declaración falaz: ¡27 no es igual a 0!

Ejercicio

Resolver para\(\ x\).

\(\ (x-5)(2 x+7)=0\)

\(\ x=5 \text { or } \frac{-7}{2}\)
\(\ x=5 \text { or }-7\)
\(\ x=0 \text { or } \frac{-7}{2}\)
\(\ x=0\)

Contestar

Correcto. Para encontrar las raíces de esta ecuación, aplique el Principio de Cero Productos y establezca cada factor,\(\ (x-5)\) e\(\ (2 x+7)\), igual a 0. \(\ x-5=0\), entonces\(\ x=5\); también encuentras eso\(\ 2 x+7=0\), así\(\ 2 x=-7\), y\(\ x=\frac{-7}{2}\). Ambas respuestas,\(\ x=5\) y\(\ \frac{-7}{2}\), son soluciones.
Incorrecto. Si bien\(\ x=5\) hace que la ecuación sea cierta, el Principio de Cero Productos establece si\(\ (x-5)(2 x+7)=0\), entonces cualquiera\(\ x-5=0\) o\(\ 2 x+7=0\). Esto sucede cuando\(\ x=5\) o\(\ \frac{-7}{2}\).
Incorrecto. Si bien\(\ x=\frac{-7}{2}\) hace que la ecuación sea cierta, el Principio de Cero Productos establece si\(\ (x-5)(2 x+7)=0\), entonces cualquiera\(\ x-5=0\) o\(\ 2 x+7=0\). Esto sucede cuando\(\ x=5\) o\(\ \frac{-7}{2}\).
Incorrecto. Un valor de no\(\ x=0\) hace que la ecuación sea verdadera:\(\ (0-5)[2(0)+7]=(-5)(7)=-35\), no 0. El Principio de Cero Productos establece si\(\ (x-5)(2 x+7)=0\), entonces cualquiera\(\ x-5=0\) o\(\ 2 x+7=0\). Esto sucede cuando\(\ x=5\) o\(\ \frac{-7}{2}\).

Resolviendo cuadráticas

Intentemos resolver una ecuación que se ve un poco diferente:\(\ 5 a^{2}+15 a=0\).

Ejemplo

Resolver para\(\ a\):\(\ 5 a^{2}+15 a=0\).

Solución

\(\ 5 a^{2}+15 a=0\)	Comience por factorizar el lado izquierdo de la ecuación.
\(\ 5 a(a+3)=0\)	Factor de salida\(\ 5 a\), que es un factor común de\(\ 5 a^{2}\) y\(\ 15 a\).
\(\ 5 a=0 \quad\text { or } \quad a+3=0\)	Establezca cada factor igual a cero.
\ (\\ begin {array} {cc} \ frac {5 a} {5} =\ frac {0} {5} &\ text {o} & a+3-3=0-3\ a=0 && a=-3 \ end {array}\)	Resuelve cada ecuación.

\(\ a=0 \quad\text { OR } \quad a=-3\)

Para verificar tus respuestas, puedes sustituir ambos valores directamente en la ecuación original y ver si obtienes una oración verdadera para cada uno.

\ (\\ begin {array} {l}
\ textbf {Comprobando} a=0\\
5 a^ {2} +15 a=0\\
5 (0) ^ {2} +15 (0) =0\\
5 (0) +0=0\\
0+0=0\\
0=0
\ end {array}\)

\ (\\ begin {array} {l}
\ textbf {Comprobando} a=-3\\
5 a^ {2} +15 a=0\\
5 (-3) ^ {2} + (15) (-3) =0\\
5 (9) -45=0\\
45-45=0\\
0=0
\ end {array}\)

Ambas soluciones verifican.

Puedes usar el Principio de Cero Productos para resolver ecuaciones cuadráticas en la forma\(\ a x^{2}+b x+c=0\). Primero, factorizar la expresión y establecer cada factor igual a 0.

Ejemplo

Resolver para\(\ r\):\(\ r^{2}-5 r+6=0\).

Solución

\(\ r^{2}-3 r+-2 r+6=0\)	Reescribir\(\ -5 r\) como\(\ -3 r-2 r\), como\(\ (-3)(-2)=6\), y\(\ -3+-2=-5\).
\(\ \left(r^{2}-3 r\right)+(-2 r+6)=0\)	Pares grupales.
\(\ r(r-3)-2(r-3)=0\)	Factor hacia fuera\(\ r\) del primer par y factor hacia fuera -2 del segundo par.
\(\ (r-3)(r-2)=0\)	Factor hacia fuera\(\ (r-3)\).
\(\ r-3=0 \text { or } r-2=0\)	Usa el Principio de Cero Productos y establece cada uno de los factores igual a 0.
\(\ r=3 \text { or } r=2\)	Resuelve cada ecuación.
\(\ r=3 \text { or } r=2\)	Las raíces de la ecuación original son 3 o 2.

Obsérvese en el ejemplo anterior, si se hubiera factorizado el factor común de 2, el factor resultante sería\(\ (-r+3)\), que es el negativo de\(\ (r-3)\). Por lo que factorizar -2 resultará en el factor común de\(\ (r-3)\). Si hubiéramos conseguido\(\ (-r+3)\) como factor, entonces al establecer ese factor igual a cero y resolver porque\(\ r\) habríamos conseguido:

\(\ (-r+3)=0\)	Principio de Cero Productos
\(\ (-1)(-r+3)=(-1) 0\)	Multiplicando ambos lados por -1.
\(\ r-3=0\)	Multiplicando.
\(\ r=3\)	Añadiendo 3 a ambos lados.

Más trabajo, pero el mismo resultado que antes,\(\ r=3\) o\(\ r=2\).

Ejercicio

Resolver para\(\ h\).

\(\ h(2 h+5)=0\)

\(\ h=0\)
\(\ h=2 \text { or } 5\)
\(\ h=0 \text { or } \frac{5}{2}\)
\(\ h=0 \text { or }-\frac{5}{2}\)

Contestar

Incorrecto. Si bien\(\ h=0\) hace que la ecuación sea verdadera (ya que el primer factor es\(\ h\)), hay otra solución cuando\(\ 2 h+5=0\). La respuesta correcta es\(\ h=0\) o\(\ -\frac{5}{2}\).
Incorrecto. El Principio de Cero Productos dice si\(\ h(2 h+5)=0\) entonces cualquiera\(\ h=0\) o\(\ 2 h+5=0\). Esto sucede cuando\(\ h=0\) o\(\ -\frac{5}{2}\).
Incorrecto. Si bien\(\ h=0\) hace que la ecuación sea verdadera (ya que el primer factor es\(\ h\)), el segundo factor es 0 cuando\(\ h=-\frac{5}{2}\), no\(\ \frac{5}{2}\). La respuesta correcta es\(\ h=0\) o\(\ -\frac{5}{2}\).
Correcto. Para encontrar las raíces de esta ecuación, aplique el Principio de Cero Productos y establezca cada factor,\(\ h\) e\(\ (2 h+5)\), igual a 0. Entonces resuelve esas ecuaciones para\(\ h\). Ambas respuestas son posibles soluciones.

Aplicación de ecuaciones cuadráticas

Hay muchas aplicaciones para ecuaciones cuadráticas. Cuando usas el Principio de Cero Productos para resolver una ecuación cuadrática, debes asegurarte de que la ecuación sea igual a cero. Por ejemplo, primero se\(\ 12 x^{2}+11 x+2=7\) debe cambiar a\(\ 12 x^{2}+11 x+-5=0\) restando 7 de ambos lados.

Ejemplo

El área de un jardín rectangular es de 30 pies cuadrados. Si el largo es 7 pies más largo que el ancho, encuentra las dimensiones.

Solución

\(\ A=l \cdot w\)	La fórmula para el área de un rectángulo es\(\ A=l \cdot w\).
\(\ 30=(w+7)(w)\)	\ (\\ begin {array} {l} \ text {width} =w\\ \ text {length} =w+7\\ \ texto {área} =30 \ end {array}\)
\(\ 30=w^{2}+7 w\)	Multiplicar.
\(\ w^{2}+7 w-30=0\)	Restar 30 de ambos lados para establecer la ecuación igual a 0.
\(\ w^{2}+10 w-3 w-30=0\)	Encuentra dos números cuyo producto es -30 y cuya suma es 7, y escribe el término medio como\(\ 10 w-3 w\).
\(\ w(w+10)-3(w+10)=0\)	Factor\(\ w\) fuera del primer par y -3 del segundo par.
\(\ (w-3)(w+10)=0\)	Factor hacia fuera\(\ w+10\).
\ (\\ comenzar {alineado} w-3 =0 &\ quad\ texto {o}\ cuádruple w+10=0\\ w =3 &\ quad\ texto {o}\ quad w=-10 \ final {alineado}\)	Utilice la Propiedad de Producto Cero para resolver\(\ w\).
El ancho = 3 pies La longitud es de 3 + 7 = 10 pies	La solución no\(\ w=-10\) funciona para esta aplicación, ya que el ancho no puede ser un número negativo, por lo que descartamos el -10. Por lo tanto, el ancho es de 3 pies. Sustituir\(\ w=3\) en la expresión\(\ w+7\) para encontrar la longitud:\(\ 3+7=10\).

El ancho del jardín es de 3 pies y el largo es de 10 pies.

El siguiente ejemplo muestra otra ecuación cuadrática donde ninguno de los lados es originalmente igual a cero. (Tenga en cuenta que la secuencia de factorización se ha acortado.)

Ejemplo

Resolver\(\ 5 b^{2}+4=-12 b\) para\(\ b\).

Solución

\(\ 5 b^{2}+4+12 b=-12 b+12 b\)	La ecuación original tiene\(\ -12 b\) a la derecha. Para que este lado sea igual a 0, agregue\(\ 12b\) a ambos lados.
\(\ 5 b^{2}+12 b+4=0\)	Combina términos similares.
\(\ 5 b^{2}+10 b+2 b+4=0\)	Reescribir\(\ 12b\) como\(\ 10 b+2 b\).
\(\ 5 b(b+2)+2(b+2)=0\)	Factor fuera\(\ 5b\) del primer par y 2 del segundo par.
\(\ (5 b+2)(b+2)=0\)	Factor hacia fuera\(\ b+2\).
\(\ 5 b+2=0 \text { or } b+2=0\)	Aplicar la Propiedad de Producto Cero.
\(\ b=-\frac{2}{5} \text { or } b=-2\)	Resuelve cada ecuación.

\(\ b=-\frac{2}{5} \text { or } b=-2\)

Si factoriza una constante, la constante nunca será igual a 0. Por lo que esencialmente puede ser ignorado a la hora de resolver. Ver el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Un pequeño cohete de juguete se lanza desde un pedestal de 4 pies. La altura (\(\ h\), en pies) del cohete\(\ t\) segundos después del despegue viene dada por la fórmula\(\ h=-2 t^{2}+7 t+4\). ¿Cuánto tiempo tardará el cohete en chocar contra el suelo?

Solución

\(\ h=-2 t^{2}+7 t+4\) \(\ 0=-2 t^{2}+7 t+4\)	El cohete estará en el suelo cuando la altura sea 0. Entonces, sustituya 0 por\(\ h\) en la fórmula.
\(\ 0=-2 t^{2}+8 t-t+4\)	Factorizar el trinomio por agrupación.
\ (\\ begin {array} {r} 0=-2 t (t-4) -1 (t-4)\\ 0 =( -2 t-1) (t-4)\\ 0=-1 (2 t+1) (t-4) \ end {array}\)	Factor.
\(\ 2 t+1=0 \text { or } t-4=0\)	Utilice la Propiedad de Producto Cero. No es necesario establecer el factor constante -1 a cero, porque -1 nunca será igual a cero.
\(\ t=-\frac{1}{2} \text { or } t=4\)	Resuelve cada ecuación.
\(\ t=4\)	Interpretar la respuesta. Ya que\(\ t\) representa el tiempo, no puede ser un número negativo; sólo tiene\(\ t=4\) sentido en este contexto.

El cohete chocará contra el suelo 4 segundos después de ser lanzado.

Ejercicio

Resolver para\(\ m\):\(\ 2 m^{2}+10 m=48\).

\(\ m=-8 \text { or } 3\)
\(\ m=-3 \text { or } 8\)
\(\ m=0 \text { or }-5\)
\(\ m=0 \text { or } 5\)

Contestar

Correcto. La ecuación original tiene 48 a la derecha. Para que este lado sea igual a 0, restar 48 de ambos lados:\(\ 2 m^{2}+10 m-48=0\). Luego factorizar el factor común de 2,\(\ 2\left(m^{2}+5 m-24\right)=0\). Después establece el trinomio a 0 y resuelve para\(\ m\). Encuentras eso\(\ 2(m+8)(m-3)=0\), así\(\ m=-8\) o 3.
Incorrecto. Probablemente o factorizó la cuadrática incorrectamente o resolvió las ecuaciones individuales incorrectamente. La respuesta correcta es\(\ m=-8\) o 3.
Incorrecto. Probablemente factorizó\(\ 2 m^{2}+10 m\) como\(\ 2 m(m+5)\) y luego estableció los factores iguales a 0. Sin embargo, la ecuación original no es igual a 0, es igual a 48. Para utilizar la Propiedad de Producto Cero, un lado debe ser 0. La respuesta correcta es\(\ m=-8\) o 3.
Incorrecto. Probablemente factorizó\(\ 2 m^{2}+10 m\) como\(\ 2 m(m+5)\) y luego estableció los factores iguales a 0, además de cometer un error de señal al resolver\(\ m+5=0\). Sin embargo, la ecuación original no es igual a 0, es igual a 48. La respuesta correcta es\(\ m=-8\) o 3.

Resumen

Puede encontrar las soluciones, o raíces, de ecuaciones cuadráticas estableciendo un lado igual a cero, factorizando el polinomio y luego aplicando la Propiedad de Producto Cero. El Principio de Cero Productos establece que si\(\ a b=0\), entonces cualquiera\(\ a=0\) o\(\ b=0\), o ambos\(\ a\) y\(\ b\) son 0. Una vez factorizado el polinomio, establezca cada factor igual a cero y resuelva por separado. Las respuestas serán el conjunto de soluciones para la ecuación original.

No todas las soluciones son adecuadas para algunas aplicaciones. En muchas situaciones del mundo real, las soluciones negativas no son apropiadas y deben descartarse.