14.3.1: Resolver sistemas de tres variables
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- Resuelve un sistema de ecuaciones cuando no es necesaria la multiplicación para eliminar una variable.
- Resuelve un sistema de ecuaciones cuando la multiplicación es necesaria para eliminar una variable.
- Resolver problemas de aplicación que requieran el uso de este método.
- Reconocer sistemas que no tienen solución o un número infinito de soluciones.
Introducción
Las ecuaciones pueden tener más de una o dos variables. Vas a mirar ecuaciones con tres variables. Ecuaciones con una gráfica variable en una línea. Ecuaciones con dos variables gráficas en un plano. Ecuaciones con tres variables gráficas en un espacio tridimensional.
Las ecuaciones con una variable requieren solo una ecuación para tener una solución única (una). Las ecuaciones con dos variables requieren dos ecuaciones para tener una solución única (un par ordenado). Por lo que no debería sorprender que las ecuaciones con tres variables requieran de un sistema de tres ecuaciones para tener una solución única (un triplete ordenado).
Resolviendo un sistema de tres variables
Así como al resolver un sistema de dos ecuaciones, hay tres posibles resultados para la solución de un sistema de tres variables. Veamos esto visualmente, aunque no estarás graficando estas ecuaciones.
Caso 1: Hay una solución. Para que tres ecuaciones con tres variables tengan una solución, los planos deben cruzarse en un solo punto.
Caso 2: No hay solución. Los tres planos no tienen ningún punto en común. (Tenga en cuenta que dos de las ecuaciones pueden tener puntos en común entre sí, pero no las tres.) A continuación se presentan ejemplos de algunas de las formas en que esto puede suceder.
Caso 3: Hay un número infinito de soluciones. Esto ocurre cuando los tres planos se cruzan en una línea. Y esto también puede ocurrir cuando las tres ecuaciones se grafican como un mismo plano.
Empecemos por mirar el Caso 1, donde el sistema tiene una solución única (una). Este es el caso que suele interesarte más.
Aquí hay un sistema de ecuaciones lineales. Hay tres variables y tres ecuaciones.
\ (\\ begin {array} {l}
3 x+4 y-z=8\\
5 x-2 y+z=4\\
2 x-2 y+z=1
\ end {array}\)
Se sabe resolver un sistema con dos ecuaciones y dos variables. Para el primer paso, utilice el método de eliminación para eliminar una de las variables. En este caso, se\(\ z\) puede eliminar sumando la primera y segunda ecuaciones.
\ (\\ comenzar {alineado}
3 x+4 y-z&=\\ 8\\
5 x-2 y+z&=\\ 4\
\ hline 8 x+2 y\\\\\\\ &=12
\ end {alineado}\)
Para resolver el sistema, sin embargo, se necesitan dos ecuaciones usando dos variables. Sumando la primera y tercera ecuaciones en el sistema original también dará una ecuación con\(\ x\) y\(\ y\) pero no\(\ z\).
\ (\\ begin {array} {r}
3 x+4 y-z=8\\
2 x-2 y+z=1\
\ hline 5 x+2 y\\\ cuad=9
\ end {array}\)
Ahora se tiene un sistema de dos ecuaciones y dos variables.
\ (\\ begin {array} {r}
8 x+2 y=12\\
5 x+2 y\\ =9
\ end {array}\)
Resuelve el sistema usando la eliminación nuevamente. En este caso, se puede eliminar\(\ y\) sumando lo contrario de la segunda ecuación:
\ (\\ begin {array} {r}
8 x+\\\ 2 y &=&12\\
-5 x+-2 y &=&-9\\
\ hline 3 x\\\\\\\\\\\\\ &=&3
\ end {array}\)
Resolver la ecuación resultante para la variable restante.
\ (\\ begin {array} {r}
3 x=3\\
x=1
\ end {array}\)
Ahora usa una de las ecuaciones en el sistema de dos variables para encontrar\(\ y\).
\ (\\ begin {array} {r}
5 x+2 y=9\\
5 (1) +2 y=9\\
5+2 y=9\\
2 y=4\\
y=2
\ end {array}\)
Finalmente, usa cualquier ecuación del primer sistema, junto con los valores ya encontrados, para resolver la última variable.
\ (\\ begin {array} {r}
2 x-2 y+z=1\\
2 (1) -2 (2) +z=1\\
2-4+z=1\\
-2+z=1\\
z=3
\ end {array}\)
Asegúrate de verificar tu respuesta. Con estos tantos pasos, ¡hay muchos lugares para cometer un simple error!
\ (\\ begin {array} {r}
3 x+4 y-z=8\\
3 (1) +4 (2) -3=8\\
3+8-3=8\\
11-3=8\\
8=8\\
\ text {TRUE}
\ end {array}\)
\ (\\ begin {array} {r}
5 x-2 y+z=4\\
5 (1) -2 (2) +3=4\\
5-4+3=4\\
1+3=4\\
4=4\\
\ text {VERDADERO}
\ end {array}\)
\ (\\ begin {array} {r}
2 x-2 y+z=1\\
2 (1) -2 (2) +3=1\\
2-4+3=1\\
-2+3=1\\
1=1\
\ text {VERDADERO}
\ end {array}\)
Dado que\(\ x=1\)\(\ y=2\),, y\(\ z=3\) es una solución para las tres ecuaciones, es la solución para el sistema de ecuaciones. Así como dos valores se pueden escribir como un par ordenado, tres valores se pueden escribir como un triplete ordenado:.
- Elija dos ecuaciones y úselas para eliminar una variable.
- Elige otro par de ecuaciones y utilízalas para eliminar la misma variable.
- Utilice el par de ecuaciones resultantes de los pasos 1 y 2 para eliminar una de las dos variables restantes.
- Resolver la ecuación final para la variable restante.
- Encuentra el valor de la segunda variable. Haga esto usando una de las ecuaciones resultantes de los pasos 1 y 2 y el valor de la variable encontrada del paso 4.
- Encuentra el valor de la tercera variable. Haga esto usando una de las ecuaciones originales y los valores de las variables encontradas de los pasos 4 y 5.
- ¡Comprueba tu respuesta en las tres ecuaciones!
Resolver para\(\ f\)\(\ g\),, y\(\ h\).
\ (\\ begin {array} {r}
f+g+h&=&13\\
f-h&=&-2\\
-2 f+g&=&3
\ end {array}\)
Solución
| \ (\\ begin {array} {r} f+g+h &=&13\\ f\\\\\\\ -h&=&-2\ \ hline 2 f\\\\\\\\ +g &=&11 \ end {array}\) |
Paso 1: Elige dos ecuaciones y elimina una variable. Las dos primeras ecuaciones se pueden agregar para eliminar\(\ h\). |
| \ (\\ begin {array} {r} 2 f+g&=&11\\ -2 f+g&=&3 \ end {array}\) |
Paso 2: ¡La tercera ecuación no tiene\(\ h\) variable, así que no hay nada que eliminar! Tienes un sistema de dos ecuaciones y dos variables. |
| \ (\\ begin {array} {r} 2 f+\ g&=&11\\ -2 f+\ g&=&3\\ \ hline 2 g&=&14 \ end {array}\) |
Paso 3: Eliminar una segunda variable. Estas ecuaciones se pueden agregar para eliminar\(\ f\). |
| \ (\\ begin {array} {c} 2 g=14\\ g=7 \ end {array}\) |
Paso 4: Resolver la ecuación resultante para la variable restante. |
| \ (\\ begin {array} {r} 2 f+g&=&11\\ 2 f+7&=&11\\ 2 f\\\\\\\ &=&4\\ f\\\\\\ &=&2 \ end {array}\) |
Paso 5: Usa ese valor y una de las ecuaciones del sistema en el paso 3 que involucra solo dos variables, una de las cuales fue\(\ g\) que ya conoces. Resolver para la segunda variable. |
| \ (\\ begin {array} {r} f+g+h=13\\ 2+7+h=13\\ 9+h=13\\ h=\\ 4 \ end {array}\) |
Paso 6: Usa los dos valores encontrados y una de las ecuaciones originales que tenían las tres variables para resolver para la tercera variable. |
|
\ (\\ begin {array} {c} \ (\\ begin {array} {l} \ (\\ begin {array} {c} |
Paso 7: Comprueba tu respuesta. |
La solución es\(\ (f, g, h)=(2,7,4)\).
Al igual que con los sistemas de dos ecuaciones con dos variables, es posible que deba sumar lo contrario de una de las ecuaciones o incluso multiplicar una de las ecuaciones antes de sumar para eliminar una de las variables.
Resolver para\(\ x\)\(\ y\),, y\(\ z\).
\ (\\ begin {array} {r}
3 x-2 y+\\ z=\ 12\
x+3 y+\\ z=-4\\
2 x+2 y-4 z=\\\ 6
\ end {array}\)
Solución
| \ (\\ begin {array} {r} 3 x-2 y+z\ &=&12\\ -1 (x+3 y+z) &=&-1 (-4)\\ \ hline \ end {array}\) |
Paso 1: Primero, elige dos ecuaciones y elimina una variable. Multiplica la segunda ecuación por -1, y luego agrégalo a la primera ecuación. Esto eliminará\(\ z\). |
|
\ (\\ begin {array} {r} \ (\\ begin {array} {r} |
Paso 2: A continuación, combine la tercera ecuación y una de las dos primeras para eliminar de\(\ z\) nuevo. Sin embargo, la tercera ecuación tiene un coeficiente de -4 encendido\(\ z\) mientras que los coeficientes en las dos primeras ecuaciones son ambos 1. Entonces, multiplica la segunda ecuación por 4 y suma. |
| \ (\\ begin {array} {rr} 2 x-\\ 5 y&= & 16\\ 6 x+14 y&= & -10\ \ hline \ end {array}\) |
Paso 3: Elimina una segunda variable usando las ecuaciones de los pasos 1 y 2. Nuevamente, no se pueden agregar como están. Mira los coeficientes en\(\ x\). Si multiplica la ecuación del paso 1 por -3, los\(\ x\) términos tendrán el mismo coeficiente. |
|
\ (\\ comenzar {matriz} {r} \ (\\ begin {array} {rlr} |
Multiplicar y luego agregar. ¡Cuidado con las señales! |
| \ (\\ begin {array} {r} 29 y&=&-58\\ y&=& -2 \ end {array}\) |
Paso 4: Resolver la ecuación resultante para la variable restante. |
| \ (\\ begin {array} {c} 2 x-5 y=16\\ 2 x-5 (-2) =16\\ 2 x+10=16\\ 2 x=6\ x=3 \ end {array}\) |
Paso 5: Usa ese valor y una de las ecuaciones del sistema en el paso 3, que involucra solo dos variables, una de las cuales fue\(\ y\). Resolver para la segunda variable. |
| \ (\\ begin {array} {c} x+3 y+z=-4\\ 3+3 (-2) +z=-4\\ 3+ (-6) +z=-4\\ -3+z=-4\\ z=-1 \ end {array}\) |
Paso 6: Usa los dos valores encontrados y una de las ecuaciones originales para resolver para la tercera variable. |
|
\ (\\ begin {array} {c} \ (\\ begin {array} {c} \ (\\ begin {array} {c} |
Paso 7: Comprueba tu respuesta. |
La solución es\(\ (x, y, z)=(3,-2,-1)\).
Estos sistemas pueden ser útiles para resolver problemas del mundo real.
Andrea vende fotografías en ferias de arte. Ella valora las fotos según el tamaño: las fotos pequeñas cuestan $10, las fotos medianas cuestan $15 y las fotos grandes cuestan $40. Por lo general vende tantas fotos pequeñas como fotos medianas y grandes combinadas. También vende el doble de fotos medianas que grandes. Un stand en la feria de arte cuesta $300.
Si sus ventas van como de costumbre, ¿cuántas de cada foto de tamaño debe vender para pagar la cabina?
Solución
|
\(\ S\)=número de pequeñas fotos vendidas \(\ M\)=número de fotos medianas vendidas \(\ L\)=número de fotos grandes vendidas \(\ 10S\)=dinero recibido por fotos pequeñas \(\ 15M\)=dinero recibido por fotos medianas \(\ 40L\)=dinero recibido por fotos grandes |
Para configurar el sistema, primero elija las variables. En este caso los valores desconocidos son el número de fotos pequeñas, medianas y grandes. El total de sus ventas debe ser de $300 para pagar el stand. |
|
\(\ 10 S+15 M+40 L=300\) \(\ S=M+L\) \(\ M=2 L\) |
El número de fotos pequeñas es el mismo que el total de fotos medianas y grandes. Ella vende el doble de fotos medianas que fotos grandes. |
| \ (\\ begin {array} {c} 10 S+15 M+40 L=300\\ S-M-L=0\\ M-2 L=0 \ end {array}\) |
Para facilitar las cosas, reescribe las ecuaciones para que estén en el mismo formato, con todas las variables en el lado izquierdo del signo igual y solo un número constante a la derecha. Ahora resuelve el sistema. |
|
\ (\\ begin {array} {r} \ (\\ begin {array} {r} |
Paso 1: Primero elige dos ecuaciones y elimina una variable. Dado que una ecuación no tiene\(\ S\) variable, puede ser útil usar las otras dos ecuaciones y eliminar la\(\ S\) variable de ellas. |
| \ (\\ begin {array} {r} 10 S+15 M+40 L&=&300\\ -10 S+10 M+10 L&=&0\ \ hline 25 M+50 L&=&300 \ end {array}\) |
Multiplica la segunda ecuación por -10 y suma. |
| \(\ M-2 L=0\) | Paso 2: La segunda ecuación para nuestro sistema de dos variables será la ecuación restante (que no tiene\(\ S\) variable). |
| \ (\\ begin {array} {r} 25 M+50 L&=&300\\ M-\ 2 L&=&0\ \ hline \ end {array}\) |
Paso 3: Elimina una segunda variable usando las ecuaciones de los pasos 1 y 2. |
| \ (\\ begin {array} {r} M+2 L &=12\\ M-2 L &=\\ 0\ \ hline 2 M\\\\\\\\\\ &=12 \ end {array}\\) |
Si bien podrías multiplicar la segunda ecuación por 25 para eliminarla\(\ L\), será más fácil trabajar con los números si divides la primera ecuación por 25. ¡No olvides tener cuidado con las señales! |
| \ (\\ begin {array} {c} 2 M=12\\ M=6 \ end {array}\) |
Paso 4: Resolver la ecuación resultante para la variable restante. |
| \ (\\ comenzar {alineado} M&=2 L\\ 6&=2 L\\ 3&=L \ final {alineado}\) |
Paso 5: Usa ese valor y una de las ecuaciones que contienen solo dos variables, siendo una de esas variables\(\ L\), que ya sabes, resolver para la segunda variable. Es mejor usar una de las ecuaciones originales, en caso de que se cometiera un error en la multiplicación. |
| \ (\\ begin {array} {c} S=M+L\\ S=6+3\\ S=9 \ end {array}\) |
Paso 6: Usa los dos valores encontrados y una de las ecuaciones originales para resolver para la tercera variable. Incluso puedes usar una de las ecuaciones antes de reescribirla para el sistema. |
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Por lo general vende tantas fotos pequeñas como fotos medianas y grandes combinadas. Fotos medianas y grandes combinadas\(\ =6+3=9\), que es el número de fotos pequeñas. |
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|
También vende el doble de fotos medianas que grandes. Las fotos medianas son 6, que es el doble del número de fotos grandes (3). |
Paso 7: Comprueba tu respuesta. Con problemas de aplicación, a veces es más fácil (y mejor) usar la redacción original del problema en lugar de las ecuaciones que escribes. |
|
Un stand en la feria de arte cuesta $300. Andrea recibe $10 (9) o $90 por las 9 fotos pequeñas, $15 (6) o $90 por las 6 fotos medianas, y $40 (3) o $120 por las fotos grandes. \(\ \$ 90+\$ 90+\$ 120=\$ 300\). |
Si Andrea vende fotos pequeñas, fotos medianas y fotos grandes, recibirá exactamente la cantidad de dinero necesaria para pagar la cabina.
En la solución a este sistema, ¿cuál es el valor de\(\ x\)?
\ (\\ begin {array} {r}
7 x-4 y+3 z=28\\
3 x+3 y-\\ z=19\\
3 x+2 y+\\ z=16
\ end {array}\)
- 5
- 16
- -31
- 1
- Responder
-
- Correcto. Elimina\(\ z\) sumando las dos últimas ecuaciones juntas para obtener\(\ 6 x+5 y=35\). Ahora, multiplique la segunda ecuación por 3 y agréguela a la primera ecuación para obtener\(\ 16 x+5 y=85\). Esto crea un sistema más pequeño de dos ecuaciones y dos variables:\(\ 6 x+5 y=35\) y\(\ 16 x+5 y=85\). Multiplica\(\ 6 x+5 y=35\) por\(\ -1\) para crear\(\ -6 x-5 y=-35\) y ahora agrega esto a\(\ 16 x+5 y=85\). Esto elimina\(\ y\), dando\(\ 10 x=50\), así\(\ x=5\).
- Incorrecto. Eliminar\(\ z\) sumando las dos últimas ecuaciones juntas, para obtener\(\ 6 x+5 y=35\). Ahora, multiplique la segunda ecuación por 3 y agréguela a la primera ecuación para obtener\(\ 16 x+5 y=85\). Esto crea un sistema más pequeño de dos ecuaciones y dos variables:\(\ 6 x+5 y=35\) y\(\ 16 x+5 y=85\). Multiplica\(\ 6 x+5 y=35\) por\(\ -1\) para crear\(\ -6 x-5 y=-35\) y ahora agrega esto a\(\ 16 x+5 y=85\). Esto elimina\(\ y\), dando\(\ 10 x=50\), así\(\ x=5\).
- Incorrecto. Eliminar\(\ z\) sumando las dos últimas ecuaciones juntas, para obtener\(\ 6 x+5 y=35\). Ahora, multiplique la segunda ecuación por 3 y agréguela a la primera ecuación para obtener\(\ 16 x+5 y=85\). Esto crea un sistema más pequeño de dos ecuaciones y dos variables:\(\ 6 x+5 y=35\) y\(\ 16 x+5 y=85\). Multiplica\(\ 6 x+5 y=35\) por\(\ -1\) para crear\(\ -6 x-5 y=-35\) y ahora agrega esto a\(\ 16 x+5 y=85\). Esto elimina\(\ y\), dando\(\ 10 x=50\), así\(\ x=5\).
- Incorrecto. Eliminar\(\ z\) sumando las dos últimas ecuaciones juntas, para obtener\(\ 6 x+5 y=35\). Ahora, multiplique la segunda ecuación por 3 y agréguela a la primera ecuación para obtener\(\ 16 x+5 y=85\). Esto crea un sistema más pequeño de dos ecuaciones y dos variables:\(\ 6 x+5 y=35\) y\(\ 16 x+5 y=85\). Multiplica\(\ 6 x+5 y=35\) por\(\ -1\) para crear\(\ -6 x-5 y=-35\) y ahora agrega esto a\(\ 16 x+5 y=85\). Esto elimina\(\ y\), dando\(\ 10 x=50\), así\(\ x=5\).
Sistemas sin soluciones o con un número infinito de soluciones
Ahora veamos el Caso 2 (sin solución) y el Caso 3 (un número infinito de soluciones).
Dado que no va a graficar estas ecuaciones, ya que es difícil graficar en tres dimensiones en una hoja de papel bidimensional, mirará lo que sucede cuando intenta resolver sistemas sin soluciones o con un número infinito de soluciones.
Veamos un sistema que no tiene soluciones.
\ (\\ comenzar {matriz} {r}
5 x-2 y+\\ z=\\\ 3\
4 x-4 y-8 z=\\\ 2\
-x+\\ y+2 z=-3
\ final {matriz}\)
Supongamos que querías resolver este sistema, y empezaste con las dos últimas ecuaciones. Multiplique la tercera ecuación por 4 y agréguela a la segunda ecuación para eliminarla\(\ x\).
\ (\\ begin {array} {r}
4 x-4 y-8 z\\ &=\\\\\\\\\ 2\
4 (-x+\\ y+2 z) &=4 (-3)
\ end {array}\)
\ (\\ begin {array} {r}
4 x-4 y-8 z=\\\\\ 2\
-4 x+4 y+8 z=-12\
\ hline 0=-10
\ end {array}\)
En este caso, el resultado es una declaración falsa. Esto significa que no hay soluciones a las dos ecuaciones y por lo tanto no puede haber soluciones para el sistema de tres ecuaciones. Si esto ocurre para dos cualesquiera de las tres ecuaciones, entonces no hay solución para el sistema de ecuaciones.
Ahora veamos un sistema que tiene un número infinito de soluciones.
\ (\\ begin {array} {r}
x-2 y+\\ z=\\\ 3\
-3 x+6 y-3 z=-9\\
4 x-8 y+4 z=\ 12
\ end {array}\)
Para el primer paso, elegirías dos ecuaciones y las combinarías para eliminar una variable. Se puede eliminar\(\ x\) multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando a la segunda ecuación.
\ (\\ begin {array} {r}
3 (x-2 y+z) =\ 3 (3)\\
-3 x+6 y-3 z=\ -9\
\ hline
\ end {array}\)
\ (\\ begin {array} {r}
3 x-6 y+3 z=\\\ 9\
-3 x+6 y-3 z= -9\\ hline 0=\
\\ hline 0=\\\ 0
\ end {array}\)
¡Observe que cuando se agregan las dos ecuaciones, se eliminan todas las variables! La ecuación final es una afirmación verdadera:\(\ 0=0\).
Cuando esto sucede, es porque las dos ecuaciones son equivalentes. Estas dos ecuaciones se graficarían como el mismo plano. Pero para que la solución al sistema de tres ecuaciones sea infinita, es necesario seguir comprobando con la tercera ecuación.
Dado que las dos primeras ecuaciones son equivalentes, el sistema de ecuaciones podría escribirse con sólo dos ecuaciones. Continuar como antes. Multiplica la primera ecuación por -4 y suma la tercera ecuación.
\(\ 4 x-8 y+4 z=-12\)
\ (\\ begin {array} {r}
-4 x+8 y-4 z= & -12\\
4 x-8 y+4 z= & 12\
\ hline 0= & 0
\ end {array}\)
Nuevamente, la ecuación final es la afirmación verdadera\(\ 0=0\). Entonces la tercera ecuación es el mismo plano que las dos primeras. Ahora puedes confirmar que hay un número infinito de soluciones, todos los puntos que están en el plano que estas tres ecuaciones describen cada una.
Este es un tipo de situación donde hay un número infinito de soluciones. Hay otros, que no vas a examinar en este momento.
¿Cuántas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones?
\ (\\ begin {array} {c}
x+y+z=2\\
2 x+2 y+2 z=4\\
-3 x-3 y-3 z=-6
\ end {array}\)
Solución
| \ (\\ begin {array} {rr} -2 (x+y+z) =-2 (2)\\ 2 x+2 y+2 z=\\\\\\\\ 4\ \ hline \ end {array}\\) |
Multiplique la primera ecuación por -2 y luego agregue esa ecuación resultante a la segunda ecuación. |
| \ (\\ begin {array} {r} -2 x-2 y-2 z =-4\\ 2 x+2 y+2 z =\\\ 4\ \ hline 0 =\\\ 0 \ final {matriz}\) |
\(\ 0=0\)es una verdadera afirmación, lo que nos lleva a creer que usted puede tener un número infinito de soluciones. Este resultado indica que el primer par de ecuaciones es realmente la misma ecuación. Los valores de\(\ x\),\(\ y\), y\(\ z\) que harán que funcione la primera ecuación también funcionarán para la segunda. |
| \ (\\ begin {array} {r} 3 (x+y+z) =\ 3 (2)\\ -3 x-3 y-3 z=\ -6\ \ hline \ end {array}\) |
Ahora suma la tercera ecuación con la primera. |
| \ (\\ begin {array} {r} 3 x+3 y+3 z=\\\ 6\ -3 x-3 y-3 z=-6\ \ hline 0=\\\ 0 \ end {array}\) |
Nuevamente, el resultado es otra afirmación verdadera. La primera y tercera ecuaciones son las mismas. Entonces tienes tres ecuaciones que todas graficarán como un mismo plano. |
Hay un número infinito de soluciones a este sistema.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.
\ (\\ begin {array} {c}
x-y-2 z=4\\
4 x-4 y-z=2\\
-x+y+2 z=-3
\ end {array}\)
Solución
| \ (\\ begin {array} {r} -4 (x-y-2 z) =-4 (4)\\ 4 x-4 y-8 z=\\\\\\\\\ 2\ \ hline \ end {matriz}\) |
Comparar los coeficientes en los\(\ x\) términos. Multiplique la primera ecuación por -4 y luego agregue esa ecuación resultante a la segunda ecuación. |
| \ (\\ begin {array} {r} -4 x+4 y+8 z =-16\\ 4 x-4 y-8 z =\\\\\ 2\ \ hline 0 =-14 \ end {array}\) |
Observe que se produce una declaración falsa:\(\ 0=-14\). Esto significa que no hay solución a este sistema de ecuaciones; no hay que completar ningún paso más. |
El sistema no tiene soluciones.
¿Cuántas soluciones tiene este sistema?
\ (\\ begin {array} {r}
6 x+4 y+2 z=32\\
3 x-3 y-\\ z=19\\
3 x+2 y+\\ z=32
\ end {array}\)
- Sin soluciones
- Uno
- Un número infinito de soluciones
- Responder
-
- Correcto. Multiplica la última ecuación por -2 para obtener\(\ -6 x-4 y-2 z=-64\). Si agregas esta ecuación a la primera, obtendrás\(\ 0=-32\), una declaración falsa. Esto quiere decir que este sistema no tiene soluciones.
- Incorrecto. Si multiplicas la última ecuación por -2 y luego la agregas a la primera ecuación, obtienes\(\ 0=-32\), una declaración falsa. Este sistema no tiene soluciones.
- Incorrecto. Si multiplicas la última ecuación por -2 y luego la agregas a la primera ecuación, obtienes\(\ 0=-32\), una declaración falsa. Este sistema no tiene soluciones.
Resumen
Combinar ecuaciones es una poderosa herramienta para resolver un sistema de ecuaciones, incluyendo sistemas con tres ecuaciones y tres variables. En ocasiones, debes multiplicar una de las ecuaciones antes de sumar para que puedas eliminar una variable. Continúa el proceso de combinar ecuaciones y eliminar variables hasta que hayas encontrado el valor de todas las variables. Ocasionalmente este proceso lleva a que todas las variables sean eliminadas (eliminadas no resueltas para). Cuando todas las variables se eliminan combinando ecuaciones, si esto lleva a una declaración falsa, entonces el sistema no tendrá soluciones. Cuando todas las variables se eliminan combinando ecuaciones, si una de las ecuaciones resultantes es verdadera, el sistema puede tener un número infinito de soluciones. Sin embargo, todas las ecuaciones deben compararse y hallarse verdaderas para que haya un número infinito de soluciones, no sólo dos de las tres ecuaciones.