15.2.1: Resolver ecuaciones racionales y aplicaciones

Objetivos de aprendizaje

• Resolver ecuaciones racionales.
• Verifique si hay soluciones extrañas.
• Resolver problemas de aplicación con ecuaciones racionales.

Introducción

Las ecuaciones que contienen expresiones racionales se denominan ecuaciones racionales. Por ejemplo,\(\ \frac{2 x+1}{4}=\frac{x}{3}\) es una ecuación racional.

Se pueden resolver estas ecuaciones utilizando las técnicas para realizar operaciones con expresiones racionales y los procedimientos para resolver ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones racionales pueden ser útiles para representar situaciones de la vida real y para encontrar respuestas a problemas reales. En particular, son bastante buenos para describir las relaciones a distancia-velocidad y tiempo y para modelar problemas de trabajo que involucran a más de una persona.

Resolviendo ecuaciones racionales

Un método para resolver ecuaciones racionales es reescribir las expresiones racionales en términos de un denominador común. Entonces, como sabes que los numeradores son iguales, puedes resolver para la variable. Para ilustrar esto, veamos una ecuación muy simple.

\(\ \frac{2}{5}=\frac{x}{5}\)

Dado que el denominador de cada expresión es el mismo, los numeradores deben ser equivalentes. Esto significa que\(\ x=2\).

Esto también es cierto para las ecuaciones racionales con polinomios.

\(\ \frac{x-5}{x+4}=\frac{11}{x+4}\)

Dado que los denominadores de cada expresión racional son los mismos,\(\ x+4\), los numeradores deben ser equivalentes para que la ecuación sea cierta. Entonces,\(\ x-5=11\) y\(\ x=16\).

Al igual que con otras ecuaciones algebraicas, puede verificar su solución en la ecuación racional original sustituyendo el valor por la variable nuevamente en la ecuación y simplificando.

\ (\\ begin {array} {c}
\ frac {16-5} {16+4} =\ frac {11} {16+4}\
\ frac {11} {20} =\ frac {11} {20}
\ end {array}\)

Cuando los términos en una ecuación racional tienen denominadores diferentes, resolver la ecuación implicará algunos pasos adicionales. Una forma de resolver ecuaciones racionales con denominadores diferentes es multiplicar ambos lados de la ecuación por el múltiplo menos común de los denominadores de todas las fracciones contenidas en la ecuación. Esto elimina los denominadores y convierte la ecuación racional en una ecuación polinómica. Aquí tienes un ejemplo.

Ejemplo

Resolver la ecuación\(\ \frac{x+5}{8}=\frac{7}{4}\)

Solución

\ (\\ begin {array} {r} 4=2\ cdot 2\\ 8=2\ cdot 2\ cdot 2 \ end {array}\) \ (\\ begin {array} {l} \ text {mínimo común múltiplo} =2\ cdot2\ cdot2\\ \ text {mínimo común múltiplo} =8 \ end {array}\)	Encuentra el múltiplo menos común (MCM) de 4 y 8. Recuerde, para encontrar el LCM, identificar el mayor número de veces que cada factor aparece en cada factorización. Aquí, 2 aparece 3 veces, así\(\ 2 \cdot 2 \cdot 2\), o 8, será el LCM.
\ (\\ begin {array} {c} 8\ cdot\ frac {x+5} {8} =\ frac {7} {4}\ cdot 8\ \ frac {8 (x+5)} {8} =\ frac {7 (8)} {4} \ end {array}\)	El LCM de 4 y 8 es también el denominador común más bajo para las dos fracciones.
\ (\\ begin {array} {c} \ frac {8} {8}\ cdot (x+5) =\ frac {7 (4\ cdot 2)} {4}\ \ frac {8} {8}\ cdot (x+5) =7\ cdot 2\ cdot\ cdot\ frac {4} {4}\\ 1\ cdot (x+5) =14\ punto 1 \ end {array}\)	Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común, 8, para mantener la ecuación equilibrada y eliminar los denominadores.
\ (\\ begin {array} {r} x+5=14\\ x=9 \ end {array}\)	Simplificar y resolver para\(\ x\).
\ (\\ comenzar {alineado} \ frac {x+5} {8} &=\ frac {7} {4}\ \ frac {9+5} {8} &=\ frac {7} {4}\ \ frac {14} {8} &=\ frac {7} {4}\ \ frac {7} {7} {4} &=\ frac {7} 4} \ fin {alineado}\)	Verifique la solución sustituyendo 9\(\ x\) en la ecuación original.

\(\ x=9\)

Otra forma de resolver una ecuación racional con denominadores distintos es reescribir cada término con un denominador común y luego simplemente crear una ecuación a partir de los numeradores. Esto funciona porque si los denominadores son iguales, los numeradores deben ser iguales. El siguiente ejemplo muestra este enfoque con la misma ecuación que acabas de resolver:

Ejemplo

Resuelve la ecuación\(\ \frac{x+5}{8}=\frac{7}{4}\).

Solución

\ (\\ begin {array} {c} \ frac {x+5} {8} =\ frac {7} {4}\ cdot\ frac {2} {2}\ \ frac {x+5} {8} =\ frac {14} {8} \ end {array}\)	Multiplica el lado derecho de la ecuación por\(\ \frac{2}{2}\) para obtener un denominador común de 8. (Multiplicar por\(\ \frac{2}{2}\) es lo mismo que multiplicar por 1, por lo que la ecuación se mantiene equilibrada).
\ (\\ begin {array} {r} x+5=14\\ x=9 \ end {array}\)	Dado que los denominadores son los mismos, los numeradores deben ser iguales para que la ecuación sea verdadera. Resolver para\(\ x\).

\(\ x=9\)

En algunos casos, necesitarás tomar algunos pasos adicionales para encontrar un denominador común. Considera el siguiente ejemplo, que ilustra usando lo que sabes de denominadores para reescribir una de las expresiones en la ecuación.

Ejemplo

Resuelve la ecuación\(\ \frac{x}{3}+1=\frac{4}{3}\).

Solución

\ (\\ begin {array} {r} \ frac {x} {3} +1=\ frac {4} {3}\ \ frac {x} {3} +\ frac {3} {3} =\ frac {4} {3}\ \ frac {x+3} {3} =\ frac {4} {3} \ end {array}\)	Reescribe la expresión usando un denominador común.
\ (\\ comenzar {alineado} x+3 &=4\\ x &=1 \ end {alineado}\)	Dado que el denominador para cada expresión es 3, los numeradores deben ser iguales.
\ (\\ begin {array} {l} \ frac {1} {3} +1=\ frac {4} {3}\ \ frac {1} {3} +\ frac {3} {3} =\ frac {4} {3} \ end {array}\)	Verifique la solución en la ecuación original.
\(\ \frac{4}{3}=\frac{4}{3}\)

\(\ x=1\)

También se podría resolver este problema multiplicando cada término de la ecuación por 3 para eliminar por completo las fracciones. Aquí está cómo se vería.

Ejemplo

Resuelve la ecuación\(\ \frac{x}{3}+1=\frac{4}{3}\).

Solución

\(\ 3\left(\frac{x}{3}+1\right)=3\left(\frac{4}{3}\right)\)	Ambas fracciones en la ecuación tienen un denominador de 3. Multiplica ambos lados de la ecuación (¡no solo las fracciones!) por 3 para eliminar los denominadores.
\ (\\ comenzar {matriz} {r} 3\ izquierda (\ frac {x} {3}\ derecha) +3 (1) =3\ izquierda (\ frac {4} {3}\ derecha) \\ frac {3 x} {3} +3=\ frac {3 (4)} {3} \\ frac {3} {3}\ cdot x+3 = 4\ cdot\ frac {3} {3}\\ 1\ cdot x+3 = 4\ cdot 1\\ x+3=4 \ end {array}\)	Aplicar la propiedad distributiva y multiplicar 3 por cada término dentro de los paréntesis. Entonces simplifique y resuelva para\(\ x\).

\(\ x=1\)

Valores excluidos y soluciones extrañas

Algunas expresiones racionales tienen una variable en el denominador. Cuando este es el caso, hay un paso extra para resolverlos. Dado que la división por 0 no está definida, se deben excluir los valores de la variable que resultarían en un denominador de 0. Estos valores se denominan valores excluidos. Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Resuelve la ecuación\(\ \frac{2 x-5}{x-5}=\frac{15}{x-5}\).

Solución

\(\ \frac{2 x-5}{x-5}=\frac{15}{x-5}\) 5 es un valor excluido porque hace que el denominador sea\(\ x-5\) igual a 0.	Determinar cualquier valor para\(\ x\) eso haría que el denominador 0.
\ (\\ comenzar {alineado} 2 x-5 &=15\\ 2 x &=20\\ x &=10 \ final {alineado}\)	Dado que el denominador de cada expresión en la ecuación es el mismo, los numeradores deben ser iguales. Establecer los numeradores iguales entre sí y resolver para\(\ x\).
\ (\\ begin {array} {r} \ frac {2 x-5} {x-5} =\ frac {15} {x-5}\ \ frac {2 (10) -5} {10-5} =\ frac {15} {10-5} {10-5} \\ frac {20-5} {10-5} =\ frac {15} {10-5} \\ frac {15} 5} =\ frac {15} {5} \ end {array}\)	Verifique la solución en la ecuación original.

\(\ x=10\)

Ejercicio

Dar los valores excluidos para\(\ \frac{7}{p+2}+\frac{5}{p-2}=\frac{10 p-2}{p^{2}-4}\). No resuelva.

1. \(\ \frac{2}{10}\)
2. \(\ 2\)
3. \(\ -2,2\)
4. \(\ -2,2,4\)

Contestar

1. Incorrecto. Los valores excluidos son aquellos valores de la variable que dan como resultado un 0 en el denominador, no en el numerador. La respuesta correcta es\(\ -2,2\).
2. Incorrecto. 2 es un valor excluido, pero -2 también da como resultado un 0 en el denominador. La respuesta correcta es\(\ -2,2\).
3. Correcto. -2 y 2, cuando se sustituyen en la ecuación, dan como resultado un 0 en el denominador. Dado que la división por 0 no está definida, ambos valores se excluyen de la solución.
4. Incorrecto. Si bien se excluyen -2 y 2, 4 no se excluye porque no provoca que el denominador sea 0. La respuesta correcta es -2, 2.

Veamos un ejemplo con un denominador más complicado.

Ejemplo

Resuelve la ecuación\(\ \frac{x}{x^{2}-9}+\frac{3}{x-3}=\frac{3}{x+3}\).

Solución

\(\ \frac{x}{x^{2}-9}+\frac{3}{x-3}=\frac{3}{x+3}\) 3 es un valor excluido porque hace\(\ x-3\) e\(\ x^{2}-9\) igual a 0. -3 es un valor excluido porque hace\(\ x+3\) e\(\ x^{2}-9\) igual a 0.	Determinar cualquier valor para\(\ x\) eso haría que el denominador 0.
\ (\\ begin {array} {r} {[(x+3) (x-3)]\ izquierda [\ frac {x} {x^ {2} -9} +\ frac {3} {x-3}\ derecha] =\ frac {3} {x+3} (x+3) (x-3)}\ \ frac {x (x+3) (x-3)} {x^ {2} -9} +\ frac {3 (x+3) (x-3)} {x-3} =\ frac {3 (x+3) (x-3)} {x+3}\\ {\ izquierda [\ frac {(x+3) (x-3)} {x^ {2} -9}\ cdot x\ derecha ] +\ izquierda [\ frac {x-3} {x-3}\ cdot 3 (x+3)\ derecha] =\ izquierda [\ frac {x+3} {x+3}\ cdot 3 (x-3)\ derecha]}\\ {[1\ cdot x] + [1\ cdot 3 (x+3)] = [1\ cdot 3 (x-3)]}\ x+3 (x+3) =3 (x-3)\\ x+3 x+9=3 x-9\\ 4 x+9=3 x-9\\ x+9=-9\\ x=-18 \ end {array}\)	Dado que\(\ x^{2}-9\) o\(\ (x-3)(x+3)\) es un múltiplo común de así\(\ x-3\) como\(\ x+3\), se pueden multiplicar ambos lados de la ecuación por\(\ (x-3)(x+3)\) para borrar el denominador de la ecuación. Resolver para\(\ x\).
\ (\\ begin {array} {r} \ frac {x} {x^ {2} -9} +\ frac {3} {x-3} =\ frac {3} {x+3}\ \ frac {-18} {(-18) ^ {2} -9} +\ frac {3} {-18-3} =\ frac {3} {-18+3}\ \ frac {-18} {324-9} +\ frac {3} {-21} =\ frac {3} {-15}\ \ frac {-18} {315} +\ frac {3} {-21 } =\ frac {3} {-15}\ \ frac {-18} {315} +\ frac {-3 (15)} {21 (15)} =\ frac {-3 (21)} {15 (21)}\ \ frac {-18} {315} +\ frac {-45} {315} =\ frac {-63} {315} {315} {-63} {315} =\ frac {-63} {315} \ end {array}\)	Verifique la solución en la ecuación original.

\(\ x=-18\)

Ejercicio

Resuelve la ecuación:\(\ \frac{4}{m}=\frac{3}{m-2}, m \neq 0 \text { or } 2\)

1. \(\ m=2\)
2. no hay solución
3. \(\ m=8\)

Contestar

1. Incorrecto. Probablemente encontraste correctamente el denominador común, pero olvidaste distribuir cuando estabas simplificando. También olvidaste verificar tu solución o anotar los valores excluidos;\(\ m \neq 2\) porque hace que la expresión del lado derecho sea indefinida. Multiplicar ambos lados por el denominador común da\(\ \frac{4}{m} \cdot m(m-2)=\frac{3}{m-2} \cdot m(m-2)\), así\(\ 4 m-8=3 m\). La respuesta correcta es\(\ m=8\).
2. Incorrecto. \(\ \frac{4}{m} \cdot m(m-2)=\frac{3}{m-2} \cdot m(m-2)\), entonces\(\ 4 m-8=3 m\). La solución, 8, no es un valor excluido. La respuesta correcta es\(\ m=8\).
3. Correcto. Multiplicar ambos lados de la ecuación por el denominador común da\(\ \frac{4}{m} \cdot m(m-2)=\frac{3}{m-2} \cdot m(m-2)\), así\(\ 4 m-8=3 m\). La respuesta correcta es\(\ m=8\).

Ya has visto que hay más de una manera de resolver ecuaciones racionales. Debido a que ambas técnicas manipulan y reescriben términos, a veces pueden producir soluciones que no funcionan en la forma original de la ecuación. Este tipo de respuestas se llaman soluciones extrañas. Por eso siempre es importante verificar todas las soluciones en las ecuaciones originales: puede encontrar que producen declaraciones falsas o producen expresiones indefinidas.

Ejemplo

Resuelve la ecuación\(\ \frac{16}{m+4}=\frac{m^{2}}{m+4}\).

Solución

-4 es un valor excluido porque hace\(\ m+4\) igual a 0.	Determinar cualquier valor para\(\ m\) eso haría que el denominador 0.
\ (\\ begin {array} {r} 16=m^ {2}\ 0=m^ {2} -16\\ 0 =( m+4) (m-4)\ 0=m+4\ quad\ texto {o}\ quad 0=m-4\ m=-4\ quad\ texto {o}\ quad\ cuádruple m=4\ \ qquad \ begin {alineado} m &=4, -4 \ end {alineado} \ end {array}\)	Dado que el denominador de cada expresión en la ecuación es el mismo, los numeradores deben ser iguales. Establecer los numeradores iguales entre sí y resolver para\(\ m\).
\(\ \frac{16}{m+4}=\frac{m^{2}}{m+4}\)	Verifique las soluciones en la ecuación original.
\ (\\ begin {array} {r} \ frac {16} {-4+4} =\ frac {(-4) ^ {2}} {-4+4}\ \ frac {16} {0} =\ frac {16} {0} \ end {array}\)	Dado que\(\ m=-4\) lleva a la división por 0, es una solución ajena.
-4 está excluido porque lleva a la división por 0.
\ (\\ begin {array} {c} \ frac {16} {4+4} =\ frac {(4) ^ {2}} {4+4}\ \ frac {16} {8} =\ frac {16} {8} \ end {array}\)

\(\ m=4\)

Solución de problemas de aplicación

Un “problema de trabajo” es un ejemplo de una situación de la vida real que puede modelarse y resolverse usando una ecuación racional. Los problemas de trabajo a menudo te piden calcular cuánto tiempo tardará a diferentes personas trabajando a diferentes velocidades para terminar una tarea. Los modelos algebraicos de tales situaciones a menudo involucran ecuaciones racionales derivadas de la fórmula de trabajo,\(\ W=r t\). (Observe que la fórmula de trabajo es muy similar a la relación entre distancia, tasa y tiempo, o\(\ d=r t\).) La cantidad de trabajo realizado\(\ (W)\) es producto de la tasa de trabajo\(\ (r)\) y del tiempo dedicado a trabajar\(\ (t)\). La fórmula de trabajo tiene 3 versiones.

\ (\\ begin {array} {c}
w=r t\
t=\ frac {W} {r}\\
r=\ frac {W} {t}
\ end {array}\)

Algunos problemas de trabajo incluyen varias máquinas o personas que trabajan juntas en un proyecto por la misma cantidad de tiempo pero a diferentes tasas. En ese caso, se pueden sumar sus tasas de trabajo individuales juntas para obtener una tasa de trabajo total. Repasemos un ejemplo.

Ejemplo

Myra tarda 2 horas en plantar 50 bulbos de flores. Francis tarda 3 horas en plantar 45 bulbos de flores. Trabajando juntos, ¿cuánto tiempo deberían tardarlos en plantar 150 bulbos?

Solución

\ (\\ begin {array} {r} \ texto {Myra:}\ frac {50\ texto {bombillas}} {2\ texto {horas}},\ texto {o}\ frac {25\ texto {bombillas}} {1\ texto {hora}}\ \ texto {Francis:}\ frac {45\ texto {bombillas}} {3\ texto {horas}},\ texto o {}\ frac {15\ texto {bombillas}} {1\ texto { hora}} \ end {array}\)	Piensa en cuántos bulbos puede plantar cada persona en una hora. Esta es su tasa de siembra.
Myra y Francis juntos: \(\ \frac{25 \text { bulbs }}{1 \text { hour }}+\frac{15 \text { bulbs }}{1 \text { hour }}=\frac{40 \text { bulbs }}{1 \text { hour }}\)	Combine sus tarifas por hora para determinar la tarifa en la que trabajan juntos.
\(\ \frac{40}{1}=\frac{150}{t}\)	Usa una de las fórmulas de trabajo para escribir una ecuación racional, por ejemplo\(\ r=\frac{W}{t}\). Ya sabes\(\ r\), la tasa de trabajo combinado, y ya sabes\(\ W\), la cantidad de trabajo que se debe hacer. Lo que no sabes es cuánto tiempo tardará en realizar el trabajo requerido a la tarifa señalada.
\ (\\ begin {array} {r} \ frac {40} {1}\ cdot 1 t=\ frac {150} {t}\ cdot 1 t\\ 40 t=150\ t=\ frac {150} {40} =\ frac {15} {4}\ t=3\ frac {3} {4}\ texto {horas} \ end array}\)	Resuelve la ecuación multiplicando ambos lados por el denominador común, luego aislando\(\ t\).

Myra y Francis deben tardar 3 horas y 45 minutos en plantar 150 bulbos juntos.

Otros problemas laborales van para otro lado. Puedes calcular cuánto tiempo le llevará a una persona hacer un trabajo sola cuando sabes cuánto tiempo lleva a las personas que trabajan juntas completar el trabajo.

Ejemplo

Joe y John planean pintar una casa juntos. John piensa que si trabajaba solo, le tomaría 3 veces el tiempo que le tomaría a Joe pintar toda la casa. Trabajando juntos, pueden completar el trabajo en 24 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos, trabajando solos, en completar el trabajo?

Solución

Deja que\(\ x=\) el tiempo le lleve a Joe completar el trabajo \(\ 3x =\)tiempo que le toma a John completar el trabajo	Elija variables para representar las incógnitas. Ya que John toma 3 veces más tiempo que Joe para pintar la casa, su tiempo se representa como\(\ 3x\).
\ (\\ begin {array} {r} \ text {Tasa de Joe:}\ frac {1} {x}\\ \ text {Tasa de John:}\ frac {1} {3x} \ end {array}\)	El trabajo es pintar 1 casa o 1. Escribe una expresión para representar la tasa de cada persona usando la fórmula\(\ r=\frac{W}{t}\).
\(\ \text { combined rate: } \frac{1}{x}+\frac{1}{3 x}\)	Su tasa combinada es la suma de sus tarifas individuales. Usa esta tasa para escribir una nueva ecuación usando la fórmula\(\ W=r t\).
\ (\\ begin {array} {r} 1=\ left (\ frac {1} {x} +\ frac {1} {3 x}\ derecha) 24\\ 1=\ frac {24} {x} +\ frac {24} {3 x} \ end {array}\)	El problema afirma que les toma 24 horas juntas pintar una casa, así que si multiplicas su tarifa horaria combinada\(\ \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3 x}\right)\) por 24, obtendrás 1, que es el número de casas que pueden pintar en 24 horas.
\ (\\ begin {array} {r} 1=\ frac {3} {3}\ cdot\ frac {24} {x} +\ frac {24} {3 x} {3 x}\ 1=\ frac {3\ cdot 24} {3 x} +\ frac {24} {3 x}\ 1=\ frac {72} {3 x} +\ frac {24}} {3 x}\\ 1=\ frac {72+24} {3 x}\\ 1=\ frac {96} {3 x}\\ 3 x=96\\ x=32 \ end {array}\)	Ahora resuelve la ecuación para\(\ x\). (Recuerda que\(\ x\) representa el número de horas que le llevará a Joe terminar el trabajo).
\ (\\ begin {array} {l} 1=\ left (\ frac {1} {x} +\ frac {1} {3 x}\ derecha) 24\\ 1=\ izquierda [\ frac {1} {32} +\ frac {1} {3 (32)}\ derecha] 24\\ 1=\ frac {24} {32} +\ frac {24} 3 (32)}\\ 1=\ frac {24} {32} +\ frac {24} {96}\\ 1=\ frac {3} {3}\ cdot\ frac {24} {32} +\ frac {24} {96}\ 1=\ frac {72} {96} +\ frac {24} {96}\ 1=\ frac {96} {96} \ end {array}\)	Verifique las soluciones en la ecuación original. La solución comprueba. Ya\(\ x=32\) que a Joe le toma 32 horas pintar la casa solo. El tiempo de John es\(\ 3x\), así que le toma 96 horas hacer la misma cantidad de trabajo.

Se necesitan 32 horas para que Joe pinte la casa solo y 96 horas para que John la pinte la casa él mismo.

Como se muestra anteriormente, muchos problemas laborales pueden ser representados por la ecuación\(\ \frac{t}{a}+\frac{t}{b}=1\), dónde\(\ t\) está el tiempo para hacer el trabajo juntos,\(\ a\) es el tiempo que le toma a la persona A hacer el trabajo, y\(\ b\) es el tiempo que le toma a la persona B hacer el trabajo. El 1 se refiere al trabajo total realizado; en este caso, el trabajo fue pintar 1 casa.

La idea clave aquí es determinar la tasa de trabajo individual de cada trabajador. Entonces, una vez identificadas esas tasas, sumarlas, multiplicarlas por el tiempo\(\ t\), ponerlas iguales a la cantidad de trabajo realizado y resolver la ecuación racional.

Ejercicio

Mari y Liam pueden lavar cada uno un auto y aspirar su interior en 2 horas. Zach necesita 3 horas para hacer este mismo trabajo solo. Si Zach, Liam y Mari trabajan juntos, ¿cuánto tiempo les llevará limpiar un auto?

1. 20 minutos
2. 45 minutos
3. 1.2 horas
4. 1 hora

Contestar

1. Incorrecto. Parece que dividiste una hora por 3 para llegar a los 20 minutos. Recuerda que Zach está trabajando a un ritmo diferente al de Mari y Liam, así que no puedes hacer división recta. La respuesta correcta es de 45 minutos.
2. Correcto. Según la fórmula,\(\ r=\frac{W}{t}\). Mari y Liam tienen cada uno una tarifa de\(\ \frac{1}{2}\) auto en una hora, y la de Zach es\(\ \frac{1}{3}\) auto en una hora. Trabajando juntos, tienen una tasa de\(\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\), o\(\ \frac{4}{3}\). \(\ W\)es un auto, entonces la fórmula se convierte\(\ \frac{4}{3}=\frac{1}{t}\). Esto significa\(\ 3 t \cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{t} \cdot 3 t\), entonces\(\ 4 t=3\), y\(\ t=\frac{3}{4}\). Se necesitan tres cuartos de hora, o 45 minutos, para limpiar un auto.
3. Incorrecto. Mari y Liam limpian un auto en dos horas cada uno, no como equipo. Cada uno tiene una tarifa de\(\ \frac{1}{2}\) automóvil en una hora, y la tarifa de Zach es\(\ \frac{1}{3}\) auto en una hora. Trabajando juntos, tienen una tasa de\(\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\). La respuesta correcta es de 45 minutos.
4. Incorrecto. Este es el tiempo que tardarían a Mari y Liam en limpiar un auto juntos. Como Zach está ayudando, tomará menos tiempo que eso. La respuesta correcta es de 45 minutos.

Resumen

Se pueden resolver ecuaciones racionales encontrando un denominador común. Al reescribir la ecuación para que todos los términos tengan el denominador común, se puede resolver para la variable usando solo los numeradores. O bien, puedes multiplicar ambos lados de la ecuación por el múltiplo menos común de los denominadores para que todos los términos se conviertan en polinomios en lugar de expresiones racionales. Las ecuaciones racionales se pueden utilizar para resolver una variedad de problemas que involucran tasas, tiempos y trabajo. El uso de expresiones y ecuaciones racionales puede ayudarte a responder preguntas sobre cómo combinar trabajadores o máquinas para completar un trabajo a tiempo.

Un paso importante en la resolución de ecuaciones racionales es rechazar cualquier solución extraña de la respuesta final. Las soluciones extrañas son soluciones que no satisfacen la forma original de la ecuación porque producen declaraciones falsas o son valores excluidos que hacen que un denominador sea igual a 0.