17.3.1: Operaciones Aritméticas con Funciones
- Page ID
- 111272
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)- Dadas dos funciones,\(\ f\) y\(\ g\), encontrar su suma,\(\ f+g\).
- Dadas dos funciones,\(\ f\) y\(\ g\), encontrar su diferencia,\(\ f-g\).
- Dadas dos funciones,\(\ f\) y\(\ g\), encontrar su producto,\(\ f g\).
- Dadas dos funciones,\(\ f\) y\(\ g\), encontrar su cociente,\(\ \frac{f}{g}\).
Introducción
Estás acostumbrado a sumar, restar, multiplicar y dividir números reales. Estas operaciones se realizan todos los días en una variedad de situaciones. También has aprendido a realizar estas cuatro operaciones básicas sobre expresiones algebraicas. Entonces, si bien es posible que no necesites calcular con\(\ 30 x^{2}+10 x\) demasiada frecuencia, sí sabes cómo hacerlo.
Si sabes cómo realizar las cuatro operaciones básicas en polinomios, entonces también puedes sumar, restar, multiplicar y dividir funciones. La notación se verá diferente al principio, pero conocer un par de pasos puede ayudarte a llegar a la respuesta correcta.
Comprensión de la notación
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos: el dominio y el rango. Además de evaluar funciones, puedes hacer operaciones con funciones.
Digamos que estás trabajando con las siguientes dos funciones.
\ (\\ begin {array} {l}
f (x) =9 x-5\\
g (x) =4 x+1
\ end {array}\)
La suma de estas funciones se puede escribir\(\ f(x)+g(x)\) o como\(\ (f+g)(x)\). Observa lo que sucede cuando se agregan estas dos funciones.
\ (\\ comenzar {alineado}
f (x) &=9 x-5\\
g (x) &=4 x+1\\
(f+g) (x) &=f (x) +g (x)\\
(f+g) (x) & =( 9 x-5) + (4 x+1)\\
(f+g) (x) &=9 x+4 x-5+1\\
(+g) (x) &=13 x-4
\ final {alineado}\)
¡Eso es! La suma de las dos funciones es la suma de los dos polinomios.
La suma, resta, multiplicación y división se explicarán a su vez. La siguiente tabla muestra la notación que se utiliza para cada tipo de operación aritmética.
| Adición | \(\ f(x)+g(x)\) | \(\ (f+g)(x)\) |
| Resta | \(\ f(x)-g(x)\) | \(\ (f-g)(x)\) |
| Multiplicación | \(\ f(x) \cdot g(x)\) | \(\ (f \cdot g)(x)\) |
| División | \(\ \frac{f(x)}{g(x)}\) | \(\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)\) |
Sumando y restando
Ya has visto un ejemplo de agregar dos funciones. Echemos un vistazo a otro. El dominio (valores x) para ambas funciones es todo números reales.
\ (\\ begin {array} {l}
f (x) =5 x+6\\
g (x) =3 x^ {2} -4 x+8
\ end {array}\)
Encuentra\(\ (f+g)(x)\).
Solución
| \ (\\ comenzar {alineado} (f+g) (x) &=f (x) +g (x)\\ & =( 5 x+6) +\ izquierda (3 x^ {2} -4 x+8\ derecha)\\ &=3 x^ {2} +5 x-4 x+6+8\\ &=3 x^ {2} +x+14 \ fin {alineado}\) |
Identificar\(\ f(x)\) y\(\ g(x)\). Reemplazar\(\ f(x)\) con\(\ 5 x+6\), y\(\ g(x)\) con\(\ 3 x^{2}-4 x+8\). Luego agrega y combina términos similares. |
\(\ (f+g)(x)=3 x^{2}+x+14\)
La resta sigue el mismo proceso. Siempre y cuando recuerdes cómo restar un polinomio de otro, puedes averiguar cómo restar una función de otra.
\ (\\ begin {array} {c}
f (x) =5 x+6\\
g (x) =3 x^ {2} -4 x+8
\ end {array}\)
Encuentra\(\ (g-f)(x)\).
Solución
| \ (\\ comenzar {alineado} (g-f) (x) &=g (x) -f (x)\\ &=\ izquierda (3 x^ {2} -4 x+8\ derecha) - (5 x+6)\\ &=3 x^ {2} -4 x+8-5 x-6\\ &=3 x^ {2} -4 x-5 x+8-6\\ &=3 x^ {2} -9 x+2 \ end {alineado}\) |
Reemplazar\(\ g(x)\) y\(\ f(x)\) con sus respectivas expresiones. Después restar y combinar términos similares. |
\(\ (g-f)(x)=3 x^{2}-9 x+2\)
\ (\\ begin {array} {c}
f (x) =5 x^ {2} +2 x-5\\
g (x) =7 x+8\\
h (x) =4 x^ {2} -10
\ end {array}\)
Encuentra\(\ (f-h)(x)\).
Solución
| \ (\\ comenzar {alineado} (f-h) (x) &=f (x) -h (x)\\ &=\ izquierda (5 x^ {2} +2 x-5\ derecha) -\ izquierda (4 x^ {2} -10\ derecha)\\ &=5 x^ {2} +2 x-5-4 x^ {2} +10\\ &=5 x^ {2} -4 {2} +2 x-5+10\\ & amp; =x^ {2} +2 x+5 \ end {alineado}\) |
Aviso:\(\ (f-h)(x)=f(x)-h(x)\) Se puede ignorar\(\ g(x)\) ya que no se requiere para resolver este problema. Reemplazar las notaciones de función con sus polinomios apropiados y restar. |
\(\ (f-h)(x)=x^{2}+2 x+5\)
\(\ f(x)=9 x^{3}+2\)y\(\ g(x)=x^{3}-4 x^{2}-3\). ¿Qué es\(\ (f-g)(x)\)?
- \(\ 10 x^{3}-4 x^{2}-1\)
- \(\ 8 x^{3}-4 x^{2}-1\)
- \(\ 8 x^{3}+4 x^{2}+5\)
- \(\ -8 x^{3}-4 x^{2}-5\)
- Responder
-
- \(\ 10 x^{3}-4 x^{2}-1\)
Incorrecto. \(\ (f+g)(x)=10^{3}-4 x^{2}-1\); esta pregunta está buscando\(\ (f-g)(x)\). La respuesta correcta es\(\ 8 x^{3}+4 x^{2}+5\).
- \(\ 8 x^{3}-4 x^{2}-1\)
Incorrecto. Parece que intentaste calcular\(\ (f-g)(x)\), pero restaste incorrectamente. Recuerda:\(\ (f-g)(x)=\left(9 x^{3}+2\right)-\left(x^{3}-4 x^{2}-3\right)=9 x^{3}+2-x^{3}+4 x^{2}+3\). La respuesta correcta es\(\ 8 x^{3}+4 x^{2}+5\).
- \(\ 8 x^{3}+4 x^{2}+5\)
Correcto. Para encontrar\(\ (f-g)(x)\), restar\(\ g(x)\) de\(\ f(x)\). \(\ (f-g)(x)=\left(9 x^{3}+2\right)-\left(x^{3}-4 x^{2}-3\right)=8 x^{3}+4 x^{2}+5\).
- \(\ -8 x^{3}-4 x^{2}-5\)
Incorrecto. Parece que intentaste calcular\(\ (g-f)(x)\). Esta pregunta está buscando\(\ (f-g)(x)\). La respuesta correcta es\(\ 8 x^{3}+4 x^{2}+5\).
- \(\ 10 x^{3}-4 x^{2}-1\)
Multiplicar y dividir
Multiplicar y dividir funciones también es como multiplicar y dividir polinomios. Revisa los siguientes ejemplos.
\ (\\ begin {array} {l}
f (x) =2 x+1\\
g (x) =5 x-3
\ end {array}\)
Encuentra el producto de\(\ f\) y\(\ g\).
Solución
| \(\ (f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)\) | Para encontrar el producto, multiplique las funciones. |
| \ (\\ comenzar {alineado} (f\ cdot g) (x) & =( 2 x+1) (5 x-3)\\ &=10 x^ {2} -6 x+5 x-3\\ &=10 x^ {2} -x-3 \ end {alineado}\) |
Reemplazar\(\ f(x)\) con\(\ (2 x+1)\), y\(\ g(x)\) con\(\ (5 x-3)\). |
\(\ (f \cdot g)(x)=10 x^{2}-x-3\)
\ (\\ comenzar {alineado}
f (x) &=12 x^ {3} +15 x^ {2} -6 x\\
g (x) &=3 x
\ end {alineado}\)
Encuentra\(\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)\).
Solución
| \ (\\ comenzar {alineado} \ izquierda (\ frac {f} {g}\ derecha) (x) &=\ frac {f (x)} {g (x)}\\ &=\ frac {12 x^ {3} +15 x^ {2} -6 x} {3 x}, x\ neq 0\\ &=\ frac {3 x\ izquierda (4 x^ {2} +5 x-2\ derecha)} {3 x}\\ &=1\ cdot\ izquierda (4 x^ {2} + 5 x-2\ derecha)\\ &=4 x^ {2} +5 x-2, x\ neq 0 \ final {alineado}\) |
Para encontrar el cociente, dividirlo\(\ f\) por\(\ g\). Sustituir los polinomios por\(\ f(x)\) y\(\ g(x)\) y dividir. Agregamos\(\ x \neq 0\) porque\(\ x=0\) haría el denominador\(\ g(x)=0\) e\(\ \frac{f(x)}{g(x)}\) indefinido. Recuerda renombrar\(\ \frac{3 x}{3 x}\) como 1. |
\(\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=4 x^{2}+5 x-2\)
Las operaciones con tres funciones funcionan de la misma manera. En el siguiente ejemplo, se agregan dos funciones y luego se dividen por una tercera. No es diferente a lo que ya has hecho con polinomios; solo continúa sustituyendo los polinomios por las funciones correctas, combina, divide y simplifica.
\ (\\ comenzar {alineado}
f (x) &=8 x^ {3} -3 x^ {2}\\
g (x) &=4 x^ {3} +9 x^ {2}\\
h (x) &=3 x^ {2}
\ end {alineado}\)
Encuentra\(\ \left(\frac{f+g}{h}\right)(x)\).
Solución
| \ (\\ comenzar {alineado} \ izquierda (\ frac {f+g} {h}\ derecha) (x) &=\ frac {f (x) +g (x)} {h (x)} {h (x)}\\ &=\ frac {\ izquierda (8 x^ {3} -3 x^ {2}\ derecha) +\ izquierda (4 x^ {3} +9 x^ {2}\ derecha)} {3 x^ {2}}, x\ neq 0 \ end {alineado}\) |
Reemplazar\(\ f(x)\)\(\ g(x)\),, y\(\ h(x)\) con los polinomios equivalentes. e añadir\(\ x \neq 0\) porque eso haría indefinido el denominador\(\ h(x)\) de\(\ \frac{f(x)+g(x)}{h(x)}\) cero y la fracción. |
| \ (\\ comenzar {alineado} \ izquierda (\ frac {f+g} {h}\ derecha) (x) &=\ frac {3 x^ {2} (4 x+2)} {3 x^ {2}}\\ &=1\ cdot (4 x+2)\\ &=4 x+2, x\ neq 0 \ end {alineado}\) |
Agregar\(\ f(x)\) y\(\ g(x)\). Dividir por\(\ h(x)\). Extraiga un factor\(\ 3 x^{2}\) del numerador, y luego simplifique la expresión, usando\(\ \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}=1\). |
\(\ \left(\frac{f+g}{h}\right)(x)=4 x+2, x \neq 0\)
\ (\\ comenzar {alineado}
f (x) &=9 x^ {2}\\
g (x) &=-4 x\\
h (x) &=-10 x^ {3}
\ final {alineado}\)
Encontrar\(\ (f \cdot h)(x)\).
- \(\ -90 x^{5}\)
- \(\ -36 x^{3}\)
- \(\ 40 x^{4}\)
- \(\ 360 x^{6}\)
- Responder
-
- \(\ -90 x^{5}\)
Correcto. \(\ (f \cdot h)(x)=9 x^{2} \cdot\left(-10 x^{3}\right)=90 x^{5}\).
- \(\ -36 x^{3}\)
Incorrecto. Parece que encontraste\(\ (f \cdot g)(x)\); este problema lo está buscando\(\ (f \cdot h)(x)\). La respuesta correcta es\(\ -90 x^{5}\).
- \(\ 40 x^{4}\)
Incorrecto. Parece que encontraste\(\ (g \cdot h)(x)\); este problema lo está buscando\(\ (f \cdot h)(x)\). La respuesta correcta es\(\ -90 x^{5}\).
- \(\ 360 x^{6}\)
Incorrecto. Parece que encontraste\(\ (f \cdot g \cdot h)(x)\); este problema lo está buscando\(\ (f \cdot h)(x)\). La respuesta correcta es\(\ -90 x^{5}\).
- \(\ -90 x^{5}\)
Resumen
Al igual que los enteros y las expresiones algebraicas, las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Para realizar una operación aritmética sobre dos o más funciones, reemplace la función indicada con su polinomio respectivo, luego combine usando las reglas regulares de suma, resta, multiplicación y división.