17.3.1: Operaciones Aritméticas con Funciones

Objetivos de aprendizaje

• Dadas dos funciones,\(\ f\) y\(\ g\), encontrar su suma,\(\ f+g\).
• Dadas dos funciones,\(\ f\) y\(\ g\), encontrar su diferencia,\(\ f-g\).
• Dadas dos funciones,\(\ f\) y\(\ g\), encontrar su producto,\(\ f g\).
• Dadas dos funciones,\(\ f\) y\(\ g\), encontrar su cociente,\(\ \frac{f}{g}\).

Introducción

Estás acostumbrado a sumar, restar, multiplicar y dividir números reales. Estas operaciones se realizan todos los días en una variedad de situaciones. También has aprendido a realizar estas cuatro operaciones básicas sobre expresiones algebraicas. Entonces, si bien es posible que no necesites calcular con\(\ 30 x^{2}+10 x\) demasiada frecuencia, sí sabes cómo hacerlo.

Si sabes cómo realizar las cuatro operaciones básicas en polinomios, entonces también puedes sumar, restar, multiplicar y dividir funciones. La notación se verá diferente al principio, pero conocer un par de pasos puede ayudarte a llegar a la respuesta correcta.

Comprensión de la notación

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos: el dominio y el rango. Además de evaluar funciones, puedes hacer operaciones con funciones.

Digamos que estás trabajando con las siguientes dos funciones.

\ (\\ begin {array} {l}
f (x) =9 x-5\\
g (x) =4 x+1
\ end {array}\)

La suma de estas funciones se puede escribir\(\ f(x)+g(x)\) o como\(\ (f+g)(x)\). Observa lo que sucede cuando se agregan estas dos funciones.

\ (\\ comenzar {alineado}
f (x) &=9 x-5\\
g (x) &=4 x+1\\
(f+g) (x) &=f (x) +g (x)\\
(f+g) (x) & =( 9 x-5) + (4 x+1)\\
(f+g) (x) &=9 x+4 x-5+1\\
(+g) (x) &=13 x-4
\ final {alineado}\)

¡Eso es! La suma de las dos funciones es la suma de los dos polinomios.

La suma, resta, multiplicación y división se explicarán a su vez. La siguiente tabla muestra la notación que se utiliza para cada tipo de operación aritmética.

Adición	\(\ f(x)+g(x)\)	\(\ (f+g)(x)\)
Resta	\(\ f(x)-g(x)\)	\(\ (f-g)(x)\)
Multiplicación	\(\ f(x) \cdot g(x)\)	\(\ (f \cdot g)(x)\)
División	\(\ \frac{f(x)}{g(x)}\)	\(\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)\)

Sumando y restando

Ya has visto un ejemplo de agregar dos funciones. Echemos un vistazo a otro. El dominio (valores x) para ambas funciones es todo números reales.

Ejemplo

\ (\\ begin {array} {l}
f (x) =5 x+6\\
g (x) =3 x^ {2} -4 x+8
\ end {array}\)

Encuentra\(\ (f+g)(x)\).

Solución

\ (\\ comenzar {alineado} (f+g) (x) &=f (x) +g (x)\\ & =( 5 x+6) +\ izquierda (3 x^ {2} -4 x+8\ derecha)\\ &=3 x^ {2} +5 x-4 x+6+8\\ &=3 x^ {2} +x+14 \ fin {alineado}\)

Identificar\(\ f(x)\) y\(\ g(x)\). Reemplazar\(\ f(x)\) con\(\ 5 x+6\), y\(\ g(x)\) con\(\ 3 x^{2}-4 x+8\). Luego agrega y combina términos similares.

\(\ (f+g)(x)=3 x^{2}+x+14\)

La resta sigue el mismo proceso. Siempre y cuando recuerdes cómo restar un polinomio de otro, puedes averiguar cómo restar una función de otra.

Ejemplo

\ (\\ begin {array} {c}
f (x) =5 x+6\\
g (x) =3 x^ {2} -4 x+8
\ end {array}\)

Encuentra\(\ (g-f)(x)\).

Solución

\ (\\ comenzar {alineado} (g-f) (x) &=g (x) -f (x)\\ &=\ izquierda (3 x^ {2} -4 x+8\ derecha) - (5 x+6)\\ &=3 x^ {2} -4 x+8-5 x-6\\ &=3 x^ {2} -4 x-5 x+8-6\\ &=3 x^ {2} -9 x+2 \ end {alineado}\)

Reemplazar\(\ g(x)\) y\(\ f(x)\) con sus respectivas expresiones. Después restar y combinar términos similares.

\(\ (g-f)(x)=3 x^{2}-9 x+2\)

Ejemplo

\ (\\ begin {array} {c}
f (x) =5 x^ {2} +2 x-5\\
g (x) =7 x+8\\
h (x) =4 x^ {2} -10
\ end {array}\)

Encuentra\(\ (f-h)(x)\).

Solución

\ (\\ comenzar {alineado} (f-h) (x) &=f (x) -h (x)\\ &=\ izquierda (5 x^ {2} +2 x-5\ derecha) -\ izquierda (4 x^ {2} -10\ derecha)\\ &=5 x^ {2} +2 x-5-4 x^ {2} +10\\ &=5 x^ {2} -4 {2} +2 x-5+10\\ & amp; =x^ {2} +2 x+5 \ end {alineado}\)

Aviso:\(\ (f-h)(x)=f(x)-h(x)\) Se puede ignorar\(\ g(x)\) ya que no se requiere para resolver este problema. Reemplazar las notaciones de función con sus polinomios apropiados y restar.

\(\ (f-h)(x)=x^{2}+2 x+5\)

Ejercicio

\(\ f(x)=9 x^{3}+2\)y\(\ g(x)=x^{3}-4 x^{2}-3\). ¿Qué es\(\ (f-g)(x)\)?

1. \(\ 10 x^{3}-4 x^{2}-1\)
2. \(\ 8 x^{3}-4 x^{2}-1\)
3. \(\ 8 x^{3}+4 x^{2}+5\)
4. \(\ -8 x^{3}-4 x^{2}-5\)

Responder

1. \(\ 10 x^{3}-4 x^{2}-1\)

   Incorrecto. \(\ (f+g)(x)=10^{3}-4 x^{2}-1\); esta pregunta está buscando\(\ (f-g)(x)\). La respuesta correcta es\(\ 8 x^{3}+4 x^{2}+5\).

2. \(\ 8 x^{3}-4 x^{2}-1\)

   Incorrecto. Parece que intentaste calcular\(\ (f-g)(x)\), pero restaste incorrectamente. Recuerda:\(\ (f-g)(x)=\left(9 x^{3}+2\right)-\left(x^{3}-4 x^{2}-3\right)=9 x^{3}+2-x^{3}+4 x^{2}+3\). La respuesta correcta es\(\ 8 x^{3}+4 x^{2}+5\).

3. \(\ 8 x^{3}+4 x^{2}+5\)

   Correcto. Para encontrar\(\ (f-g)(x)\), restar\(\ g(x)\) de\(\ f(x)\). \(\ (f-g)(x)=\left(9 x^{3}+2\right)-\left(x^{3}-4 x^{2}-3\right)=8 x^{3}+4 x^{2}+5\).

4. \(\ -8 x^{3}-4 x^{2}-5\)

   Incorrecto. Parece que intentaste calcular\(\ (g-f)(x)\). Esta pregunta está buscando\(\ (f-g)(x)\). La respuesta correcta es\(\ 8 x^{3}+4 x^{2}+5\).

Multiplicar y dividir

Multiplicar y dividir funciones también es como multiplicar y dividir polinomios. Revisa los siguientes ejemplos.

Ejemplo

\ (\\ begin {array} {l}
f (x) =2 x+1\\
g (x) =5 x-3
\ end {array}\)

Encuentra el producto de\(\ f\) y\(\ g\).

Solución

\(\ (f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)\)	Para encontrar el producto, multiplique las funciones.
\ (\\ comenzar {alineado} (f\ cdot g) (x) & =( 2 x+1) (5 x-3)\\ &=10 x^ {2} -6 x+5 x-3\\ &=10 x^ {2} -x-3 \ end {alineado}\)	Reemplazar\(\ f(x)\) con\(\ (2 x+1)\), y\(\ g(x)\) con\(\ (5 x-3)\).

\(\ (f \cdot g)(x)=10 x^{2}-x-3\)

Ejemplo

\ (\\ comenzar {alineado}
f (x) &=12 x^ {3} +15 x^ {2} -6 x\\
g (x) &=3 x
\ end {alineado}\)

Encuentra\(\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)\).

Solución

\ (\\ comenzar {alineado} \ izquierda (\ frac {f} {g}\ derecha) (x) &=\ frac {f (x)} {g (x)}\\ &=\ frac {12 x^ {3} +15 x^ {2} -6 x} {3 x}, x\ neq 0\\ &=\ frac {3 x\ izquierda (4 x^ {2} +5 x-2\ derecha)} {3 x}\\ &=1\ cdot\ izquierda (4 x^ {2} + 5 x-2\ derecha)\\ &=4 x^ {2} +5 x-2, x\ neq 0 \ final {alineado}\)

Para encontrar el cociente, dividirlo\(\ f\) por\(\ g\). Sustituir los polinomios por\(\ f(x)\) y\(\ g(x)\) y dividir. Agregamos\(\ x \neq 0\) porque\(\ x=0\) haría el denominador\(\ g(x)=0\) e\(\ \frac{f(x)}{g(x)}\) indefinido. Recuerda renombrar\(\ \frac{3 x}{3 x}\) como 1.

\(\ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=4 x^{2}+5 x-2\)

Las operaciones con tres funciones funcionan de la misma manera. En el siguiente ejemplo, se agregan dos funciones y luego se dividen por una tercera. No es diferente a lo que ya has hecho con polinomios; solo continúa sustituyendo los polinomios por las funciones correctas, combina, divide y simplifica.

Ejemplo

\ (\\ comenzar {alineado}
f (x) &=8 x^ {3} -3 x^ {2}\\
g (x) &=4 x^ {3} +9 x^ {2}\\
h (x) &=3 x^ {2}
\ end {alineado}\)

Encuentra\(\ \left(\frac{f+g}{h}\right)(x)\).

Solución

\ (\\ comenzar {alineado} \ izquierda (\ frac {f+g} {h}\ derecha) (x) &=\ frac {f (x) +g (x)} {h (x)} {h (x)}\\ &=\ frac {\ izquierda (8 x^ {3} -3 x^ {2}\ derecha) +\ izquierda (4 x^ {3} +9 x^ {2}\ derecha)} {3 x^ {2}}, x\ neq 0 \ end {alineado}\)	Reemplazar\(\ f(x)\)\(\ g(x)\),, y\(\ h(x)\) con los polinomios equivalentes. e añadir\(\ x \neq 0\) porque eso haría indefinido el denominador\(\ h(x)\) de\(\ \frac{f(x)+g(x)}{h(x)}\) cero y la fracción.
\ (\\ comenzar {alineado} \ izquierda (\ frac {f+g} {h}\ derecha) (x) &=\ frac {3 x^ {2} (4 x+2)} {3 x^ {2}}\\ &=1\ cdot (4 x+2)\\ &=4 x+2, x\ neq 0 \ end {alineado}\)	Agregar\(\ f(x)\) y\(\ g(x)\). Dividir por\(\ h(x)\). Extraiga un factor\(\ 3 x^{2}\) del numerador, y luego simplifique la expresión, usando\(\ \frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}=1\).

\(\ \left(\frac{f+g}{h}\right)(x)=4 x+2, x \neq 0\)

Ejercicio

\ (\\ comenzar {alineado}
f (x) &=9 x^ {2}\\
g (x) &=-4 x\\
h (x) &=-10 x^ {3}
\ final {alineado}\)

Encontrar\(\ (f \cdot h)(x)\).

1. \(\ -90 x^{5}\)
2. \(\ -36 x^{3}\)
3. \(\ 40 x^{4}\)
4. \(\ 360 x^{6}\)

Responder

1. \(\ -90 x^{5}\)

   Correcto. \(\ (f \cdot h)(x)=9 x^{2} \cdot\left(-10 x^{3}\right)=90 x^{5}\).

2. \(\ -36 x^{3}\)

   Incorrecto. Parece que encontraste\(\ (f \cdot g)(x)\); este problema lo está buscando\(\ (f \cdot h)(x)\). La respuesta correcta es\(\ -90 x^{5}\).

3. \(\ 40 x^{4}\)

   Incorrecto. Parece que encontraste\(\ (g \cdot h)(x)\); este problema lo está buscando\(\ (f \cdot h)(x)\). La respuesta correcta es\(\ -90 x^{5}\).

4. \(\ 360 x^{6}\)

   Incorrecto. Parece que encontraste\(\ (f \cdot g \cdot h)(x)\); este problema lo está buscando\(\ (f \cdot h)(x)\). La respuesta correcta es\(\ -90 x^{5}\).

Resumen

Al igual que los enteros y las expresiones algebraicas, las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Para realizar una operación aritmética sobre dos o más funciones, reemplace la función indicada con su polinomio respectivo, luego combine usando las reglas regulares de suma, resta, multiplicación y división.