18.4.1: Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Objetivos de aprendizaje

• Resolver ecuaciones exponenciales.
• Resolver ecuaciones logarítmicas.

Introducción

Como sabes, el álgebra a menudo requiere que resuelvas ecuaciones para encontrar valores desconocidos. Esto también es cierto para ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Hay algunas estrategias que puedes usar, junto con algunas propiedades que has aprendido, que puedes usar para resolver esas ecuaciones.

Resolver ecuaciones exponenciales

Quizás puedas mirar una ecuación como\(\ 4^{x}=16\) y resolverla preguntándote: “¿4 a qué poder es 16? \(\ 4^{2}\)es 16, entonces”\(\ x=2\). Ecuaciones como\(\ 4^{x}=17\) son un poco más difíciles. Sabes\(\ x\) debe ser un poco más de 2, porque 17 es solo un poco más de 16. Sin embargo, una forma de encontrar\(\ x\) con más precisión es mediante el uso de logaritmos.

Cuando has resuelto otras ecuaciones algebraicas, a menudo confiaste en la idea de que puedes cambiar ambos lados de la ecuación de la misma manera y aún así obtener una ecuación verdadera. Esto es cierto con logaritmos, también: Si\(\ x=y\), entonces\(\ \log _{b} x=\log _{b} y\), no importa lo que\(\ b\) sea.

Veamos esto con una ecuación cuya solución ya conoces:\(\ 4^{x}=16\). Se puede utilizar ya sea el tronco común o el registro natural. En el siguiente ejemplo, utilizará el registro común.

Ejemplo

Resolver\(\ 4^{x}=16\).

Solución

\ (\\ comenzar {alineado} 4^ {x} &=16\\ \ log 4^ {x} &=\ log 16 \ end {alineado}\)	Toma el logaritmo común de ambos lados. (Recuerda, cuando no se escribe ninguna base, eso significa que la base es 10.)
\ (\\ begin {array} {l} \ log 4^ {x} =\ log 16\\ x\ log 4=\ log 16 \ end {array}\)	¿Qué puedes hacer con esa nueva ecuación? Utilice la propiedad power de logaritmos para simplificar el logaritmo en el lado izquierdo de la ecuación.
\ (\\ begin {array} {c} x\ log 4=\ log 16\\ x=\ frac {\ log 16} {\ log 4} \ end {array}\)	Recuerda que\(\ \log 4\) es un número. Se puede dividir ambos lados de la ecuación por\(\ \log 4\) para obtener\(\ x\) por sí mismo.
\(\ x=\frac{1.204 \ldots}{0.602 \ldots}=2\)	Utilice una calculadora para evaluar los logaritmos y el cociente.

Justo como sabías,\(\ x=2\). Ahora probémoslo con nuestro ejemplo más difícil,\(\ 4^{x}=17\). El procedimiento es exactamente el mismo.

Ejemplo

Resolver\(\ 4^{x}=17\).

Solución

\ (\\ comenzar {alineado} 4^ {x} &=17\\ \ log 4^ {x} &=\ log 17 \ end {alineado}\)	Toma el logaritmo común de ambos lados.
\ (\\ begin {array} {l} \ log 4^ {x} =\ log 17\\ x\ log 4=\ log 17 \ end {array}\)	Utilice la propiedad power de logaritmos para simplificar el logaritmo de la izquierda.
\ (\\ begin {array} {c} x\ log 4=\ log 17\\ x=\ frac {\ log 17} {\ log 4} \ end {array}\)	Divide ambos lados\(\ \log 4\) para conseguir\(\ x\) por sí mismo.
\(\ x=\frac{1.230 \ldots}{0.602 \ldots}=2.043 \ldots\)	Utilice una calculadora para evaluar los logaritmos y el cociente.

Podrías haber usado ya sea el tronco común o el registro natural con el ejemplo anterior. Utiliza una de estas dos bases, ya que luego puedes usar tu calculadora para encontrar los valores.

Ejemplo

Resolver\(\ e^{2 x}=54\).

Solución

\ (\\ comenzar {alineado} e^ {2 x} &=54\\ \ ln e^ {2 x} &=\ ln 54 \ final {alineado}\)	Ya que la base es\(\ e\), utilizar el logaritmo natural. (Si la base fuera 10, sería mejor usar logaritmos comunes).
\ (\\ begin {array} {c} \ ln e^ {2 x} =\ ln 54\\ 2 x=\ ln 54 \ end {array}\)	Recuerde que logaritmos y funciones exponenciales son inversos. Cuando se tiene\(\ \log _{b} b^{m}\), el logaritmo deshace al exponente, y el resultado es justo\(\ m\). Entonces\(\ \ln e^{2 x}=\log _{e} e^{2 x}=2 x\).
\(\ x=\frac{\ln 54}{2}\)	Divide ambos lados por 2 para conseguir\(\ x\) por sí mismo.
\(\ x=1.99449 \ldots\)	Usa una calculadora para evaluar el logaritmo y el cociente de la derecha y ¡listo!

Otro tipo de ecuación exponencial tiene expresiones exponenciales en ambos lados. Cuando las bases son iguales, o los exponentes son iguales, solo puedes comparar las partes que son diferentes. Mira estos ejemplos.

Ejemplo

Resolver\(\ 3^{2 x+5}=3^{3 x-2}\).

Solución

\(\ 3^{2 x+5}=3^{3 x-2}\)	Aquí hay dos expresiones exponenciales con la misma base. Si las dos expresiones son iguales, entonces sus exponentes deben ser iguales. (Piensa en eso: si tienes\(\ 3^{a}\) y\(\ 3^{b}\), y\(\ a \neq b\), entonces no\(\ 3^{a}\) puedes tener el mismo valor que\(\ 3^{b}\).)
\(\ 2 x+5=3 x-2\)	Entonces, escribe una nueva ecuación que establezca los exponentes iguales entre sí.
\ (\\ begin {array} {c} 5=x-2\\ 7=x \ end {array}\)	Resuelve la ecuación lineal como lo harías normalmente.
\ (\\ begin {alineado} 3^ {2 (7) +5} &=3^ {3 (7) -2}\\ 3^ {19} &=3^ {19} \ end {alineado}\)	Pruebe la solución en la ecuación original. No hay necesidad de encontrar\(\ 3^{19}\). Cuando ambas partes dicen lo mismo, ¡sabes que es correcto!

\(\ x=7\)

Ejemplo

Resolver\(\ (x+4)^{8}=7^{8}\).

Solución

\(\ (x+4)^{8}=7^{8}\)	Nuevamente, tienes dos expresiones exponenciales que son iguales entre sí. En este caso, ambas partes tienen el mismo exponente, y esto quiere decir que las bases deben ser iguales.
\(\ x+4=7\)	Escribe una nueva ecuación que establezca las bases iguales entre sí.
\(\ x=3\)	Resuelve la ecuación lineal como lo harías normalmente.
\ (\\ begin {array} {c} (3+4) ^ {8} =7^ {8}\ 7^ {8} =7^ {8} \ end {array}\)	Pruebe la solución en la ecuación original. No hay necesidad de encontrar\(\ 7^{8}\). Cuando ambas partes dicen lo mismo, ¡sabes que es correcto!

\(\ x=3\)

Ejercicio

Resolver\(\ 10^{3 x-2}=13\).

1. \(\ x=5\)
2. \(\ x=1.03798 \ldots\)
3. \(\ x=1.52164 \ldots\)
4. \(\ x=3.11394 \ldots\)

Contestar

1. \(\ x=5\)

   Incorrecto. Probablemente olvidaste tomar el logaritmo de 13 así como de\(\ 10^{3 x-2}\). La respuesta correcta es\(\ x=1.03798 \ldots\).

2. \(\ x=1.03798 \ldots\)

   Correcto. \(\ 10^{3 x-2}\)se puede reescribir como\(\ \log 10^{3 x-2}=\log 13\), y\(\ \log 10^{3 x-2}=3 x-2\), así\(\ 3 x-2=\log 13\). Esto rinde\(\ x=\frac{\log 13+2}{3}\).

3. \(\ x=1.52164 \ldots\)

   Incorrecto. Probablemente usaste un logaritmo natural en el lado derecho\(\ (\ln 13)\), pero logaritmo común en el lado izquierdo\(\ \left(\log 10^{3 x-2}=3 x-2\right)\). La respuesta correcta es\(\ x=1.03798 \ldots\).

4. \(\ x=3.11394 \ldots\)

   Incorrecto. Probablemente tomaste los logaritmos correctamente y agregaste 2 a ambos lados, pero olvidaste dividir por 3. La respuesta correcta es\(\ x=1.03798 \ldots\).

Resolver ecuaciones logarítmicas

Existen varias estrategias que puedes usar para resolver ecuaciones logarítmicas. El primero es uno que has usado antes: ¡Reescribe la ecuación logarítmica como una ecuación exponencial!

Ejemplo

Resolver\(\ \ln x=4.657\). Dar\(\ x\) a las milésimas lugar.

Solución

\ (\\ begin {array} {c} \ ln x=4.657\ \ log _ {e} x=4.657\ e^ {4.657} =x \ end {array}\)	Recuerda que los logaritmos naturales tienen una base de\(\ e\). Reescribir este logaritmo como una ecuación exponencial.
\ (\\ begin {array} {c} 105.3196\ ldots=x\ x\ aprox 105.320 \ end {array}\)	Use una calculadora para evaluar\(\ e^{4.657}\), y redondear a la milésima más cercana.

Esto funciona independientemente de la base.

Ejemplo

Resolver\(\ \log _{7} x=3.843\). Dar\(\ x\) a las milésimas lugar.

Solución

\ (\\ begin {array} {c} \ log _ {7} x=3.843\\ 7^ {3.843} =x \ end {array}\)	Reescribir este logaritmo como una ecuación exponencial.
\ (\\ begin {array} {c} 1768.9345\ ldots=x\\ x\ approx 1768.935 \ end {array}\)	Use una calculadora para evaluar\(\ 7^{3.843}\) y redondear a la milésima más cercana.

Las ecuaciones logarítmicas también pueden involucrar entradas donde la variable tiene un coeficiente distinto de 1, o donde la variable misma es cuadrada. En estos casos, es necesario completar algunos pasos más para resolver la variable.

Ejemplo

Resolver\(\ \log _{5} 3 x^{2}=1.96\). Dar\(\ x\) a las centésimas lugar.

Solución

\(\ 5^{1.96}=3 x^{2}\)	Reescribir esta ecuación logarítmica como una ecuación exponencial.
\(\ 23.44127 \ldots=3 x^{2}\)	Evaluar\(\ 5^{1.96}\).
\ (\\ begin {array} {c} 7.81375\ ldots=x^ {2}\\ x=\ pm 2.7953\ ldots\\ x\ approx\ pm 2.80 \ end {array}\)	Resuelve como lo harías normalmente. En este caso, divida ambos lados por 3, luego use la propiedad raíz cuadrada para encontrar los valores posibles para\(\ x\). No olvides que al usar la propiedad de raíz cuadrada, se deben considerar tanto raíces positivas como negativas. Redondear a la centésima más cercana.
\ (\\ begin {array} {c} \ log _ {5} 3 x^ {2} =1.96\ \\ log _ {5} 3 (-2.80) ^ {2} =1.96\ \ log _ {5} 3 (7.84) =1.96\ \ log _ {5} 23.52=1.96 \ end {array}\)	Comprueba tu respuesta sustituyendo el valor de\(\ x\) en la ecuación original. Porque\(\ (-2.80)^{2}\) y ambos\(\ (+2.80)^{2}\) son positivos, no necesitamos verificar\(\ +2.80\) por separado.
\ (\\ begin {array} {c} \ frac {\ log 23.52} {\ log 5} =1.96\\ \ frac {1.3714\ ldots} {0.6989\ ldots} =1.96\\ 1.96=1.96 \ end {array}\)	Aplica el cambio de fórmula base para cambiar de base 5 a base 10. El cheque muestra que con el redondeo contabilizado, resulta una verdadera declaración, por lo que sabes que la respuesta es correcta.

\(\ x \approx \pm 2.80\)

Las ecuaciones también pueden incluir más de un logaritmo. Puede utilizar las propiedades de logaritmos para combinar estos logaritmos en un logaritmo. Nota: Te será útil registrar qué propiedades usas en cada paso, tanto para asegurarte de que las estás usando correctamente como como una forma de ayudarte a encontrar errores.

Ejemplo

Resolver\(\ 2 \log 3+\frac{1}{2} \log 16-\log 3=\log x\).

Solución

\(\ 2 \log 3+\frac{1}{2} \log 16-\log 3=\log x\)	Primero note que todos los logaritmos tienen la misma base. (Estos son logaritmos comunes, por lo que las bases son todas 10). Al usar las propiedades, es absolutamente necesario que las bases sean las mismas.
\(\ \log 3^{2}+\log 16^{\frac{1}{2}}-\log 3=\log x\)	Utilice la propiedad power para reescribir\(\ 2 \log 3\) como\(\ \log 3^{2}\) y\(\ \frac{1}{2} \log 16\) como\(\ \log 16^{\frac{1}{2}}\).
\(\ \log 9+\log 4-\log 3=\log x\)	Evaluar los exponentes.
\ (\\ begin {array} {c} \ log (9\ cdot 4) -\ log 3=\ log x\ \ log 36-\ log 3=\ log x \ end {array}\)	Utilice la propiedad del producto\(\ \log _{b} M N=\log _{b} M+\log _{b} N\) para combinar\(\ \log 9+\log 4\).
\ (\\ begin {array} {c} \ log\ left (\ frac {36} {3}\ derecha) =\ log x\ \ log 12=\ log x \ end {array}\)	Utilice la propiedad cociente\(\ \log _{b}\left(\frac{M}{N}\right)=\log _{b} M-\log _{b} N\) para combinar\(\ \log 36-\log 3\).
\(\ x=12\)	Dado que el logaritmo de 12 y el logaritmo de\(\ x\) son iguales,\(\ x\) deben ser iguales a 12.

Ejercicio

Resolver\(\ \log x+\log 3=\log 24\).

1. \(\ 0.460 \ldots\)
2. \(\ 2.892 \ldots\)
3. 8
4. 21

Contestar

1. \(\ 0.460 \ldots\)

   Incorrecto. Utilice la propiedad product para combinar\(\ \log x+\log 3\) en un logaritmo. La respuesta correcta es 8.

2. \(\ 2.892 \ldots\)

   Incorrecto. Utilice la propiedad product para combinar\(\ \log x+\log 3\) en un logaritmo. La respuesta correcta es 8.

3. 8

   Correcto. \(\ \log x+\log 3=\log 3 x\). Entonces\(\ \log 3 x=\log 24\),\(\ 3 x=24\) y\(\ x=8\).

4. 21

   Incorrecto. Utilice la propiedad product para combinar\(\ \log x+\log 3\) en un logaritmo. La respuesta correcta es 8.

Resumen

Existen varias estrategias que se pueden utilizar para resolver ecuaciones que involucran exponentes y logaritmos. Tomar logaritmos de ambos lados es útil con ecuaciones exponenciales. Reescribir una ecuación logarítmica como una ecuación exponencial es una estrategia útil. El uso de propiedades de logaritmos es útil para combinar muchos logaritmos en uno solo.