18.4.2: Modelado matemático con funciones exponenciales y logarítmicas

Última actualización

30 oct 2022
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- 18.4.1: Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas
- 19: Trigonometría

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Objetivos de aprendizaje

Resolver problemas aplicados que involucran funciones logarítmicas.
Resolver problemas aplicados que involucran funciones exponenciales.

Introducción

Has visto muchos tipos diferentes de funciones. Sabes que cada uno puede ser utilizado para modelar algún tipo de situación en el mundo real. ¡Las funciones exponenciales y logarítmicas no son la excepción!

Uso de funciones logarítmicas

Gran parte del poder de los logaritmos es su utilidad en la resolución de ecuaciones exponenciales. Algunos ejemplos de esto incluyen el sonido (medidas de decibelios), terremotos (escala de Richter), el brillo de las estrellas y la química (balance de pH, una medida de acidez y alcalinidad).

Veamos la escala de Richter, una función logarítmica que se utiliza para medir la magnitud de los sismos. La magnitud de un sismo está relacionada con la cantidad de energía que libera el sismo. Instrumentos llamados sismógrafos detectan movimiento en la tierra; el movimiento más pequeño que se puede detectar se muestra en un sismógrafo como una onda con amplitud $A_{0}$ .

$A$ - la medida de la amplitud de la ola sísmica

$A_{0}$ - la amplitud de la onda detectable más pequeña (u onda estándar)

De esto se puede encontrar $R$ , la escala Richter mide la magnitud del sismo usando la fórmula:

$\boldsymbol{R}=\log \left(\frac{A}{A_{0}}\right)$

La intensidad de un sismo típicamente medirá entre 2 y 10 en la escala de Richter. Cualquier sismos que se registren por debajo de un 5 son bastante menores; pueden sacudir un poco el suelo, pero rara vez son lo suficientemente fuertes como para causar mucho daño. Los sismos con una calificación de Richter de entre 5 y 7.9 son mucho más severos, y cualquier sismo por encima de un 8 es probable que cause daños masivos. (La calificación más alta jamás registrada para un sismo es 9.5 durante el terremoto de Valdivia de 1960 en Chile).

Ejemplo

Problema: Un sismo se mide con una amplitud de onda 392 veces mayor que $A_{0}$ . ¿Cuál es la magnitud de este sismo usando la escala de Richter, a la décima más cercana?

Contestar

Utilice la ecuación de escala de Richter.

$R=\log \left(\frac{A}{A_{0}}\right)$

Ya que $A$ es 392 veces más grande que $A_{0}$ , $A = 392A_{0}$ . Sustituir esta expresión en por $A$ .

$\boldsymbol{R}=\log \left(\frac{392 A_{0}}{A_{0}}\right)$

Simplifica la expresión $\left(\frac{392 A_{0}}{A_{0}}\right)=392$ . Utilice una calculadora para evaluar el logaritmo.

\ (\ begin {array} {c}
R=\ log 392\\
R=2.5932\ ldots\\
R\ cong 2.6
\ end {array}\)

La magnitud de este sismo es de 2.6 en la escala de Richter.

Una diferencia de 1 punto en la escala de Richter equivale a una diferencia de 10 veces en la amplitud del sismo (que está relacionada con la fuerza de la ola). Esto quiere decir que un sismo que mide 3.6 en la escala de Richter tiene 10 veces la amplitud de uno que mide 2.6.

Echemos un vistazo al ejemplo que acabamos de mostrar. En ese ejemplo, la amplitud de ola del sismo fue 392 veces normal. ¿Y si fuera 10 veces eso, o 3,920 veces lo normal? Para encontrar la medición de ese tamaño terremoto en la escala de Richter, se encuentra $\log 3920$ . Una calculadora da un valor de 3.5932... o 3.6, cuando se redondea a la décima más cercana. ¡Un punto extra en la escala de Richter puede significar mucho más temblor!

El sonido se mide en una escala logarítmica usando una unidad llamada decibelios. La fórmula se parece a la escala de Richter:

$d=10 \log \left(\frac{P}{P_{0}}\right)$

donde $P$ está la potencia o intensidad del sonido y $P_{0}$ es el sonido más débil que el oído humano puede escuchar.

Ejemplo

Problema: Una bomba de agua caliente tiene una clasificación de ruido de 50 decibelios. Un lavavajillas, sin embargo, tiene una clasificación de ruido de 62 decibelios. El ruido del lavavajillas es ¿cuántas veces más intenso que el ruido de la bomba de agua caliente?

Contestar

No puedes comparar fácilmente los dos ruidos usando la fórmula, pero puedes compararlos con $P_{0}$ . Comience por encontrar la intensidad del ruido para la bomba de agua caliente. Use $h$ para la intensidad del ruido de la bomba de agua caliente.

$50=10 \log \left(\frac{h}{P_{0}}\right)$

Divide las ecuaciones por 10 para obtener el registro por sí mismo.

$5=\log \left(\frac{h}{P_{0}}\right)$

Reescribir la ecuación como una ecuación exponencial.

$10^{5}=\frac{h}{P_{0}}$

Multiplicar por $P_{0}$ para obtener $h$ por sí mismo.

$h=10^{5} P_{0}$

Repita el mismo proceso para encontrar la intensidad del ruido para el lavavajillas.

\ (\ begin {array} {c}
62=10\ log\ left (\ frac {d} {P_ {0}}\ derecha)\\
6.2=\ log\ left (\ frac {d} {P_ {0}}\ derecha)\\
10^ {6.2} =\ frac {d} {P_ {0}}\
d=10^ {6.2} P_ {0}
\ end {array}\)

$d$ Para comparar con $h$ , puedes dividir. (Piense: si el ruido del lavavajillas es dos veces más intenso que el de la bomba, entonces $d$ debería ser $2h$ ; es decir, $\frac{d}{h}$ debería ser 2.) Utilizar las leyes de los exponentes para simplificar el cociente.

\ (\ begin {alineado}
\ frac {d} {h} &=\ frac {10^ {6.2} P_ {0}} {10^ {5} P_ {0}}\\
&=10^ {1.2}
\ end {alineado}\)

El ruido del lavavajillas es $10^{1.2}$ (o aproximadamente 15.85) veces más intenso que la bomba de agua caliente.

Con decibelios, cada incremento de 10 significa que el sonido es 10 veces más intenso. Un incremento de 20 sería 10 veces más intenso para los primeros 10, y otros 10 veces más intenso para los segundos 10; por lo que un sonido que es de 75 decibelios es 100 veces más intenso que un sonido que es de 55 decibelios!

Aquí hay un ejemplo más de logaritmos utilizados en contextos científicos. La medida de acidez de un líquido se llama pH del líquido. Esto se basa en la cantidad de iones hidrógeno (H+) en el líquido. La fórmula para el pH es:

$p H=-\log [H+]$

donde [H+] es la concentración de iones hidrógeno, dada en una unidad llamada mol/L (“moles por litro”; un mol es $6.022 \times 10^{23}$ moléculas o átomos).

Los líquidos con un pH bajo (hasta 0) son más ácidos que aquellos con un pH alto. El agua, que es neutra (ni ácida ni alcalina, lo contrario de ácida) tiene un pH de 7.0.

Ejemplo

Problema: Si el jugo de lima tiene un pH de 1.7, ¿cuál es la concentración de iones hidrógeno (en mol/L) en el jugo de lima, a la centésima más cercana?

Contestar

Usa la fórmula para pH.

$p H=-\log [H+]$

Sustituir el pH conocido en la fórmula, y representar H+ con la variable $x$ .

$1.7=-\log x$

Si $1.7=-\log x$ entonces $\log x=-1.7$ .

$-1.7=\log x$

Resolver para $x$ .

\ (\ begin {array} {c}
x=10^ {-1.7}\\
x=0.02
\ end {array}\)

La concentración de iones hidrógeno en el jugo de lima es de 0.02.

Ejercicio

Una estación de monitoreo sísmico midió la amplitud de las olas durante un temblor reciente. Midió las ondas como 100 mil veces más grandes que $A_{0}$ , la onda detectable más pequeña. ¿Qué tan alto midió este sismo en la escala de Richter?

$R=\log \left(\frac{A}{A_{0}}\right)$

Contestar

Incorrecto. Un sismo que medía 1 en la escala de Richter tendría una amplitud de onda de sólo 10 veces mayor de lo normal. Para resolver este problema, configurar la ecuación como $R=\log \left(\frac{100,000 A_{0}}{A_{0}}\right)$ , y resolver para $R$ . La respuesta correcta es 5.
Incorrecto. Un sismo que medía 3 en la escala de Richter tendría una amplitud de onda de $10^3$ , o 1,000 veces mayor de lo normal. Para resolver este problema, configurar la ecuación como $\boldsymbol{R}=\log \left(\frac{100,000 A_{0}}{A_{0}}\right)$ , y resolver para $R$ . La respuesta correcta es 5.
Correcto. Para encontrar la medida Richter de un sismo con olas 100,000 veces mayores de lo normal, resuelva $\boldsymbol{R}=\log \left(\frac{100,000 A_{0}}{A_{0}}\right)$ . La respuesta es 5.
Incorrecto. Un sismo que medía 9 en la escala de Richter tendría una amplitud de onda de 1,000,000,000 veces mayor a lo normal. Para resolver este problema, configurar la ecuación como $\boldsymbol{R}=\log \left(\frac{100,000 A_{0}}{A_{0}}\right)$ , y resolver para $R$ . La respuesta correcta es 5.

Uso de funciones exponenciales

Las funciones exponenciales se utilizan para aún más contextos, incluyendo el crecimiento poblacional y bacteriano, la desintegración radiactiva, el interés compuesto, el enfriamiento de objetos y el crecimiento de fenómenos como infecciones por virus, uso de Internet y popularidad de las moda.

Por ejemplo, recordemos que la fórmula para el interés compuesto $P$ es $A=P\left(1+\frac{r}{m}\right)^{m t}$ , donde $A$ está principal, $r$ es monto, es la tasa anual, $m$ es el número de períodos compuestos, y $t$ es el número de años.

Ejemplo

Problema: ¿Cuánto tiempo tardará, hasta todo el año más cercano, que el dinero se duplique si se invierte al 10% compuesto mensualmente?

Contestar

Encuentra valores para las variables que puedas. Tenga en cuenta que tampoco sabe $P$ o $A$ , pero conoce la relación entre $P$ y $A$ .

$P$ = inversión inicial

$A$ = $2P$ (ya que quieres que el dinero se duplique)

$r$ = 0.1 (10% escrito como decimal)

$m$ = 12 (12 periodos compuestos por año)

$t$ = es el valor que estás buscando.

Usa la fórmula.

$2 P=P\left(1+\frac{0.1}{12}\right)^{12 t}$

Divide ambos lados $P$ para obtener la expresión exponencial por sí misma. Nota: Esto significa que no $P$ puede ser 0, ya que no se puede dividir por 0. Pero si $P$ fueran 0, en realidad no se invertiría dinero y el problema no tendría sentido de todos modos. Entonces está bien asumir $P > 0$ .

$2=\left(1+\frac{0.1}{12}\right)^{12 t}$

Para resolver una ecuación con la variable en el exponente, tomar logaritmos de ambos lados. Puedes usar cualquier base, así que $\log$ (base 10) o $\ln$ (base $e$ ) sería lo mejor, entonces puedes usar una calculadora para evaluar los logaritmos.

$\ln 2=\ln \left(1+\frac{0.1}{12}\right)^{12 t}$

Utilice la propiedad power de logaritmos para sacar la variable del exponente.

$\ln 2=12 t \cdot \ln \left(1+\frac{0.1}{12}\right)$

Dividir para conseguir $t$ por sí mismo.

$\frac{\ln 2}{12 \ln \left(1+\frac{0.1}{12}\right)}=t$

Utilice la calculadora para evaluar los logaritmos. Redondear al año entero más cercano.

\ (\ begin {array} {c}
\ frac {\ ln 2} {12\ ln\ left (1+\ frac {0.1} {12}\ derecha)} =t\\
\ frac {0.6931\ ldots} {12 (0.008298\ ldots)} =t\\
6.96\ t aprox
\ end {array}\)

El dinero se duplicará en aproximadamente 7 años.

Según la Oficina del Censo de Estados Unidos, la población mundial en 2011 era de aproximadamente 6.9 mil millones de personas, y crecería alrededor de 76 millones durante el año. Es decir, aumentaría alrededor de 1.1%.

Si la población mundial crece 1.1% cada año, entonces cada año la población se multiplica por 1.011. (El 1 representa la población actual, y el .011 representa el nuevo crecimiento.) Después de dos años, la población sería 6.9 (1.011) $^2$ , y después de tres años sería 6.9 (1.011) $^3$ . En general, la población mundial $P$ (en miles de millones de personas) podría estimarse para $t$ años después de 2011 mediante esta fórmula:

$P=6.9(1.011)^{t}$

Ejemplo

Problema: Usando la fórmula de población mundial $P=6.9(1.011)^{t}$ , donde $t$ está el número de años después de 2011 y $P$ es la población mundial en miles de millones de personas, estiman:

A) la población en el año 2050 a los cien millones más cercanos, y

B) para qué año la población será el doble de lo que era en 2011.

Contestar

Mirando primero la parte A, identificar las variables. En este caso, 2050 es 39 años después de 2011, entonces $t = 39$ .

Parte A

t=2050-2011=39. $P$ es lo que estás buscando.

Usa la fórmula y una calculadora para evaluar la expresión exponencial. (Tenga en cuenta que “cien millones” es una décima de mil millones, por lo que a los cien millones más cercanos es 10.6.) Según el problema, la fórmula se encuentra $P$ en miles de millones de personas, por lo que se tienen 10.600 millones de personas.

\ (\ begin {array} {c}
P=6.9 (1.011) ^ {39}\\
P=10.57\ ldots\\
P\ aprox 10.6
\ end {array}\)

Para la parte B, se quiere que la población duplique el 6.9 a partir de 2011, entonces $P = 13.8$ .

Parte B

$t$ es lo que estás buscando.

$P=2(6.9)=13.8$

Usa la fórmula y el valor para $P$ .

$13.8=6.9(1.011)^{t}$

Divide por 6.9 para obtener la expresión exponencial por sí misma.

$2=1.011^{t}$

Dado que la variable $t$ es un exponente, tomar logaritmos de ambos lados. Puedes usar cualquier base, pero la base 10 o te $e$ permitirá usar la calculadora fácilmente.

$\log 2=\log (1.011)^{t}$

Utilice la propiedad power de logaritmos para sacar la variable del exponente, y luego resolver para $t$ . La población llegará al punto de duplicación aproximadamente a la mitad del año 63 ^rd, por lo que redondeará hasta 64 (ya que la pregunta pregunta para qué año).

\ (\ begin {array} {c}
\ log 2=t\ log 1.011\
\ frac {\ log 2} {\ log 1.011} =t\\
\ frac {0.3010..} {0.00475\ ldots} =t\\
63.359=t
\ end {array}\)

Se tardarán alrededor de 64 años para que la población se duplique, por lo que hay que sumar 64 al 2011 para estimar el año en que la población mundial será de 13.800 millones de personas.

$2011+64=2075$

Asegúrese de responder a las preguntas que se le hagan.

A) La población en 2050 será de unos 10.600 millones de personas.

B) La población duplicará (13.800 millones de personas) la población para el año 2075.

Ejercicio

Una colonia bacteriana particular duplica su población cada 15 horas. Un científico que ejecuta un experimento está comenzando con 100 células bacterianas. Ella espera que el número de celdas sea dado por la fórmula $c=100(2)^{\frac{t}{15}}$ , donde $t$ está el número de horas desde que comenzó el experimento.

¿Después de cuántas horas esperaría el científico tener 300 células bacterianas? Da tu respuesta a la hora más cercana.

2 horas
24 horas
$1,048,577$ horas
$104,857,699$ horas

Contestar

Incorrecto. Puede que hayas olvidado que el exponente es $\frac{t}{15}$ más que solo $t$ . La respuesta correcta es de 24 horas.
Correcto. 24 horas es la solución a $300=100(2)^{\frac{t}{15}}$ .
Incorrecto. Necesitas encontrar la solución para $300=100(2)^{\frac{t}{15}}$ . La respuesta correcta es de 24 horas.
Incorrecto. Necesitas encontrar la solución para $300=100(2)^{\frac{t}{15}}$ . La respuesta correcta es de 24 horas.

Resumen

Las funciones logarítmicas y exponenciales se pueden utilizar para modelar situaciones del mundo real. Las funciones logarítmicas son muy útiles cuando se trabaja con fenómenos que tienen un rango muy amplio de valores, ya que permiten mantener los valores con los que realmente trabaja en un rango menor. Las funciones exponenciales son útiles con fenómenos que cambian muy rápidamente, o que crecen o decaen en un porcentaje durante un período de tiempo determinado.

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