8.1: Conceptos básicos de división justa
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Cómo dividimos artículos o colecciones de artículos entre 2 o más personas para que cada persona sienta que recibió una parte justa: Diferentes personas pueden asignar un valor diferente al mismo artículo. Una “parte justa” con una persona puede no ser lo mismo que una “parte justa” para otra persona. Los métodos de este capítulo garantizarán que todos obtengan una “parte justa” pero puede que no sea la “parte justa” que quería.
La gente suele referirse a la división justa como un juego. Tiene jugadores y reglas igual que un juego. El conjunto de bienes a dividir se llama S. Los jugadores P1, P2, P3,..., Pn son las partes con derecho a una acción de S. Cada jugador debe poder asignar un valor al conjunto S o a cualquier subconjunto del conjunto S.
En un juego continuo de división justa el conjunto S es divisible de infinidad de formas, y las acciones pueden aumentarse o disminuirse en cantidades arbitrariamente pequeñas. Ejemplos típicos de juegos continuos de división justa involucran la división de tierra, pastel, pizza, etc... Un juego de división justa es discreto cuando el conjunto S está compuesto por objetos que son indivisibles como pinturas, casas, autos, barcos, joyas, etc. Una pizza se puede cortar en rodajas de casi cualquier tamaño excepto una la pintura no se puede cortar en pedazos. Para que los problemas sean fáciles de pensar, utilizaremos pasteles o pizzas para ejemplos continuos y colecciones de pequeños caramelos para ejemplos discretos. Un juego mixto de división justa es aquel en el que algunos de los componentes son continuos y otros discretos y no está cubierto en este libro.
El método que utilizamos para dividir un pastel o pizza puede ser utilizado para dividir un pedazo de tierra o para dividir los derechos de acceso a minar el fondo oceánico (entre países). El método que utilizamos para dividir una bolsa mixta de dulces de Halloween se puede utilizar para dividir una gran colección de joyas. Este libro no llegará a todos ellos pero también podemos usar ideas de división justa para decidir qué paciente trasplantado obtiene hígado cuando esté disponible, o para ayudar a que dos empresas se fusionen (quién es CEO, quién tiene despidos, qué nombre usar, etc.).
Reglas: Para que la división de S sea justa, los jugadores en el juego deben ser participantes dispuestos y aceptar las reglas del juego como vinculantes.
- Los jugadores deben actuar racionalmente de acuerdo a su sistema de creencias.
- Las reglas de las matemáticas se aplican al asignar valores a los objetos en S.
- Sólo los jugadores están involucrados en el juego, no hay forasteros como abogados.
Si los jugadores siguen las reglas, el juego terminará después de un número finito de movimientos por parte de los jugadores y resultará en una división de S.
Supuestos: Debemos asumir lo siguiente:
- Todos los jugadores juegan limpio.
- No tienen información previa sobre los gustos o disgustos de los otros jugadores.
- No asignan valores de manera que manipulen el juego.
- Todos los jugadores tienen los mismos derechos para compartir el conjunto S. Es decir, si hay tres jugadores, cada jugador tiene derecho a al menos 1/3 de S.
Si no se cumplen estos supuestos, la división puede no ser totalmente justa.
¿Qué es una participación justa?
La idea básica en un juego continuo de división justa es que S se divide en pedazos. Cada jugador asigna un valor a cada pieza de S. En base a estos valores, un jugador decide qué piezas considera una parte justa. Dado que cada jugador tiene derecho a al menos una parte proporcional de S, es fácil determinar lo que se considera una parte justa.
Cuatro jugadores Abby, Betty, Christy y Debbie van a dividir un pastel S. El pastel ha sido cortado en cuatro trozos, S1, S2, S3 y S4 (no necesariamente del mismo tamaño o con la misma cantidad de glaseado). Cada uno de los jugadores ha asignado un valor a cada pedazo de pastel como se muestra en la siguiente tabla.
| Jugar/Pieza | S1 | S2 | S3 | S4 |
|---|---|---|---|---|
| Abby | 10% | 50% | 30% | 10% |
| Betty | 30% | 30% | 10% | 30% |
| Christy | 40% | 20% | 20% | 20% |
| Debbie | 25% | 25% | 25% | 25% |
¿Cuál de las piezas consideraría cada jugador una parte justa?
Dado que hay cuatro jugadores, cada jugador tiene derecho a al menos de S.
Las acciones justas se destacan en la siguiente tabla.
| Jugar/Pieza | S1 | S2 | S3 | S4 |
|---|---|---|---|---|
| Abby | 10% | 50% | 30% | 10% |
| Betty | 30% | 30% | 10% | 30% |
| Christy | 40% | 20% | 20% | 20% |
| Debbie | 25% | 25% | 25% | 25% |
Encuentra el valor de una pieza de S
¿Cómo determinaron los jugadores en Ejemplo\(\PageIndex{1}\) el valor de cada pieza?: Parte del valor es emocional y parte es matemática. Considera tres herederos que deben dividir una isla que consiste en un tramo de playa, una pequeña montaña y una gran pradera. Una persona a la que realmente le gusta la playa puede estar dispuesta a conformarse con un pedazo más pequeño de la isla para conseguir la playa.
Para los ejemplos de este capítulo, todos los pasteles serán dibujados en dos dimensiones. La altura del pastel no es relevante para el problema siempre y cuando el pastel sea uniforme en altura.
Será útil recordar que hay 360◦ en un círculo completo.
Fred compra un pastel de media fresa, mitad vainilla por $9. Le encanta el pastel de vainilla pero solo le gusta el pastel de fresa por lo que valora la mitad de vainilla del pastel el doble que el pastel de fresa. Encuentre los valores de las rebanadas S1, S2 y S3 en la siguiente figura.
Encuentra el valor de cada mitad de la torta usando álgebra.
Dejar x = el valor de la mitad de fresa del pastel.
Entonces 2x = el valor de la mitad de vainilla del pastel.
El valor total del pastel es de $9.
\[\begin{align*} x+2 x &= \$ 9 \\[4pt] 3 x &=\$ 9 \\[4pt] x &=\$ 3 \end{align*} \nonumber \]
La mitad de fresa vale $3 y la mitad de vainilla vale $6.
- Valor de S1:
\(60^{\circ}\)es 1/3 de\(180^{\circ}\) (la mitad de fresa del pastel) por lo que la rebanada vale 1/3 de $3.
\[\frac{60^{\circ}}{180^{\circ}}(\$ 3)=\$ 1 \nonumber \]
- Valor de S2:
45◦ es 1/4 de 180◦ (la mitad vainilla del pastel) por lo que la rebanada vale 1/4 de $6.
\[\frac{45^{\circ}}{180^{\circ}}(\$ 6)=\$ 1.50 \nonumber \]
- Valor de S3:
Ya que S3 es parte fresa y parte vainilla debemos encontrar el valor de cada parte por separado y luego agregarlas juntas.
\[\frac{30^{\circ}}{180^{\circ}}(\$ 3)+\frac{40^{\circ}}{180^{\circ}}(\$ 6)=\$ 1.83 \nonumber \]
A Tom y Fred se les dio un pastel por valor de 12 dólares que es a partes iguales fresa, vainilla y chocolate. A Tom le gusta la vainilla y la fresa igual pero no le gusta en absoluto el chocolate. Fred comerá vainilla pero le gusta la fresa el doble que la vainilla y le gusta el chocolate tres veces más que la vainilla.
Solución
- ¿Cómo debería Tom dividir el pastel en dos pedazos para que cada pieza sea una parte justa para él?
El pastel vale 12 dólares por lo que una parte justa lo es. Tom debe cortar el pastel en dos trozos. No tienen que ser del mismo tamaño pero sí tienen que tener el mismo valor de 6 dólares a los ojos de Tom. A Tom no le gusta el chocolate así que todo el valor del pastel está en las partes de fresa y vainilla. Además, a Tom le gusta igual de bien la vainilla y la fresa por lo que cada una de estas partes de los pasteles valen 6 dólares en sus ojos.
La división más fácil es cortar el pastel para que una rebanada contenga toda la parte de fresa y la mitad la parte de chocolate y la otra rodaja contenga toda la parte de vainilla y la otra mitad de la parte de chocolate.
Tenga en cuenta que Tom podría cortar el pastel a lo largo de un acorde del círculo como se muestra a continuación. Las matemáticas involucradas en ese tipo de corte están más allá del alcance de este curso
- ¿Cómo debería Fred dividir el pastel en dos pedazos para que cada pieza sea una parte justa para él?
Dejar x = valor de la parte vainilla a Fred.
Después 2x = valor de la parte de fresa.
Además, 3x = valor de la parte de chocolate.
\[\begin{align*} x+2 x+3 x &=12 \\ 6 x&=12 \\ x&=2 \\ 2 x&=4 \\ 3 x&=6 \end{align*} \nonumber \]
Fred necesita cortar el pastel en dos trozos para que cada pieza tenga un valor de $6. Una elección obvia sería hacer que el chocolate forme parte de una de las piezas y tanto las partes de vainilla como de fresa la otra pieza. Como puedes ver en Figura\(\PageIndex{9}\) cada una de las piezas vale un total de $6.
- Encuentra otra forma para que Fred divida el pastel.
Hay muchas posibilidades. Supongamos que quiere cortar la parte del chocolate por la mitad ya que a él le gusta más el chocolate. Esto garantizará que Fred obtenga parte de la parte de chocolate independientemente de la pieza que obtenga en el juego. La parte de chocolate vale $6 para Fred así que cada mitad de la pieza de chocolate valdría $3.
Fred necesita agregar otro pastel por valor de $3 a cada una de las piezas de chocolate. Es fácil ver que Fred necesita cortar el pastel en algún lugar de la parte de fresa para que la parte de fresa se corte en dos trozos. Llamemos a la pieza más pequeña de la parte de fresa “pieza 1” y la pieza más grande de la parte de fresa “pieza 2”. La pieza 1 necesita valer $1 y la pieza 2 debe valer $3 para que cada rebanada del pastel termine con un total de $6.
La parte de fresa de todo el pastel es 1/3 del pastel o\(\frac{1}{3}\left(360^{\circ}\right)=120^{\circ}\). La pieza 2 vale $3 de los $4 por la parte de fresa por lo que es ¾ de los 120◦ o 90◦. La pieza 1 sería 120◦ - 90◦ = 30◦.
George y Ted desean dividir un sándwich de 12 pulgadas por valor de 9 dólares. La mitad del sándwich es vegetariano y la mitad el sándwich es albóndiga. George no come carne en absoluto. A Ted le gusta la parte de albóndigas el doble que la parte vegetariana.
- ¿Cómo debería George dividir el sándwich para que cada pieza sea una parte justa para él?
George es vegetariano así que todo el valor está en la mitad vegetariana del sándwich. Debería dividir la parte vegetariana del sándwich por la mitad. Una pieza será toda la parte de la albóndiga más tres pulgadas de la parte vegetariana. La segunda pieza solo estará a tres pulgadas de la parte vegetariana.
- ¿Cómo debe Ted dividir el sándwich para que cada pieza sea una parte justa para él?
Sea x el valor de la parte vegetariana del sándwich.
Entonces\(2x\) es el valor de la parte de albóndigas del sándwich.
Ted ve la parte de albóndigas con un valor de $6 y la parte vegetariana con un valor de $3. Una participación justa para Ted sería de $4.50, la mitad del valor del sándwich. Ted debe dividir el sándwich en algún lugar de la parte de la albóndiga.
\[\frac{\$ 4.50}{\$ 6.00}=\frac{3}{4}, \quad \frac{3}{4}(6 ")=4 \frac{1}{2} \text { inches } \nonumber \]