7.6: Resumen y lectura adicional

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Este capítulo trataba sobre modelar diversos tipos de comportamiento usando poleas en un espacio de intervalos de tiempo. El comportamiento puede parecer algo que ocurre ahora en el presente, pero de hecho nuestra memoria del comportamiento pasado informa lo que significa el comportamiento actual. Para comprometerse con cualquier cosa, planificar o completar cualquier tipo de proceso, uno necesita ser capaz de razonar en intervalos de tiempo. Lo bueno de las poleas temporales de hecho poleas en cualquier sitio es que encajan en una estructura categórica llamada topos, que tiene muchas propiedades formales útiles. En particular, viene equipado con una lógica de orden superior con la que podemos razonar formalmente sobre cómo funcionan juntas las poleas temporales cuando se combinan en sistemas más grandes. Una versión mucho más detallada de esta historia se presentó en [SS18]. Pero hubiera sido imposible sin el extenso edificio de teoría de topos y teoría de dominios que se ha desarrollado a lo largo de las últimas seis décadas.

Las toposis de gavilla fueron inventadas por Grothendieck y su escuela en la década de 1960 [AGV71] como un enfoque para probar conjeturas en la intersección de la geometría algebraica y la teoría de números, llamadas conjeturas de Weil. Poco después, Lawvere y Tierney reconocieron que los toposes tenían toda la estructura necesaria para hacer lógica, y con toda una multitud de teóricos de otra categoría, el tema se desarrolló de manera impresionante en muchas direcciones. Para una historia mucho más completa, véase [McL90].

Hay muchos tipos de referencias sobre la teoría de los topos. Uno que comienza por introducir categorías y luego pasar a toposes, enfocándose en la lógica, es [McL92]. Nuestro tratamiento favorito es quizás [MM92], donde los aspectos geométricos juegan un papel central. Por último, Johnstone le ha hecho un gran favor al campo al recolectar grandes cantidades de la teoría en un solo conjunto de dos volúmenes [Joh02]; es muy denso, pero una referencia esencial para el estudiante o investigador serio. Por sólo categórica (Kripke-Joyal) semántica de lógica en un topos, uno debería ver ya sea [MM92], [Jac99], o [LS88].

No mencionamos mucho la teoría de dominios en este capítulo, aparte de referirnos al dominio de intervalo. Pero los dominios, en el sentido de Dana Scott, juegan un papel importante en los aspectos más profundos de la teoría de tipos temporales. Una buena referencia es [Gie+03], pero para una introducción sugerimos [AJ94].

En cierto sentido, nuestra área de aplicación ha sido una especie de sistema dinámico muy general. Otros enfoques categóricos de este tema incluyen [JNW96], [HTP03], [AS05] y [Law86], aunque hay muchos otros.

Esperamos que hayan disfrutado de los siete bocetos de este libro. Como siguiente paso, considere realizar un curso de lectura sobre teoría de categorías aplicadas con algunos amigos o colegas. Simultáneamente, esperamos que comiences a buscar formas categóricas de pensar sobre temas familiares. Quizás encuentres algo que quieras aportar a este creciente campo de la teoría de categorías aplicadas, o como a veces la llamamos, el campo de la composicionalidad.