9: Modelos matemáticos y geometría
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Estamos rodeados de todo tipo de geometría. Los arquitectos utilizan la geometría para diseñar edificios. Los artistas crean imágenes vívidas a partir de formas geométricas coloridas. Los letreros de calles, los automóviles y el empaque de productos aprovechan las propiedades geométricas. En este capítulo, comenzaremos por considerar un enfoque formal para resolver problemas y usarlo para resolver una variedad de problemas comunes, incluida la toma de decisiones sobre el dinero. Luego exploraremos la geometría y la relacionaremos con situaciones cotidianas, utilizando la estrategia de resolución de problemas que desarrollamos.
- 9.1: Usar una estrategia de resolución de problemas (Parte 1)
- En capítulos anteriores, tradujo frases de palabras en expresiones algebraicas y oraciones de palabras en ecuaciones algebraicas y resolvió algunos problemas de palabras que aplicaban las matemáticas a situaciones cotidianas. Había que replantear la situación en una oración, asignar una variable, y luego escribir una ecuación para resolver. Este método funciona siempre y cuando la situación te sea familiar y las matemáticas no sean demasiado complicadas. Ahora desarrollaremos una estrategia que puedas usar para resolver cualquier problema de palabras.
- 9.2: Usar una estrategia de resolución de problemas (Parte 2)
- En problemas numéricos, se le dan algunas pistas sobre uno o más números, y usa estas pistas para construir una ecuación. Los problemas numéricos no suelen surgir en el día a día, pero proporcionan una buena introducción a la práctica de la Estrategia de Resolución de Problemas. Algunos problemas de palabras numéricas te piden que encuentres dos o más números. Asegúrese de leer el problema detenidamente para descubrir cómo todos los números se relacionan entre sí.
- 9.3: Resolver aplicaciones de dinero
- Resolver problemas de palabras de monedas es muy parecido a resolver cualquier otro problema de palabras. No obstante, lo que las hace únicas es que hay que encontrar el valor total de las monedas en lugar de solo el número total de monedas. Para monedas del mismo tipo, el valor total se puede encontrar multiplicando el número de monedas por el valor de una moneda individual. Puede resultarle útil poner todos los números en una tabla para asegurarse de que verifiquen.
- 9.4: Propiedades de Uso de Ángulos, Triángulos y Teorema de Pitágoras (Parte 1)
- Un ángulo está formado por dos rayos que comparten un punto final común. Cada rayo se llama lado del ángulo y el punto final común se llama vértice. Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180°, entonces son ángulos suplementarios. Pero si su suma es de 90°, entonces son ángulos complementarios. Adaptaremos nuestra Estrategia de Resolución de Problemas para Aplicaciones de Geometría. Dado que estas aplicaciones implicarán formas geométricas, ayudará a dibujar una figura y etiquetarla con la información del problema.
- 9.5: Propiedades de Uso de Ángulos, Triángulos y Teorema de Pitágoras (Parte 2)
- Los triángulos son nombrados por sus vértices. Para cualquier triángulo, la suma de las medidas de los ángulos es de 180°. Algunos triángulos tienen nombres especiales como el triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 90°. El Teorema de Pitágoras cuenta cómo las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo se relacionan entre sí. Afirma que en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las dos patas es igual al cuadrado de la hipotenusa. Para resolver problemas que utilicen el Teorema de Pitágoras, necesitaremos encontrar raíces cuadradas.
- 9.6: Propiedades de Uso de Rectángulos, Triángulos y Trapecios (Parte 1)
- Muchas aplicaciones de geometría implicarán encontrar el perímetro o el área de una figura. El perímetro es una medida de la distancia alrededor de una figura. El área es una medida de la superficie cubierta por una figura. El volumen es una medida de la cantidad de espacio ocupado por una figura. Un rectángulo tiene cuatro lados y cuatro ángulos rectos. Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud. Nos referimos a un lado del rectángulo como la longitud, L, y el lado adyacente como el ancho, W.
- 9.7: Propiedades de Uso de Rectángulos, Triángulos y Trapecios (Parte 2)
- Los triángulos que son congruentes tienen longitudes y ángulos laterales idénticos, por lo que sus áreas son iguales. El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. Un triángulo isósceles es un triángulo con dos lados de igual longitud es mientras que un triángulo que tiene tres lados de igual longitud es un triángulo equilátero. Un trapecio es una figura de cuatro lados con dos lados que son paralelos, las bases, y dos lados que no lo son. El área de un trapecio es la mitad de la altura por la suma de las bases.
- 9.8: Resolver aplicaciones de geometría: círculos y figuras irregulares
- En esta sección, trabajaremos en aplicaciones de geometría para círculos y figuras irregulares. Para resolver aplicaciones con círculos, utilizamos las propiedades de círculos de Decimales y Fracciones. Una figura irregular es una figura que no es una forma geométrica estándar. Su área no se puede calcular utilizando ninguna de las fórmulas de área estándar. Para encontrar el área de una de estas figuras irregulares, la dividimos en figuras cuyas fórmulas conocemos y luego agregamos las áreas de las figuras.
- 9.9: Resolver aplicaciones de geometría: volumen y área de superficie (Parte 1)
- El área superficial es una medida cuadrada del área total de todos los lados de un sólido rectangular. La cantidad de espacio dentro del sólido rectangular es el volumen, una medida cúbica. El volumen, V, de cualquier sólido rectangular es producto de la longitud, anchura y altura. Para encontrar el área de superficie de un sólido rectangular, busque el área de cada cara que vea y luego multiplique cada área por dos para dar cuenta de la cara en el lado opuesto.
- 9.10: Aplicaciones de Resolver Geometría- Volumen y Área de Superficie (Parte 2)
- Una esfera es la forma de una básquetbol, como un círculo tridimensional. Un cilindro es una figura sólida con dos círculos paralelos del mismo tamaño en la parte superior e inferior. La parte superior e inferior de un cilindro se llaman las bases. La altura h de un cilindro es la distancia entre las dos bases. En geometría, un cono es una figura sólida con una base circular y un vértice. La altura de un cono es la distancia entre su base y el vértice.
- 9.11: Resolver una fórmula para una variable específica
- Para un objeto que se mueve a una velocidad uniforme (constante), la distancia recorrida, el tiempo transcurrido y la velocidad se relacionan por la fórmula d = rt donde d = distancia, r = velocidad y t = tiempo. Resolver una fórmula para una variable específica significa obtener esa variable por sí misma con un coeficiente de 1 en un lado de la ecuación y todas las demás variables y constantes en el otro lado. El resultado es otra fórmula, conformada únicamente por variables.
Figura 9.1 - Tenga en cuenta las muchas formas individuales en este edificio. (crédito: Bert Kaufmann, Flickr)