3.2: Agrupación de símbolos y el orden de operaciones

Objetivos de aprendizaje

• entender el uso de símbolos de agrupación
• entender y ser capaz de utilizar el orden de las operaciones
• usar la calculadora para determinar el valor de una expresión numérica

Agrupación de símbolos

Los símbolos de agrupación se utilizan para indicar que una colección particular de números y operaciones significativas deben agruparse y considerarse como un número. Los símbolos de agrupación utilizados comúnmente en matemáticas son los siguientes:

(), [], {},
Paréntesis: ()
Corchetes: []
Brackets: {}
Barra:

En un cálculo en el que está involucrada más de una operación, los símbolos de agrupación indican qué operación realizar primero. Si es posible, primero realizamos operaciones dentro de los símbolos de agrupación.

Conjunto de Muestras A

Si es posible, determinar el valor de cada uno de los siguientes.

\[9 + (3 \cdot 8) \nonumber\]

Solución

Dado que 3 y 8 están entre paréntesis, se van a combinar primero.

\[\begin{array} {rcl} {9 + (3 \cdot 8)} & = & {9 + 24} \\ {} & = & {33} \end{array}\nonumber\]

Por lo tanto,

\[9 + (3 \cdot 8) = 33 \nonumber\]

Conjunto de Muestras A

\[(10 \div 0) \cdot 6\nonumber\]

Solución

Ya que no\(10 \div 0\) está definido, esta operación carece de sentido, y no le damos valor alguno. Escribimos, “indefinido”.

Conjunto de práctica A

Si es posible, determinar el valor de cada uno de los siguientes.

\(16 - (3 \cdot 2)\)

Contestar

10

Conjunto de práctica A

\(5 + (7 \cdot 9)\)

Contestar

68

Conjunto de práctica A

\((4 + 8) \cdot 2\)

Contestar

24

Conjunto de práctica A

\(28 \div (18 - 11)\)

Contestar

4

Conjunto de práctica A

\((33 \div 3) - 11\)

Contestar

0

Conjunto de práctica A

\(4 + (0 \div 0)\)

Contestar

no es posible (indeterminante)

Símbolos de agrupación múltiple

Cuando se produce un conjunto de símbolos de agrupación dentro de otro conjunto de símbolos de agrupación, primero realizamos las operaciones dentro del conjunto más interno.

Conjunto de Muestras A

Determinar el valor de cada uno de los siguientes.

\[2 + (8 \cdot 3) - (5 + 6)\nonumber\]

Solución

Combine primero 8 y 3, luego combine 5 y 6.

\[\begin{array} {ll} {2 + 24 - 11} & {\text{ Now combine left to right.}} \\ {26 - 11} & {} \\ {15} & {} \end{array}\nonumber\]

Conjunto de Muestras A

\[10 + [30 - (2 \cdot 9)]\nonumber\]

Solución

Combina 2 y 9 ya que aparecen en el conjunto más interno de paréntesis.

\[\begin{array} {ll} {10 + [30 - 18]} & {\text{ Now combine 30 and 18.}} \\ {10 + 12} & {} \\ {22} & {} \end{array}\nonumber\]

Set de práctica B

Determinar el valor de cada uno de los siguientes.

\((17 + 8) + (9 + 20)\)

Contestar

54

Set de práctica B

\((55 - 6) - (13 \cdot 2)\)

Contestar

23

Set de práctica B

\(23 + (12 \cdot 4) - (11 \cdot 2)\)

Contestar

4

Set de práctica B

\(86 + [14 \div (10 - 8)]\)

Contestar

93

Set de práctica B

\(31 + \{9 + [1 + (35 - 2)]\}\)

Contestar

74

Set de práctica B

\(\{6 - [24 \div (4 \cdot 2)]\}^3\)

Contestar

27

El orden de operaciones

En ocasiones no hay símbolos de agrupación que indiquen qué operaciones realizar primero. Por ejemplo, supongamos que deseamos encontrar el valor de\(3 + 5 \cdot 2\). Podríamos hacer cualquiera de dos cosas:

Agrega 3 y 5, luego multiplica esta suma por 2.

\(\begin{array} {rcl} {3 + 5 \cdot 2} & = & {8 \cdot 2} \\ {} & = & {16} \end{array}\)

Multiplica 5 y 2, luego agrega 3 a este producto.

\(\begin{array} {rcl} {3 + 5 \cdot 2} & = & {3 + 10} \\ {} & = & {13} \end{array}\)

Ahora tenemos dos valores para un número. Para determinar el valor correcto, debemos utilizar el orden de operaciones aceptado.

Orden de Operaciones

1. Realizar todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación, comenzando por el conjunto más interno, en el orden 2, 3, 4 descrito a continuación,
2. Realizar todas las operaciones exponenciales y raíz.
3. Realiza todas las multiplicaciones y divisiones, moviéndote de izquierda a derecha.
4. Realizar todas las sumas y restaciones, moviéndose de izquierda a derecha.

Conjunto de Muestras C

Determinar el valor de cada uno de los siguientes.

\(\begin{array} {ll} {21 + 3 \cdot 12} & {\text{ Multiply first.}} \\ {21 + 36} & {\text{ Add.}} \\ {57} & {} \end{array}\)

Conjunto de Muestras C

\(\begin{array} {ll} {(15 - 8) + 5 \cdot (6 + 4).} & {\text{ Simplify inside parentheses first.}} \\ {7 + 5 \cdot 10} & {\text{ Multiply.}} \\ {7 + 50} & {\text{ Add.}} \\ {57} & {} \end{array}\)

Conjunto de Muestras C

\(\begin{array} {ll} {63 - (4 + 6 \cdot 3) + 76 - 4} & {\text{ Simplify first within the parenthesis by multiplying, then adding.}} \\ {63 - (4 + 18) + 76 - 4} & {} \\ {63 - 22 + 76 - 4} & {\text{ Now perform the additions and subtractions, moving left to right.}} \\ {41 + 76 - 4} & {\text{ Add 41 and 76: 41 + 76 = 117.}} \\ {117 - 4} & {\text{ Subtract 4 from 117: 117 - 4 = 113.}} \\ {113} & {} \end{array}\)

Conjunto de Muestras C

\(\begin{array} {ll} {7 \cdot 6 - 4^2 + 1^5} & {\text{ Evaluate the exponential forms, moving left to right.}} \\ {7 \cdot 6 - 16 - 1} & {\text{ Multiply 7 and 6: 7 \cdot 6 = 42}} \\ {42 - 16 + 1} & {\text{ Subtract 16 from 42: 42 - 16 = 26}} \\ {26 + 1} & {\text{ Add 26 and 1: 26 + 1 = 27}} \\ {27} & {} \end{array}\)

Conjunto de Muestras C

\(\begin{array} {ll} {6 \cdot (3^2 + 2^2) + 4^2} & {\text{ Evaluate the exponential forms in the parentheses: } 3^2 = 9 \text{ and } 2^2 = 4} \\ {6 \cdot (9 + 4) + 4^2} & {\text{ Add the 9 and 4 in the parentheses: 9 + 4 = 13}} \\ {6 \cdot (13) + 4^2} & {\text{ Evaluate the exponential form: } 4^2 = 16} \\ {6 \cdot (13) + 16} & {\text{ Multiply 6 and 13: } 6 \cdot 13 = 78} \\ {78 + 16} & {\text{ Add 78 and 16: 78 + 16 = 94}} \\ {94} & {} \end{array}\)

Conjunto de Muestras C

\(\begin{array} {ll} {\dfrac{6^2 + 2^2}{4^2 + 6 \cdot 2^2} + \dfrac{1^2 + 8^2}{10^2 - 19 \cdot 5}} & {\text{ Recall that the bar is a grouping symbol.}} \\ {} & {\text{ The fraction } \dfrac{}{} \text{ is equivalent to } (6^2 + 2^2) \div (4^2 + 6 \cdot 2^2)} \\ {\dfrac{36 + 4}{16 + 6 \cdot 4} + \dfrac{1 + 64}{100 - 19 \cdot 5}} & {} \\ {\dfrac{36 + 4}{16 + 24} + \dfrac{1 + 64}{100 - 95}} & {} \\ {\dfrac{40}{40} + \dfrac{65}{5}} & {} \\ {1 + 13} & {} \\{14} & {} \end{array}\)

Set de práctica C

Determinar el valor de cada uno de los siguientes.

\(8 + (32 - 7)\)

Contestar

33

Set de práctica C

\((34 + 18 - 2 \cdot 3) + 11\)

Contestar

57

Set de práctica C

\(8(10) + 4(2 + 3) - (20 + 3 \cdot 15 + 40 - 5)\)

Contestar

0

Set de práctica C

\(5 \cdot 8 + 4^2 - 2^2\)

Contestar

52

Set de práctica C

\(4(6^2 - 3^3) \div (4^2 - 4)\)

Contestar

3

Set de práctica C

\((8 + 9 \cdot 3) \div 7 + 5 \cdot (8 \div 4 + 7 + 3 \cdot 5)\)

Responder

125

Set de práctica C

\(\dfrac{3^3 - 2^3}{6^2 - 29} + 5 (\dfrac{8^2 + 2^4}{7^2 - 3^2}) \div \dfrac{8 \cdot 3 + 1^8}{2^3 - 3}\)

Responder

7

Calculadoras

El uso de una calculadora es útil para simplificar los cálculos que involucran grandes números.

Conjunto de Muestras D

Usa una calculadora para determinar cada valor.

\(9,842 + 56 \cdot 85\)

Solución

	clave		Lee en pantalla
Realiza primero la multiplicación.	Tipo	56	56
	Prensa	\(\times\)	56
	Tipo	85	85
Ahora realiza la adición.	Prensa	+	4760
	Tipo	9842	9842
	Prensa	=	14602

La pantalla ahora lee 14,602.

Conjunto de Muestras D

\(42(27 + 18) + 105(810 \div 18)\)

Solución

	clave		Lee en pantalla
Operar dentro de los paréntesis	Tipo	27	27
	Prensa	+	27
	Tipo	18	18
	Prensa	=	45
Multiplicar por 42.	Prensa	\(\times\)	45
	Tipo	42	42
	Prensa	=	1890

Coloque este resultado en la memoria presionando la tecla de memoria.

	Clave		Lee en pantalla
Ahora opere en los otros paréntesis.	Tipo	810	810
	Prensa	\(\div\)	810
	Tipo	18	18
	Prensa	=	45
Ahora multiplica por 105.	Prensa	\(\times\)	45
	Tipo	105	105
	Prensa	=	4725
Ya estamos listos para sumar estas dos cantidades juntas.	Prensa	+	4725
Presione la tecla de recuperación de memoria.			1890
	Prensa	=	6615

Por lo tanto,\(42(27 + 18) + 105 (810 \div 18) = 6,615\)

Conjunto de Muestras D

\(16^4 + 37^3\)

Solución

Calculadoras no científicas

Clave		Lee en pantalla
Tipo	16	16
Prensa	\(\times\)	16
Tipo	16	16
Prensa	\(\times\)	256
Tipo	16	16
Prensa	\(\times\)	4096
Tipo	16	16
Prensa	=	65536
Presione la tecla de memoria
Tipo	37	37
Prensa	\(\times\)	37
Tipo	37	37
Prensa	\(\times\)	1396
Tipo	37	37
Prensa	\(\times\)	50653
Prensa	+	50653
Presione la tecla de recuperación de memoria		65536
Prensa	=	116189

Calculadoras con\(y^x\) Clave

Clave		Lee en pantalla
Tipo	16	16
Prensa	\(y^x\)	16
Tipo	4	4
Prensa	=	4096
Prensa	+	4096
Tipo	37	37
Prensa	\(y^x\)	37
Tipo	3	3
Prensa	=	116189

Por lo tanto,\(16^4 + 37^3 = 116,189\)

Ciertamente podemos ver que la calculadora más potente simplifica los cómputos.

Conjunto de Muestras D

Las calculadoras no científicas son incapaces de manejar cálculos que involucran números muy grandes.

\(85612 \cdot 21065\)

Solución

Clave		Lee en pantalla
Tipo	85612	85612
Prensa	\(\times\)	85612
Tipo	21065	21065
Prensa	=

Este número es demasiado grande para la visualización de algunas calculadoras y probablemente obtendremos algún tipo de mensaje de error. En algunas calculadoras científicas se hace frente a números tan grandes colocándolos en una forma llamada “notación científica”. Otros pueden hacer la multiplicación directamente. (1803416780)

Set de Práctica D

\(9,285 + 86(49)\)

Responder

13,499

Set de Práctica D

\(55(84 - 26) + 120 (512 - 488)\)

Responder

6,070

Set de Práctica D

\(106^3 - 17^4\)

Responder

1,107,495

Set de Práctica D

\(6,053^3\)

Responder

Este número es demasiado grande para una calculadora no científica. Una calculadora científica probablemente te dará\(2.217747109 \times 10^{11}\)

Ejercicios

Para los siguientes problemas, encuentra cada valor. Verifique cada resultado con una calculadora.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\(2 + 3 \cdot (8)\)

Responder

26

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(18 + 7 \cdot (4 - 1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

\(3 + 8 \cdot (6 - 2) + 11\)

Responder

46

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(1 - 5 \cdot (8 - 8)\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(37 - 1 \cdot 6^2\)

Responder

1

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(98 \div 2 \div 7^2\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\((4^2 - 2 \cdot 4) - 2^3\)

Responder

0

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(\sqrt{9} + 14\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(\sqrt{100} + \sqrt{81} - 4^2\)

Responder

3

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(\sqrt[3]{8} + 8 - 2\cdot 5\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

\(\sqrt[4]{16} - 1 + 5^2\)

Responder

26

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

\(61 - 22 + 4[3 \cdot (10) + 11]\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

\(121 - 4 \cdot [(4) \cdot (5) - 12] + \dfrac{16}{2}\)

Responder

97

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

\(\dfrac{(1 + 16) - 3}{7} + 5 \cdot (12)\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

\(\dfrac{8 \cdot (6 + 20)}{8} + \dfrac{3 \cdot (6 + 16)}{22}\)

Responder

29

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

\(10 \cdot [8 + 2 \cdot (6 + 7)]\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

\(21 \div 7 \div 3\)

Responder

1

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

\(10^2 \cdot 3 \div 5^2 \cdot 3 - 2 \cdot 3\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

\(85 \div 5 \cdot 5 - 85\)

Responder

0

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

\(\dfrac{51}{17} + 7 - 2 \cdot 5 \cdot (\dfrac{12}{3})\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

\(2^2 \cdot 3 + 2^3 \cdot (6 - 2) - (3 + 17) + 11(6)\)

Responder

90

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

\(26 - 2 \cdot \{\dfrac{6 + 20}{13} \}\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

\(2 \cdot \{(7 + 7) + 6 \cdot [4 \cdot (8 + 2)]\}\)

Responder

508

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

\(0 + 10(0) + 15 \cdot \{4 \cdot 3 + 1\}\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

\(18 + \dfrac{7 + 2}{9}\)

Responder

19

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

\((4 + 7) \cdot (8 - 3)\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

\((6 + 8) \cdot (5 + 2 - 4)\)

Responder

144

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

\((21 - 3) \cdot (6 - 1) \cdot (7) + 4(6 + 3)\)

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

\((10 + 5) \cdot (10 + 5) - 4 \cdot (60 - 4)\)

Responder

1

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

\(6 \cdot \{2 \cdot 8 + 3\} - (5) \cdot (2) + \dfrac{8}{4} + (1 + 8) \cdot (1 + 11)\)

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

\(2^5 + 3 \cdot (8 + 1)\)

Responder

52

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

\(3^4 + 2^4 \cdot (1 + 5)\)

Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

\(1^6 + 0^8 + 5^2 \cdot (2 + 8)^3\)

Responder

25,001

Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

\((7) \cdot (16) - 3^4 + 2^2 \cdot (1^7 + 3^2)\)

Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

\(\dfrac{2^3 - 7}{5^2}\)

Responder

\(\dfrac{1}{25}\)

Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

\(\dfrac{(1 + 6)^2 + 2}{3 \cdot 6 + 1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

\(\dfrac{6^2 - 1}{2^3 - 3} + \dfrac{4^3 + 2 \cdot 3}{2 \cdot 5}\)

Responder

14

Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

\(\dfrac{5(8^2 - 9 \cdot 6)}{2^5 - 7} + \dfrac{7^2 - 4^2}{5 \cdot 5^2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

\(\dfrac{(2 + 1)^3 + 2^3 + 1^{10}}{6^2} - \dfrac{15^2 - [2 \cdot 5]^2}{5 \cdot 5^2}\)

Responder

0

Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

\(\dfrac{6^3 - 2 \cdot 10^2}{2^2} + \dfrac{18(2^3 + 7^2)}{2(19) - 3^3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

\(2 \cdot \{6 + [10^2 - 6\sqrt{25}]\}\)

Responder

152

Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

\(181 - 3 \cdot (2\sqrt{36} + 3 \sqrt[3]{64})\)

Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

\(\dfrac{2 \cdot (\sqrt{81} - \sqrt[3] {125})}{4^2 - 10 + 2^2}\)

Responder

\(\dfrac{4}{5}\)

Ejercicios para revisión

Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

El hecho de que 0 + cualquier número entero = ese número entero en particular es un ejemplo de qué propiedad de suma?

Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

Encuentra el producto\(4,271 \times 630\).

Responder

2,690,730

Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

En el enunciado\(27 \div 3 = 9\), ¿qué nombre se le da al resultado 9?

Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

¿Qué número es la identidad multiplicativa?

Responder

1

Ejercicio\(\PageIndex{48}\)

Encuentra el valor de\(2^4\).