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9.5: Propiedades de Uso de Ángulos, Triángulos y Teorema de Pitágoras (Parte 2)

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    Usa el Teorema de Pitágoras

    El Teorema de Pitágoras es una propiedad especial de los triángulos rectos que se ha utilizado desde la antigüedad. Lleva el nombre del filósofo y matemático griego Pitágoras que vivió alrededor del 500 a.C.

    Recuerda que un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90°, que solemos marcar con un pequeño cuadrado en la esquina. El lado del triángulo opuesto al ángulo de 90° se llama hipotenusa, y los otros dos lados se llaman las piernas. Ver Figura\(\PageIndex{8}\).

    Se muestran tres triángulos rectos. Cada uno tiene una caja que representa el ángulo recto. El primero tiene el ángulo recto en la esquina inferior izquierda, el siguiente en el ángulo superior izquierdo, y el último en la parte superior. Los dos lados que tocan el ángulo recto están etiquetados como “pierna” en cada triángulo. Los lados cruzados desde los ángulos rectos están etiquetados como “hipotenusa”.

    Figura\(\PageIndex{8}\) - En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo de 90° se llama hipotenusa y a cada uno de los otros lados se le llama pierna.

    El Teorema de Pitágoras cuenta cómo las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo se relacionan entre sí. Afirma que en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las dos patas es igual al cuadrado de la hipotenusa.

    Definición: El teorema de Pitágoras

    En cualquier triángulo rectángulo ΔABC,

    \[a^{2} + b^{2} = c^{2}\]

    donde c es la longitud de la hipotenusa a y b son las longitudes de las piernas.

    Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. Al otro lado de la caja está el lado c. Los lados que tocan el ángulo recto están marcados a y b.

    Para resolver problemas que utilicen el Teorema de Pitágoras, necesitaremos encontrar raíces cuadradas. En Simplificar y Usar Raíces Cuadradas introdujimos la notación m y la definimos de esta manera:

    \[If\; m = n^{2}, then\; \sqrt{m} = n\; for\; n \geq 0\]

    Por ejemplo, encontramos que\(\sqrt{25}\) es 5 porque 5 2 = 25.

    Utilizaremos esta definición de raíces cuadradas para resolver por la longitud de un lado en un triángulo rectángulo.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\):

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.

    Triángulo recto con patas etiquetadas como 3 y 4.

    Solución

    Paso 1. Lee el problema.  
    Paso 2. Identifica lo que buscas. la longitud de la hipotenusa del triángulo
    Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.

    Let c = la longitud de la hipotenusa

    CNX_BMath_Figure_09_03_025.jpg
    Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. Sustituto. $$\ begin {split} a^ {2} + b^ {2} &= c^ {2}\\ 3^ {2} + 4^ {2} &= c^ {2}\ end {split} $$
    Paso 5. Resuelve la ecuación. $$\ begin {split} 9 + 16 &= c^ {2}\\ 25 &= c^ {2}\\\ sqrt {25} &= c^ {2}\\ 5 &= c\ end {split} $$
    Paso 6. Cheque. $$\ begin {split} 3^ {2} + 4^ {2} &=\ textcolor {rojo} {5} ^ {2}\\ 9 + 16 &\ stackrel {?} {=} 25\\ 25 &= 25\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
    Paso 7. Contesta la pregunta. La longitud de la hipotenusa es de 5.
    Ejercicio\(\PageIndex{13}\):

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.

    Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. Al otro lado de la caja está el lado c. Los lados que tocan el ángulo recto están marcados con el 6 y el 8.

    Responder

    c = 10

    Ejercicio\(\PageIndex{14}\):

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.

    Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. El lado que cruza desde el ángulo recto está etiquetado como c. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 15, el otro está etiquetado como “8”.

    Responder

    c = 17

    Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pierna más larga.

    Se muestra el triángulo rectángulo con una pata etiquetada como 5 y la hipotenusa etiquetada como 13.

    Solución

    Paso 1. Lee el problema.  
    Paso 2. Identifica lo que buscas. La longitud de la pata del triángulo
    Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.

    Let b = la pata del triángulo

    Lado de la etiqueta b

    CNX_BMath_Figure_09_03_054_img-01.png
    Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. Sustituto. $$\ begin {split} a^ {2} + b^ {2} &= c^ {2}\\ 5^ {2} + b^ {2} &= 13^ {2}\ end {split} $$
    Paso 5. Resuelve la ecuación. $$\ begin {split} 25 + b^ {2} &= 169\\ b^ {2} &= 144\\ b^ {2} &=\ sqrt {144}\\ b &= 12\ end {split} $$
    Paso 6. Cheque. $$\ begin {split} 5^ {2} +\ textcolor {rojo} {12} ^ {2} &\ stackrel {?} {=} 13^ {2}\\ 25 + 144 &\ stackrel {?} {=} 169\\ 169 &= 169\;\ marca de verificación\ final {dividir} $$
    Paso 7. Contesta la pregunta. La longitud de la pierna es de 12.
    Ejercicio\(\PageIndex{15}\):

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pierna.

    Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. El lado al otro lado desde el ángulo recto está etiquetado como 17. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 15, el otro está etiquetado como “b”.

    Responder

    b = 8

    Ejercicio\(\PageIndex{16}\):

    Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la pierna.

    Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. El lado que cruza desde el ángulo recto está etiquetado como 15. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 9, el otro está etiquetado como “b”.

    Responder

    b = 12

    Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

    Kelvin está construyendo una glorieta y quiere encordar cada esquina colocando un soporte de madera de 10 pulgadas en diagonal como se muestra. ¿A qué distancia por debajo de la esquina debe sujetar el soporte si quiere que las distancias de la esquina a cada extremo del soporte sean iguales? Aproximado a la décima de pulgada más cercana.

    Se muestra una imagen de una glorieta. Debajo del techo hay una forma rectangular. Hay dos tirantes desde la parte superior a cada lado. El corsé de la izquierda está etiquetado como 10 pulgadas. Desde donde el corsé golpea el costado al techo se etiqueta como x.

    Solución

    Paso 1. Lee el problema.  
    Paso 2. Identifica lo que buscas. la distancia desde la esquina a la que se debe unir el soporte
    Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.

    Let x = la distancia desde la esquina

    CNX_BMath_Figure_09_03_055_img-01.png
    Paso 4. Traducir. Escriba la fórmula apropiada. Sustituto. $$\ begin {split} a^ {2} + b^ {2} &= c^ {2}\\ x^ {2} + x^ {2} &= 10^ {2}\ end {split} $$
    Paso 5. Resuelve la ecuación. Aísle la variable. Usa la definición de la raíz cuadrada. Simplificar. Aproximado a la décima más cercana. $$\ begin {split} 2x^ {2} &= 100\\ x^ {2} &= 50\\ x &=\ sqrt {50}\\ b &\ aprox 7.1\ end {split} $$
    Paso 6. Cheque. $$\ begin {split} a^ {2} + b^ {2} &= c^ {2}\\ (\ textcolor {rojo} {7.1}) ^ {2} + (\ textcolor {rojo} {7.1}) ^ {2} &\ stackrel {?} {\ approx} 10^ {2}\\ &Sí. \ end {split} $$
    Paso 7. Contesta la pregunta. Kelvin debe sujetar cada pieza de madera aproximadamente a 7.1" de la esquina.
    Ejercicio\(\PageIndex{17}\):

    John pone la base de una escalera de 13 pies a 5 pies de la pared de su casa. ¿A qué distancia de la pared llega la escalera?

    Se muestra una imagen de una casa. Hay una escalera apoyada contra el costado de la casa. La escalera está etiquetada 13 pies. La distancia horizontal desde la base de la escalera hasta la casa está etiquetada con 5 pies.

    Responder

    12 pies

    Ejercicio\(\PageIndex{18}\):

    Randy quiere colocar una cadena de luces de 17 pies a la parte superior del mástil de 15 pies de su velero. ¿A qué distancia de la base del mástil debe sujetar el extremo de la cuerda de luz?

    Se muestra una imagen de un barco. La altura del poste central está etiquetada con 15 pies. La cadena de luces está en diagonal desde la parte superior del poste y está etiquetada 17 pies.

    Responder

    8 pies

    ACCEDE A RECURSOS

    Animación: La suma de los ángulos interiores de un triángulo

    Polígonos similares

    Ejemplo: Determinar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo

    La práctica hace la perfección

    Usar las propiedades de los ángulos

    En los siguientes ejercicios, encuentra (a) el suplemento y (b) el complemento del ángulo dado.

    1. 53°
    2. 16°
    3. 29°
    4. 72°

    En los siguientes ejercicios, usa las propiedades de los ángulos para resolver.

    1. Encuentra el suplemento de un ángulo de 135°.
    2. Encuentra el complemento de un ángulo de 38°.
    3. Encuentra el complemento de un ángulo de 27.5°.
    4. Encuentra el suplemento de un ángulo de 109.5°.
    5. Dos ángulos son suplementarios. El ángulo más grande es 56° más que el ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de ambos ángulos.
    6. Dos ángulos son suplementarios. El ángulo más pequeño es 36° menor que el ángulo más grande. Encuentra las medidas de ambos ángulos.
    7. Dos ángulos son complementarios. El ángulo más pequeño es 34° menos que el ángulo más grande. Encuentra las medidas de ambos ángulos.
    8. Dos ángulos son complementarios. El ángulo más grande es 52° más que el ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de ambos ángulos.

    Utilizar las propiedades de los triángulos

    En los siguientes ejercicios, resuelve usando propiedades de triángulos.

    1. Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 26° y 98°. Encuentra la medida del tercer ángulo.
    2. Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 61° y 84°. Encuentra la medida del tercer ángulo.
    3. Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 105° y 31°. Encuentra la medida del tercer ángulo.
    4. Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 47° y 72°. Encuentra la medida del tercer ángulo.
    5. Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 33°. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?
    6. Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 51°. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?
    7. Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 22.5°. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?
    8. Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 36.5°. ¿Cuál es la medida del otro ángulo?
    9. Los dos ángulos más pequeños de un triángulo rectángulo tienen medidas iguales. Encuentra las medidas de los tres ángulos.
    10. La medida del ángulo más pequeño de un triángulo rectángulo es 20° menos que la medida del otro ángulo pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.
    11. Los ángulos en un triángulo son tales que la medida de un ángulo es el doble de la medida del ángulo más pequeño, mientras que la medida del tercer ángulo es tres veces la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.
    12. Los ángulos en un triángulo son tales que la medida de un ángulo es 20° más que la medida del ángulo más pequeño, mientras que la medida del tercer ángulo es tres veces la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

    Encuentra la longitud del lado faltante

    En los siguientes ejercicios, Δ ABC es similar a Δ XYZ. Encuentra la longitud del lado indicado.

    Se muestran dos triángulos. Parecen tener la misma forma, pero el triángulo de la derecha es más pequeño. Los vértices del triángulo de la izquierda están etiquetados A, B y C. El lado opuesto a A está etiquetado con 9, el lado opuesto a B está etiquetado como b y el lado opuesto a C está etiquetado con 15. Los vértices del triángulo a la derecha están etiquetados X, Y y Z. El lado opuesto a X está etiquetado como x, el lado opuesto a Y está etiquetado como 8 y el lado opuesto a Z está etiquetado como 10.

    1. lado b
    2. lado x

    En un mapa, San Francisco, Las Vegas y Los Ángeles forman un triángulo cuyos lados se muestran en la siguiente figura. La distancia real de Los Ángeles a Las Vegas es de 270 millas.

    Se muestra un triángulo. Los vértices están etiquetados como San Francisco, Las Vegas y Los Ángeles. El lado frente a San Francisco está etiquetado con 1 pulgada, el lado opuesto a Las Vegas está etiquetado con 1.3 pulgadas y el lado opuesto a Los Ángeles está etiquetado con 2.1 pulgadas.

    1. Encuentra la distancia de Los Ángeles a San Francisco.
    2. Encuentra la distancia de San Francisco a Las Vegas.

    Usa el Teorema de Pitágoras

    En los siguientes ejercicios, utilice el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa.

    1. Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 9, el otro como 12.
    2. Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 16, el otro como 12.
    3. Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 15, el otro como 20.
    4. Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 5, el otro como 12.

    Encuentra la longitud del lado faltante

    En los siguientes ejercicios, usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado faltante. Redondear a la décima más cercana, si es necesario.

    1. Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. El lado que cruza desde el ángulo recto está etiquetado como 10. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 6.
    2. Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. El lado al otro lado desde el ángulo recto está etiquetado como 17. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 8.
    3. Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. El lado que cruza desde el ángulo recto está etiquetado como 13. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 5.
    4. Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. El lado que cruza desde el ángulo recto está etiquetado como 20. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 16.
    5. Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. El lado que cruza desde el ángulo recto está etiquetado como 13. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 8.
    6. Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. Ambos lados que tocan el ángulo recto están etiquetados como 6.
    7. Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. El lado al otro lado desde el ángulo recto está etiquetado como 17. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 15.
    8. Se muestra un triángulo rectángulo. El ángulo recto está marcado con una caja. El lado que cruza desde el ángulo recto está etiquetado como 7. Uno de los lados que toca el ángulo recto está etiquetado como 5.

    En los siguientes ejercicios, resuelve. Aproximado a la décima más cercana, si es necesario.

    1. Una cadena de luces de 13 pies se colocará en la parte superior de un poste de 12 pies para una exhibición navideña. ¿A qué distancia de la base del poste se debe anclar el extremo de la cadena de luces?

    Se muestra un poste vertical con una cadena de luces que van desde la parte superior del poste hasta el suelo. El poste está etiquetado de 12 pies. La cadena de luces está etiquetada con 13 pies.

    1. Pam quiere poner una pancarta en la puerta de su cochera para felicitar a su hijo por su graduación universitaria. La puerta del garaje es de 12 pies de alto y 16 pies de ancho. ¿Cuánto tiempo debe ser la pancarta para que se ajuste a la puerta del garaje?

    Se muestra una imagen de una casa. El garaje rectangular tiene 12 pies de alto y 16 pies de ancho. Una pancarta azul recorre diagonalmente la cochera.

    1. Chi planea poner un camino de adoquines a través de su jardín de flores. El jardín de flores es un cuadrado con lados de 10 pies. ¿Cuál será la longitud del camino?

    Se muestra un jardín cuadrado. Un lado está etiquetado como 10 pies. Hay un camino diagonal de piedras circulares azules que van desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha.

    1. Brian tomó prestada una escalera de extensión de 20 pies para pintar su casa. Si pone la base de la escalera a 6 pies de la casa, ¿a qué distancia llegará la parte superior de la escalera?

    Se muestra una imagen de una casa con una escalera apoyada en ella. La escalera está etiquetada con 20 pies de altura. La distancia horizontal desde la casa hasta la base de la escalera es de 6 pies.

    Matemáticas cotidianas

    1. Construyendo una maqueta Joe quiere construir una casa de muñecas para su hija. Quiere que la casa de muñecas se vea igual que su casa. Su casa mide 30 pies de ancho y 35 pies de alto en el punto más alto del techo. Si la casa de muñecas tendrá 2.5 pies de ancho, ¿qué tan alto será su punto más alto?
    2. Medición Un ingeniero de la ciudad planea construir una pasarela a través de un lago desde el punto X hasta el punto Y, como se muestra en la imagen de abajo. Para encontrar la longitud de la pasarela, dibuja un triángulo rectángulo XYZ, con ángulo recto en X. Mide la distancia de X a Z, 800 pies, y de Y a Z, 1,000 pies. ¿Cuánto durará el puente?

    Se muestra un lago. El punto Y se encuentra a un lado del lago, directamente frente al punto X. El punto Z está en el mismo lado del lago que el punto X.

    Ejercicios de escritura

    1. Escribe tres de las propiedades de los triángulos de esta sección y luego explica cada una con tus propias palabras.
    2. Explique cómo la siguiente figura ilustra el Teorema de Pitágoras para un triángulo con patas de longitud 3 y 4.

    Se muestran tres cuadrados, formando un triángulo rectángulo en el centro. Cada cuadrado se divide en cuadrados más pequeños. El cuadrado más pequeño se divide en 9 cuadrados pequeños. El cuadrado mediano se divide en 16 cuadrados pequeños. El cuadrado grande se divide en 25 cuadrados pequeños.

    Autocomprobación

    (a) Después de completar los ejercicios, utilice esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

    CNX_BMath_Figure_AppB_053.jpg

    (b) ¿Qué te dice esta lista de verificación sobre tu dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomarás para mejorar?

    Colaboradores y Atribuciones

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