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1.1.2: Partes correspondientes y factores de escala

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    Lección

    Vamos a describir las características de las copias escaladas.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Number Talk: Multiplying by a Unit Fraction

    Encuentra cada producto mentalmente.

    \(\frac{1}{4}\cdot 32\)

    \((7.2)\cdot\frac{1}{9}\)

    \(\frac{1}{4}\cdot (5.6)\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Corresponding Parts

    Una señal de tráfico para los cruces de ferrocarril es un círculo con una X grande en el medio y dos R's, con una a cada lado. Aquí hay una imagen con algunos puntos etiquetados y dos copias de la imagen. Arrastre y gire la herramienta de ángulo móvil para comparar los ángulos en las copias con los ángulos del original.

    1. Complete esta tabla para mostrar las partes correspondientes en las tres imágenes.
      original Copia 1 Copia 2
      punto\(L\)
      segmento\(LM\)
      segmento\(ED\)
      punto\(X\)
      ángulo\(KLM\)
      ángulo\(XYZ\)
      Mesa\(\PageIndex{1}\)
    2. ¿Es alguna copia una copia a escala de la señal de tráfico original? Explica tu razonamiento.
    3. Utilice la herramienta de ángulo móvil para comparar el ángulo\(KLM\) con sus ángulos correspondientes en Copia 1 y Copia 2. ¿Qué notas?
    4. Utilice la herramienta de ángulo móvil para comparar el ángulo\(NOP\) con sus ángulos correspondientes en Copia 1 y Copia 2. ¿Qué notas?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Scaled Triangles

    Aquí está el Triángulo O, seguido de una serie de otros triángulos.

    clipboard_ebba76ea7d7a21891a1cffbe9ce8af581.png
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Tu profesor te asignará dos de los triángulos para que los mires.

    1. Para cada uno de tus triángulos asignados, ¿es una copia a escala del Triángulo O? Esté preparado para explicar su razonamiento.
    2. Como grupo, identificar todas las copias escaladas del Triángulo O en la colección. Discuta tu pensamiento. Si no estás de acuerdo, trabaja para llegar a un acuerdo.
    3. Enumere todos los triángulos que son copias escaladas en la tabla. Registre las longitudes laterales que corresponden a las longitudes laterales del Triángulo O enumeradas en cada columna.
      Triángulo O \(3\) \(4\) \(5\)
      Mesa\(\PageIndex{2}\)
    4. Explique o muestre cómo se ha escalado cada copia a partir del original (Triángulo O).

    ¿Estás listo para más?

    Elige uno de los triángulos que no sea una copia a escala de Triángulo O. Describe cómo podrías cambiar al menos un lado para hacer una copia a escala, dejando al menos un lado sin cambios.

    Resumen

    Una figura y su copia a escala tienen partes correspondientes, o partes que se encuentran en la misma posición en relación con el resto de cada figura. Estas partes podrían ser puntos, segmentos o ángulos. Por ejemplo, el Polígono 2 es una copia a escala del Polígono 1.

    clipboard_e330f5f7362b0961b7bd43ab3082215c7.png
    Figura\(\PageIndex{2}\)
    • Cada punto en el Polígono 1 tiene un punto correspondiente en el Polígono 2.
      Por ejemplo, el punto\(B\) corresponde al punto\(H\) y el punto\(C\) corresponde al punto\(I\).
    • Cada segmento en el Polígono 1 tiene un segmento correspondiente en el Polígono 2.
      Por ejemplo, segmento\(AF\) corresponde a segmento\(GL\).
    • Cada ángulo en el Polígono 1 también tiene un ángulo correspondiente en el Polígono 2.
      Por ejemplo, el ángulo\(DEF\) corresponde al ángulo\(JKL\).

    El factor de escala entre el Polígono 1 y el Polígono 2 es 2, porque todas las longitudes en el Polígono 2 son 2 veces las longitudes correspondientes en el Polígono 1. Las medidas de ángulo en el Polígono 2 son las mismas que las medidas de ángulo correspondientes en el Polígono 1. Por ejemplo, la medida del ángulo\(JKL\) es la misma que la medida del ángulo\(DEF\).

    Entradas en el glosario

    Definición: Correspondiente

    Cuando parte de una figura original coincide con parte de una copia, las llamamos partes correspondientes. Estos podrían ser puntos, segmentos, ángulos o distancias.

    Por ejemplo, el punto\(B\) en el primer triángulo corresponde al punto\(E\) en el segundo triángulo. Segmento\(AC\) corresponde al segmento\(DF\).

    clipboard_e2728b3247bf3bb939a001aa3dc3bac53.png
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Definición: Factor de Escala

    Para crear una copia a escala, multiplicamos todas las longitudes de la figura original por el mismo número. A este número se le llama factor de escala.

    En este ejemplo, el factor de escala es 1.5, porque\(4\cdot (1.5)=6\),\(5\cdot (1.5)=7.5\), y\(6\cdot (1.5)=9\).

    clipboard_e919f0ad3848582ce451f8d8df95d9f1e.png
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Definición: Copia escalada

    Una copia a escala es una copia de una figura donde cada longitud de la figura original se multiplica por el mismo número.

    Por ejemplo, triángulo\(DEF\) es una copia a escala de triángulo\(ABC\). Cada longitud de lado en triángulo\(ABC\) se multiplicó por 1.5 para obtener la longitud de lado correspondiente en triángulo\(DEF\).

    clipboard_e7a834304f2fbd754976975695baf4ec5.png
    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Práctica

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    El segundo polígono en forma de H es una copia a escala del primero.

    clipboard_e6ebec9e72f9050e47c908de2958aa0c0.png
    Figura\(\PageIndex{6}\)
    1. Mostrar un par de puntos correspondientes y dos pares de lados correspondientes en el polígono original y su copia. Considera usar lápices de colores para resaltar las partes correspondientes o etiquetar algunos de los vértices.
    2. ¿Qué factor de escala lleva el polígono original a su copia más pequeña? Explica o muestra tu razonamiento.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    La Figura B es una copia a escala de la Figura A. Seleccione todas las declaraciones que deben ser verdaderas:

    1. La Figura B es mayor que la Figura A.
    2. La Figura B tiene el mismo número de aristas que la Figura A.
    3. La Figura B tiene el mismo perímetro que la Figura A.
    4. La Figura B tiene el mismo número de ángulos que la Figura A.
    5. La Figura B tiene ángulos con las mismas medidas que la Figura A.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    El Polígono B es una copia a escala del Polígono A.

    clipboard_e2d7c7421b2fb375fb50597cb6d22c2c9.png
    Figura\(\PageIndex{7}\): El Pentágono A en sentido horario desde la parte superior tiene longitud 2.5, ángulo desconocido, longitud 2.5, ángulo desconocido, 2 longitudes desconocidas, longitud 1.5. El Pentágono B tiene longitud superior 5, ángulo de 53 grados, longitud desconocida, ángulo de 82 grados, y todo el resto desconocido.
    1. ¿Cuál es el factor de escala del Polígono A al Polígono B? Explica tu razonamiento.
    2. Encuentra la longitud faltante de cada lado marcado con? en Polígono B.
    3. Determinar la medida de cada ángulo marcado con? en Polígono A.

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Compara cada ecuación con un número que la haga realidad.

    1. \(8\cdot\underline{\qquad}=40\)
    2. \(8+\underline{\qquad}=40\)
    3. \(21\div\underline{\qquad}=7\)
    4. \(21-\underline{\qquad}=7\)
    5. \(21\cdot\underline{\qquad}=7\)

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