2.2.1: Relaciones proporcionales y ecuaciones

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 119150

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Lección

Escribamos ecuaciones que describan las relaciones proporcionales.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): NUmber Talk: Division

Encuentra cada cociente mentalmente.

\(645\div 100\)

\(645\div 50\)

\(48.6\div 30\)

\(48.6\div x\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Feeding a Crowd, Revisited

1. Una receta dice que 2 tazas de arroz seco servirán a 6 personas. Completa la tabla mientras respondes las preguntas. Esté preparado para explicar su razonamiento.

¿Cuántas personas servirán 1 taza de arroz?
¿Cuántas personas servirán 3 tazas de arroz? ¿12 tazas? ¿43 tazas?
¿Cuántas personas servirán\(x\) tazas de arroz?

Mesa\(\PageIndex{1}\)
tazas de arroz seco	número de personas
1
2	6
3
12
43
\(x\)

2. Una receta dice que 6 rollitos de primavera servirán a 3 personas. Completa la tabla mientras respondes las preguntas. Esté preparado para explicar su razonamiento.

¿A cuántas personas servirán 1 Rollo Primavera?
¿A cuántas personas servirán 10 rollitos de primavera? 16 rollitos de primavera? 25 rollitos de primavera?
¿A cuántas personas servirán los rollitos de\(n\) primavera?

Mesa\(\PageIndex{2}\)
número de rollitos de primavera	número de personas
1
6	3
10
16
25
\(n\)

3. ¿En qué se diferenciaba completar esta tabla de la tabla anterior? ¿Cómo como lo mismo?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Denver to Chicago

Un avión voló a velocidad constante entre Denver y Chicago. El avión tardó 1.5 horas en volar 915 millas.

Figura\(\PageIndex{1}\): Por Oficina del Censo de Estados Unidos. Dominio Público. Buscador de hechos americano. Fuente.

Completa la tabla.

Mesa\(\PageIndex{3}\)
tiempo (horas)	distancia (millas)	velocidad (millas por hora)
1
1.5	915
2
2.5
\(t\)

¿A qué distancia vuela el avión en una hora?
¿Hasta dónde volaría el avión en\(t\) horas a esta velocidad?
Si\(d\) representa la distancia que el avión vuela a esta velocidad durante\(t\) horas, escriba una ecuación que relacione\(t\) y\(d\).
¿Hasta dónde volaría el avión en 3 horas a esta velocidad? en 3.5 horas? Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Un planeta rocoso orbita Próxima Centauri, una estrella que está a unos 1.3 pársecs de la Tierra. Este planeta es el planeta más cercano fuera de nuestro sistema solar.

¿Cuánto tiempo tarda la luz de Próxima Centauri en llegar a la Tierra? (Un pársec es de unos 3.26 años luz. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año.)
Hay dos mellizos. Un gemelo sale en una nave espacial para explorar el planeta cerca de Próxima Centauri viajando al 90% de la velocidad de la luz, mientras que el otro gemelo se queda en casa en la Tierra. ¿Cuánto envejece el gemelo en la Tierra mientras el otro gemelo viaja a Próxima Centauri? (¿Crees que la respuesta sería la misma para el otro gemelo? Considera investigar “La paradoja gemela” para obtener más información.)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Revisiting a Bread Dough

Una panadería utiliza 8 cucharadas de miel por cada 10 tazas de harina para hacer masa de pan. Algunos días hornean lotes más grandes y algunos días hornean lotes más pequeños, pero siempre usan la misma proporción de miel a harina.

Completa la tabla.
Si\(f\) son las tazas de harina necesarias para\(h\) cucharadas de miel, escribir una ecuación que relacione\(f\) y\(h\).
¿Cuánta harina se necesita para 15 cucharadas de miel? ¿17 cucharadas? Explica o muestra tu razonamiento.

Mesa\(\PageIndex{4}\)
miel (cda)	harina (c)
1
8	10
16
20
\(h\)

Resumen

En la tabla se muestra la cantidad de pintura roja y azul necesaria para hacer un cierto tono de pintura púrpura, llamada Atardecer Venusiano.

Tenga en cuenta que las “partes” pueden ser cualquier unidad por volumen. Si mezclamos 3 tazas de rojo con 12 tazas de azul, obtendrás el mismo tono que si mezclamos 3 cucharaditas de rojo con 12 cucharaditas de azul.

Mesa\(\PageIndex{5}\)
pintura roja (partes)	pintura azul (partes)
\(3\)	\(12\)
\(1\)	\(4\)
\(7\)	\(28\)
\(\frac{1}{4}\)	\(1\)
\(r\)	\(4r\)

La última fila de la tabla dice que si conocemos la cantidad de pintura roja necesaria,\(r\), siempre podemos multiplicarla por 4 para encontrar la cantidad de pintura azul necesaria,\(b\), para mezclarla con ella para hacer Atardecer Venusiano. Esto lo podemos decir de manera más sucinta con la ecuación\(b=4r\). Por lo que la cantidad de pintura azul es proporcional a la cantidad de pintura roja y la constante de proporcionalidad es 4.

También podemos mirar esta relación al revés.

Si conocemos la cantidad de pintura azul necesaria,\(b\), siempre podemos multiplicarla por\(\frac{1}{4}\) para encontrar la cantidad de pintura roja necesaria,\(r\), para mezclarla con ella para hacer Atardecer Venusiano. Entonces\(r=\frac{1}{4}b\). La cantidad de pintura azul es proporcional a la cantidad de pintura roja y la constante de proporcionalidad\(\frac{1}{4}\).

Mesa\(\PageIndex{6}\)
pintura azul (partes)	pintura roja (partes)
\(12\)	\(3\)
\(4\)	\(1\)
\(28\)	\(7\)
\(1\)	\(\frac{1}{4}\)
\(b\)	\(\frac{1}{4}b\)

En general, cuando\(y\) es proporcional a\(x\), siempre podemos multiplicar\(x\) por el mismo número\(k\) —la constante de proporcionalidad— para obtener\(y\). Podemos escribir esto mucho más sucintamente con la ecuación\(y=kx\).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Un cierto techo está formado por tejas. Cada metro cuadrado de techo requiere 10.75 tejas. Rellene la tabla con los valores faltantes.

Mesa\(\PageIndex{7}\)
metros cuadrados de techo	número de mosaicos
\(1\)
\(10\)
	\(100\)
\(a\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

En un vuelo de Nueva York a Londres, un avión viaja a una velocidad constante. Una ecuación que relaciona la distancia recorrida en millas\(d\),, con el número de horas de vuelo,\(t\), es\(t=\frac{1}{500}d\). ¿Cuánto tardará el avión en recorrer 800 millas?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Cada tabla representa una relación proporcional. Para cada uno, encontrar la constante de proporcionalidad, y escribir una ecuación que represente la relación.

Mesa\(\PageIndex{8}\)
\(s\)	\(P\)
\ (s\) ">\(2\)	\ (P\) ">\(8\)
\ (s\) ">\(3\)	\ (P\) ">\(12\)
\ (s\) ">\(5\)	\ (P\) ">\(20\)
\ (s\) ">\(10\)	\ (P\) ">\(40\)

Constante de proporcionalidad:

Ecuación:\(P=\)

Mesa\(\PageIndex{9}\)
\(d\)	\(C\)
\ (d\) ">\(2\)	\ (C\) ">\(6.28\)
\ (d\) ">\(3\)	\ (C\) ">\(9.42\)
\ (d\) ">\(5\)	\ (C\) ">\(15.7\)
\ (d\) ">\(10\)	\ (C\) ">\(31.4\)

Constante de proporcionalidad:

Ecuación:\(C=\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Un mapa de Colorado dice que la escala es de 1 pulgada a 20 millas o de 1 a 1,267,200. ¿Estas dos formas de reportar la escala son iguales? Explica tu razonamiento.

(De la Unidad 1.2.5)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Aquí hay un polígono en una cuadrícula.

Dibuja una copia escalada del polígono usando un factor de escala 3. Etiquetar la copia A.
Dibuja una copia a escala del polígono con un factor de escala\(\frac{1}{2}\). Etiquetarlo B.
¿El Polígono A es una copia escalada del Polígono B? Si es así, ¿cuál es el factor de escala que lleva de B a A?

(De la Unidad 1.1.3)