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2.2.2: Dos ecuaciones para cada relación

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    Lección

    Investiguemos las ecuaciones que representan relaciones proporcionales.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Missing Figures

    Aquí están las figuras segunda y cuarta en un patrón.

    imageedit_3_6102652372.png
    La Figura 4 tiene 3 azulejos amarillos, luego 2 azules, luego 3 amarillos y 2 azules en la fila inferior y 2 azules, 3 amarillos, 2 azules y 3 amarillos en la fila superior.
    1. ¿Cómo crees que se ven las figuras primera y tercera en el patrón?
    2. Describir la décima figura en el patrón.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Meters and Centimeters

    Hay 100 centímetros (cm) en cada metro (m).

    longitud (m) largo (cm)
    \(1\) \(100\)
    \(0.94\)
    \(1.67\)
    \(57.24\)
    \(x\)
    Mesa\(\PageIndex{1}\)
    largo (cm) longitud (m)
    \(100\) \(1\)
    \(250\)
    \(78.2\)
    \(123.9\)
    \(y\)
    Mesa\(\PageIndex{2}\)
    1. Completa cada una de las mesas.
    2. Para cada tabla, encuentra la constante de proporcionalidad.
    3. ¿Cuál es la relación entre estas constantes de proporcionalidad?
    4. Para cada tabla, escriba una ecuación para la relación proporcional. Dejar\(x\) representar una longitud medida en metros y\(y\) representar la misma longitud medida en centímetros.

    ¿Estás listo para más?

    1. ¿Cuántos centímetros cúbicos hay en un metro cúbico?
    2. ¿Cómo se convierte centímetros cúbicos en metros cúbicos?
    3. ¿Cómo se convierte a la otra manera?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Filling a Water Cooler

    A Priya le tomó 5 minutos llenar una hielera con 8 galones de agua de un grifo que fluía a un ritmo constante. Dejar\(w\) ser la cantidad de galones de agua en el enfriador después de\(t\) minutos.

    1. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la relación entre\(w\) y\(t\)? Seleccione todas las que correspondan.
      1. \(w=1.6t\)
      2. \(w=0.625t\)
      3. \(t=1.6w\)
      4. \(t=0.625w\)
    2. ¿Qué te dice 1.6 sobre la situación?
    3. ¿Qué le dice el 0.625 sobre la situación?
    4. Priya cambió la velocidad a la que el agua fluía a través del grifo. Escribe una ecuación que represente la relación de\(w\) y\(t\) cuándo tarda 3 minutos en llenar el enfriador con 1 galón de agua.
    5. ¿El enfriador se llenó más rápido antes o después de que Priya cambiara la velocidad del flujo de agua? Explique cómo sabe.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Feeding Shrimp

    En un acuario, se alimenta a un camarón con\(\frac{1}{5}\) gramo de alimento cada alimentación y se alimenta 3 veces al día.

    1. ¿Cuánta comida se alimenta a un camarón en un día?
    2. Completa la tabla para mostrar cuántos gramos de comida se alimenta el camarón durante diferentes números de días.
      número de días comida en gramos
      \(1\)
      \(7\)
      \(30\)

      \(\PageIndex{3}\)
      clipboard_e0e252d4a93db22e3b314041a080addbb.png
      Figura de mesa\(\PageIndex{1}\)

    3. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Qué nos dice de la situación?
    4. Si cambiáramos las columnas de la tabla, ¿cuál sería la constante de proporcionalidad? Explica tu razonamiento.
    5. \(d\)Úselo por número de días y\(f\) por cantidad de alimento en gramos que come un camarón para escribir dos ecuaciones que representen la relación entre\(d\) y\(f\).
    6. Si un tanque tiene 10 camarones en él, ¿cuánta comida se agrega al tanque cada día?
    7. Si el encargado del acuario tiene 300 gramos de alimento para camarón para este tanque de 10 camarones, ¿cuántos días durará? Explica o muestra tu razonamiento.

    Resumen

    Si Kiran montaba su bicicleta a una constante 10 millas por hora, su distancia en millas\(d\),, es proporcional al número de horas,\(t\), que montó. Podemos escribir la ecuación\(d=10t\). Con esta ecuación, es fácil encontrar la distancia que recorrió Kiran cuando sabemos cuánto tardó porque simplemente podemos multiplicar el tiempo por 10.

    Podemos reescribir la ecuación:

    \[\begin{aligned} d&=10t \\ \left(\frac{1}{10}\right) d&=t\\t&=\left(\frac{1}{10}\right)d \end{aligned}\nonumber\]

    Esta versión de la ecuación nos dice que la cantidad de tiempo que recorrió es proporcional a la distancia que recorrió, y la constante de proporcionalidad lo es\(\frac{1}{10}\). Esa forma es más fácil de usar cuando conocemos su distancia y queremos encontrar cuánto tiempo tardó porque simplemente podemos multiplicar la distancia por\(\frac{1}{10}\).

    Cuando dos cantidades\(x\) y\(y\) están en una relación proporcional, podemos escribir la ecuación\(y=kx\) y decir, “\(y\)es proporcional a”\(x\). En este caso, el número\(k\) es la constante de proporcionalidad correspondiente. También podemos escribir la ecuación\(x=\frac{1}{k}y\) y decir, “\(x\)es proporcional a”\(y\). En este caso, el número\(\frac{1}{k}\) es la constante de proporcionalidad correspondiente. Cada uno puede ser útil dependiendo de la información que tengamos y la cantidad que estamos tratando de averiguar.

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    El cuadro representa la relación entre una longitud medida en metros y la misma longitud medida en kilómetros.

    metros kilómetros
    \(1,000\) \(1\)
    \(3,500\)
    \(500\)
    \(75\)
    \(1\)
    \(x\)
    Mesa\(\PageIndex{4}\)
    1. Completa la tabla.
    2. Escribe una ecuación para convertir el número de metros a kilómetros. Use\(x\) para número de metros y\(y\) para número de kilómetros.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Los bloques de construcción de concreto pesan 28 libras cada uno. Utilizando\(b\) para el número de bloques de hormigón y\(w\) para el peso, escribir dos ecuaciones que relacionen las dos variables. Una ecuación debería comenzar con\(w=\) y la otra debería comenzar con\(b=\).

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Una tienda vende cuerda por metro. La ecuación\(p=0.8L\) representa el precio\(p\) (en dólares) de un trozo de cuerda de nylon de\(L\) metros de largo.

    1. ¿Cuánto cuesta la cuerda de nylon por metro?
    2. ¿Cuánto dura un trozo de cuerda de nylon que cuesta $1.00?

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    La tabla representa una relación proporcional. Encuentra la constante de proporcionalidad y escribe una ecuación para representar la relación.

    \(a\) \(y\)
    \ (a\) ">\(2\) \ (y\) ">\(\frac{2}{3}\)
    \ (a\) ">\(3\) \ (y\) ">\(1\)
    \ (a\) ">\(10\) \ (y\) ">\(\frac{10}{3}\)
    \ (a\) ">\(12\) \ (y\) ">\(4\)
    Mesa\(\PageIndex{5}\)

    Constante de proporcionalidad: __________

    Ecuación:\(y=\)

    (De la Unidad 2.2.1)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    En un mapa de Chicago, 1 cm representa 100 m. Selecciona todas las declaraciones que expresen la misma escala.

    1. 5 cm en el mapa representa 50 m en Chicago.
    2. 1 mm en el mapa representa 10 m en Chicago.
    3. 1 km en Chicago está representado por 10 cm el mapa.
    4. 100 cm en Chicago está representado por 1 m en el mapa.

    (De la Unidad 1.2.2)

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