2.3.1: Comparando Relaciones con Tablas
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Lección
Exploremos en qué se diferencian las relaciones proporcionales de otras relaciones.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Adjusting a Recipe
Una receta de limonada requiere el jugo de 5 limones, 2 tazas de agua y 2 cucharadas de miel.
Inventa cuatro nuevas versiones de esta receta de limonada:
- Uno que haría más limonada pero que saboreara igual que la receta original.
- Uno que haría menos limonada pero que supiera igual que la receta original.
- Uno que tuviera un sabor a limón más fuerte que la receta original.
- Uno que tendría un sabor a limón más débil que la receta original.
Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Visiting the State Park
La entrada a un parque estatal cuesta $6 por vehículo, más $2 por persona en el vehículo.
- ¿Cuánto costaría que un auto con 2 personas entrara al parque? ¿4 personas? ¿10 personas? Registre sus respuestas en la tabla.
número de personas en vehículo costo total de entrada en dólares \(2\) \(4\) \(10\) Mesa\(\PageIndex{1}\) - Por cada fila de la tabla, si cada persona en el vehículo divide el costo de entrada por igual, ¿cuánto pagará cada persona?
- ¿Cómo podrías determinar el costo de entrada para un autobús con 50 personas?
- ¿La relación entre el número de personas y el costo total de entrada es una relación proporcional? Explica cómo sabes.
¿Estás listo para más?
¿Qué ecuación podrías usar para encontrar el costo total de entrada de un vehículo con cualquier número de personas?
Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Running Laps
Han y Clare estaban dando vueltas alrededor de la pista. El entrenador registró sus tiempos al final de las vueltas 2, 4, 6 y 8.
La carrera de Han:
| distancia (vueltas) | tiempo (minutos) | minutos por vuelta |
|---|---|---|
| \(2\) | \(4\) | |
| \(4\) | \(9\) | |
| \(6\) | \(15\) | |
| \(8\) | \(23\) |
La carrera de Clare:
| distancia (vueltas) | tiempo (minutos) | minutos por vuelta |
|---|---|---|
| \(2\) | \(5\) | |
| \(4\) | \(10\) | |
| \(6\) | \(15\) | |
| \(8\) | \(20\) |
- ¿Han corre a un ritmo constante? ¿Clare es? ¿Cómo lo sabes?
- Escribe una ecuación para la relación entre distancia y tiempo para cualquiera que esté corriendo a un ritmo constante.
Resumen
Aquí están los precios de algunos batidos en dos tiendas de batidos diferentes:
Tienda de batidos A
| Tamaño del batido (oz) | precio ($) | dólares por onza |
|---|---|---|
| \(8\) | \(6\) | \(0.75\) |
| \(12\) | \(9\) | \(0.75\) |
| \(16\) | \(12\) | \(0.75\) |
| \(s\) | \(0.75s\) | \(0.75\) |
Tienda de batidos B
| Tamaño del batido (oz) | premio ($) | dólares por onza |
|---|---|---|
| \(8\) | \(6\) | \(0.75\) |
| \(12\) | \(8\) | \(0.67\) |
| \(16\) | \(10\) | \(0.625\) |
| \(s\) | \(???\) | \(???\) |
Para Smoothie Shop A, los batidos cuestan $0.75 por onza sin importar el tamaño que compremos. Podría haber una relación proporcional entre el tamaño del batido y el precio del batido. Una ecuación que representa esta relación es\(p=0.75s\) donde\(s\) representa el tamaño en onzas y\(p\) representa el precio en dólares. (La relación aún no podría ser proporcional, si hubiera un tamaño diferente en el menú que no tuviera el mismo precio por onza).
Para Smoothie Shop B, el costo por onza es diferente para cada tamaño. Aquí la relación entre el tamaño del batido y el precio definitivamente no es proporcional.
En general, dos cantidades en una relación proporcional siempre tendrán el mismo cociente. Cuando vemos algunos valores para dos cantidades relacionadas en una tabla y obtenemos el mismo cociente cuando los dividimos, eso significa que podrían estar en una relación proporcional, pero si no podemos ver todos los pares posibles, no podemos estar completamente seguros. No obstante, si sabemos que la relación puede ser representada por una ecuación es de la forma\(y=kx\), entonces estamos seguros de que es proporcional.
Práctica
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Decidir si cada tabla podría representar una relación proporcional. Si la relación pudiera ser proporcional, ¿cuál sería la constante de proporcionalidad?
- Qué fuerte es un sonido dependiendo de lo lejos que estés.
distancia al oyente (ft) nivel de sonido (dB) \(5\) \(85\) \(10\) \(79\) \(20\) \(73\) \(40\) \(67\) Mesa\(\PageIndex{6}\) - El costo de las bebidas de fuente en Hot Dog Hut.
volumen (onzas líquidas) costo ($) \(16\) \($1.49\) \(20\) \($1.59\) \(30\) \($1.89\) Mesa\(\PageIndex{7}\)
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Un servicio de taxi cobra $1.00 por la primera\(\frac{1}{10}\) milla y luego $0.10 por cada\(\frac{1}{10}\) milla adicional después de eso.
Rellene la tabla con la información faltante para luego determinar si esta relación entre la distancia recorrida y el precio del viaje es una relación proporcional.
| distancia recorrida (mi) | precio (dólares) |
|---|---|
| \(\frac{9}{10}\) | |
| \(2\) | |
| \(3\frac{1}{10}\) | |
| \(10\) |
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Un conejo y una tortuga están en una carrera. ¿La relación entre la distancia recorrida y el tiempo es proporcional para cualquiera de ellos? Si es así, escribe una ecuación que represente la relación.
La carrera de la tortuga:
| distancia (metros) | tiempo (minutos) |
|---|---|
| \(108\) | \(2\) |
| \(405\) | \(7.5\) |
| \(540\) | \(10\) |
| \(1,768.5\) | \(32.75\) |
La carrera del conejo:
| distancia (metros) | tiempo (minutos) |
|---|---|
| \(800\) | \(1\) |
| \(900\) | \(5\) |
| \(1,107.5\) | \(20\) |
| \(1,524\) | \(32.5\) |
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Para cada tabla, responde: ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
| \(a\) | \(b\) |
|---|---|
| \ (a\) ">\(2\) | \ (b\) ">\(14\) |
| \ (a\) ">\(5\) | \ (b\) ">\(35\) |
| \ (a\) ">\(9\) | \ (b\) ">\(63\) |
| \ (a\) ">\(\frac{1}{3}\) | \ (b\) ">\(\frac{7}{3}\) |
| \(a\) | \(b\) |
|---|---|
| \ (a\) ">\(3\) | \ (b\) ">\(60\) |
| \ (a\) ">\(5\) | \ (b\) ">\(600\) |
| \ (a\) ">\(8\) | \ (b\) ">\(960\) |
| \ (a\) ">\(12\) | \ (b\) ">\(1440\) |
| \(a\) | \(b\) |
|---|---|
| \ (a\) ">\(75\) | \ (b\) ">\(3\) |
| \ (a\) ">\(200\) | \ (b\) ">\(8\) |
| \ (a\) ">\(1525\) | \ (b\) ">\(61\) |
| \ (a\) ">\(10\) | \ (b\) ">\(0.4\) |
| \(a\) | \(b\) |
|---|---|
| \ (a\) ">\(4\) | \ (b\) ">\(10\) |
| \ (a\) ">\(6\) | \ (b\) ">\(15\) |
| \ (a\) ">\(22\) | \ (b\) ">\(55\) |
| \ (a\) ">\(3\) | \ (b\) ">\(7\frac{1}{2}\) |
(De la Unidad 2.1.2)
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Kiran y Mai están parados en una esquina de un campo rectangular de pasto mirando la esquina diagonalmente opuesta. Dice Kiran que si el campo fuera el doble de largo y el doble de ancho, entonces sería el doble de la distancia a la esquina más alejada. Mai dice que sería más del doble de distancia, ya que la diagonal es incluso más larga que las longitudes laterales. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos?
(De la Unidad 1.1.4)