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2.3.2: Comparando Relaciones con Ecuaciones

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    119182

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    Lección

    Desarrollemos métodos para decidir si una relación es proporcional.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Notice and Wonder: Patterns with Rectangles

    clipboard_e5b28e8c8c91fdbf54843d0175cee8589.png
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    ¿Ves un patrón? ¿Qué predicciones puedes hacer sobre futuros rectángulos en el conjunto si tu patrón continúa?

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): More Conversions

    El otro día trabajó con la conversión de metros, centímetros y milímetros. Aquí hay algunas conversiones de unidades más.

    1. Utilice la ecuación\(F=\frac{9}{5}C+32\), donde\(F\) representa grados Fahrenheit y\(C\) representa grados Celsius, para completar la tabla.
      temperatura (\(^{\circ}\)C) temperatura (\(^{\circ}\)F)
      \ (^ {\ circ}\) C) ">\(20\) \ (^ {\ circ}\) F) ">
      \ (^ {\ circ}\) C) ">\(4\) \ (^ {\ circ}\) F) ">
      \ (^ {\ circ}\) C) ">\(175\) \ (^ {\ circ}\) F) ">
      Mesa\(\PageIndex{1}\)
    2. Utilice la ecuación\(c=2.54n\), donde\(c\) representa la longitud en centímetros y\(n\) representa la longitud en pulgadas, para completar la tabla.
      longitud (pulg) largo (cm)
      \(10\)
      \(8\)
      \(3\frac{1}{2}\)
      Mesa\(\PageIndex{2}\)
    3. ¿Son estas relaciones proporcionales? Explique por qué o por qué no.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Total Edge Length, Surface Area, and Volume

    Aquí hay algunos cubos con diferentes longitudes laterales. Completa cada tabla. Esté preparado para explicar su razonamiento.

    clipboard_e9e15ffee6ea6468f7fc2cd5114dc89ce.png
    Figura\(\PageIndex{2}\)
    1. ¿Cuál es la longitud total del borde de cada cubo?
      longitud lateral longitud total del borde
      \(3\)
      \(5\)
      \(9\frac{1}{2}\)
      \(s\)
      Mesa\(\PageIndex{3}\)
    2. ¿Cuál es la superficie de cada cubo?
      longitud lateral superficie
      \(3\)
      \(5\)
      \(9\frac{1}{2}\)
      \(s\)
      Mesa\(\PageIndex{4}\)
    3. ¿Cuál es el volumen de cada cubo?
      longitud lateral volumen
      \(3\)
      \(5\)
      \(9\frac{1}{2}\)
      \(s\)
      Mesa\(\PageIndex{5}\)
    4. ¿Cuál de estas relaciones es proporcional? Explica cómo sabes.
    5. Escriba ecuaciones para la longitud total del borde\(E\), el área\(A\) de superficie total y el volumen\(V\) de un cubo con longitud lateral\(s\).

    ¿Estás listo para más?

    1. Un sólido rectangular tiene una base cuadrada con longitud lateral\(l\), altura 8 y volumen\(V\). ¿Es la relación entre\(l\) y\(V\) una relación proporcional?
    2. Un sólido rectangular diferente tiene longitud\(l\), ancho 10, alto 5 y volumen\(V\). ¿Es la relación entre\(l\) y\(V\) una relación proporcional?
    3. ¿Por qué la relación entre la longitud lateral y el volumen es proporcional en una situación y no en la otra?

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\): All Kinds of Equations

    Aquí hay seis ecuaciones diferentes.

    \[\begin{array}{lllll}{y=4+x}&{\qquad}&{y=4x}&{\qquad}&{y=\frac{4}{x}}\\{y=\frac{x}{4}}&{\qquad}&{y=4^{x}}&{\qquad}&{y=x^{4}}\end{array}\nonumber\]

    clipboard_e734db6bfff5e492c1525e29aa510fcdf.png
    Figura\(\PageIndex{3}\)
    1. Predecir cuál de estas ecuaciones representa una relación proporcional.
    2. Completa cada tabla usando la ecuación que representa la relación.
    3. ¿Estos resultados cambian tu respuesta a la primera pregunta? Explica tu razonamiento.
    4. ¿Qué tienen en común las ecuaciones de las relaciones proporcionales?

    Resumen

    Si dos cantidades están en una relación proporcional, entonces su cociente es siempre el mismo. Esta tabla representa diferentes valores de\(a\) y\(b\), dos cantidades que están en una relación proporcional.

    \(a\) \(b\) \(\frac{b}{a}\)
    \ (a\) ">\(20\) \ (b\) ">\(100\) \ (\ frac {b} {a}\) ">\(5\)
    \ (a\) ">\(3\) \ (b\) ">\(15\) \ (\ frac {b} {a}\) ">\(5\)
    \ (a\) ">\(11\) \ (b\) ">\(55\) \ (\ frac {b} {a}\) ">\(5\)
    \ (a\) ">\(1\) \ (b\) ">\(5\) \ (\ frac {b} {a}\) ">\(5\)
    Mesa\(\PageIndex{6}\)

    Observe que el cociente de\(b\) y\(a\) es siempre 5. Para escribir esto como una ecuación, podríamos decir\(\frac{b}{a}=5\). Si esto es cierto, entonces\(b=5a\). (Esto no funciona si\(a=0\), pero funciona de otra manera).

    Si la cantidad\(y\) es proporcional a la cantidad\(x\), siempre veremos este patrón: siempre\(\frac{y}{x}\) tendrá el mismo valor. Este valor es la constante de proporcionalidad, a la que a menudo nos referimos como\(k\). Podemos representar esta relación con la ecuación\(\frac{y}{x}=k\) (siempre y cuando no\(x\) sea 0) o\(y=kx\).

    Tenga en cuenta que si una ecuación no se puede escribir en esta forma, entonces no representa una relación proporcional.

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    La relación entre una distancia en yardas (\(y\)) y la misma distancia en millas (\(m\)) se describe por la ecuación\(y=1760m\).

    1. Encuentra medidas en yardas y millas para distancias completando la tabla.
      distancia medida en millas distancia medida en yardas
      \(1\)
      \(5\)
      \(3,520\)
      \(17,600\)
      Mesa\(\PageIndex{7}\)
    2. ¿Existe una relación proporcional entre una medición en yardas y una medida en millas para la misma distancia? Explique por qué o por qué no.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Decidir si cada ecuación representa o no una relación proporcional.

    1. La longitud restante (\(L\)) de la cuerda de 120\(x\) pulgadas después de que se hayan cortado las pulgadas:\(120-x=L\)
    2. El costo total (\(t\)) después del 8% del impuesto a las ventas se agrega al precio de un artículo (\(p\)):\(1.08p=t\)
    3. El número de canicas que recibe cada hermana (\(x\)) cuando las\(m\) canicas se comparten equitativamente entre cuatro hermanas:\(x=\frac{m}{4}\)
    4. El volumen (\(V\)) de un prisma rectangular cuya altura es de 12 cm y la base es un cuadrado con longitudes laterales\(s\) cm:\(V=12s^{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    1. Usa la ecuación\(y=\frac{5}{2}x\) para completar la tabla.

    ¿Es\(y\) proporcional a\(x\) y\(y\)? Explique por qué o por qué no.

    \(x\) \(y\)
    \ (x\) ">\(2\) \ (y\) ">
    \ (x\) ">\(3\) \ (y\) ">
    \ (x\) ">\(6\) \ (y\) ">
    Mesa\(\PageIndex{8}\)

    2. Usa la ecuación\(y=3.2x+5\) para completar la tabla.

    ¿Es\(y\) proporcional a\(x\) y\(y\)? Explique por qué o por qué no.

    \(x\) \(y\)
    \ (x\) ">\(1\) \ (y\) ">
    \ (x\) ">\(2\) \ (y\) ">
    \ (x\) ">\(4\) \ (y\) ">
    Mesa\(\PageIndex{9}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Para transmitir información en internet, los archivos grandes se rompen en paquetes de tamaños más pequeños. Cada paquete tiene 1,500 bytes de información. Una ecuación que relaciona paquetes con bytes de información viene dada por\(b=1,500p\) donde\(p\) representa el número de paquetes y\(b\) representa el número de bytes de información.

    1. ¿Cuántos paquetes serían necesarios para transmitir 30.000 bytes de información?
    2. ¿Cuánta información podría transmitirse en 30,000 paquetes?
    3. Cada byte contiene 8 bits de información. Escribe una ecuación para representar la relación entre el número de paquetes y el número de bits.

    (De la Unidad 2.2.3)

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