2.4.4: Dos gráficas para cada relación

Lección

Usemos tablas, ecuaciones y gráficas para responder preguntas sobre relaciones proporcionales.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): True or False: Fractions and Decimals

Decice si cada ecuación es verdadera o falsa. Esté preparado para explicar su razonamiento.

1. \(\frac{3}{2}\cdot 16=3\cdot 8\)
2. \(\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}=\frac{6}{4}\div\frac{1}{4}\)
3. \((2.8)\cdot (13)=(0.7)\cdot (52)\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Tables, Graphs, and Equations

Explora la gráfica. Comienza arrastrando la barra gris de la izquierda a través de la pantalla hasta que puedas ver tanto la tabla como la gráfica. Observe los valores en la tabla y las coordenadas del punto etiquetado. Agarra la punta y muévala.

• ¿Qué se queda igual y qué cambios en la tabla? en la ecuación? en la gráfica?
• Elige una fila en la tabla y escríbalo aquí. ¿A qué corresponde esta fila en la gráfica?

Mesa\(\PageIndex{1}\)

\(x\)	\(y\)
\ (x\) ">	\ (y\) ">

Agarra y arrastra el punto hasta que veas la ecuación\(y=\frac{3}{2}x\).

• No mueva el punto. Elija tres filas de la tabla, distintas del origen. Grabar\(x\) y\(y\), y computar\(\frac{y}{x}\).

Mesa\(\PageIndex{2}\)

\(x\)	\(y\)	\(\frac{y}{x}\)
\ (x\) ">	\ (y\) ">	\ (\ frac {y} {x}\) ">
\ (x\) ">	\ (y\) ">	\ (\ frac {y} {x}\) ">
\ (x\) ">	\ (y\) ">	\ (\ frac {y} {x}\) ">

• ¿Qué notas? ¿Qué tiene que ver esto con la ecuación de la línea?
• No mueva el punto. Marque la casilla para ver las coordenadas\((1,?)\). ¿Cuáles son las coordenadas de este punto? ¿A qué corresponde esto en la tabla? ¿A qué corresponde esto en la ecuación?
• Arrastre el punto a una ubicación diferente. Registrar la ecuación de la línea, las coordenadas de tres puntos, y el valor de\(\frac{y}{x}\).

Ecuación de la línea: _______________________________

Mesa\(\PageIndex{3}\)

\(x\)	\(y\)	\(\frac{y}{x}\)
\ (x\) ">	\ (y\) ">	\ (\ frac {y} {x}\) ">
\ (x\) ">	\ (y\) ">	\ (\ frac {y} {x}\) ">
\ (x\) ">	\ (y\) ">	\ (\ frac {y} {x}\) ">

• Con base en sus observaciones, resuma cualquier conexión que vea entre la tabla, las características de la gráfica y la ecuación.

¿Estás listo para más?

La gráfica de una ecuación de la forma\(y=kx\), donde\(k\) es un número positivo, es una línea a través\((0,0)\) y el punto\((1,k)\).

1. Nombra al menos una línea\((0,0)\) que no pueda ser representada por una ecuación como esta.
2. Si pudieras dibujar las gráficas de todas las ecuaciones de esta forma en el mismo plano de coordenadas, ¿cómo se vería?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Hot Dog Eating Contest

Andre y Jada estaban en un concurso de comer perritos calientes. Andre se comió 10 perritos calientes en 3 minutos. Jada comió 12 perritos calientes en 5 minutos.

1. Los puntos mostrados en el primer conjunto de ejes muestran información sobre el consumo de Andre y Jada. ¿Qué punto indica el consumo de Andre? ¿Cuál indica el consumo de Jada? Etiquetarlos.
2. Dibuja dos líneas: una por el origen y el punto de Andre, y otra por el origen y el punto de Jada. Escribe una ecuación para cada línea. Se usa para representar el tiempo en minutos, y para representar el número de hot dogs.
3. Para cada ecuación, ¿qué te dice la constante de proporcionalidad?
4. Los puntos mostrados en el segundo conjunto de ejes muestran información sobre el consumo de Andre y Jada. ¿Qué punto indica el consumo de Andre? ¿Cuál indica el consumo de Jada? Etiquetarlos.
5. Dibuja líneas desde el origen a través de cada uno de los dos puntos. Escribe una ecuación para cada línea. ¿Qué te dice la constante de proporcionalidad en cada caso?

Resumen

Imagina que un grifo está goteando a un ritmo constante y que cada 2 minutos, 10 mililitros de agua gotean del grifo. Existe una relación proporcional entre el volumen de agua y el tiempo transcurrido.

• Podríamos decir que el tiempo transcurrido es proporcional al volumen de agua. La constante correspondiente de proporcionalidad nos dice que el grifo está goteando a una velocidad\(\frac{1}{5}\) de un minuto por mililitro.
• Podríamos decir que el volumen de agua es proporcional al tiempo transcurrido. La constante de proporcionalidad correspondiente nos dice que el grifo está goteando a una velocidad de 5 mililitros por minuto.

Vamos\(v\) a usar para representar el volumen en mililitros y\(t\) para representar el tiempo en minutos. Aquí hay gráficas y ecuaciones que representan ambas formas de pensar sobre esta relación:

Figura\(\PageIndex{1}\): Gráficas de dos líneas: La gráfica de la primera línea tiene un eje V horizontal y un eje t vertical. La línea comienza en el origen y se mueve hacia arriba y hacia la derecha pasando por los puntos con las coordenadas (1, 1/5) y (10, 2). La gráfica está etiquetada con la ecuación t=1/5v. El gráfico de la segunda línea tiene un eje t horizontal y un eje v vertical. La línea comienza en el origen y se mueve hacia arriba y hacia la derecha pasando por los puntos con las coordenadas (1,5) y (2,10). La gráfica está etiquetada con la ecuación v =5t.

A pesar de que la relación entre el tiempo y el volumen es la misma, estamos haciendo una elección diferente en cada caso sobre qué variable ver como la variable independiente. La gráfica de la izquierda tiene\(v\) como variable independiente, y la gráfica de la derecha tiene\(t\) como variable independiente.

Entradas en el glosario

Definición: Plano de coordenadas

El plano de coordenadas es un sistema para indicar dónde están los puntos. Por ejemplo. punto\(R\) se encuentra en\((3,2)\) en el plano de coordenadas, ya que es de tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Definición: Origen

El origen es el punto\((0,0)\) en el plano de coordenadas. Aquí es donde se cruzan el eje horizontal y el eje vertical.

Figura\(\PageIndex{3}\)

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

En el supermercado puedes llenar tu propio contenedor de oso de miel. Un cliente compra 12 oz de miel por $5.40.

1. ¿Cuánto cuesta la miel por onza?
2. ¿Cuánta miel puedes comprar por dólar?
3. Escribe dos ecuaciones distintas que representen esta situación. Use\(h\) para onzas de miel y\(c\) por costo en dólares.

• Elige una de tus ecuaciones y dibuja su gráfica. Asegúrese de etiquetar los ejes.

Figura\(\PageIndex{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

El punto\((3,\frac{6}{5})\) se encuentra en la gráfica que representa una relación proporcional. ¿Cuál de los siguientes puntos también se encuentran en la misma gráfica? Seleccione todas las que correspondan.

1. \((1,0.4)\)
2. \(1.5, \frac{6}{10})\)
3. \(\frac{6}{5},3)\)
4. \((4,\frac{11}{5})\)
5. \((15,6)\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Una receta de trail mix pide 4 tazas de pasas por cada 6 tazas de maní. Existe una relación proporcional entre la cantidad de pasas,\(r\) (tazas), y la cantidad de cacahuetes,\(p\) (tazas), en esta receta.

1. Escribir la ecuación para la relación que tenga constante de proporcionalidad mayor a 1. Grafica la relación.
2. Escribir la ecuación para la relación que tenga constante de proporcionalidad menor a 1. Grafica la relación.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Aquí hay una gráfica que representa una relación proporcional.

Figura\(\PageIndex{5}\)

1. Llegar a una situación que pudiera ser representada por esta gráfica.
2. Etiquete los ejes con las cantidades en su situación.
3. Dale un título a la gráfica.
4. Elija un punto en la gráfica. ¿Qué representan las coordenadas en tu situación?

(De la Unidad 2.4.2)