3.3.1: Distinción de Circunferencia y Área

Lección

Vamos a contrastar circunferencia y área.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Filling the Plate

Acerca de cuántos puffs de queso pueden caber en el plato en una sola capa? Esté preparado para explicar su razonamiento.

Figura\(\PageIndex{1}\): Una imagen de una bandeja con cubierta con una capa de bocanadas circulares de queso. Encima de las bocanadas de queso hay un plato circular con 1 hojaldre de queso colocado en el centro del plato. El diámetro de la placa es aproximadamente el mismo que el ancho de la bandeja. Se utilizan aproximadamente 14 puffs de queso para medir el ancho de la bandeja. Bolas de Queso, de Andrew Stadel. CC BY-SA. Estimación 180. Fuente.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Cart Sort: Circle Problems

Tu profesor te dará tarjetas con preguntas sobre círculos.

1. Ordena las tarjetas en dos grupos en función de si usarías la circunferencia o el área del círculo para responder a la pregunta. Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo.
2. Tu profesor te asignará una tarjeta para examinarla más de cerca. ¿Qué información adicional necesitarías para responder a la pregunta que figura en tu tarjeta?
3. Estima las medidas para el círculo en tu tarjeta.
4. Usa tus estimaciones para calcular la respuesta a la pregunta.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Visual Display of Circle Problem

En la actividad anterior se estimó la respuesta a una pregunta sobre círculos.

Cree una pantalla visual que incluya:

• La pregunta que estabas respondiendo
• Un diagrama de un círculo etiquetado con sus medidas estimadas
• Tu pensamiento, organizado para que otros puedan seguirlo
• Su respuesta, expresada en términos de\(\pi\) y también expresada como aproximación decimal

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Analyzing Circle Claims

Aquí están las respuestas de dos estudiantes para cada pregunta. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica o muestra tu razonamiento.

1. ¿Cuántos pies recorre una persona que recorre una vez alrededor del tiovivo?

Figura\(\PageIndex{2}\)

• Clare dice: “El radio del tiovivo es de aproximadamente 4 pies, por lo que la distancia alrededor del borde es de unos\(8\pi\) pies”.
• Andre dice: “El diámetro del tiovivo es de aproximadamente 4 pies, por lo que la distancia alrededor del borde es de unos\(4\pi\) pies”.

2. ¿Cuánto espacio hay para extender el glaseado sobre la galleta?

Figura\(\PageIndex{3}\)

• Clare dice “El radio de la galleta es de unos 3 centímetros, por lo que el espacio para glasear es de aproximadamente\(6\pi\) cm ²”.
• Andre dice “El diámetro de la galleta es de aproximadamente 3 pulgadas, por lo que el espacio para glasear es aproximadamente\(2.25\pi\) en ²”.

3. ¿Qué tan lejos se mueve el monociclo cuando la rueda hace 5 rotaciones completas?

Figura\(\PageIndex{4}\)

• Dice Clare: “El diámetro de la rueda monociclo es de aproximadamente 0.5 metros. En 5 rotaciones completas irá sobre\(\frac{5}{2}\pi\) m ²”.
• Andre dice: “Estoy de acuerdo con la estimación del diámetro de Clare, pero eso significa que el monociclo irá sobre\(\frac{5}{4}\pi\) m”.

¿Estás listo para más?

Una cabra (punto\(G\)) es atada con una cuerda de 6 pies a la esquina de un cobertizo. El piso del cobertizo es un cuadrado cuyos lados miden cada uno de 3 pies de largo. El cobertizo está cerrado y la cabra no puede entrar. El espacio alrededor del cobertizo es plano, herboso, y la cabra no puede alcanzar ninguna otra estructura u objeto. ¿Cuál es la zona por la que puede deambullar la cabra?

Figura\(\PageIndex{5}\): Cuadrado, longitud lateral = 3 unidades. Caseta cuadrada etiquetada. Segmento de línea desde la esquina superior derecha del cuadrado, corriendo hacia arriba y hacia la derecha en diagonal, termina en el punto etiquetado G. Segmento de línea etiquetado 6.

Resumen

A veces necesitamos encontrar la circunferencia de un círculo, y a veces necesitamos encontrar el área. Aquí hay algunos ejemplos de cantidades relacionadas con la circunferencia de un círculo:

• La longitud de una trayectoria circular.
• La distancia que recorrerá una rueda después de una rotación completa.
• La longitud de un trozo de cuerda enrollada en círculo.

Aquí hay algunos ejemplos de cantidades relacionadas con el área de un círculo:

• La cantidad de tierra que se cultiva en un campo circular.
• La cantidad de glaseado necesario para cubrir la parte superior de un pastel redondo.
• El número de azulejos necesarios para cubrir una mesa redonda.

En ambos casos, el radio (o diámetro) del círculo es todo lo que se necesita para realizar el cálculo. La circunferencia de un círculo con radio\(r\) es\(2\pi r\) mientras su área es\(\pi r^{2}\). La circunferencia se mide en unidades lineales (como cm, in, km) mientras que el área se mide en unidades cuadradas (como cm ², en ², km ²).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Para cada problema, decide si la circunferencia del círculo o el área del círculo es más útil para encontrar una solución. Explica tu razonamiento.

1. Las ruedas de un automóvil giran a 1000 revoluciones por minuto. El diámetro de las llantas es de 23 pulgadas. Quieres saber qué tan rápido está viajando el auto.
2. Una mesa circular de cocina tiene un diámetro de 60 pulgadas. Quieres saber cuánta tela se necesita para cubrir el tablero de la mesa.
3. Un rompecabezas circular mide 20 pulgadas de diámetro. Todas las piezas son aproximadamente del mismo tamaño. Quieres saber cuántas piezas hay en el rompecabezas.
4. Quieres saber cuánto tiempo se tarda en caminar alrededor de un estanque circular.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

La ciudad de París, Francia está completamente contenida dentro de una carretera casi circular que da la vuelta al borde. Usa el mapa con su escala para:

1. Estimar la circunferencia de París.
2. Estimar el área de París.

Figura\(\PageIndex{6}\): Mapa de la ciudad de París, Francia. París está completamente contenido dentro de una carretera casi circular. La escala del mapa indica 1 milla = un segmento de línea que es aproximadamente una sexta parte del diámetro del círculo. Por Oficina del Censo de Estados Unidos. Dominio Público. Buscador de hechos americano. Fuente.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Aquí hay un diagrama de un campo de softbol:

Figura\(\PageIndex{7}\): Un cuarto de círculo que representa el diagrama de un campo de softbol. Una pequeña región circular dentro del cuarto de círculo se etiqueta Infield y una línea discontinua pasa por el centro de la región circular que conecta con dos puntos en su borde está etiquetada 110 pies. El área fuera de la región circular está etiquetada Outfield y la base horizontal del cuarto de círculo está etiquetada como 250 pies.

1. ¿Sobre cuánto tiempo dura la barda alrededor del campo?
2. ¿De qué tan grande es el campo?

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Mientras están en clase de matemáticas, Priya y Kiran idean dos formas de pensar sobre la relación proporcional que se muestra en la tabla.

Mesa\(\PageIndex{1}\)

\(x\)	\(y\)
\ (x\) ">\(2\)	\ (y\) ">?
\ (x\) ">\(5\)	\ (y\) ">\(1750\)

Ambos estudiantes coinciden en que pueden resolver la ecuación\(5k=1750\) para encontrar la constante de proporcionalidad.

• Priya dice: “Puedo resolver esta ecuación dividiendo 1750 por 5”.
• Kiran dice: “Puedo resolver esta ecuación multiplicando 1750 por”\(\frac{1}{5}\).

1. ¿Qué valor\(k\) obtendría cada alumno usando su propio método?
2. ¿Cómo se relacionan los enfoques de Priya y Kiran?
3. Explique cómo cada alumno podría abordar la solución de la ecuación\(\frac{2}{3}k=50\).

(De la Unidad 2.2.2)