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6.1.1: Relaciones entre Cantidades

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    Lección

    Tratemos de resolver algunos nuevos tipos de problemas.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Pricing Theater Popcorn

    Una sala de cine vende palomitas de maíz en bolsas de diferentes tamaños. En la tabla se muestra el volumen de palomitas de maíz y el precio de la bolsa.

    Completa una columna de la tabla con precios donde las palomitas tienen un precio constante. Es decir, la cantidad de palomitas es proporcional al precio de la bolsa. Después completa la otra columna con ejemplos realistas de precios donde la cantidad de palomitas de maíz y el precio de la bolsa no están en proporción.

    volumen de palomitas de maíz (onzas) precio de la bolsa, proporcional ($) precio de la bolsa, no proporcional ($)
    \(10\) \(6\) \(6\)
    \(20\)
    \(35\)
    \(48\)
    Mesa\(\PageIndex{1}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Entrance Fees

    Un parque estatal cobra una tarifa de entrada en función del número de personas en un vehículo. A un auto que contiene 2 personas se le cobran 14 dólares, a un auto que contiene 4 personas se le cobran 20 dólares, y a una camioneta que contiene 8 personas se le cobran 32 dólares.

    1. ¿Cuánto crees que se cobraría a un autobús con 30 personas?
    2. Si a un autobús se le cobran 122 dólares, ¿cuántas personas crees que contiene?
    3. ¿Qué regla crees que utiliza el parque estatal para decidir la entrada de un vehículo?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Making Toast

    Una tostadora tiene 4 ranuras para pan. Una vez que se calienta la tostadora, se necesitan 35 segundos para hacer 4 rebanadas de pan tostado, 70 segundos para hacer 8 rebanadas y 105 segundos para hacer 12 rebanadas.

    1. ¿Cuánto tiempo crees que tardará en hacer 20 rebanadas?
    2. Si alguien hace tantas rebanadas de tostadas como sea posible en 4 minutos y 40 segundos, ¿cuántas rebanadas creen que pueden hacer?

    ¿Estás listo para más?

    ¿Cuál es el número más pequeño que tiene un resto de 1, 2 y 3 cuando se divide por 2, 3 y 4, respectivamente? ¿Hay más números que tengan esta propiedad?

    Resumen

    En gran parte de nuestro trabajo anterior que implicaba relaciones entre dos cantidades, muchas veces pudimos describir las cantidades como mucho más que otra, o tantas veces más que otra. Escribimos ecuaciones como\(x+3=8\) y\(4x=20\) y resolvimos por cantidades desconocidas.

    En esta dependencia, veremos situaciones donde las relaciones entre montos involucran más operaciones. Por ejemplo, una pizzería podría cobrar las cantidades que se muestran en la tabla por entregar pasteles.

    número de tartas costo total en dólares
    \(1\) \(13\)
    \(2\) \(23\)
    \(3\) \(33\)
    \(5\) \(53\)
    Mesa\(\PageIndex{2}\)

    Podemos ver que cada pastel adicional agrega $10 al costo total, y que cada total incluye un costo adicional de $3, tal vez representando una tarifa de envío. En esta situación, costarán 8 tartas\(8\cdot 10+3\) y un costo total de $63 significa que se ordenaron 6 tartas.

    En esta unidad, veremos muchas situaciones como esta, y aprenderemos a usar diagramas y ecuaciones para responder preguntas sobre cantidades desconocidas.

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Lin y Tyler están dibujando círculos. El círculo de Tyler tiene el doble de diámetro que el círculo de Lin. Tyler piensa que su círculo también tendrá el doble de área del círculo de Lin. ¿Estás de acuerdo con Tyler?

    (De la Unidad 3.2.2)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Jada y Priya están tratando de resolver la ecuación\(\frac{2}{3}+x=4\).

    • Dice Jada: “Creo que deberíamos multiplicar cada lado por\(\frac{3}{2}\) porque ese es el recíproco de”\(\frac{2}{3}\).
    • Priya dice: “Creo que deberíamos sumar\(-\frac{2}{3}\) a cada lado porque eso es lo contrario de”\(\frac{2}{3}\).
    1. ¿Cuál es la estrategia de la persona que deben usar? ¿Por qué?
    2. Escribe una ecuación que pueda resolverse usando la estrategia de la otra persona.

    (De la Unidad 5.5.1)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    ¿Cuáles son las operaciones faltantes?

    1. \(48 ? (-8) = (-6)\)
    2. \((-40)?8=(-5)\)
    3. \(12?(-2)=14\)
    4. \(18?(-12)=6\)
    5. \(18?(-20)=-2\)
    6. \(22?(-0.5)=-11\)

    (De la Unidad 5.4.1)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    En el futbol, el equipo que tiene el balón tiene cuatro oportunidades de ganar al menos diez yardas. Si no ganan al menos diez yardas, el otro equipo recibe el balón. Los números positivos representan una ganancia y los números negativos representan una pérdida. Selecciona todas las secuencias de cuatro jugadas que resulten en que el equipo consiga quedarse con el balón.

    1. \(8, -3, 4, 21\)
    2. \(30, -7, -8, -12\)
    3. \(2, 16, -5, -3\)
    4. \(5, -2, 20, -1\)
    5. \(20, -3, -13, 2\)

    (De la Unidad 5.4.2)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Una tienda de sándwiches cobra $20 por tener 3 subs de pavo entregados y $26 por tener 4 entregados.

    1. ¿La relación entre el número de submarinos de pavo entregados y el monto cobrado es proporcional? Explique cómo sabe.
    2. ¿Cuánto cobra la tienda por 1 sub de pavo adicional?
    3. Describa una regla para determinar cuánto cobra la tienda en función del número de submarinos de pavo entregados.

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    ¿Qué pregunta no puede ser respondida por la solución a la ecuación\(3x=27\)?

    1. Elena leyó tres veces más páginas que Noé. Ella leyó 27 páginas. ¿Cuántas páginas leyó Noé?
    2. Lin tiene 27 pegatinas. Ella le da 3 pegatinas a cada una de sus amigas. ¿Con cuántos amigos compartió Lin sus pegatinas?
    3. Diego pagó $27 para que se entregaran 3 pizzas y 35 dólares para que se entregaran 4 pizzas. ¿Cuál es el precio de una pizza?
    4. El entrenador divide a un equipo de 27 alumnos en 3 grupos para practicar habilidades. ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo?

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