6.4.5: Combinar términos similares (Parte 3)

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Lección

Veamos cómo podemos combinar términos en una expresión para escribirla con menos términos.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Are They Equal?

Seleccione todas las expresiones que sean iguales a$8-12-(6+4)$.

$8-6-12+4$
$8-12-6-4$
$8-12+(6+4)$
$8-12-6+4$
$8-4-12-6$

Ejercicio$\PageIndex{2}$: X's and Y's

Haga coincidir cada expresión en la columna A con una expresión equivalente de la columna B. Esté preparado para explicar su razonamiento.

$(9x+5y)+(3x+7y)$
$(9x+5y)-(3x+7y)$
$(9x+5y)-(3x-7y)$
$9x-7y+3x+5y$
$9x-7y+3x-5y$
$9x7y-3x-5y$

$12(x+y)$
$12(x-y)$
$6(x-2y)$
$9x+5y+3x-7y$
$9x+5y-3x+7y$
$9x-3x+5y-7y$

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Seeing Structure and Factoring

Escribe cada expresión con menos términos. Muestre o explique su razonamiento.

$3\cdot 15+4\cdot 15-5\cdot 15$
$3x+4x-5x$
$3(x-2)+4(x-2)-5(x-2)$
$3(\frac{5}{2}x+6\frac{1}{2})+4(\frac{5}{2}x+5\frac{1}{2})-5(\frac{5}{2}x+6\frac{1}{2})$

Resumen

Combinar términos similares es una estrategia útil que veremos una y otra vez en nuestro trabajo futuro con expresiones matemáticas. Es útil revisar las cosas que hemos aprendido sobre este importante concepto.

Combinar términos similares es una aplicación de la propiedad distributiva. Por ejemplo:

$\begin{array}{c}{2x+9x}\\{(2+9)\cdot x} \\ {11x}\end{array}$

A menudo también involucra las propiedades conmutativas y asociativas para cambiar el orden o agrupación de la suma. Por ejemplo:

$\begin{array}{c}{2a+3b+4a+5b}\\{2a+4a+3b+5b}\\{(2a+4a)+(3b+5b)}\\{6a+8b}\end{array}$

No podemos cambiar el orden o la agrupación al restar; así que para aplicar las propiedades conmutativas o asociativas a expresiones con resta, necesitamos reescribir la resta como suma. Por ejemplo:

$\begin{array}{c}{2a-3b-4a-5b}\\{2a+-3b+-4a+-5b}\\{2a+-4a+-3b+-5b}\\{-2a+-8b}\\{-2a-8b}\end{array}$

Dado que la combinación de términos similares usa propiedades de operaciones, resulta en expresiones que son equivalentes.
Los términos similares que se combinan no tienen que ser un solo número o variable; también pueden ser expresiones más largas. Los términos se pueden combinar en cualquier suma donde haya un factor común en todos los términos. Por ejemplo, cada término en la expresión$5(x+3)-0.5(x+3)+2(x+3)$ tiene un factor de$(x+3)$. Podemos reescribir la expresión con menos términos usando la propiedad distributiva:

$\begin{array}{c}{5(x+3)-0.5(x+3)+2(x+3)}\\{(5-0.5+2)(x+3)}\\{6.5(x+3)}\end{array}$

Entradas en el glosario

Definición: Expandir

Para expandir una expresión, usamos la propiedad distributiva para reescribir un producto como suma. La nueva expresión es equivalente a la expresión original.

Por ejemplo, podemos expandir la expresión$5(4x+7)$ para obtener la expresión equivalente$20x+35$.

Definición: Factor (una expresión)

Para factorizar una expresión, utilizamos la propiedad distributiva para reescribir una suma como producto. La nueva expresión es equivalente a la expresión original.

Por ejemplo, podemos factorizar la expresión$20x+35$ para obtener la expresión equivalente$5(4x+7)$.

Definición: Término

Un término es parte de una expresión. Puede ser un solo número, una variable, o un número y una variable que se multiplican entre sí. Por ejemplo, la expresión$5x+18$ tiene dos términos. El primer término es$5x$ y el segundo es 18.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Jada dice: “Puedo decir que eso$\frac{-2}{3}(x+5)+4(x=5)-\frac{10}{3}(x+5)$ equivale a 0 con solo mirarlo”. ¿Jada es correcta? Explique cómo sabe.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

En cada fila, decida si la expresión en la columna A es equivalente a la expresión en la columna B. Si no son equivalentes, mostrar cómo cambiar una expresión para que sean equivalentes.

$3x-2x+0.5x$
$3(x+4)-2(x+4)$
$6(x+4)-2(x+5)$
$3(x+4)-2(x+4)+0.5(x+4)$
$20(\frac{2}{5}x+\frac{3}{4}y-\frac{1}{2})$

$1.5x$
$x+3$
$2(2x+7)$
$2(2x+7)$
$1.5$
$\frac{1}{2}(16x+30y-20)$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Para cada situación, escribir una expresión para el nuevo saldo utilizando el menor número de términos posible.

Una cuenta corriente tiene un saldo de -$126.89. Un cliente realiza dos depósitos, uno$3\frac{1}{2}$ por el otro, y luego retira $25.
Una cuenta corriente tiene un saldo de $350. Un cliente realiza dos retiros, uno $50 más que el otro. Después hace un depósito de 75 dólares.

(De la Unidad 6.4.3)

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Tyler está usando la propiedad distributiva en la expresión$9-4(5x-6)$. Aquí está su trabajo:

$9-4(5x-6)$

$9+(-4)(5x+-6)$

$9+-20x+-6$

$3-20x$

Mai piensa que la respuesta de Tyler es incorrecta. Ella dice: “Si las expresiones son equivalentes entonces son iguales para cualquier valor de la variable. ¿Por qué no intentas sustituir el mismo valor$x$ en todas las ecuaciones y ver dónde no son iguales?”

Encuentra el paso donde Tyler cometió un error.
Explique lo que hizo mal.
Corregir el trabajo de Tyler.

(De la Unidad 6.4.4)

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Si$(11+x)$ es positivo, pero$(4+x)$ es negativo, ¿cuál es un número que$x$ podría ser?
Si$(-3+y)$ es positivo, pero$(-9+y)$ es negativo, ¿cuál es un número que$y$ podría ser?
Si$(-5+z)$ es positivo, pero$(-6+z)$ es negativo, ¿cuál es un número que$z$ podría ser?

(De la Unidad 6.3.1)

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