Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

7.3.6: Aplicación de Volumen y Superficie

  1. Última actualización
  2. Guardar como PDF
  • Page ID
    119389

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Lección

    Exploremos cosas que son proporcionales al volumen o área de superficie.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): You Decide

    Para cada situación, decida si requiere que Noé calcule el área superficial o el volumen. Explica tu razonamiento.

    1. Noé planea pintar la casa para pájaros que construyó. No está seguro si tiene suficiente pintura.
    2. Noah planea usar una caja con una base trapezoidal para sostener la arcilla de modelar. No está seguro de si la arcilla cabrá en la caja.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Foam Play Structure

    En una guardería, Kiran ve a niños trepándose en esta estructura de juego de espuma.

    clipboard_ee05a0ccfb3d0e8039d4053b5f0bf31b2.png
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Kiran está pensando en construir una estructura como esta para que jueguen sus primos menores.

    1. Toda la estructura está hecha de espuma suave para que los niños no se lastimen. ¿Cuánta espuma necesitaría Kiran para construir esta estructura de juego?
    2. Toda la estructura está cubierta con vinil por lo que es fácil de limpiar con un paño. ¿Cuánto vinilo necesitaría Kiran para construir esta estructura de juego?
    3. La espuma cuesta 0.8¢ por cada 3. Aquí hay una tabla que enumera los costos de diferentes cantidades de vinil. ¿Cuál es el costo total de toda la espuma y vinilo necesarios para construir esta estructura de juego?
    vinil (en 2) costo ($)
    \(75\) \(0.45\)
    \(125\) \(0.75\)
    Mesa\(\PageIndex{1}\)

    ¿Estás listo para más?

    Cuando examina más de cerca la estructura de juego, Kiran se da cuenta de que en realidad son dos piezas separadas las que están una al lado de la otra.

    clipboard_e22dc69b2dcdcd2b3065223419127432a.png
    Figura\(\PageIndex{2}\)
    1. ¿Cómo afecta esto a la cantidad de espuma en la estructura del juego?
    2. ¿Cómo afecta esto a la cantidad de vinilo que cubre la estructura del juego?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Filling the Sandbox

    La guardería cuenta con dos cajas de arena que son ambos prismas con hexágonos regulares como sus bases. La caja de arena más pequeña tiene un área base de 1,146 en 2 y está llena de arena a 10 pulgadas de profundidad.

    clipboard_ed698f1ef96e05950c9702e2bc7b809ba.png
    Figura\(\PageIndex{3}\)
    1. Se necesitaron 14 bolsas de arena para llenar el pequeño arenero a esta profundidad. ¿Qué volumen de arena viene en una bolsa? (Redondear a la pulgada cúbica entera más cercana.)
    2. El encargado de la guardería quiere agregar 3 pulgadas más a la profundidad de la arena en el pequeño arenero. ¿Cuántas bolsas de arena necesitarán para comprar?
    3. El encargado de la guardería también quiere agregar 3 pulgadas más a la profundidad de la arena en el gran arenero. La base del sandbox grande es una copia a escala de la base del sandbox pequeño, con un factor de escala de 1.5. ¿Cuántas bolsas de arena necesitarán comprar para el arenero grande?
    4. Una tienda de césped y jardín está vendiendo 6 bolsas de arena por $19.50. ¿Cuánto van a gastar para comprar toda la arena nueva para ambas cajas de arena?

    Resumen

    Supongamos que quisiéramos hacer un banco de concreto como el que se muestra en esta imagen. Si sabemos que el banco terminado tiene un volumen de 10 pies 3 y una superficie de 44 pies 2 podemos usar esta información para resolver problemas sobre el banco.

    clipboard_e52107402358c4a34d464917ed1fa603c.png
    Figura\(\PageIndex{4}\): “Asientos de concreto, parque de bolsillo de la calle Balfour”, de Didiunsw (Obra propia). CC BY-SA 4.0. Wikimedia Commons. Fuente.

    Por ejemplo,

    • ¿Cuánto pesa la banqueta?
    • ¿Cuánto tiempo se tarda en limpiar toda la banca?
    • ¿Cuánto costarán los materiales para construir el banco y pintarlo?

    Para averiguar cuánto pesa la banqueta, podemos usar su volumen, 10 pies 3. El concreto pesa alrededor de 150 libras por pie cúbico, por lo que esta banqueta pesa alrededor de 1,500 libras, porque\(10\cdot 150=1,500\).

    Para averiguar cuánto tiempo se tarda en limpiar la banca, podemos usar su área de superficie, 44 pies 2. Si a una persona le toma aproximadamente 2 segundos por pie cuadrado limpiar una superficie, entonces tardaría unos 88 segundos en limpiar este banco, porque\(44\cdot 2=88\). Puede tardar un poco menos de 88 segundos, ya que las superficies donde el banco está tocando el suelo no necesitan ser limpiadas.

    ¿Utilizaría el volumen o la superficie de la banqueta para calcular el costo del concreto necesario para construir este banco? Y por el costo de la pintura?

    Entradas en el glosario

    Definición: Base (de un prisma o pirámide)

    La palabra base también puede referirse a una cara de un poliedro.

    Un prisma tiene dos bases idénticas que son paralelas. Una pirámide tiene una base.

    Un prisma o pirámide recibe el nombre de la forma de su base.

    clipboard_e191330f676dc1795f7b292f84e886054.png
    Figura\(\PageIndex{5}\): La figura de la izquierda está etiquetada como prisma pentagonal. Hay dos pentágonos idénticos en la parte superior e inferior. Cada vértice de un pentágono está conectado por un segmento vertical al vértice correspondiente de los otros pentágonos. Los pentágonos están cada uno sombreados, con la base de la palabra apuntando a cada uno. La figura de la derecha está etiquetada como pirámide hexagonal. Hay un hexágono en la parte inferior sombreada de color verde. Desde un punto por encima del hexágono se extienden 6 segmentos, cada uno conectado a un vértice del hexágono.

    Definición: Sección transversal

    Una sección transversal es la nueva cara que ves cuando recortas una figura tridimensional.

    Por ejemplo, si corta una pirámide rectangular paralela a la base, obtiene un rectángulo más pequeño como sección transversal.

    Definición: Prisma

    Un prisma es un tipo de poliedro que tiene dos bases que son copias idénticas entre sí. Las bases están conectadas por rectángulos o paralelogramos.

    Aquí algunos dibujos de prismas.

    clipboard_e7e6a728838af063c32f37472e750bf6f.png
    Figura\(\PageIndex{6}\)

    Definición: Pyramid

    Una pirámide es un tipo de poliedro que tiene una base. Todas las demás caras son triángulos, y todas se encuentran en un solo vértice.

    Aquí algunos dibujos de pirámides.

    clipboard_e40b1f91f22c07794b62aa432821c1e64.png
    Figura\(\PageIndex{7}\)

    Definición: Superficie

    El área superficial de un poliedro es el número de unidades cuadradas que cubren todas las caras del poliedro, sin huecos ni superposiciones.

    Por ejemplo, si las caras de un cubo tienen cada una un área de 9 cm 2, entonces la superficie del cubo es\(6\cdot 9\), o 54 cm 2.

    Definición: Volumen

    Volumen es el número de unidades cúbicas que llenan una región tridimensional, sin huecos ni superposiciones.

    Por ejemplo, el volumen de este prisma rectangular es de 60 unidades 3, debido a que está compuesto por 3 capas que son cada una de 20 unidades 3.

    clipboard_e0713f90c2acc984585cdb88d13e6e803.png
    Figura\(\PageIndex{8}\)

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Un arquitecto paisajista está diseñando una piscina que tiene esta vista superior:

    clipboard_e1723d01b531fc664a721461173d27f5a.png
    Figura\(\PageIndex{9}\)
    1. ¿Cuánta agua se necesitará para llenar esta piscina de 4 pies de profundidad?
    2. Antes de llenar la alberca, se alinea con un forro de plástico. ¿Cuánto forro se necesita para esta piscina?
    3. Aquí están los precios de diferentes cantidades de forro de plástico. ¿Cuánto costará todo el forro de plástico para la piscina?
    forro de plástico (ft 2) costo ($)
    \(25\) \(3.75\)
    \(50\) \(7.50\)
    \(75\) \(11.25\)
    Mesa\(\PageIndex{2}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Sombra en una base del prisma trapezoidal. (La base no es lo mismo que la parte inferior.)

    1. Encuentra el área de la base que sombreaste.
    2. Encuentra el volumen de este prisma trapezoidal.
    clipboard_e4aaacdcc88bc55aa265b3579e1918b9b.png
    Figura\(\PageIndex{10}\)

    (De la Unidad 7.3.3)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Para cada diagrama, decidir si\(y\) es un aumento o una disminución de\(x\). Después determinar el porcentaje que\(x\) aumentó o disminuyó para resultar en\(y\).

    clipboard_ec0d818bfb19b0bd0a55f7ac1f6e632a3.png
    Figura\(\PageIndex{11}\)
    clipboard_e91094b1b2491957af2dedbf2acb9efb3.png
    Figura\(\PageIndex{12}\)
    clipboard_edd8b1f5a1b2456f729287ac38e43d4a9.png
    Figura\(\PageIndex{13}\)
    clipboard_e1acb609e626dca4e135909fbd62005ae.png
    Figura\(\PageIndex{14}\)

    (De la Unidad 4.2.4)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Noah está de visita a su tía en Texas. Quiere comprar una hebilla de cinturón cuyo precio es de 25 dólares. Sabe que el impuesto a las ventas en Texas es de 6.25%.

    1. ¿Cuánto va a ser el impuesto sobre la hebilla del cinturón?
    2. ¿Cuánto gastará Noé en la hebilla del cinturón incluyendo el impuesto?
    3. Escribir una ecuación que represente el costo total,\(c\), de un artículo cuyo precio es\(p\).

    (De la Unidad 4.3.1)

    This page titled 7.3.6: Aplicación de Volumen y Superficie is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Illustrative Mathematics.