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7.3.5: Distinguir el volumen y la superficie

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    Lección

    Trabajemos con el área de superficie y el volumen en contexto.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): THe Science Fair

    La maestra de ciencias de Mai le dijo que cuando hay más hielo tocando el agua en un vaso, el hielo se derrite más rápido. Ella quiere probar esta afirmación por lo que diseña su proyecto de feria de ciencias para determinar si el hielo picado o los cubitos de hielo se derretirán más rápido en una bebida.

    Comienza con dos tazas de agua tibia. En una taza, pone un cubito de hielo. En una segunda taza, pone hielo picado con el mismo volumen que el cubo. ¿Cuál es tu hipótesis? ¿El cubito de hielo o el hielo triturado se derretirán más rápido, o se derretirán al mismo ritmo? Explica tu razonamiento.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Revisiting the Box of Chocolates

    El otro día, calculaste el volumen de esta caja de chocolates en forma de corazón.

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    La profundidad de la caja es de 2 pulgadas. ¿Cuánto cartón se necesita para crear la caja?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Card Sort: Surface Area or Volume

    Tu profesor te dará tarjetas con diferentes figuras y preguntas sobre ellas.

    1. Clasifique las tarjetas en dos grupos en función de si tendría más sentido pensar en la superficie o en el volumen de la figura al responder a la pregunta. Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo.
    2. Tu profesor te asignará una tarjeta para examinarla más de cerca. ¿Qué información adicional necesitarías para poder responder a la pregunta que figura en tu tarjeta?
    3. Estima medidas razonables para la cifra que figura en tu tarjeta.
    4. Usa tus medidas estimadas para calcular la respuesta a la pregunta.

    ¿Estás listo para más?

    Un pastel tiene la forma de un prisma cuadrado. La parte superior mide 20 centímetros por cada lado, y el pastel mide 10 centímetros de altura. Tiene glaseado en los lados y en la parte superior, y una sola vela en la parte superior en el centro exacto de la plaza. Tienes un cuchillo y una regla de 20 centímetros.

    1. Encuentra una manera de cortar el pastel en 4 porciones justas, para que las 4 porciones tengan la misma cantidad de pastel y glaseado.
    2. Encuentra otra forma de cortar el pastel en 4 raciones justas.
    3. Encuentra la manera de cortar el pastel en 5 raciones justas.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\): A Wheelbarrow of Concrete

    Se está utilizando una carretilla para transportar concreto húmedo. Aquí están sus dimensiones.

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    Figura\(\PageIndex{2}\)
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    Figura\(\PageIndex{3}\)
    1. ¿Qué volumen de concreto se necesitaría para llenar la bandeja?
    2. Después de arrojar el concreto húmedo, se nota que se deja una película delgada en el interior de la bandeja. ¿Cuál es el área del concreto que recubre la bandeja? (Recuerda, no hay top.)

    Resumen

    A veces necesitamos encontrar el volumen de un prisma, y a veces necesitamos encontrar el área de superficie.

    Aquí hay algunos ejemplos de cantidades relacionadas con el volumen:

    • Cuánta agua puede contener un recipiente
    • Cuánto material se necesitó para construir un objeto sólido

    El volumen se mide en unidades cúbicas, como en 3 o m 3.

    Aquí hay algunos ejemplos de cantidades relacionadas con la superficie:

    • Cuánta tela se necesita para cubrir una superficie
    • Cuánto de un objeto necesita ser pintado

    La superficie se mide en unidades cuadradas, como en 2 o m 2.

    Entradas en el glosario

    Definición: Base (de un prisma o pirámide)

    La palabra base también puede referirse a una cara de un poliedro.

    Un prisma tiene dos bases idénticas que son paralelas. Una pirámide tiene una base.

    Un prisma o pirámide recibe el nombre de la forma de su base.

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    Figura\(\PageIndex{4}\): La figura de la izquierda está etiquetada como prisma pentagonal. Hay dos pentágonos idénticos en la parte superior e inferior. Cada vértice de un pentágono está conectado por un segmento vertical al vértice correspondiente de los otros pentágonos. Los pentágonos están cada uno sombreados, con la base de la palabra apuntando a cada uno. La figura de la derecha está etiquetada como pirámide hexagonal. Hay un hexágono en la parte inferior sombreada de color verde. Desde un punto por encima del hexágono se extienden 6 segmentos, cada uno conectado a un vértice del hexágono.

    Definición: Sección transversal

    Una sección transversal es la nueva cara que ves cuando cortas una figura tridimensional.

    Por ejemplo, si corta una pirámide rectangular paralela a la base, obtiene un rectángulo más pequeño como sección transversal.

    Definición: Prisma

    Un prisma es un tipo de poliedro que tiene dos bases que son copias idénticas entre sí. Las bases están conectadas por rectángulos o paralelogramos.

    Aquí algunos dibujos de prismas.

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    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Definición: Pyramid

    Una pirámide es un tipo de poliedro que tiene una base. Todas las demás caras son triángulos, y todas se encuentran en un solo vértice.

    Aquí algunos dibujos de pirámides.

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    Figura\(\PageIndex{6}\)

    Definición: Superficie

    El área superficial de un poliedro es el número de unidades cuadradas que cubren todas las caras del poliedro, sin huecos ni superposiciones.

    Por ejemplo, si las caras de un cubo tienen cada una un área de 9 cm 2, entonces la superficie del cubo es\(6\cdot 9\), o 54 cm 2.

    Definición: Volumen

    Volumen es el número de unidades cúbicas que llenan una región tridimensional, sin huecos ni superposiciones.

    Por ejemplo, el volumen de este prisma rectangular es de 60 unidades 3, debido a que está compuesto por 3 capas que son cada una de 20 unidades 3.

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    Figura\(\PageIndex{7}\)

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Aquí está la base de un prisma.

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    Figura\(\PageIndex{8}\)
    1. Si la altura del prisma es de 5 cm, ¿cuál es su superficie? ¿Cuál es su volumen?
    2. Si la altura del prisma es de 10 cm, ¿cuál es su superficie? ¿Cuál es su volumen?
    3. Cuando la altura se duplicó, ¿cuál fue el incremento porcentual para la superficie? ¿Para el volumen?

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Seleccionar todas las situaciones en las que conocer el volumen de un objeto sería más útil que conocer su superficie.

    1. Determinar la cantidad de pintura necesaria para pintar un granero.
    2. Determinar el valor monetario de una pieza de joyería de oro.
    3. Llenar un acuario con cubetas de agua.
    4. Decidir cuánto papel de envolver necesitará un regalo.
    5. Empaque una caja con sandías para su envío.
    6. Cobrar a una empresa por espacio publicitario en tu auto de carreras.
    7. Medir la cantidad de gasolina que queda en el tanque de un tractor.

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Han dibuja un triángulo con un\(50^{\circ}\) ángulo, un\(40^{\circ}\) ángulo y un lado de longitud de 4 cm como se muestra. ¿Se puede dibujar un triángulo diferente con las mismas condiciones?

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    Figura\(\PageIndex{9}\)

    (De la Unidad 7.2.4)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \(H\)El ángulo es la mitad de grande que el ángulo\(J\). \(J\)El ángulo es un cuarto más grande que el ángulo\(K\). Ángulo\(K\) tiene medida 240 grados. ¿Cuál es la medida del ángulo\(H\)?

    (De la Unidad 7.1.3)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    La bandera del estado de Colorado consta de tres franjas horizontales de igual altura. Las longitudes laterales de la bandera están en la proporción\(2:3\). El diámetro del disco de color dorado es igual a la altura de la franja central. ¿Qué porcentaje de la bandera es oro?

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    Figura\(\PageIndex{10}\)

    (De la Unidad 4.2.4)

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