7.1: Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades

En el último capítulo, resolvimos ecuaciones trigonométricas básicas. En esta sección, exploramos las técnicas necesarias para resolver ecuaciones trigonométricas más complicadas. Construir a partir de lo que ya sabemos hace que esta sea una tarea mucho más fácil.

Considera la función\(f(x)=2x^{2} +x\). Si te pidieron que resolvieras\(f(x)=0\), requiere álgebra simple:

\[2x^{2} +x=0\nonumber\]Soluciones de Factor
\[x(2x+1)=0\nonumber\] Giving
\[x = 0\text{ or }x = -\dfrac{1}{2}\nonumber\]

Del mismo modo\(g(t)=\sin (t)\), pues, si te pedimos que resolvieras\(g(t)=0\), puedes resolver esto usando valores de círculo unitario:

\[\sin (t)=0\text{ for }t=0, \pi , 2\pi\text{ and so on.}\nonumber\]

Usando estos mismos conceptos, consideramos la composición de estas dos funciones:

\[f(g(t))=2(\sin (t))^{2} +(\sin (t))=2\sin ^{2} (t)+\sin (t)\nonumber\]

Esto crea una ecuación que es una función trigonómica polinómica. Con este tipo de funciones, utilizamos técnicas algebraicas como el factoring y la fórmula cuadrática, junto con identidades y técnicas trigonométricas, para resolver ecuaciones.

Como recordatorio, estas son algunas de las identidades trigonométricas esenciales que hemos aprendido hasta ahora:

Definiciones: IDENTIDADES

Identidades pitagóricas

\[\cos ^{2} (t)+\sin ^{2} (t)=1\quad 1+\cot ^{2} (t)=\csc ^{2} (t)\quad 1+\tan ^{2} (t)=\sec ^{2} (t)\]

Identidades de ángulo negativo

\[\sin (-t)=-\sin (t)\quad \cos (-t)=\cos (t)\quad \tan (-t)=-\tan (t)\]

\[\csc (-t)=-\csc (t)\quad \sec (-t)=\sec (t)\quad \cot (-t)=-\cot (t)\]

Identidades recíprocas

\[\sec (t)=\dfrac{1}{\cos (t)}\quad \csc (t)=\dfrac{1}{\sin (t)}\quad \tan (t)=\dfrac{\sin (t)}{\cos (t)}\quad \cot (t)=\dfrac{1}{\tan (t)}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resuelve\(2\sin ^{2} (t)+\sin (t)=0\) para todas las soluciones con\(0\le t<2\pi\).

Solución

Esta ecuación parece una ecuación cuadrática, pero con sin (t) en lugar de una variable algebraica (a menudo llamamos a tal ecuación “cuadrática en seno”). Al igual que con todas las ecuaciones cuadráticas, podemos utilizar técnicas de factorización o la fórmula cuadrática. Esta expresión influye muy bien, así que procedemos factorizando el factor común del pecado (\(t\)):

\[\sin (t)\left(2\sin (t)+1\right)=0\nonumber\]

Usando el teorema del producto cero, sabemos que el producto de la izquierda será igual a cero si cualquiera de los factores es cero, lo que nos permite dividir esta ecuación en dos casos:

\[\sin (t)=0\text{ or }2\sin (t)+1=0\nonumber\]

Podemos resolver cada una de estas ecuaciones de forma independiente, utilizando nuestro conocimiento de ángulos especiales.

\[\sin (t)=0\nonumber\]
\[2\sin (t)+1=0\nonumber\]
\[t = 0\text{ or }t = \pi\nonumber\]
\[\sin (t)=-\dfrac{1}{2}\nonumber\]
\[t=\dfrac{7\pi }{6}\text{ or }t=\dfrac{11\pi }{6}\nonumber\]

Juntos, esto nos da cuatro soluciones a la ecuación sobre\(0\le t<2\pi\):

\[t=0,\pi ,\dfrac{7\pi }{6} ,\dfrac{11\pi }{6}\nonumber\]

Podríamos verificar que estas respuestas sean razonables graficando la función y comparando los ceros.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resuelve\(3\sec ^{2} (t)-5\sec (t)-2=0\) para todas las soluciones con\(0\le t<2\pi\).

Solución

Dado que el lado izquierdo de esta ecuación es cuadrático en secante, podemos tratar de factorizarlo, y esperar que factive amablemente.

Si es más fácil para usted considerar factorizar sin la función trig presente, considere usar una sustitución\(u=\sec (t)\), resultando en\(3u^{2} -5u-2=0\), y luego intente factorizar:

\[3u^{2} -5u-2=(3u+1)(u-2)\nonumber\]

Deshaciendo la sustitución,

\[(3\sec (t)+1)(\sec (t)-2)=0\nonumber\]

Ya que tenemos un producto igual a cero, lo dividimos en los dos casos y resolvemos cada uno por separado.

\[3\sec (t)+1=0\nonumber\]Aislar la secante
\[\sec (t)=-\dfrac{1}{3}\nonumber\] Reescritura como coseno
\[\dfrac{1}{\cos (t)} =-\dfrac{1}{3}\nonumber\] Invertir ambos lados
\[\cos (t)=-3\nonumber\]

Dado que el coseno tiene un rango de [-1, 1], el coseno nunca tomará una salida de -3. No hay soluciones a este caso.

Continuando con el segundo caso,

\[\sec (t)-2=0\nonumber\]Aislar la secante
\[\sec (t)=2\nonumber\] Reescribir como coseno
\[\dfrac{1}{\cos (t)} =2\nonumber\] Invertir ambos lados
\[\cos (t)=\dfrac{1}{2}\nonumber\] Esto da dos soluciones
\[t=\dfrac{\pi }{3}\text{ or }t=\dfrac{5\pi }{3}\nonumber\]

Estas son las únicas dos soluciones en el intervalo.

Al utilizar la tecnología para graficar\(f(t)=3\sec ^{2} (t)-5\sec (t)-2\), una mirada a una gráfica confirma que solo hay dos ceros para esta función en el intervalo [0, 2\(\pi\)), lo que nos asegura que no nos perdimos nada.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Resuelve\(2\sin ^{2} (t)+3\sin (t)+1=0\) para todas las soluciones con\(0\le t<2\pi\).

Contestar

Factorizar como\[\left(2\sin (t)+1\right)\left(\sin (t)+1\right)=0\nonumber\]
\[2\sin (t)+1=0\text{ at }t=\dfrac{7\pi }{6} ,\dfrac{11\pi }{6}\nonumber\]
\[\sin (t)+1=0\text{ at }t=\dfrac{3\pi }{2}\nonumber\]
\[t=\dfrac{7\pi }{6} ,\dfrac{3\pi }{2} ,\dfrac{11\pi }{6}\nonumber\]

Al resolver algunas ecuaciones trigonométricas, se hace necesario reescribir primero la ecuación usando identidades trigonométricas. Una de las más comunes es la Identidad Pitagórica,\(\sin ^{2} (\theta )+\cos ^{2} (\theta )=1\) que permite reescribir\(\sin ^{2} (\theta )\) en términos de\(\cos ^{2} (\theta )\) o viceversa,

IDENTIDADES

Formas Alternos de la Identidad Pitagórica

\[\begin{array}{l} {\sin ^{2} (\theta )=1-\cos ^{2} (\theta )} \\ {\cos ^{2} (\theta )=1-\sin ^{2} (\theta )} \end{array}\]

Estas identidades se vuelven muy útiles cuando una ecuación implica una combinación de funciones sinusoidales y cosenales.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resuelve\(2\sin ^{2} (t)-\cos (t)=1\) para todas las soluciones con\(0\le t<2\pi\).

Solución

Dado que esta ecuación tiene una mezcla de funciones seno y coseno, se vuelve más complicada de resolver. Por lo general, es más fácil trabajar con una ecuación que involucra solo una función trigonométrica. Aquí es donde podemos usar la Identidad Pitagórica.

\[2\sin ^{2} (t)-\cos (t)=1\nonumber\]Uso de la\(\sin ^{2} (\theta )=1-\cos ^{2} (\theta )\)
\[2\left(1-\cos ^{2} (t)\right)-\cos (t)=1\nonumber\] distribución de los 2
\[2-2\cos ^{2} (t)-\cos (t)=1\nonumber\]

Como esto ahora es cuadrático en coseno, reorganizamos la ecuación para que un lado sea cero y factor.

\[-2\cos ^{2} (t)-\cos (t)+1=0\nonumber\]Multiplicar por -1 para simplificar el
\[2\cos ^{2} (t)+\cos (t)-1=0\nonumber\] factor de factorización
\[\left(2\cos (t)-1\right)\left(\cos (t)+1\right)=0\nonumber\]

Este producto será cero si alguno de los factores es cero, por lo que podemos dividirlo en dos casos separados y resolver cada uno de forma independiente.

\[2\cos (t)-1=0\text{ or }\cos (t)+1=0\nonumber\]
\[\cos (t)=\dfrac{1}{2}\text{ or }\cos (t)=-1\nonumber\]
\[t=\dfrac{\pi }{3}\text{ or }t=\dfrac{5\pi }{3}\text{ or }t=\pi\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Resuelve\(2\sin ^{2} (t)=3\cos (t)\) para todas las soluciones con\(0\le t<2\pi\).

Contestar

\[2\left(1-\cos ^{2} (t)\right)=3\cos (t)\nonumber\]
\[2\cos ^{2} (t)+3\cos (t)-2=0\nonumber\]
\[\left(2\cos (t)-1\right)\left(\cos (t)+2\right)=0\nonumber\]
\(\cos (t)+2=0\)no tiene soluciones\(2\cos (t)-1=0\) en\(t=\dfrac{\pi }{3} ,\dfrac{5\pi }{3}\)

Además de la Identidad pitagórica, a menudo es necesario reescribir la tangente, la secante, la cotangente y la cotangente como parte de la resolución de una ecuación.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resuelve\(\tan (x)=3\sin (x)\) para todas las soluciones con\(0\le x<2\pi\).

Solución

Con una combinación de tangente y seno, podríamos intentar reescribir tangente

\[\tan (x)=3\sin (x)\nonumber\]
\[\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)} =3\sin (x)\nonumber\]Multiplicar ambos lados por coseno
\[\sin (x)=3\sin (x)\cos (x) \nonumber\]

En este punto, puede que tengas la tentación de dividir ambos lados de la ecuación por pecado (\(x\)).

Resista el impulso. Cuando dividimos ambos lados de una ecuación por una cantidad, estamos asumiendo que la cantidad nunca es cero. En este caso, cuando sin (\(x\)) = 0 la ecuación está satisfecha, así que perderíamos esas soluciones si dividiéramos por el seno.

Para evitar este problema, podemos reorganizar la ecuación para que un lado sea cero (Técnicamente puedes dividir por pecado (x), siempre y cuando consideres por separado el caso donde sin (x) = 0. Dado que es fácil olvidar este paso, se recomienda el enfoque de factorización utilizado en el ejemplo.).

\[\sin (x)-3\sin (x)\cos (x)=0\nonumber\]Factorización de pecado (\(x\)) de ambas partes
\[\sin (x)\left(1-3\cos (x)\right)=0 \nonumber\]

A partir de aquí, podemos ver que obtenemos soluciones cuando\(\sin (x)=0\) o\(1-3\cos (x)=0\).

Usando nuestro conocimiento de los ángulos especiales del círculo unitario,

\[\sin (x)=0\text{ when }x = 0\text{ or }x = \pi\nonumber\]

Para la segunda ecuación, necesitaremos el coseno inverso.

\[1-3\cos (x)=0\nonumber\]
\[\cos (x)=\dfrac{1}{3}\nonumber\]Uso de nuestra calculadora o tecnología
\[x=\cos ^{-1} \left(\dfrac{1}{3} \right)\approx 1.231\nonumber\] Usar simetría para encontrar una segunda solución
\[x=2\pi -1.231=5.052 \nonumber\]

Contamos con cuatro soluciones sobre\(0 \le x<2\pi\):

\[x = 0, 1.231, \quad\pi , 5.052\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resuelve\(\sec (\theta )=2\cos (\theta )\) encontrar las cuatro primeras soluciones positivas.

Contestar

\[\dfrac{1}{\cos (\theta )} =2\cos (\theta )\nonumber\]
\[\dfrac{1}{2} =\cos ^{2} (\theta )\nonumber\]
\[\cos (\theta )=\pm \sqrt{\dfrac{1}{2} } =\pm \dfrac{\sqrt{2} }{2}\nonumber\]
\[\theta =\dfrac{\pi }{4} ,\dfrac{3\pi }{4} ,\dfrac{5\pi }{4} ,\dfrac{7\pi }{4}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resuelve\(\dfrac{4}{\sec ^{2} (\theta )} +3\cos \left(\theta \right)=2\cot \left(\theta \right)\tan \left(\theta \right)\) para todas las soluciones con\(0\le \theta <2\pi\).

Solución

\[\dfrac{4}{\sec ^{2} (\theta )} +3\cos \left(\theta \right)=2\cot \left(\theta \right)\tan \left(\theta \right)\nonumber\]Uso de las identidades recíprocas
\[4\cos ^{2} (\theta )+3\cos (\theta )=2\dfrac{1}{\tan (\theta )} \tan (\theta )\nonumber\]
\[4\cos ^{2} \left(\theta \right)+3\cos \left(\theta \right)=2\nonumber\] Simplificando Restar 2 de cada lado
\[4\cos ^{2} \left(\theta \right)+3\cos \left(\theta \right)-2=0\nonumber\]

Esto no parece factorizar muy bien así que usamos la fórmula cuadrática, recordando que estamos resolviendo para cos (\(\theta\)).

\[\cos (\theta )=\dfrac{-3\pm \sqrt{3^{2} -4(4)(-2)} }{2(4)} =\dfrac{-3\pm \sqrt{41} }{8}\nonumber\]

Usando primero la raíz cuadrada negativa,

\[\cos (\theta )=\dfrac{-3-\sqrt{41} }{8} =-1.175\nonumber\]

Esto no tiene soluciones, ya que el coseno no puede ser menor que -1.

Usando la raíz cuadrada positiva,

\[\cos (\theta )=\dfrac{-3+\sqrt{41} }{8} =0.425\nonumber\]
\[\theta =\cos ^{-1} \left(0.425\right)=1.131\nonumber\]Por simetría, se puede encontrar una segunda solución
\[\theta =2\pi -1.131=5.152\nonumber\]

Temas Importantes de esta Sección

• Revisión de Trig Identity
• Resolviendo Ecuaciones Trig
• Por Factoring
• Uso de la Fórmula Cuadrática
• Uso de Identidades Trig para simplificar