7.2: Identidades de suma y resta

Sección 7.2 Identidades de suma y resta

En esta sección, comenzamos a ampliar nuestro repertorio de identidades trigonométricas.

Las identidades de suma y diferencia

\[\cos (\alpha -\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )\]

\[\cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )\]

\[\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )\]

\[\sin (\alpha -\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )-\cos (\alpha )\sin (\beta )\]

Demostraremos la diferencia de identidad de ángulos para el coseno. El resto de las identidades se pueden derivar de ésta.

Prueba de la diferencia de identidad de ángulos para coseno

Considera dos puntos en un círculo unitario:

\(P\)en un ángulo\(\alpha\) desde el\(x\) eje positivo con coordenadas\(\left(\cos (\alpha ),\sin (\alpha )\right)\), y\(Q\) en un ángulo de\(\beta\) con coordenadas\(\left(\cos (\beta ),\sin (\beta)\right)\).

Observe que la medida del ángulo\(POQ\) es\(\alpha\) —\(\beta\). Etiquetar dos puntos más:

\(C\)en un ángulo de\(\alpha\) —\(\beta\), con coordenadas\(\left(\cos (\alpha -\beta ),\sin (\alpha -\beta )\right)\),

\(D\)en el punto (1, 0).

Observe que la distancia de\(C\) a\(D\) es la misma que la distancia de\(P\) a\(Q\) porque triángulo\(COD\) es una rotación de triángulo\(POQ\).

Usando la fórmula de distancia para encontrar la distancia de\(P\) a\(Q\) rendimientos

\[\sqrt{\left(\cos (\alpha )-\cos (\beta )\right)^{2} +\left(\sin (\alpha )-\sin (\beta )\right)^{2} }\nonumber\]

Ampliando esto

\[\sqrt{\cos ^{2} (\alpha )-2\cos (\alpha )\cos (\beta )+\cos ^{2} (\beta )+\sin ^{2} (\alpha )-2\sin (\alpha )\sin (\beta )+\sin ^{2} (\beta )}\nonumber\]

Aplicando la identidad pitagórica y simplificando

\[\sqrt{2-2\cos (\alpha )\cos (\beta )-2\sin (\alpha )\sin (\beta )}\nonumber\]

Del mismo modo, usando la fórmula de distancia para encontrar la distancia de\(C\) a\(D\)

\[\sqrt{\left(\cos (\alpha -\beta )-1\right)^{2} +\left(\sin (\alpha -\beta )-0\right)^{2} }\nonumber\]

Ampliando esto

\[\sqrt{\cos ^{2} (\alpha -\beta )-2\cos (\alpha -\beta )+1+\sin ^{2} (\alpha -\beta )}\nonumber\]

Aplicando la identidad pitagórica y simplificando

\[\sqrt{-2\cos (\alpha -\beta )+2}\nonumber\]

Como las dos distancias son las mismas, establecemos estas dos fórmulas iguales entre sí y simplificamos

\[\sqrt{2-2\cos (\alpha )\cos (\beta )-2\sin (\alpha )\sin (\beta )} =\sqrt{-2\cos (\alpha -\beta )+2}\nonumber\]
\[2-2\cos (\alpha )\cos (\beta )-2\sin (\alpha )\sin (\beta )=-2\cos (\alpha -\beta )+2\nonumber\]
\[\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )=\cos (\alpha -\beta )\nonumber\]

Esto establece la identidad.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Al escribir\(\cos (\alpha +\beta )\) como\(\cos \left(\alpha -\left(-\beta \right)\right)\), mostrar la suma de ángulos de identidad para coseno se desprende de la diferencia de ángulos de identidad comprobada anteriormente.

Contestar

\[\begin{array}{l} {\cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha -(-\beta ))} \\ {\cos (\alpha )\cos (-\beta )+\sin (\alpha )\sin (-\beta )} \\ {\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )(-\sin (\beta ))} \\ {\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )} \end{array}\nonumber\]

La suma y diferencia de las identidades de ángulos se utilizan a menudo para reescribir expresiones en otras formas, o para reescribir un ángulo en términos de ángulos más simples.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra el valor exacto de\(\cos (75{}^\circ )\).

Solución

Ya que\(75{}^\circ =30{}^\circ +45{}^\circ\), podemos evaluar\(\cos (75{}^\circ )\) como

\[\cos (75{}^\circ )=\cos (30{}^\circ +45{}^\circ )\nonumber\]Aplicar la suma coseno de la identidad de ángulos
\[=\cos (30{}^\circ )\cos (45{}^\circ )-\sin (30{}^\circ )\sin (45{}^\circ )\nonumber\] Evaluar
\[=\dfrac{\sqrt{3} }{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2}\nonumber\] Simplemente
\[=\dfrac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4}\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el valor exacto de\(\sin \left(\dfrac{\pi }{12} \right)\).

Contestar

\[\sin \left(\dfrac{\pi }{12} \right)=\sin \left(\dfrac{\pi }{3} -\dfrac{\pi }{4} \right)=\sin \left(\dfrac{\pi }{3} \right)\cos \left(\dfrac{\pi }{4} \right)-\cos \left(\dfrac{\pi }{3} \right)\sin \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\nonumber\]
\[=\dfrac{\sqrt{3} }{2} \dfrac{\sqrt{2} }{2} -\dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt{2} }{2}\quad \dfrac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Reescribir\(\sin \left(x-\dfrac{\pi }{4} \right)\) en términos de pecado (\(x\)) y cos (\(x\)).

Solución

\[\sin \left(x-\dfrac{\pi }{4} \right)\nonumber\]Usar la diferencia de ángulos de identidad para seno
\[=\sin \left(x\right)\cos \left(\dfrac{\pi }{4} \right)-\cos \left(x\right)\sin \left(\dfrac{\pi }{4} \right)\nonumber\] Evaluar el coseno y el seno y reorganizar
\[=\dfrac{\sqrt{2} }{2} \sin \left(x\right)-\dfrac{\sqrt{2} }{2} \cos \left(x\right)\nonumber\]

Además, estas identidades se pueden utilizar para simplificar expresiones o probar nuevas identidades

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Demostrar\(\dfrac{\sin (a+b)}{\sin (a-b)} =\dfrac{\tan (a)+\tan (b)}{\tan (a)-\tan (b)}\).

Solución

Al igual que con cualquier identidad, primero tenemos que decidir de qué lado empezar. Dado que el lado izquierdo implica suma y diferencia de ángulos, podríamos comenzar ahí

\[\dfrac{\sin (a+b)}{\sin (a-b)}\nonumber\]Aplicar la suma y diferencia de identidades de ángulo
\[=\dfrac{\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)}{\sin (a)\cos (b)-\cos (a)\sin (b)}\nonumber\]

Como no es inmediatamente obvio cómo proceder, podríamos comenzar por el otro lado, y ver si el camino es más aparente.

\[\dfrac{\tan (a)+\tan (b)}{\tan (a)-\tan (b)}\nonumber\]Reescribiendo las tangentes usando la identidad tangente
\[=\dfrac{\dfrac{\sin (a)}{\cos (a)} +\dfrac{\sin (b)}{\cos (b)} }{\dfrac{\sin (a)}{\cos (a)} -\dfrac{\sin (b)}{\cos (b)} }\nonumber\] Multiplicando la parte superior e inferior por cos (\(a\)) cos (\(b\))
\[=\dfrac{\left(\dfrac{\sin (a)}{\cos (a)} +\dfrac{\sin (b)}{\cos (b)} \right)\cos (a)\cos (b)}{\left(\dfrac{\sin (a)}{\cos (a)} -\dfrac{\sin (b)}{\cos (b)} \right)\cos (a)\cos (b)}\nonumber\] Distribuyendo y simplificando
\[=\dfrac{\sin (a)\cos (b)+\sin (b)\cos (a)}{\sin (a)\cos (b)-\sin (b)\cos (a)}\nonumber\] Desde arriba, reconocemos esto
\[=\dfrac{\sin (a+b)}{\sin (a-b)}\nonumber\] Estableciendo el identidad

Estas identidades también pueden ser utilizadas para resolver ecuaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resolver\(\sin (x)\sin (2x)+\cos (x)\cos (2x)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\).

Solución

Al reconocer el lado izquierdo de la ecuación como resultado de la diferencia de identidad de ángulos para el coseno, podemos simplificar la ecuación

\[\sin (x)\sin (2x)+\cos (x)\cos (2x)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\nonumber\]Aplicar la diferencia de ángulos identidad
\[\cos (x-2x)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\nonumber\]
\[\cos (-x)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\nonumber\] Usar la identidad de ángulo negativo
\[\cos (x)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}\nonumber\]

Dado que este es un valor coseno especial que reconocemos del círculo unitario, podemos escribir rápidamente las respuestas:

\[\begin{array}{l} {x=\dfrac{\pi }{6} +2\pi k} \\ {x=\dfrac{11\pi }{6} +2\pi k} \end{array}\nonumber\], donde\(k\) es un número entero

Combinando Olas de Igual Periodo

Una función sinusoidal de la forma se\(f(x)=A\sin (Bx+C)\) puede reescribir usando la identidad de suma de ángulos.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Reescribir\(f(x)=4\sin \left(3x+\dfrac{\pi }{3} \right)\) como suma de seno y coseno.

Solución

\[4\sin \left(3x+\dfrac{\pi }{3} \right)\nonumber\]Usando la suma de ángulos identidad
\[=4\left(\sin \left(3x\right)\cos \left(\dfrac{\pi }{3} \right)+\cos \left(3x\right)\sin \left(\dfrac{\pi }{3} \right)\right)\nonumber\] Evaluar el seno y el coseno
\[=4\left(\sin \left(3x\right)\cdot \dfrac{1}{2} +\cos \left(3x\right)\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} \right)\nonumber\] Distribuir y simplificar
\[=2\sin \left(3x\right)+2\sqrt{3} \cos \left(3x\right)\nonumber\]

Observe que el resultado es un tramo del seno agregado a otro tramo del coseno, pero ambos tienen la misma compresión horizontal, lo que resulta en el mismo periodo.

Podríamos preguntarnos ahora si este proceso puede invertirse — ¿se puede escribir una combinación de seno y coseno del mismo período como una sola función sinusoidal? Para explorar esto, veremos en general el procedimiento utilizado en el ejemplo anterior.

\[f(x)=A\sin (Bx+C)\nonumber\]Usar la suma de ángulos identidad
\[=A\left(\sin (Bx)\cos (C)+\cos (Bx)\sin (C)\right)\nonumber\] Distribuir el\(A\)
\[=A\sin (Bx)\cos (C)+A\cos (Bx)\sin (C)\nonumber\] Reorganizar los términos un poco
\[=A\cos (C)\sin (Bx)+A\sin (C)\cos (Bx)\nonumber\]

En base a este resultado, si tenemos una expresión de la forma\(m\sin (Bx)+n\cos (Bx)\), podríamos reescribirla como una sola función sinusoidal si podemos encontrar los valores A y C para que

\(m\sin (Bx)+n\cos (Bx)\)\(=A\cos (C)\sin (Bx)+A\sin (C)\cos (Bx)\), lo que exigirá que:

\[\begin{array}{l} {m=A\cos (C)} \\ {n=A\sin (C)} \end{array}\nonumber\]que se puede reescribir como\[\begin{array}{l} {\dfrac{m}{A} =\cos (C)} \\ {\dfrac{n}{A} =\sin (C)} \end{array}\nonumber\]

Para encontrar\(A\),

\[m^{2} +n^{2} =\left(A\cos (C)\right)^{2} +\left(A\sin (C)\right)^{2}\nonumber\]
\[=A^{2} \cos ^{2} (C)+A^{2} \sin ^{2} (C)\nonumber\]
\[=A^{2} \left(\cos ^{2} (C)+\sin ^{2} (C)\right)\nonumber\]Aplicar la identidad pitagórica y simplificar
\[=A^{2}\nonumber\]

REESCRIBIR UNA SUMA DE SINO-SINO Y COSINO

Para reescribir\(m\sin (Bx)+n\cos (Bx)\) como\(A\sin (Bx+C)\)

\[A^{2} =m^{2} +n^{2}\quad \cos (C)=\dfrac{m}{A}\text{ and }\sin (C)=\dfrac{n}{A}\]

Puede usar cualquiera de las dos últimas ecuaciones para resolver posibles valores de C. Dado que generalmente habrá dos soluciones posibles, tendremos que mirar ambas para determinar en qué cuadrante C se encuentra y determinar qué solución para C satisface ambas ecuaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Reescribir\(4\sqrt{3} \sin (2x)-4\cos (2x)\) como una sola función sinusoidal.

Solución

Usando las fórmulas anteriores,\(A^{2} =\left(4\sqrt{3} \right)^{2} +\left(-4\right)^{2} =16\cdot 3+16=64\), entonces\(A = 8\).

Resolviendo para\(C\),

\[\cos (C)=\dfrac{4\sqrt{3} }{8} =\dfrac{\sqrt{3} }{2}\text{ so }C=\dfrac{\pi }{6}\text{ or }C=\dfrac{11\pi }{6}\nonumber\]

No obstante, aviso\(\sin (C)=\dfrac{-4}{8} =-\dfrac{1}{2}\). El seno es negativo en el tercer y cuarto cuadrante, por lo que el ángulo que funciona para ambos es\(C=\dfrac{11\pi }{6}\).

Combinar estos resultados nos da la expresión

\[8\sin \left(2x+\dfrac{11\pi }{6} \right)\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Reescribir\(-3\sqrt{2} \sin (5x)+3\sqrt{2} \cos (5x)\) como una sola función sinusoidal.

Contestar

\[A^{2} =\left(-3\sqrt{2} \right)^{2} +\left(3\sqrt{2} \right)^{2} =36\quad A=6\nonumber\]
\[\cos (C)=\dfrac{-3\sqrt{2} }{6} =\dfrac{-\sqrt{2} }{2}\quad \sin (C)=\dfrac{3\sqrt{2} }{6} =\dfrac{\sqrt{2} }{2}\quad C=\dfrac{3\pi }{4}\nonumber\]
\[6\sin \left(5x+\dfrac{3\pi }{4} \right)\nonumber\]

Reescribir una combinación de seno y coseno de periodos iguales como una sola función sinusoidal proporciona un enfoque para resolver algunas ecuaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Resuelve\(3\sin (2x)+4\cos (2x)=1\) encontrar dos soluciones positivas.

Solución

Dado que el seno y el coseno tienen el mismo periodo, podemos reescribirlos como una sola función sinusoidal.

\[A^{2} =\left(3\right)^{2} +\left(4\right)^{2} =25\text{ so }A = 5\nonumber\]

\[\cos (C)=\dfrac{3}{5}\text{ so }C=\cos ^{-1} \left(\dfrac{3}{5} \right)\approx 0.927\text{ or }C=2\pi -0.927=5.356\nonumber\]

Ya que\(\sin (C)=\dfrac{4}{5}\), un valor positivo, necesitamos el ángulo en el primer cuadrante,\(C = 0.927\).

Usando esto, nuestra ecuación se convierte en

\[5\sin \left(2x+0.927\right)=1\nonumber\]Dividir por 5
\[\sin \left(2x+0.927\right)=\dfrac{1}{5}\nonumber\] Hacer la sustitución\(u = 2x + 0.927\)
\[\sin \left(u\right)=\dfrac{1}{5}\nonumber\] La inversa da una primera solución
\[u=\sin ^{-1} \left(\dfrac{1}{5} \right)\approx 0.201\nonumber\] Por simetría, la segunda solución es
\[u=\pi -0.201=2.940\nonumber\] Una tercera solución sería
\[u=2\pi +0.201=6.485\nonumber\]

Deshaciendo la sustitución, podemos encontrar dos soluciones positivas para\(x\).

\[\begin{array}{ccccc}{2x+0.927=0.201}&{\text{or}}&{2x+0.927=2.940}&{\text{or}}&{2x+0.927=6.485}\\{2x=-0.726}&{}&{2x=2.013}&{}&{2x=5.558}\\{x=-0.363}&{}&{x=1.007}&{}&{x=2.779}\end{array}\nonumber\]

Dado que el primero de estos es negativo, lo eliminamos y mantenemos las dos soluciones positivas,\(x=1.007\) y\(x=2.779\).

Las identidades de producto a suma y suma a producto

Las identidades de producto a suma

\[\begin{array}{l} {\sin (\alpha )\cos (\beta )=\dfrac{1}{2} \left(\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\right)} \\ {\sin (\alpha )\sin (\beta )=\dfrac{1}{2} \left(\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )\right)} \\ {\cos (\alpha )\cos (\beta )=\dfrac{1}{2} \left(\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\right)} \end{array}\]

Demostraremos la primera de ellas, utilizando la suma y diferencia de identidades de ángulos desde el inicio de la sección. Las pruebas de las otras dos identidades son similares y se dejan como ejercicio.

Prueba de identidad de producto a suma para pecado (\(\alpha\)) cos (\(\beta\))

Recordemos la suma y diferencia de identidades de ángulos anteriores

\[\sin (\alpha +\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )+\cos (\alpha )\sin (\beta )\nonumber\]
\[\sin (\alpha -\beta )=\sin (\alpha )\cos (\beta )-\cos (\alpha )\sin (\beta )\nonumber\]

Sumando estas dos ecuaciones, obtenemos

\[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=2\sin (\alpha )\cos (\beta )\nonumber\]

Dividiendo por 2, establecemos la identidad

\[\sin (\alpha )\cos (\beta )=\dfrac{1}{2} \left(\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\right)\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Escribir\(\sin (2t)\sin (4t)\) como suma o diferencia.

Solución

Uso de la identidad de producto a suma para un producto de senos

\[\sin (2t)\sin (4t)=\dfrac{1}{2} \left(\cos (2t-4t)-\cos (2t+4t)\right)\nonumber\]
\[=\dfrac{1}{2} \left(\cos (-2t)-\cos (6t)\right)\nonumber\]Si lo desea, aplique la identidad de ángulo negativo
\[=\dfrac{1}{2} \left(\cos (2t)-\cos (6t)\right)\nonumber\] Distribuir
\[=\dfrac{1}{2} \cos (2t)-\dfrac{1}{2} \cos (6t)\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Evaluar\(\cos \left(\dfrac{11\pi }{12} \right)\cos \left(\dfrac{\pi }{12} \right)\).

Contestar

\[\cos \left(\dfrac{11\pi }{12} \right)\cos \left(\dfrac{\pi }{12} \right)=\dfrac{1}{2} \left(\cos \left(\dfrac{11\pi }{12} +\dfrac{\pi }{12} \right)+\cos \left(\dfrac{11\pi }{12} -\dfrac{\pi }{12} \right)\right)\nonumber\]
\[=\dfrac{1}{2} \left(\cos \left(\pi \right)+\cos \left(\dfrac{5\pi }{6} \right)\right)=\dfrac{1}{2} \left(-1-\dfrac{\sqrt{3} }{2} \right)\nonumber\]
\[=\dfrac{-2-\sqrt{3} }{4}\nonumber\]

Las identidades Suma a Producto

\[\sin \left(u\right)+\sin \left(v\right)=2\sin \left(\dfrac{u+v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u-v}{2} \right)\]
\[\sin \left(u\right)-\sin \left(v\right)=2\sin \left(\dfrac{u-v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u+v}{2} \right)\]
\[\cos \left(u\right)+\cos \left(v\right)=2\cos \left(\dfrac{u+v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u-v}{2} \right)\]
\[\cos \left(u\right)-\cos \left(v\right)=-2\sin \left(\dfrac{u+v}{2} \right)\sin \left(\dfrac{u-v}{2} \right)\]

Volveremos a probar uno de estos y dejaremos el resto como ejercicio.

Prueba de la identidad de suma a producto para la función sinusoidal

Definimos dos nuevas variables:

\[\begin{array}{l} {u=\alpha +\beta } \\ {v=\alpha -\beta } \end{array}\nonumber\]

Sumando estas ecuaciones rinde\(u+v=2\alpha\), dando\(\alpha =\dfrac{u+v}{2}\)

Restar las ecuaciones rinde\(u-v=2\beta\), o\(\beta =\dfrac{u-v}{2}\)

Sustituir estas expresiones en la identidad de producto a suma

\[\sin (\alpha )\cos (\beta )=\dfrac{1}{2} \left(\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\right)\nonumber\]da

\[\sin \left(\dfrac{u+v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u-v}{2} \right)=\dfrac{1}{2} \left(\sin \left(u\right)+\sin \left(v\right)\right)\nonumber\]Multiplicar por 2 en ambos lados

\[2\sin \left(\dfrac{u+v}{2} \right)\cos \left(\dfrac{u-v}{2} \right)=\sin \left(u\right)+\sin \left(v\right)\nonumber\]Estableciendo la identidad

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Observe que, usando la identidad de ángulo negativo,\(\sin \left(u\right)-\sin \left(v\right)=\sin (u)+\sin (-v)\). Use esto junto con la suma de identidad de senos para probar la identidad suma-a-producto para\(\sin \left(u\right)-\sin \left(v\right)\).

Contestar

\[\sin (u)-\sin (v)\nonumber\]Usar identidad de ángulo negativo para seno
\[\sin (u) + \sin (-v)\nonumber\] Usar identidad de suma a producto para seno
\[2\text{sin} (\dfrac{u + (-v)}{2}) \text{cos} (\dfrac{u - (-v)}{2})\nonumber\] Eliminar el paréntesis
\[2\text{sin} (\dfrac{u - v}{2}) \text{cos} (\dfrac{u + v}{2})\nonumber\] Establecer la identidad

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Evaluar\(\cos (15{}^\circ )-\cos (75{}^\circ )\).

Solución

Utilizando la identidad de suma a producto para la diferencia de cosenos,

\[\cos (15{}^\circ )-\cos (75{}^\circ )\nonumber\]
\[=-2\sin \left(\dfrac{15{}^\circ +75{}^\circ }{2} \right)\sin \left(\dfrac{15{}^\circ -75{}^\circ }{2} \right)\nonumber\]Simplificar
\[=-2\sin \left(45{}^\circ \right)\sin \left(-30{}^\circ \right)\nonumber\] Evaluar
\[=-2\cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} \cdot \dfrac{-1}{2} =\dfrac{\sqrt{2} }{2}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Demostrar la identidad\(\dfrac{\cos (4t)-\cos (2t)}{\sin (4t)+\sin (2t)} =-\tan (t)\).

Solución

Como el lado izquierdo parece más complicado, podemos empezar por ahí y simplificar.

\[\dfrac{\cos (4t)-\cos (2t)}{\sin (4t)+\sin (2t)}\nonumber\]Utilizar las identidades de suma a producto
\[=\dfrac{-2\sin \left(\dfrac{4t+2t}{2} \right)\sin \left(\dfrac{4t-2t}{2} \right)}{2\sin \left(\dfrac{4t+2t}{2} \right)\cos \left(\dfrac{4t-2t}{2} \right)}\nonumber\]
\[=\dfrac{-2\sin \left(3t\right)\sin \left(t\right)}{2\sin \left(3t\right)\cos \left(t\right)}\nonumber\] Simplificar Simplificar aún más
\[=\dfrac{-\sin \left(t\right)}{\cos \left(t\right)}\nonumber\] Reescribir como tangente
\[=-\tan (t)\nonumber\] Establecer la identidad

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Resuelve\(\sin \left(\pi {\kern 1pt} t\right)+\sin \left(3\pi {\kern 1pt} t\right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)\) para todas las soluciones con\(0\le t<2\).

Solución

En una ecuación como th es, no es inmediatamente obvio cómo proceder. Una opción sería combinar las dos funciones sinusoidales en el lado izquierdo de la ecuación. Otra sería mover el coseno al lado izquierdo de la ecuación, y combinarlo con uno de los senos. Por ninguna razón particularmente buena, comenzaremos combinando los senos del lado izquierdo de la ecuación y veremos cómo funcionan las cosas.

\[\sin \left(\pi {\kern 1pt} t\right)+\sin \left(3\pi {\kern 1pt} t\right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)\nonumber\]Aplicar la suma a la identidad del producto a la izquierda
\[2\sin \left(\dfrac{\pi {\kern 1pt} t+3\pi {\kern 1pt} t}{2} \right)\cos \left(\dfrac{\pi {\kern 1pt} t-3\pi {\kern 1pt} t}{2} \right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)\nonumber\] Simplificar
\[2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)\cos \left(-\pi {\kern 1pt} t\right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)\nonumber\] Aplicar la identidad del ángulo negativo
\[2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)=\cos (\pi {\kern 1pt} t)\nonumber\] Reorganizar la ecuación para que sea 0 en un lado
\[2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)-\cos (\pi {\kern 1pt} t)=0\nonumber\] Factorizar el coseno
\[\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)\left(2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)-1\right)=0\nonumber\]

Utilizando el Teorema del Producto Cero sabemos que al menos uno de los dos factores debe ser cero. El primer factor,\(\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)\), tiene periodo\(P=\dfrac{2\pi }{\pi } =2\), por lo que el intervalo de solución de\(0\le t<2\) representa un ciclo completo de esta función.

\[\cos \left(\pi {\kern 1pt} t\right)=0\nonumber\]Sustituto\(u=\pi {\kern 1pt} t\)
\[\cos \left(u\right)=0\nonumber\] En un ciclo, esto tiene soluciones
\[u=\dfrac{\pi }{2}\text{ or }u=\dfrac{3\pi }{2}\nonumber\] Deshacer la sustitución
\[\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{\pi }{2}\text{, so }t=\dfrac{1}{2}\nonumber\]
\[\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{3\pi }{2}\text{, so }t=\dfrac{3}{2}\nonumber\]

El segundo factor,\(2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)-1\), tiene periodo de\(P=\dfrac{2\pi }{2\pi } =1\), por lo que el intervalo de solución\(0\le t<2\) contiene dos ciclos completos de esta función.

\[2\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)-1=0\nonumber\]Aislar el seno
\[\sin \left(2\pi {\kern 1pt} t\right)=\dfrac{1}{2}\nonumber\] Sustituto\(u=2\pi {\kern 1pt} t\)
\[\sin (u)=\dfrac{1}{2}\nonumber\] En un ciclo, esto tiene soluciones
\[u=\dfrac{\pi }{6}\text{ or }u=\dfrac{5\pi }{6}\nonumber\] En el segundo ciclo, las soluciones son
\[u=2\pi +\dfrac{\pi }{6} =\dfrac{13\pi }{6}\text{ or }u=2\pi +\dfrac{5\pi }{6} =\dfrac{17\pi }{6}\nonumber\] Deshacer la sustitución
\[2\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{\pi }{6}\text{, so }t=\dfrac{1}{12}\nonumber\]
\[2\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{5\pi }{6}\text{, so }t=\dfrac{5}{12}\nonumber\]
\[2\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{13\pi }{6}\text{, so }t=\dfrac{13}{12}\nonumber\]
\[2\pi {\kern 1pt} t=\dfrac{17\pi }{6}\text{, so }t=\dfrac{17}{12}\nonumber\]

En total, encontramos seis soluciones sobre\(0\le t<2\), que podemos confirmar mirando la gráfica.

\[t=\dfrac{1}{12} ,\dfrac{5}{12} ,\dfrac{1}{2} ,\dfrac{13}{12} ,\dfrac{3}{2} ,\dfrac{17}{12}\nonumber\]

Temas Importantes de esta Sección

• Las identidades de suma y diferencia
• Combinando ondas de periodos iguales
• Identidades de producto a suma
• Identidades Suma a Producto
• Completar pruebas