7.3: Identidades de ángulo doble

Dos casos especiales de la suma de identidades de ángulos surgen con la suficiente frecuencia que elegimos establecer estas identidades por separado.

IDENTIDADES

Las identidades de doble ángulo

\[\sin (2\alpha )=2\sin (\alpha )\cos (\alpha )\]

\[\begin{array}{ccc} {\cos (2\alpha )} & {=} & {\cos ^{2} (\alpha )-\sin ^{2} (\alpha )} \\ {} & {=} & {1-2\sin ^{2} (\alpha )} \\ {} & {=} & {2\cos ^{2} (\alpha )-1} \end{array}\]

Estas identidades se derivan de la suma de ángulos identidades.

Prueba de identidad de doble ángulo sinusoidal

\[\sin (2\alpha )\nonumber\]
\[=\sin (\alpha +\alpha )\nonumber\]Aplicar la suma de ángulos de identidad
\[=\sin (\alpha )\cos (\alpha )+\cos (\alpha )\sin (\alpha )\nonumber\] Simplificar
\[=2\sin (\alpha )\cos (\alpha )\nonumber\] Establecer la identidad

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Mostrar\(\cos (2\alpha )=\cos ^{2} (\alpha )-\sin ^{2} (\alpha )\) usando la suma de ángulos de identidad para coseno.

Responder

\[\begin{array}{l} {\cos \left(2\alpha \right)=\cos (\alpha +\alpha )} \\ {\cos (\alpha )\cos (\alpha )-\sin (\alpha )\sin (\alpha )} \\ {\cos ^{2} (\alpha )-\sin ^{2} (\alpha )} \end{array}\nonumber\]

Para la identidad coseno de doble ángulo, existen tres formas de la identidad declaradas porque la forma básica,\(\cos (2\alpha )=\cos ^{2} (\alpha )-\sin ^{2} (\alpha )\), puede ser reescrita usando la Identidad Pitagórica. Reorganizar la identidad pitagórica da como resultado la igualdad\(\cos ^{2} (\alpha )=1-\sin ^{2} (\alpha )\), y al sustituirla por la identidad básica de doble ángulo, obtenemos la segunda forma de la identidad de doble ángulo.

\[\cos (2\alpha )=\cos ^{2} (\alpha )-\sin ^{2} (\alpha )\nonumber\]Sustituir usando la identidad pitagórica
\[\cos (2\alpha )=1-\sin ^{2} (\alpha )-\sin ^{2} (\alpha )\nonumber\] Simplificando
\[\cos (2\alpha )=1-2\sin ^{2} (\alpha )\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Si\(\sin (\theta )=\dfrac{3}{5}\) y\(\theta\) está en el segundo cuadrante, encuentre los valores exactos para\(\sin (2\theta )\) y\(\cos (2\theta )\).

Solución

Para evaluar\(\cos (2\theta )\), ya que conocemos el valor para\(\sin (\theta )\) podemos usar la versión del doble ángulo que solo involucra seno.

\[\cos (2\theta )=1-2\sin ^{2} (\theta )=1-2\left(\dfrac{3}{5} \right)^{2} =1-\dfrac{18}{25} =\dfrac{7}{25}\nonumber\]

Dado que el doble ángulo para seno involucra tanto seno como coseno, primero tendremos que encontrar\(\cos (\theta )\), lo que podemos hacer usando la Identidad Pitagórica.

\[\sin ^{2} (\theta )+\cos ^{2} (\theta )=1\nonumber\]
\[\left(\dfrac{3}{5} \right)^{2} +\cos ^{2} (\theta )=1\nonumber\]
\[\cos ^{2} (\theta )=1-\dfrac{9}{25}\nonumber\]
\[\cos (\theta )=\pm \sqrt{\dfrac{16}{25} } =\pm \dfrac{4}{5}\nonumber\]

Ya que \(\theta\)está en el segundo cuadrante, sabemos que cos (\(\theta\))\(\mathrm{<}\) 0, así

\[\cos (\theta )=-\dfrac{4}{5}\nonumber\]

Ahora podemos evaluar el doble ángulo sinusoidal

\[\sin (2\theta )=2\sin (\theta )\cos (\theta )=2\left(\dfrac{3}{5} \right)\left(-\dfrac{4}{5} \right)=-\dfrac{24}{25}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Simplificar las expresiones

a)\(2\cos ^{2} \left(12{}^\circ \right)-1\)

b)\(8\sin \left(3x\right)\cos \left(3x\right)\)

Solución

a) Observe que la expresión está en la misma forma que una versión de la identidad de doble ángulo para coseno:\(\cos (2\theta )=2\cos ^{2} (\theta )-1\). Usando esto,

\[2\cos ^{2} \left(12{}^\circ \right)-1=\cos \left(2\cdot 12{}^\circ \right)=\cos \left(24{}^\circ \right)\nonumber\]

b) Esta expresión se parece al resultado de la identidad de doble ángulo para seno.

\[8\sin \left(3x\right)\cos \left(3x\right)\nonumber\]Factorizar un 4 de la expresión original
\[4\cdot 2\sin \left(3x\right)\cos \left(3x\right)\nonumber\] Aplicando la identidad de doble ángulo
\[4\sin (6x)\nonumber\]

Podemos usar las identidades de doble ángulo para simplificar expresiones y probar identidades.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Simplificar\(\dfrac{\cos (2t)}{\cos (t)-\sin (t)}\).

Solución

Con tres opciones de cómo reescribir el doble ángulo, debemos considerar cuál será la más útil. Para simplificar esta expresión, sería genial si el denominador cancelara con algo en el numerador, lo que requeriría un factor de\(\cos (t)-\sin (t)\) en el numerador, que es más probable que ocurra si reescribimos el numerador con una mezcla de seno y coseno.

\[\dfrac{\cos (2t)}{\cos (t)-\sin (t)}\nonumber\]Aplicar la identidad de doble ángulo
\[=\dfrac{\cos ^{2} (t)-\sin ^{2} (t)}{\cos (t)-\sin (t)}\nonumber\] Factor el numerador
\[=\dfrac{\left(\cos (t)-\sin (t)\right)\left(\cos (t)+\sin (t)\right)}{\cos (t)-\sin (t)}\nonumber\] Cancelando el factor común
\[=\cos (t)+\sin (t)\nonumber\] Resultando en la forma más simplificada

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Demostrar\(\sec (2\alpha )=\dfrac{\sec ^{2} (\alpha )}{2-\sec ^{2} (\alpha )}\).

Solución

Como el lado derecho parece un poco más complicado que el lado izquierdo, comenzamos ahí.

\[\dfrac{\sec ^{2} (\alpha )}{2-\sec ^{2} (\alpha )}\nonumber\]Reescribir las secantes en términos de coseno
\[=\dfrac{\dfrac{1}{\cos ^{2} (\alpha )} }{2-\dfrac{1}{\cos ^{2} (\alpha )} }\nonumber\]

En este punto, podríamos reescribir el fondo con denominadores comunes, restar los términos, invertir y multiplicar, luego simplificar. Alternativamente, podemos multiplicar tanto la parte superior como la inferior por\(\cos ^{2} (\alpha )\), el denominador común:

\[=\dfrac{\dfrac{1}{\cos ^{2} (\alpha )} \cdot \cos ^{2} (\alpha )}{\left(2-\dfrac{1}{\cos ^{2} (\alpha )} \right)\cdot \cos ^{2} (\alpha )}\nonumber\]Distribuir en la parte inferior
\[=\dfrac{\dfrac{\cos ^{2} (\alpha )}{\cos ^{2} (\alpha )} }{2\cos ^{2} (\alpha )-\dfrac{\cos ^{2} (\alpha )}{\cos ^{2} (\alpha )} \cdot }\nonumber\] Simplificar
\[=\dfrac{1}{2\cos ^{2} (\alpha )-1}\nonumber\] Reescribir el denominador como un ángulo doble
\[=\dfrac{1}{\cos (2\alpha )}\nonumber\] Reescribir como secante
\[=\sec (2\alpha )\nonumber\] Establecer la identidad

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Utilice una identidad para encontrar el valor exacto de\(\cos ^{2} \left(75{}^\circ \right)-\sin ^{2} \left(75{}^\circ \right)\).

Responder

\[\cos ^{2} \left(75{}^\circ \right)-\sin ^{2} \left(75{}^\circ \right)=\cos (2\cdot 75{}^\circ )\nonumber\]\[ = \cos (150{}^\circ )=\dfrac{-\sqrt{3} }{2}\nonumber\]

Al igual que con otras identidades, también podemos usar las identidades de doble ángulo para resolver ecuaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resuelve\(\cos (2t)=\cos (t)\) para todas las soluciones con\(0\le t<2\pi\).

Solución

En general a la hora de resolver ecuaciones trig, hace las cosas más complicadas cuando tenemos una mezcla de senos y cosenos y cuando tenemos una mezcla de funciones con diferentes periodos. En este caso, podemos usar una identidad de doble ángulo para reescribir el cos (2 t). Al elegir qué forma de la identidad de doble ángulo usar, notamos que tenemos un coseno en el lado derecho de la ecuación. Intentamos limitar nuestra ecuación a una función trig, lo que podemos hacer eligiendo la versión de la fórmula de doble ángulo para coseno que solo involucra coseno.

\[\cos (2t)=\cos (t)\nonumber\]Aplica la identidad de doble ángulo
\[2\cos ^{2} (t)-1=\cos (t)\nonumber\] Esto es cuadrático en coseno, así que haz un lado 0
\[2\cos ^{2} (t)-\cos (t)-1=0\nonumber\] Factor
\[\left(2\cos (t)+1\right)\left(\cos (t)-1\right)=0\nonumber\] Rompe esto para resolver cada parte por separado

\[2\cos (t)+1=0\text{ or }\cos (t)-1=0\nonumber\]
\[\cos (t)=-\dfrac{1}{2}\text{ or }\cos (t)=1\nonumber\]
\[t=\dfrac{2\pi }{3}\text{ or }t=\dfrac{4\pi }{3}\text{ or }t=0\nonumber\]

Al observar una gráfica de cos (2 t) y cos (t) mostrados juntos, podemos verificar que estas tres soluciones en [0, 2\(\pi\)) parecen razonables.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Se dispara una bala de cañón con una velocidad de 100 metros por segundo. Si se lanza en un ángulo de \(\theta\), la componente vertical de la velocidad será\(100\sin (\theta )\) y la componente horizontal será\(100\cos (\theta )\). Ignorando la resistencia al viento, la altura de la bala de cañón seguirá la ecuación\(h(t)=-4.9t^{2} +100\sin (\theta )t\) y la posición horizontal seguirá la ecuación\(x(t)=100\cos (\theta )t\). Si quieres golpear un objetivo a 900 metros de distancia, ¿a qué ángulo debes apuntar el cañón?

Solución

Para golpear el objetivo a 900 metros de distancia, queremos\(x(t)=900\) en el momento en que la bala de cañón choca contra el suelo, cuando\(h(t)=0\). Para resolver este problema, primero resolveremos por el momento,\(t\), cuando la bala de cañón golpee el suelo. Nuestra respuesta dependerá del ángulo\(\theta\).

\[h(t)=0\nonumber\]
\[-4.9t^{2} +100\sin (\theta )t=0\nonumber\]Factor
\[t\left(-4.9t+100\sin (\theta )\right)=0\nonumber\] Romper esto para encontrar dos soluciones

\[t=0\text{ or }-4.9t+100\sin (\theta )=0\nonumber\]Resolver para\(t\)
\[-4.9t=-100\sin (\theta )\nonumber\]
\[t=\dfrac{100\sin (\theta )}{4.9}\nonumber\]

Esto demuestra que la altura es 0 dos veces, una vez\(t = 0\) cuando se dispara la bala de cañón, y nuevamente cuando la bala de cañón golpea el suelo después de volar por el aire. Este segundo valor de\(t\) da el momento en que la pelota golpea el suelo en cuanto al ángulo\(\theta\). Queremos que la distancia horizontal\(x(t)\) sea de 900 cuando la pelota choca con el suelo, es decir, cuándo\(t=\dfrac{100\sin (\theta )}{4.9}\).

Como el objetivo está a 900 m de distancia comenzamos con

\[x(t)=900\nonumber\]Usa la fórmula para\(x(t)\)
\[100\cos (\theta )t=900\nonumber\] Sustituir el tiempo deseado,\(t\) desde arriba
\[100\cos (\theta )\dfrac{100\sin (\theta )}{4.9} =900\nonumber\] Simplificar
\[\dfrac{100^{2} }{4.9} \cos (\theta )\sin (\theta )=900\nonumber\] Aislar el coseno y el producto sinusoidal
\[\cos (\theta )\sin (\theta )=\dfrac{900(4.9)}{100^{2} }\nonumber\]

El lado izquierdo de esta ecuación casi se parece al resultado de la identidad de doble ángulo para seno:\[\sin (2\theta )=2\sin \left(\theta \right)\cos \left(\theta \right)\nonumber\]

Multiplicando ambos lados de nuestra ecuación por 2,

\[2\cos (\theta )\sin (\theta )=\dfrac{2(900)(4.9)}{100^{2} }\nonumber\]Usando la identidad de doble ángulo de la izquierda
\[\sin (2\theta )=\dfrac{2(900)(4.9)}{100^{2} }\nonumber\] Usar el seno inverso
\[2\theta =\sin ^{-1} \left(\dfrac{2(900)(4.9)}{100^{2} } \right)\approx 1.080\nonumber\] Dividir por 2
\[\theta =\dfrac{1.080}{2} =0.540\nonumber\], o aproximadamente 30.94 grados

Reducción de potencia e identidades de medio ángulo

Otro uso de las identidades de doble ángulo coseno es utilizarlas a la inversa para reescribir un seno cuadrado o coseno en términos del ángulo doble. Comenzando con una forma de la identidad de doble ángulo coseno:

\[\cos (2\alpha )=2\cos ^{2} (\alpha )-1\nonumber\]Aislar el término cuadrado coseno
\[\cos (2\alpha )+1=2\cos ^{2} (\alpha )\nonumber\] Agregar 1
\[\cos ^{2} (\alpha )=\dfrac{\cos (2\alpha )+1}{2}\nonumber\] Dividir por 2
\[\cos ^{2} (\alpha )=\dfrac{\cos (2\alpha )+1}{2}\nonumber\] Esto se llama identidad de reducción de potencia

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Utilizar otra forma de identidad de doble ángulo coseno para acreditar la identidad\(\sin ^{2} (\alpha )=\dfrac{1-\cos (2\alpha )}{2}\).

Responder

\[\begin{array}{l} {\dfrac{1-\cos (2\alpha )}{2} } \\ {\dfrac{1-\left(\cos ^{2} (\alpha )-\sin ^{2} (\alpha )\right)}{2} } \\ {\dfrac{1-\cos ^{2} (\alpha )+\sin ^{2} (\alpha )}{2} } \\ {\dfrac{\sin ^{2} (\alpha )+\sin ^{2} (\alpha )}{2} } \\ {\dfrac{2\sin ^{2} (\alpha )}{2} =\sin ^{2} (\alpha )} \end{array}\nonumber\]

Las identidades de doble ángulo coseno también se pueden usar a la inversa para evaluar ángulos que son la mitad de un ángulo común. Construyendo a partir de nuestra fórmula\(\cos ^{2} (\alpha )=\dfrac{\cos (2\alpha )+1}{2}\), si lo dejamos\(\theta =2\alpha\), entonces\(\alpha =\dfrac{\theta }{2}\) esta identidad se vuelve\(\cos ^{2} \left(\dfrac{\theta }{2} \right)=\dfrac{\cos (\theta )+1}{2}\). Tomando la raíz cuadrada, obtenemos

\[\cos \left(\dfrac{\theta }{2} \right)=\pm \sqrt{\dfrac{\cos (\theta )+1}{2} }\nonumber\]donde el signo es determinado por el cuadrante.

A esto se le llama identidad de medio ángulo.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Usa tus resultados de la última Pruébalo Ahora para acreditar la identidad\(\sin \left(\dfrac{\theta }{2} \right)=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos (\theta )}{2} }\).

Responder

\[\begin{array}{l} {\sin ^{2} (\alpha )=\dfrac{1-\cos (2\alpha )}{2} } \\ {\sin (\alpha )=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos (2\alpha )}{2} } } \\ {\alpha =\dfrac{\theta }{2} } \\ {\sin \left(\dfrac{\theta }{2} \right)=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \left(2\left(\dfrac{\theta }{2} \right)\right)}{2} } } \\ {\sin \left(\dfrac{\theta }{2} \right)=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos (\theta )}{2} } } \end{array}\nonumber\]

IDENTIDADES

Identidades de medio ángulo

\[\cos \left(\dfrac{\theta }{2} \right)=\pm \sqrt{\dfrac{\cos (\theta )+1}{2} }\]

\[\sin \left(\dfrac{\theta }{2} \right)=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos (\theta )}{2} }\]

Identidades de reducción de energía

\[\cos ^{2} (\alpha )=\dfrac{\cos (2\alpha )+1}{2}\]

\[\sin ^{2} (\alpha )=\dfrac{1-\cos (2\alpha )}{2}\]

Dado que estas identidades son fáciles de derivar a partir de las identidades de doble ángulo, la reducción de potencia y las identidades de medio ángulo no son las que deba necesitar memorizar por separado.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Reescribir\(\cos ^{4} (x)\) sin ningún poder.

Solución

\[\cos ^{4} (x)=\left(\cos ^{2} (x)\right)^{2}\nonumber\]Usando la fórmula de reducción de potencia
\[=\left(\dfrac{\cos (2x)+1}{2} \right)^{2}\nonumber\] Cuadrando el numerador y el denominador
\[=\dfrac{\left(\cos (2x)+1\right)^{2} }{4}\nonumber\] Expandir el numerador
\[=\dfrac{\cos ^{2} (2x)+2\cos (2x)+1}{4}\nonumber\] Dividir la fracción
\[=\dfrac{\cos ^{2} (2x)}{4} +\dfrac{2\cos (2x)}{4} +\dfrac{1}{4}\nonumber\] Aplicar la fórmula anterior para\(\cos ^{2} (2x)\)
\[\cos ^{2} (2x)=\dfrac{\cos (2\cdot 2x)+1}{2}\nonumber\]
\[=\dfrac{\left(\dfrac{\cos (4x)+1}{2} \right)}{4} +\dfrac{2\cos (2x)}{4} +\dfrac{1}{4}\nonumber\]Simplificar
\[=\dfrac{\cos (4x)}{8} +\dfrac{1}{8} +\dfrac{1}{2} \cos (2x)+\dfrac{1}{4}\nonumber\] Combinar las constantes
\[=\dfrac{\cos (4x)}{8} +\dfrac{1}{2} \cos (2x)+\dfrac{3}{8}\nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Encuentra un valor exacto para\(\cos \left(15{}^\circ \right)\).

Solución

Dado que 15 grados es la mitad de 30 grados, podemos usar nuestro resultado desde arriba:

\[\cos (15{}^\circ )=\cos \left(\dfrac{30{}^\circ }{2} \right)=\pm \sqrt{\dfrac{\cos (30{}^\circ )+1}{2} }\nonumber\]

Podemos evaluar el coseno. Ya que 15 grados está en el primer cuadrante, necesitamos el resultado positivo.

\[\sqrt{\dfrac{\cos (30{}^\circ )+1}{2} } =\sqrt{\dfrac{\dfrac{\sqrt{3} }{2} +1}{2} }\nonumber\]
\[=\sqrt{\dfrac{\sqrt{3} }{4} +\dfrac{1}{2} }\nonumber\]

Temas Importantes de esta Sección

• Identidad de doble ángulo
• Identidad de reducción de potencia
• Identidad de medio ángulo
• Uso de identidades
• Simplificar ecuaciones
• Demostrar identidades
• Resolver ecuaciones