10.2: El valor temporal del dinero y los intereses

Términos clave:

Valor futuro

Para cada una de las siguientes preguntas, asuma que tienes $1 y que los intereses sobre el mismo se pagarán en su totalidad, al FINAL del periodo señalado. ¿Cuáles son los valores futuros (FV) que se dan a cada una de las siguientes preguntas? En otras palabras, ¿cuánto dinero tendrá en los puntos futuros relevantes en el tiempo? (Si tuvieras más de $1, las respuestas serían el múltiplo apropiado de las mismas).

Valor Presente

A medida que avanzamos por las preguntas y cálculos, observamos cómo cambian los resultados, o soluciones. Trate de explicar las razones de las diferencias en los resultados. También, observe que las diferencias aparentemente pequeñas en los resultados no son realmente tan triviales como puede parecer a primera vista. Estamos ilustrando Valores Futuros, en cada pregunta, de apenas un dólar de dinero que tenemos ahora —de P resentir Valor. ¿Supongamos que en cambio tratábamos con millones de dólares?

Al pasar por cada pregunta, vamos a crear, metódica y minuciosamente, una fórmula simbólica general, que puede emplearse para cualquier problema similar. Insertar los valores apropiados en las fórmulas para resolver los problemas numéricamente. (Las soluciones siguen.)

1. Ganarás 5% de intereses, pagados una vez al año, al FINAL del año, por un año.

Tienes $1 ahora de Valor Presente (PV). En un año, recibirás tu “principal” de $1 de vuelta más intereses a una tasa anual de rendimiento (R) del 5%. Por lo tanto, una fórmula general de Valor Futuro (FV) será:

FV = PV (1 + R)

Insertar los datos relevantes en la fórmula para resolver para el Valor Futuro.

A medida que vayamos a través de este análisis, necesitarás aprender y recordar los símbolos o abreviaturas.

2. Igual que la pregunta #1, pero R = 10%.

Aquí usaremos la misma fórmula anterior, pero insertará una tasa diferente para R. ¿Cuál es el Valor Futuro? ¿Por qué es diferente el resultado?

3. Igual que la pregunta #2, es decir, R = 10%, pero por dos años (n años), en lugar de solo uno.

Ahora tendremos dos años de interés compuesto; n = 2. Por lo tanto, aplicamos la fórmula FV, ligeramente modificada, por segunda vez:

FV = PV (1 + R) (1 + R)

FV = PV (1 + R) ⁿ

Aquí, el exponente, “n”, representa el número de años en que se acumule el dinero. Una vez más, i n este caso, n = 2. ¿Cuál es el Valor Futuro? ¿Por qué el resultado es diferente al de la pregunta anterior?

4. 10% de interés, dos veces al año, por un año.

Los intereses siempre se cotizan como tasa anual, a menos que se indique explícitamente lo contrario.

Nuestra tasa anual sigue siendo del 10%, pero recibiremos la mitad de la misma, es decir, R ÷ p = 0.10 ÷ 2 = 0.05, al final de cada semestre. La letra, “p” significa el número de periodos compuestos por año; aquí p = 2.

FV = PV (1 + R /p) (1 + R /p)

Observe que, mientras n = 2, ahora hay dos periodos compuestos por año, por lo que el exponente debe reflejar eso. Nuestro exponente es, pues, ahora: “n × p.”

Siempre que p ≠ 1, debemos hacer dos ajustes a la fórmula: “R/p” en la parte de tasa de la fórmula y “n × p” en el exponente. Si bien en teoría P puede tomar cualquier valor entero, en realidad será igual a 1, 2, 4, 12 o 365 para anual, semestral, trimestral, mensual o diario respectivamente. (En este ejemplo, n = 1; cuando p = 1, tendemos a dejarlo fuera ya que el poder de uno es implícito.) Nuestra fórmula general ahora se convierte en:

FV = PV (1 + R /p) ^{n × p}

Nuestra fórmula de Valor Futuro ya está completa. ¿Qué Valor Futuro obtienes? ¿Por qué el resultado es diferente al de la pregunta #2?

Factor

Multiplicador

Exponencial

Compounding

Tenga en cuenta que, al resolver para Valor Futuro, multiplicamos el Valor Presente por un “factor” de (1 + R/p) n × p. Un factor es simplemente un multiplicador. A este proceso multiplicativo y exponencial se le conoce como composición.

5. Igual que la pregunta #4, pero desde hace dos años.

Podemos emplear la fórmula en la pregunta anterior. Recuerda, “p” ocurre dos veces en nuestra fórmula. Aquí, n = 2, y p = 2. ¿Cuál es tu Valor Futuro? ¿Por qué el resultado es diferente al de la pregunta #3?

6. ¿Qué sucede con los valores futuros a medida que aumentan las tasas de interés (“R”), el número de años (“n”) y la frecuencia de capitalización (“p”)? En respuesta a esta pregunta, presentamos, en resumen, los “Tres Mandamientos” del Valor del Dinero en el Tiempo.

Los tres mandamientos de TVM

Por supuesto, t lo contrario ocurrirá si R, N, y/o P disminuyen. A continuación, te explicamos Valores Presentes .

7. Para cada una de las preguntas anteriores, ¿cuál sería el valor actual de $1 a recibir al término de los periodos señalados? Aquí, volveremos a emplear nuestra fórmula de Valor Futuro, pero transponeremos los números FV y PV para que podamos resolver para PV, en lugar de para FV.

P V = F V ÷ (1 + R /p) ^{n × p}

Descontando

recíproco

Así, al resolver para Valor Presente dividimos el Valor Futuro por el factor (1 + R/p) n × p. A este proceso de división se le conoce como descuento.

En lugar de dividir, también podemos multiplicar el Valor Futuro por el recíproco del divisor.

P V = F V × [1 ÷ (1 + R /p) ^{n × p} ]

Definición : ¡Un recíproco es el inverso de un número, al que se llega dando la vuelta al número al revés! Entonces, 1/2 o 0.5 es el recíproco de 2. El recíproco de 5 es 1/5 — o 20%. Entonces, (1 + r/p) ^{n × p} y [1 ÷ (1 + r/p) ^{n × p} ] son recíprocos entre sí.

Al usar tablas de tasas de interés (pronto), que muestran factores listos para usar, ya calculados a ted, notará que todos los valores de los factores se establecen como multiplicadores, incluyendo los Factores de Valor Presente (PVF). Utilizaremos tablas para reducir el número de cálculos que debemos hacer y con ello reducir los errores.

8. ¿No es una pregunta realista para hacer qué es el PV? ¿Cómo podría ocurrir esto en realidad?

¡Por supuesto que lo es! A menudo conoceremos los pagos futuros y desearemos averiguar los PV s! Por ejemplo, es posible que desee dejar de lado algo de dinero para el pago inicial de una casa en “n ” años. Asumiendo que conoces la “tasa de descuento”, ¿cuánto debes reservar hoy para financiar esa cantidad? ¿Cuánto necesitará reservar hoy para financiar la matrícula universitaria de su hijo recién nacido? Un bono paga intereses cada seis meses en una cantidad conocida. ¿Cuánto debe pagar hoy para recibir esos montos futuros?

Soluciones y explicaciones :

El $1 en la pregunta se conoce como Valor Presente (PV). La cantidad de dinero que tendremos en el futuro se conoce como Valor Futuro (FV). Recuerde, estamos, hasta el momento, asumiendo que los pagos de intereses se realizan al término de cada periodo de pago relevante.

Una inversión en conocimiento paga el mejor interés.

-Benjamín Franklin