5.5: Combinando la optimización lineal con los modelos de deterioro de Markov
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En la sección anterior se ilustraba el uso de las condiciones de componentes esperadas para su uso en la optimización y toma de decisiones También es posible incluir una distribución de posibles condiciones a lo largo de un periodo de tiempo. El medio más común para hacer esta síntesis es combinar la optimización con los modelos de deterioro de Markov. Una serie de sistemas de manejo de puentes y pavimentos se basan en esta síntesis; por ejemplo, ver AASHTO (2016) o Golabi (1997). Es poco probable que un administrador de infraestructura formule una síntesis de problemas de optimización como estos, pero los gerentes utilizan regularmente los programas de software incorporando la optimización sintetizada.
En el cuadro 5.5.1 se presenta un ejemplo de una matriz de transición del proceso de Markov y posibles acciones para un componente concreto. Se definen cinco estados de condición, siendo 1 el que representa el buen estado y 5 el fracaso del componente. Para los componentes en el estado 1, la acción gerencial recomendada es no hacer nada. En cada año en el Estado 1, hay un 3% de probabilidad de deterioro al estado 2. Para los componentes en los estados 2 y 3, no hacer nada o parche son acciones posibles con las consecuencias de probabilidad como se muestra. Hay posibilidades sustanciales de que el parche no sea efectivo, ya que los componentes pueden permanecer en su estado inicial o deteriorarse aún más (aunque con una baja probabilidad de dicho deterioro). Para los componentes en estado 4, no hacer nada, rehabilitación o reemplazo son posibles acciones. Con la acción de no hacer nada y el estado inicial 4, hay un 13% de posibilidades de fracaso en el transcurso de un año.
| Estado Inicial | Acción | \(Pr\text{(state 1)}\) | \(Pr\text{(state 2)}\) | \(Pr\text{(state 3)}\) | \(Pr\text{(state 4)}\) | \(Pr\text{(state 5)}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | No hacer nada | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.97 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.03 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 4)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 5)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 |
| 2 | No hacer nada | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.97 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.03 | \ (Pr\ text {(estado 4)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 5)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 |
| 2 | Parche | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.62 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.34 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.04 | \ (Pr\ text {(estado 4)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 5)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 |
| 3 | No hacer nada | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.92 | \ (Pr\ text {(estado 4)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.08 | \ (Pr\ text {(estado 5)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 |
| 3 | Parche | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.52 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.35 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.10 | \ (Pr\ text {(estado 4)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.03 | \ (Pr\ text {(estado 5)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 |
| 4 | No hacer nada | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 4)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.87 | \ (Pr\ text {(estado 5)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.13 |
| 4 | Rehabilitar | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.68 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.27 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.05 | \ (Pr\ text {(estado 4)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 5)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 |
| 4 | Replaca | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.99 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.01 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 4)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 5)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 |
Un paso de análisis inicial con una tabla de probabilidades de transición como esta podría ser minimizar el costo a largo plazo del mantenimiento del componente concreto. Por supuesto, no hacer nada en cada etapa minimizaría el costo, salvo que eventualmente el componente fallaría. Presumiblemente, un gerente intentaría minimizar el costo sujeto a evitar la transición al estado 5. Las variables de decisión serían una acción particular dado un estado. La función objetiva sería minimizar la condición esperada (o quizás la probabilidad de falla). Con un horizonte de planeación y un estado inicial, los cambios en las probabilidades a lo largo del tiempo se pueden rastrear como una función lineal de las variables de decisión. También se podría imponer una restricción de budge (como en la ecuación 5.2.4) agregada sobre todos los componentes del puente que se están administrando.
Ilustraremos este enfoque de optimización con un pequeño problema. Supongamos que un conjunto de componentes idénticos puede tener tres posibles estados de condición: 1 — bueno, 2 — promedio y 3 — pobre. Se puede realizar una actividad de mantenimiento, que moverá el componente de cualquier estado a estado 1 a un costo de ci. En el Cuadro 5.5.2 se muestran las probabilidades de transición para el componente con no hacer nada y mantenimiento. Por último, hay un presupuesto disponible para el año y un si estatal conocido para cada componente.
| Estado Inicial | Acción | \(Pr\text{(state 1)}\) | \(Pr\text{(state 2)}\) | \(Pr\text{(state 3)}\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | No hacer nada | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.8 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.2 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 |
| 1 | Mantenimiento | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">1.0 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 |
| 2 | No hacer nada | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.8 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.2 |
| 2 | Mantenimiento | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">1.0 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 |
| 3 | No hacer nada | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">1.0 |
| 3 | Mantenimiento | \ (Pr\ text {(estado 1)}\)” style="vertical-align: middle; ">1.0 | \ (Pr\ text {(estado 2)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 | \ (Pr\ text {(estado 3)}\)” style="vertical-align: middle; ">0.0 |
Siguiendo el enfoque de formulación discutido en el apartado anterior:
- Definamos nuestra variable de decisión como\(x_i = 0\) si no hacer nada y\(x_i = 1\) si se realiza mantenimiento. (Si hubiera más de dos acciones posibles, entonces podríamos agregar un subíndice como en la Ecuación 5.2.2 para cada componente y cada acción posible, y la variable de decisión\(x|{ij}\) sería 0 si la acción no\(j\) se emprendiera sobre componente\(I\) y otra si\(j\) se tomara acción sobre componente \(i\)).
- Supongamos que el objetivo es minimizar la condición promedio de los componentes.
- La única restricción es la restricción presupuestal para todas las acciones. (Sin embargo, si es posible más de una acción, tendríamos que agregar una restricción similar a la Ecuación 5.2.3 para cada componente, sin embargo).
El problema resultante es:
\(\text{Minimize Average Condition State}\)
\[=\sum_{s=1}(.8+2 * .2) *\left(1-x_{i}\right)+\sum_{s=2}(2 * 0.8+3 * 0.2) *\left(1-x_{i}\right)+\sum_{s=3} 3 *\left(1-x_{i s}\right)+\sum_{i} x_{i}\]
\(\text {Subject to } \sum_{i} c_{i} * x_{i} \leq B, x_{i} \text { binary }\)
Donde la función objetivo tiene cuatro términos: (1) condición resultante de componentes en estado 1 sin acción, (2) condición resultante de componentes que comienzan en el estado 2 sin acción, (3) condición resultante de componentes en estado 3 sin acción (permanecen en estado 3) y (4) componentes con mantenimiento en movimiento al estado 1. Las limitaciones son el presupuesto general y la restricción del\(x_i\) a cero o uno. Como se señaló anteriormente, la variación agregaría acciones potenciales adicionales (usando la notación\ (x_ {iS}) y diferentes condiciones resultantes.