10.1: Calidad y Estadística

Objetivos de aprendizaje

1. Definir la calidad.
2. Definir y explicar los términos estadísticos utilizados en el control de calidad.
3. Estimar la probabilidad de que las muestras caigan dentro de una, dos o tres desviaciones estándar de la media dada una distribución normal causada por factores aleatorios.

Definiciones de Calidad y Grado

Calidad es un término relativo, lo que significa que algo es de alta o baja calidad en comparación con lo que se requiere que sea. Según la Organización Internacional de Normalización (ISO), la calidad es “el grado en que un conjunto de características inherentes cumple con los requisitos” (International Organization for Standardization, 2005; Project Management Institute, 2008). Los requisitos de un producto o proceso pueden ser categorizados o dados una calificación. La calidad está determinada por lo bien que algo cumple con los requisitos de su grado. Considera los siguientes ejemplos.

Calidad de Grados de Gasolina

Las refinadoras de petróleo proporcionan gasolina en varios grados diferentes según el índice de octano porque los índices de octanaje más altos son adecuados para motores de compresión más altos. La gasolina no debe estar contaminada con tierra o agua, y el rendimiento real del combustible debe estar cerca de su índice de octanaje. Un envío de gasolina de baja calidad calificada como 87 octanos que esté libre de agua u otros contaminantes sería de alta calidad, mientras que un envío de gas de 93 octanos de alto grado que esté contaminado con suciedad sería de baja calidad.

Calidad de Empaque de Muebles en John's Move

John tiene muebles antiguos que se encuentran en excelentes condiciones que le dejaron su abuela. Las piezas son importantes para John por razones sentimentales y también son valiosas. John decide contratar mudanzas (profesionales de alto grado) para cargar sus muebles en la camioneta utilizando el acolchado y las restricciones adecuadas para evitar abolladuras y arañazos durante el largo viaje a Atlanta y luego descargar la camioneta en Atlanta. El estándar de John para la alta calidad es que no se produzcan daños observables en sus grandes muebles, especialmente las antigüedades. Si los muebles llegan a su nuevo departamento sin una sola abolladura, rasguño u otro daño, la actividad será de alta calidad.

>El estándar de John para empacar su cocina es más bajo. Sus platillos son viejos y baratos, por lo que decide confiar en sus amigos inexpertos (aficionados de bajo grado) para ayudarle a empacar su cocina. Si algunos de los platos o cristalería se astillan o se rompen en el proceso, el ahorro en costo de mano de obra compensará con creces la pérdida, y los platos pueden reemplazarse fácilmente. Si John tiene algunos platillos astillados y uno o dos vidrios rotos para cuando esté desempacado en Atlanta, considerará que el empaque de la cocina es de alta calidad.

Para la mayoría de las personas, el término calidad también implica una buena relación calidad-precio: obtener el valor de su dinero. Por ejemplo, incluso los productos de baja calidad deben funcionar como se esperaba, ser seguros de usar y durar una cantidad de tiempo razonable.

Terminología estadística

Determinar qué tan bien los productos cumplen con los requisitos de grado se realiza tomando medidas y luego interpretando esas mediciones. La estadística —la interpretación matemática de datos numéricos— es útil al interpretar grandes cantidades de medidas y se utiliza para determinar qué tan bien el producto cumple con una especificación cuando el mismo producto se fabrica repetidamente. Las mediciones realizadas en muestras del producto deben estar entre los límites de control —los extremos superior e inferior de variación permisible— y corresponde a la gerencia diseñar un proceso que produzca productos de manera consistente entre esos límites.

Establecer límites de control en la producción de gasolina

Una refinería de petróleo produce grandes cantidades de combustible en varios grados. Se extraen muestras de los combustibles y se miden a intervalos regulares. Si se supone que un combustible tiene un rendimiento de 87 octanos, las muestras del combustible deben producir resultados de prueba cercanos a ese valor. Muchas de las muestras tendrán puntajes que son diferentes a 87. Las diferencias se deben a factores aleatorios que son difíciles o costosos de controlar. La mayoría de las muestras deben estar cerca de la calificación 87 y ninguna de ellas debe estar demasiado lejos. El fabricante tiene grados de 85 y 89, por lo que deciden que ninguna de las muestras del combustible de 87 octanos debe ser inferior a 86 o superior a 88.

Si un proceso está diseñado para producir un producto de cierto tamaño u otra característica medida, es imposible controlar todos los pequeños factores que pueden hacer que el producto difiera ligeramente de la medición deseada. Algunos de estos factores producirán productos que tienen medidas que son mayores de lo deseado y algunos tendrán el efecto contrario. Si varios factores aleatorios están afectando el proceso, tienden a compensarse entre sí la mayor parte del tiempo, y los resultados más comunes están cerca de la mitad del rango. Esta idea se llama el teorema del límite central.

Si el rango de posibles valores de medición se divide por igual en subdivisiones llamadas bins, las mediciones se pueden clasificar y se puede contar el número de mediciones que caen en cada contenedor. El resultado es una distribución de frecuencia que muestra cuántas mediciones caen en cada contenedor. Si los efectos que están causando las diferencias son aleatorios y tienden a compensarse entre sí, la distribución de frecuencia se denomina distribución normal, que se asemeja a la forma de una campana con bordes que se ensanchan. Los bordes de una curva teórica de distribución normal se acercan mucho a cero pero no llegan a cero.

Distribución Normal de Muestras de Gasolina

El gerente de control de calidad de una refinería mide muchas muestras de gasolina de 87 octanos, ordena las mediciones por su índice de octanaje en contenedores de 0.1 octanos de ancho y luego cuenta el número de mediciones en cada contenedor. Después crea un gráfico de distribución de frecuencias de los datos, como se muestra en la Figura 10.1 “Distribución Normal de Medidas de Muestras de Gasolina”.

Si las mediciones de las muestras de producto se distribuyen por igual por encima y por debajo del centro de la distribución como lo están en la Figura 10.1 “Distribución normal de las mediciones de muestras de gasolina”, el promedio de esas mediciones es también el valor central que se llama la media y se representa en fórmulas por la letra griega minúscula µ (pronunciada mu). La cantidad de diferencia de las mediciones con respecto al valor central se denomina desviación estándar de la muestra o simplemente la desviación estándar. El primer paso para calcular la desviación estándar es restar cada medición del valor central y luego cuadrar esa diferencia. (Recuerda de tus cursos de matemáticas que cuadrar un número lo está multiplicando por sí mismo y que el resultado siempre es positivo). El siguiente paso es sumar estos valores al cuadrado y dividir por el número de valores menos uno. El último paso es tomar la raíz cuadrada. El resultado puede pensarse como una diferencia promedio. (Si hubieras utilizado el método habitual de tomar un promedio, los números positivos y negativos habrían sumado a cero). Los matemáticos representan la desviación estándar con la letra griega minúscula σ (pronunciada sigma). Si se miden todos los elementos de un grupo, se denomina desviación estándar de la población y el segundo paso no utiliza uno menos.

Figura 10.1 Distribución normal de mediciones de muestras de gasolina

>El gráfico muestra que las medidas más comunes de índice de octano son cercanas a 87 y que las otras mediciones se distribuyen por igual por encima y por debajo de 87. La forma del gráfico de distribución soporta la suposición del teorema del límite central de que los factores que están afectando el índice de octanaje son aleatorios y tienden a compensarse entre sí, lo que se indica por la forma simétrica. Esta distribución es un ejemplo clásico de una distribución normal. El gerente de control de calidad advierte que ninguna de las mediciones está por encima de 88 o por debajo de 86 por lo que están dentro de los límites de control y concluye que el proceso está funcionando satisfactoriamente.

Desviación estándar de muestras de gasolina

El gerente de control de calidad de la refinería utiliza la función de desviación estándar en su programa de hoja de cálculo para encontrar la desviación estándar de las mediciones de la muestra y encuentra que para sus datos, la desviación estándar es de 0.3 octanos. Ella marca el rango en el gráfico de distribución de frecuencias para mostrar los valores que caen dentro de un sigma (desviación estándar) a cada lado de la media. Consulte la figura a continuación.

Figura 10.2

>La mayoría de las mediciones están dentro de 0.3 octanos de 87.

Para distribuciones normales, alrededor del 68.3 por ciento de las mediciones se encuentran dentro de una desviación estándar a cada lado de la media. Esta es una regla general útil para analizar algunos tipos de datos. Si la variación entre las mediciones es causada por factores aleatorios que resultan en una distribución normal y alguien te dice la media y la desviación estándar, sabes que un poco más de dos tercios de las mediciones están dentro de una desviación estándar a cada lado de la media. Debido a la forma de la curva, el número de mediciones dentro de dos desviaciones estándar es de 95.4 por ciento, y el número de mediciones dentro de tres desviaciones estándar es de 99.7 por ciento. Por ejemplo, si alguien dijera que la estatura promedio (media) de los hombres adultos en Estados Unidos es de 5 pies 10 pulgadas (70 pulgadas) y la desviación estándar es de aproximadamente 3 pulgadas, sabrías que el 68 por ciento de los hombres en Estados Unidos están entre cinco pies y siete pulgadas (67 pulgadas) y seis pies una pulgada (73 pulgadas) en altura. También sabrías que alrededor del 95 por ciento de los hombres adultos en Estados Unidos tenían entre cinco pies y cuatro pulgadas y seis pies cuatro pulgadas de alto, y que casi todos ellos (99.7 por ciento) miden entre cinco pies una pulgada y seis pies siete pulgadas de alto. Estas cifras son referidas como la regla 68-95-99.7.

Casi todas las muestras de gasolina están dentro de tres STD

El gerente de control de calidad de la refinería marca los rangos incluidos dentro de dos y tres desviaciones estándar, como se muestra a continuación.

Figura 10.3 La regla del 68-95-99.7

Algunos productos deben tener menos variabilidad que otros para cumplir con su propósito. Por ejemplo, si una máquina perfora un agujero y otra máquina forma una varilla que se deslizará a través del orificio, podría ser muy importante estar seguro de que si el orificio más pequeño se emparejó alguna vez con la varilla más ancha, la varilla aún encajaría. Tres desviaciones estándar de los límites de control podrían estar bien para algunos productos pero no para otros. En general, si la media es de seis desviaciones estándar de ambos límites de control, la probabilidad de que una parte supere los límites de control de variación aleatoria es prácticamente cero (2 en 1,000,000,000). Consulte la Figura 10.4 “Significado de los Niveles Sigma”.

Figura 10.4 Significado de los niveles Sigma

Desviaciones estándar entre la media y el límite de control	Nivel Sigma	Porcentaje dentro de los límites de control	Porcentaje Fuera de Límites de Control	Límites de control exterior de piezas (aproximados)
1	1	68.3%	31.7%	32 por 100
2	2	95.4%	4.6%	5 por 100
3	3	99.7%	.3%	3 por 1,000
4	4	99.9937%	.0063%	4 por 100,000
5	5	99.99994%	.00006%	6 por cada 10 millones
6	6	99.9999998%	.0000002%	2 por mil millones

>

Un proyecto de paso mejora la calidad de la gasolina

Se instala un nuevo proceso de refinería que produce combustibles con menor variabilidad. El gerente de control de calidad de la refinería toma un nuevo conjunto de muestras y grafica un nuevo diagrama de distribución de frecuencias, como se muestra a continuación.

Figura 10.5 Desviación estándar más pequeña

>

>El gerente de control de calidad de la refinería calcula que la nueva desviación estándar es de 0.2 octanos. A partir de esto, puede utilizar la regla 68-95-99.7 para estimar que el 68.3 por ciento del combustible producido estará entre 86.8 y 87.2 y que 99.7 por ciento estará entre 86.4 y 87.6 octanos. Una forma taquigráfica de describir esta cantidad de control es decir que se trata de un sistema de producción de cinco sigma, que se refiere a las cinco desviaciones estándar entre la media y el límite de control en cada lado.

Claves para llevar

• La calidad es el grado en que un producto o servicio cumple con los requisitos y aporta valor por su precio.
• La estadística es la interpretación matemática de los datos numéricos, y se utilizan varios términos estadísticos en el control de calidad. Los límites de control son los límites de variación aceptable.
• Si los factores aleatorios causan variación, tenderán a cancelarse entre sí, el teorema del límite central. El punto central en la distribución es la media, que está representada por la letra griega mu, µ. Si elige intervalos llamados bins y cuenta el número de muestras que caen en cada intervalo, el resultado es una distribución de frecuencia. Si graficas la distribución y los factores que causan la variación son aleatorios, la distribución de frecuencia es una distribución normal, que parece en forma de campana.
• El centro de la distribución normal se llama la media, y la variación promedio se calcula de manera especial que encuentra el promedio de los cuadrados de las diferencias entre muestras y la media y luego toma la raíz cuadrada. Esta diferencia promedio se llama la desviación estándar, que está representada por la letra griega sigma, σ.
• Alrededor del 68 por ciento de las muestras están dentro de una desviación estándar, 95.4 por ciento están dentro de dos y 99.7 por ciento están dentro de tres.

Ejercicios

1. Según la ISO, la calidad es el grado en que un conjunto de características inherentes cumple ___________.
2. Los extremos superior e inferior de variación aceptable de la media se denominan límites __________.
3. Las probabilidades de que la medición de una muestra esté dentro de una desviación estándar de la media es de ____ por ciento.
4. ¿Cómo se relaciona la calidad con el grado?
5. Si las mediciones en un gráfico de distribución de frecuencias se agrupan cerca de la media en distribución normal, ¿qué implica eso sobre las causas de la variación?
6. Si tienes un conjunto de datos de muestra y tenías que calcular la desviación estándar, ¿cuáles son los pasos?
7. Si un conjunto de mediciones de muestra tiene una media de 100, una distribución normal, una desviación estándar de 2 y límites de control de 94 y 106, ¿qué porcentaje de las muestras se espera que esté entre 94 y 106? Explica tu respuesta.

Uso de medidas estadísticas

>Elija dos grupos de personas o elementos que tengan una característica medible que se pueda comparar, como la estatura de machos y hembras adultos. Describa la distribución de las mediciones indicando si cree que los grupos tienen una desviación estándar relativamente pequeña o grande y si las distribuciones se superponen (por ejemplo, algunas mujeres son más altas que algunos hombres a pesar de que la estatura media para los hombres es mayor que la estatura media para las mujeres). Demuestre que sabe usar correctamente los siguientes términos en contexto:

• Distribución normal
• Desviación estándar
• Media

Referencias

Organización Internacional de Normalización, Sistemas de Gestión de la Calidad—Fundamentos y Vocabulario (Ginebra: ISO Press, 2005).

Project Management Institute, Inc., Una guía para el Cuerpo de Conocimiento de Gestión de Proyectos (Guía PMBOK), 4ª ed. (Newtown Square, PA: Project Management Institute, Inc., 2008), 190.