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22.2: Las matemáticas esenciales

  • Page ID
    1987
    • Contribuido por

    La aritmética exponencial

    La notación exponencial se usa para expresar los números muy grandes y pequeños como el producto de dos números. El primer número del producto, el término de dígitos, es usualmente un número no menor que 1 ni mayor que 10. El segundo número del producto, el término exponencial, se escribe como 10 con un exponente. Algunos ejemplos de notación exponencial son:

    \[\begin{align}
    1000&=1×10^3\\
    100&=1×10^2\\
    10&=1×10^1\\
    1&=1×10^0\\
    0.1&=1×10^{−1}\\
    0.001&=1×10^{−3}\\
    2386&=2.386×1000=2.386×10^3\\
    0.123&=1.23×0.1=1.23×10^{−1}
    \end{align}\]

    La potencia (exponente) de 10 es igual al número de lugares que se desplaza el decimal para dar el número del dígito. El método exponencial es una notación muy útil para todos los números grandes y muy pequeños. Por ejemplo, 1,230,000,000 = 1.23 × 109, y 0.00000000036 = 3.6 × 10−10.

    La suma de los exponenciales

    Convierte todos los números a la misma potencia de 10, sume los términos numéricos de los números y, si es apropiado, convierte el término numérico de nuevo a un número entre 1 y 10 ajustando el término exponencial.

    Suma de exponenciales: Sume 5.00 × 10−5 y 3.00 × 10−3.

    Solución

    \[\begin{align}
    3.00×10^{−3}&=300×10^{−5}\\
    (5.00×10^{−5})+(300×10^{−5})&=305×10^{−5}=3.05×10^{−3}
    \end{align}\]

    La resta de los exponenciales

    Convierte todos los números a la misma potencia de 10, tome la diferencia de los términos de dígitos y, si es apropiado, convierte el término de dígitos de nuevo a un número entre 1 y 10 ajustando el término exponencial.

    Restando los exponentes: Reste 4.0 × 10−7 de 5.0 × 10−6.

    Solución

    \[4.0×10^{−7}=0.40×10^{−6}\\
    (5.0×10^{−6})−(0.40×10^{−6})=4.6×10^{−6}\]

    La multiplicación de los exponenciales

    Multiplique los términos numéricos de la forma normal y sume los exponentes de los términos exponenciales.

    Multiplique los exponentes: Multiplique 4.2 × 10−8 por 2.0 × 103.

    Solución

    \[(4.2×10^{−8})×(2.0×10^3)=(4.2×2.0)×10^{(−8)+(+3)}=8.4×10^{−5}\]

    La división de los exponenciales

    Divide el término de los dígitos del numerador por el término de los dígitos del denominador y reste los exponentes de los términos exponenciales.

    División de los exponenciales: Divide 3.6 × 105 por 6.0 × 10−4.

    Solución

    \[\dfrac{3.6×10^{−5}}{6.0×10^{−4}}=\left(\dfrac{3.6}{6.0}\right)×10^{(−5)−(−4)}=0.60×10^{−1}=6.0×10^{−2}\]

    El cuadrado de los exponenciales

    Eleve el término numérico al cuadrado de la forma normal y multiplique el exponente del término exponencial por 2.

    Cuadre los exponenciales: Cuadre el número 4.0 × 10−6.

    Solución

    \[(4.0×10^{−6})^2=4×4×10^{2×(−6)}=16×10^{−12}=1.6×10^{−11}\]

    El cubo de los exponenciales

    Cuba el término numérico de la forma normal y multiplique el exponente del término exponencial por 2.

    El cubo de los exponenciales: Cuba el número 2 × 104.

    Solución

    \[(2×10^4)^3=2×2×2×10^{3×4}=8×10^{12}\]

    Calculando las raíces cuadradas de los exponenciales

    Si es necesario, disminuye o aumente el término exponencial para que la potencia de 10 sea divisible uniformemente por 2. Saque la raíz cuadrada del término numérico y divide el término exponencial por 2.

    Calcule la raíz cuadrada de los exponenciales: Calcule la raíz cuadrada de 1.6 × 10−7.

    Solución

    \[\begin{align}
    1.6×10^{−7}&=16×10^{−8}\\
    \sqrt{16×10^{−8}}=\sqrt{16}×\sqrt{10^{−8}}&=\sqrt{16}×10^{−\large{\frac{8}{2}}}=4.0×10^{−4}
    \end{align}\]

    Las cifras significativas

    Un apicultor informa que tiene 525,341 abejas. Las últimas tres cifras del número son obviamente inexactas, porque durante el tiempo que el cuidador estuvo contando las abejas, algunas murieron y otras eclosionaron; esto hace que sea bastante difícil determinar el número exacto de abejas. Hubiera sido más exacto si el apicultor hubiera reportado el número 525,000. En otras palabras, las últimas tres cifras no son significativas, excepto para establecer la posición del punto decimal. Sus valores exactos no tienen ningún significado útil en esta situación. Al reportar cualquier información como números, use solo tantas cifras significativas como lo justifique la precisión de la medición.

    Las cifras significativas son importantes por su aplicación en la computación fundamental. En la suma y la resta, la suma o la diferencia debe contener tantos dígitos a la derecha del decimal como el menos cierto de los números usados en el cálculo (indicado por subrayado en el siguiente ejemplo).

    Sume y reste usando cifras significativas: Sume 4.383 g y 0.0023 g.

    Solución

    \[\begin{align}
    &\mathrm{4.38\underline{3}\:g}\\
    &\mathrm{\underline{0.002\underline{3}\:g}}\\
    &\mathrm{4.38\underline{5}\:g}
    \end{align}\]

    En la multiplicación y división, el producto o cociente no debe tener más dígitos que el del factor que contiene el menor número de cifras significativas.

    La multiplicación y división usando cifras significativas: Multiplique 0.6238 por 6.6.

    Solución

    \[0.623\underline{8}×6.\underline{6}=4.\underline{1}\]

    Al redondear los números, aumente el dígito retenido por 1 si esta seguido por un número mayor que 5 ("redondear hacia arriba"). No cambie el dígito retenido si los dígitos que siguen son menos que 5 (“redondear hacia abajo”). Si el dígito retenido esta seguido por 5, redondee hacia arriba si el dígito retenido es impar, o redondee hacia abajo si es par (después del redondeo, el dígito retenido siempre será par).

    El uso de los logaritmos y los números exponenciales

    El logaritmo común de un número (log) es la potencia a la que se debe elevar 10 para igualar ese número. Por ejemplo, el logaritmo común de 100 es 2, porque 10 se debe elevar a la segunda potencia para que sea igual a 100. Luego, se muestran ejemplos adicionales.

    Los logaritmos y los números exponenciales
    Número El número expresado exponencialmente El logaritmo común
    1000 103 3
    10 101 1
    1 100 0
    0.1 10−1 −1
    0.001 10−3 −3

    ¿Cuál es el logaritmo común de 60? Debido a que 60 se encuentra entre 10 y 100, que tienen logaritmos de 1 y 2, respectivamente, el logaritmo de 60 es 1.7782; eso es,

    \[60=10^{1.7782}\]

    El logaritmo común de un número menor que 1 tiene un valor negativo. El logaritmo de 0.03918 es −1.4069, o

    \[0.03918=10^{-1.4069}=\dfrac{1}{10^{1.4069}}\]

    Para obtener el logaritmo común de un número, use el botón de log en su calculadora. Para calcular un número a partir de su logaritmo, tome el logaritmo inverso del logaritmo o calcule 10x (donde x es el logaritmo del número).

    El logaritmo natural de un número (ln) es la potencia a la que se debe elevar e para igualar el número; e es la constante 2.7182818. Por ejemplo, el logaritmo natural de 10 es 2.303; eso es,

    \[10=e^{2.303}=2.7182818^{2.303}\]

    Para obtener el logaritmo natural de un número, use el botón ln de su calculadora. Para calcular un número a partir de su logaritmo natural, ingrese el logaritmo natural y tome la inversa ln del logaritmo natural, o calcule ex (donde x es el logaritmo natural del número).

    Los logaritmos son exponentes; por lo tanto, las operaciones que involucran los logaritmos siguen las mismas reglas que las operaciones que involucran exponentes.

    1. El logaritmo de un producto de dos números es la suma de los logaritmos de los dos números.
      \[\log xy= \log x + \log y, \textrm{ and }\ln xy=\ln x + \ln y\]
    2. El logaritmo del número que resulta de la división de dos números es la diferencia entre los logaritmos de los dos números.
      \[\log\dfrac{x}{y}=\log x-\log y,\textrm{ and } \ln\dfrac{x}{y}=\ln x-\ln y\]
    3. El logaritmo de un número elevado a un exponente es el producto del exponente por el logaritmo del número.
      \[\log x^n=n\log x \textrm{ and }\ln x^n=n\ln x\]

    La solución de las ecuaciones cuadráticas

    Las funciones matemáticas de esta forma se llaman polinomios de segundo orden o, más comúnmente, funciones cuadráticas.

    \[ax^2+bx+c=0\]

    La solución o las raíces de cualquier ecuación cuadrática se pueden calcular usando la siguiente fórmula:

    \[x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\]

    Resolviendo las ecuaciones cuadráticas: Resuelve la ecuación cuadrática 3x2 + 13x − 10 = 0.

    La solución sustituyendo estos valores a = 3, b = 13, c = −10 en la formula nos da,

    \[x=\dfrac{−13±\sqrt{(13)^2−4×3×(−10)}}{2×3}\]
    \[x=\dfrac{−13±\sqrt{169+120}}{6}=\dfrac{−13±\sqrt{289}}{6}=\dfrac{−13±17}{6}\]

    Por tanto, las dos raíces son

    \[x=\dfrac{−13+17}{6}=\dfrac{2}{3}\textrm{ and }x=\dfrac{−13−17}{6}=−5\]

    Las ecuaciones cuadráticas construidas usando los datos físicos siempre tienen raíces reales, y de estas raíces reales, a veces solo las que tienen valores positivos tienen alguna importancia.

    Los gráficos bidimensionales (x-y)

    La relación entre dos propiedades de un sistema se puede representar gráficamente mediante un diagrama de datos bidimensional. Este tipo de gráfico tiene dos ejes: uno horizontal correspondiente a la variable independiente, o la variable cuyo valor se está controlando (x), y un eje vertical que corresponde a la variable dependiente, o la variable cuyo valor se está observando o midiendo (y).

    Cuando el valor de y cambia en función de x (es decir, diferentes valores de x corresponden a diferentes valores de y), se puede trazar o esbozar una gráfica de este cambio. El gráfico se puede producir usando valores específicos para pares de datos (x, y).

    Graficando la dependencia de y en x

    x y
    1 5
    2 10
    3 7
    4 14

    Esta tabla contiene los siguientes puntos: (1,5), (2,10), (3,7) y (4,14). Cada uno de estos puntos se puede trazar en un gráfico y se puede conectar para producir una representación gráfica de la dependencia de y sobre x.

    Si se sabe la función que describe la dependencia de y en x, se puede usar para calcular los pares de datos x, y que luego se pueden graficar.

    Trazando los pares de datos: Si sabemos que y = x2 + 2, podemos producir una tabla de unos pocos valores (x, y) y luego trazar la línea según los datos que se muestran aquí.

    x y = x2 + 2
    1 3
    2 6
    3 11
    4 18