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8: Calibración de datos

Última actualización

30 oct 2022
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- 7.6: Ejercicios
- 8.1: Regresión lineal no ponderada con errores en y

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

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$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

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$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

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$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$

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$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

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$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$

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$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$

$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$

$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$

$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$

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$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$

$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$

$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$

$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$

$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$

$\newcommand{\real}{\mathbb R}$

$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$

$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$

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$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$

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$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$

$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$

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$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$

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$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$

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$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$

$\newcommand{\lt}{<}$

$\newcommand{\gt}{>}$

$\newcommand{\amp}{&}$

$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Una curva de calibración es una de las herramientas más importantes en química analítica ya que nos permite determinar la concentración de un analito en una muestra midiendo la señal que genera cuando se coloca en un instrumento, como un espectrofotómetro. Para determinar la concentración del analito debemos conocer la relación entre la señal que medimos $S$ ,, y la concentración del analito $C_A$ ,, que podemos escribir como

$S = k_A C_A + S_{blank} \nonumber$

donde $k_A$ está la sensibilidad de la curva de calibración y $S_{blank}$ es la señal en ausencia de analito.

¿Cómo encontramos la mejor estimación para esta relación entre la señal y la concentración de analito? Cuando una curva de calibración es una línea recta, la representamos usando el siguiente modelo matemático

$y = \beta_0 + \beta_1 x \nonumber$

donde y es la señal medida del analito, S, y x es la concentración conocida del analito $C_A$ , en una serie de soluciones estándar. Las constantes $\beta_0$ y $\beta_1$ son, respectivamente, la interposición y esperada de la curva de calibración y su pendiente esperada. Debido a la incertidumbre en nuestras mediciones, lo mejor que podemos hacer es estimar valores para $\beta_0$ y $\beta_1$ , que representamos como b ₀ y b ₁. El objetivo de un análisis de regresión lineal es determinar las mejores estimaciones para b ₀ y b ₁.

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